1、版高考數學版高考數學 3-2-13-2-1 精品系列專題精品系列專題 0606 不等式不等式學生版學生版【考點定位考點定位】考綱解讀和近幾年考點分布考綱解讀和近幾年考點分布考綱解讀考綱解讀考綱解讀：不等式的考查主要以中檔題為主，以選填題為主；不等式的性質常與簡易邏輯結合考查；不等式的解法主要以一元二次不等式為主，兼顧其它如簡單的分式不等式、絕對值不等式、指對數不等式、與分段函數有關的不等式等，常與集合選填題、導數解答題中對參數的分類討論結合；線性規劃問題難度不大；根本不等式求最值是重點，要加強訓練；不等式的恒成立也應當重視。近幾年考點分布近幾年考點分布從近幾年的高考試題來看，對不等式重點考查的

2、有四種題型：解不等式、證明不等式、不等式的應用、不等式的綜合性問題。這些不等式試題主要表達了等價轉化、函數與方程、分類討論等數學思想 1、不等式的性質、根本不等式和絕對值不等式的考查，大多出現在選擇題或填空題中，一般屬于容易題或中檔題。因此，關于這一局部的知識，重在理解并深刻記憶根本公式. 2、含參的不等式問題是近幾年考的較多的一種題型，特別是不等式恒成立問題中參數取值范圍的求法。3、不等式幾乎能與所有數學知識建立廣泛的聯系，通常以不等式與函數、三角、向量、數列、解析幾何、數列的綜合問題的形式出現，尤其是以導數或向量為背景的導數或向量 、不等式、函數的綜合題和有關不等式的證明或性質的代數邏輯推

3、理題。問題多屬于中檔題甚至是難題，對不等式的知識，方法與技巧要求較高。【考點考點 pk】pk】名師考點透析名師考點透析考點一考點一 不等式的概念和性質【名師點睛名師點睛】： 不等式的恒成立問題我們一般利用函數的最值問題來解決，也可以采用別離參數的思想進行求解，有關參數的取值范圍。考點二考點二 算術平均數與幾何平均數例 3：設0,0.ab假設11333abab是與的等比中項，則的最小值為 a 8 b 4 c 1 d 14【名師點睛名師點睛】：對于均值不等式的運用，我們一般要關注不等式求最值時滿足的三點：一正，二定，三相等。需要從題目中挖掘有關定值的等式，考慮求最值時的方法：不等式法，單調性法，導

4、數法等等來進行。最值問題使我們高頻試題，要注意積累常用的方法。考點三考點三 線性規劃例 4：實數 x、y 滿足223yxyxx 那么目標函數 z=x-2y 的最小值是_. 最大，利潤最大等等問題。抽象不等式，準確表示線性約束條件，然后結合圖像求解。該類試題是高考中必考的知識點，我們要多加以練習。考點四考點四 實際應用實際應用例 6：某商店預備在一個月內分批購入每張價值為 20 元的書桌共 36 臺，每批都購入 x 臺x 是正整數 ，且每批均需付運費 4 元，儲存購入的書桌一個月所付的保管費與每批購入書桌的總價值不含運費成正比，假設每批購入 4 臺，那么該月需用去運費和保管費共52 元，現在全月

5、只有 48 元資金可以用于支付運費和保管費1求該月需用去的運費和保管費的總費用( );f x2能否恰當地安排每批進貨的數量，使資金夠用？寫出你的結論，并說明理由. 【名師點睛名師點睛】：本試題是創新題目，主要考查函數的概念、根本不等式等根底知識，考查數學建模能力、抽象概括能力以及數學閱讀能力，這也是高考的趨勢，我們要主語創新能力的培養，數學建模思想的樹立。【三年高考三年高考】10】10、1111、1212 高考試題及其解析高考試題及其解析1212 高考試題及其解析高考試題及其解析一、選擇題1. 高考遼寧文理 設變量 x,y 滿足,15020010yyxyx那么 2x+3y的最大值為 a20b3

6、5c45d552. 高考重慶理 設平面點集221( , ) ()()0 ,( , ) (1)(1)1ax yyxybx yxyx,那么ab所表示的平面圖形的面積為a34b35c47d23. 高考重慶理 不等式0121xx的解集為4. 高考浙江文 假設正數 x,y 滿足 x+3y=5xy,那么 3x+4y 的最小值是a245b285c5d65. 高考天津文 設變量, x y滿足約束條件01042022xyxyx,那么目標函數32zxy的最小值為a5b4c2d36. 高考四川文 假設變量, x y滿足約束條件3,212,21200 xyxyxyxy ,那么34zxy的最大值是a12b26c28d3

7、37. 高考陜西文 小王從甲地到乙地的時速分別為 a 和 b(ab),其全程的平均時速為 v,那么aavabbv=abcabv0 時均有(a-1)x-1( x 2-ax-1)0,那么a=_.22. 高考上海春 假設不等式210 xkxk 對(1,2)x 恒成立,那么實數k的取值范圍是_.23. 高考陜西理 設函數ln ,0( )21,0 xxf xxx,d是由x軸和曲線( )yf x及該曲線在點(1,0)處的切線所圍成的封閉區域,那么2zxy在d上的最大值為_.24. 高考江蘇 正數a b c，滿足:4ln53lnbcaacccacb，那么ba的取值范圍是. 25. 高考江蘇 函數2( )()

8、f xxaxb a br，的值域為0)，,假設關于x 的不等式( )f xc的解集為(6)mm，,那么實數 c 的值為_.26. 高考大綱理 假設, x y滿足約束條件1030330 xyxyxy ,那么3zxy的最小值為xy1-1_.27. 高考安徽理 假設, x y滿足約束條件:02323xxyxy;那么xy的取值范圍為_2、 陜西理.假設關于 x 的不等式12axx存在實數解，那么實數a的取值范圍是 3、 廣東文 55 不等式不等式2210 xx 的解集是的解集是 a a 1(,1)2 b b (1,) c c (,1)(2,) d d 1(,)(1,)2 4、 廣東理 9.9.不等式不

9、等式130 xx的解集是的解集是_._.5、 山東理 4.不等式1035xx的解集為 a7,5 b。6,4 c. ,75, d。 ,64,6、 江西文 15 對于xr，不等式1028xx的解集為_7、 湖南理.設ryx,，且0 xy，那么2222411yxyx的最小值為 .8、 重慶文 7 假設函數1( )2f xxn(2)n 在xa處取最小值，那么a a12 b13 c3 d49、 重慶文 15 假設實數, ,222,2222,aba babca b ca b cc 滿足則的最大值是 10、 重慶理 7a0，b0，a+b=2，那么14yab的最小值是a72 b4 c92 d5 11、 上海文

10、 16、理 15假設, a br，且0ab ，那么以下不等式中，恒成立的是 a 222abab b 2abab c 112abab d 2baab12、 浙江文 16假設實數, x y滿足221xyxy，那么xy的最大值是_。13、 浙江理 16設, x y為實數，假設2241,xyxy那么2xy的最大值是 .。15、 山東文7.設變量 x，y 滿足約束條件250200 xyxyx，那么目標函數231zxy的最大值為 (a)11 (b)10 (c)9 (d)8.516、 課標卷文 14、理 13. 假設變量yx,滿足約束條件96923yxyx那么yxz2的最小值為_17、 全國文 4假設變量

11、x、y 滿足約束條件6 yxy9 yx92 yx32 yxox) 5, 4 ( a第 13 題圖6321xyxyx，那么23zxy的最小值為a17 b14 c5 d318、 浙江文 3假設實數xy、滿足不等式組2502700,0 xyxyxy ,那么3xy+4的最小值是 (a)13 (b)15 (c)20 (d)2819、 天津文 2.2.設變量設變量, x y滿足約束條件滿足約束條件140340 xxyxy, ,那么目標函數那么目標函數3zxy的最的最大值為大值為a.-4a.-4 b.0b.0 c.c.4322、 浙江理 5.設實數, x y滿足不等式組250270,0 xyxyx，y0，假

12、設, x y為整數，那么34xy的最小值是a14 b16 c17 d1923、 湖南文 14 設1,m 在約束條件1yxymxxy下，目標函數5zxy的最大值為 4，那么m的值為 24、 湖南理 7.設, 1m在約束條件1yxmxyxy下，目標函數myxz的最大值小于2，那么m的取值范圍為 a.21 , 1 b. ,21 c. 3 , 1 d. , 325、 湖北理 8 向量(,3),(2,)axzbyz，且ab，假設, x y滿足不等式1xy，那么 z 的取值范圍為a.2,2b. 2,3c. 3,2d. 3,326、 福建理設不等式11-x2的解集為 m.i求集合 m；ii假設 a，bm，試

13、比擬 ab+1 與 a+b 的大小.輛乙型卡車虛配 1 名工人，運送一次可得利潤 350 元.該公司合理方案黨團派用兩類卡車的車輛數，可得最大利潤( )a4650 元 b4700 元 c4900 元 d5000 元30、 江蘇解不等式：解不等式：|21| 3xx31、 遼寧文、理 函數= f x|x-2|-|x-5|。 i證明：-3 f x3；ii求不等式 f xx2-8x+15 的解集。32、 安徽理安徽理 19 本小題總分值 12 分 設1,1,xy證明111xyxyxyxy，1abc，證明loglogloglogloglogabcbcabcaabc.高考試題及解析高考試題及解析一、選擇題

14、一、選擇題:1 高考山東卷理科高考山東卷理科 1010設變量 x、y 滿足約束條件2,5100,80,xyoxyxy,那么目標函數z=3x4y 的最大值和最小值分別為a3，11b) 3, 11 (c)11, 3 (d)11,32 高考全國卷高考全國卷 i i 理科理科 33假設變量, x y滿足約束條件1,0,20,yxyxy那么2zxy的最大值為(a)4 (b)3 (c)2 (d)13 福建理福建理 88設不等式組x1x-2y+30yx所表示的平面區域是1,平面區域是2與1關于直線3490 xy對稱,對于1中的任意一點 a 與2中的任意一點 b, |ab的最小值等于( )a.285 b.4

15、c. 1256 廣東理廣東理 55 “14m 是“一元二次方程20 xxm有實數解的7 四川理四川理 77某加工廠用某原料由甲車間加工出 a 產品，由乙車間加工出 b10 小時可加工出 7 千克 a 產品，每千克 a 產品獲利 40 元，乙車間加工一箱原料需消耗工時 6 小時可加工出 4 千克 b 產品，每千克 b 產品獲利 50 元.甲、乙兩車間每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙兩車間消耗工時總和不得超過 480 小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產方案為w a甲車間加工原料 10 箱，乙車間加工原料 60 箱b甲車間加工原料 15 箱，乙車間加工原料 55 箱c甲車間加工原

16、料 18 箱，乙車間加工原料 50 箱d甲車間加工原料 40 箱，乙車間加工原料 30 箱8 四川理四川理 1212設0abc，那么221121025()aaccaba ab的最小值是 a2 b4 c 2 5 d59. ( (寧夏寧夏 11集合|2,axxr, |4,bxxxz,那么ab(a)(0,2) (b)0,2 (c)0,2 (d)0,1,210. ( (寧夏寧夏 88設偶函數( )f x滿足3( )8(0)f xxx，那么 |(2)0 x f x(a) |24x xx 或 (b) |04x xx或(c) |06x xx或 (d) |22x xx 或13 浙江浙江 77假設實數yx,滿足

17、不等式組33023010 xyxyxmy ，且yx 的最大值為 9，那么實數 m、n(a)-2 b -1 (c)1 (d)214(全國全國 2 理理 3假設變量, x y滿足約束條件1,325xyxxy，那么2zxy的最大值為a1 b2 c3 d415(全國全國 2 理理 5不等式2601xxx的解集為a2,3x xx或 b213x xx，或c 213xxx ，或 d2113xxx ，或16 上海理上海理 1818某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為11 1,13 11 5，那么此人能 a不能作出這樣的三角形b作出一個銳角三角形c作出一個直角三角形d作出一個鈍角三角形【17.( (

18、高考重慶市理科高考重慶市理科 4)4)設變量 x,y 滿足約束條件01030yxyxy ，那么 z2xy 的最大值為a 2b 4c 6d 818. ( (重慶理重慶理 7)7) 0 x ，0y ，228xyxy，那么2xy的最小值是a 3b 4c 92d 1122 全國全國 i i 理理 1313不等式2211xx 的解集是 .3. ( (天津理天津理 16)16)設函數2( )1f xx，對任意3 ,)2x,2()4( )(1)4 ( )xfm f xf xf mm 恒成立，那么實數 m 的取值范圍是 。4.( (湖北理湖北理 1212己知2zxy，式中變量, x y滿足約束條件,1,2,y

19、xxyx那么z的最大值為 0,0zabxy ab的最大值為 8，那么ab的最小值為_。7 江蘇江蘇 1212設實數 x,y 滿足 32xy8，4yx29，那么43yx的最大值是 。 8 陜西理陜西理 1414鐵礦石a和b的含鐵率a,冶煉每萬噸鐵礦石的2co的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表：ab(萬噸)c百萬元a50%13b70%056某冶煉廠至少要生產 1.9(萬噸)鐵,假設要求2co的排放量不超過2(萬噸),那么購置鐵礦石的最少費用為_ (百萬元).三、解答題：三、解答題：1 廣東理廣東理 1919 本小題總分值 12 分 某營養師要為某個兒童預定午餐和晚餐。一個的午餐含 12 個的碳

20、水化合物 6 個蛋白質和6 個的維生素 c；一個的晚餐含 8 個的碳水化合物，6 個的蛋白質和 10 個的維生素 c.另外，該兒童這兩餐需要的營養中至少含 64 個的碳水化合物，42 個的蛋白質和 54 個的維生素 c. 如果一個的午餐、晚餐的費用分別是 2.5 元和 4 元，那么要滿足上述的營養要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預定多少個的午餐和晚餐？2 高考廣東卷理科高考廣東卷理科 2121 本小題總分值 14 分設11( ,)a x y，22(,)b xy是平面直角坐標系xoy上的兩點，現定義由點a到點b的一種折線距離( , )a b為2121( , ) |a bxxyy對于平面xoy

21、上給定的不同的兩點11( ,)a x y，22(,)b xy,1假設點( , )c x y是平面xoy上的點，試證明( ,)a c( , )( , );c ba b2在平面xoy上是否存在點( , )c x y，同時滿足( ,)( , )( , )a cc ba b ( ,)( , )a cc b假設存在，請求出所有符合條件的點，請予以證明。3. 全國全國 i i 理理 2020(本小題總分值 12 分)函數( )(1)ln1f xxxx.假設2( )1xfxxax，求a的取值范圍；證明：(1) ( )0 xf x .5.【兩年模擬兩年模擬】 模擬試題【浙江省寧波四中高三上學期第三次月考理】設

22、zyx,滿足約束條件組2320101zxyxzyx，那么zyxt463的最大值為_【四川省宜賓市高中高三調研理】在面積為定值 9 的扇形中，當扇形的周長取得最小值時，扇形的半徑是(a) 3 (b) 2 (c) 4 (d) 5【四川省宜賓市高中高三調研理】不等式03212xxx的解集為 0,0,2abab，那么11yab的最小值a 2 b4 c52 d72 【陜西省長安一中高三開學第一次考試理】實數xy，滿足121yyxxym，如果目標函數zxy的最小值為1，那么實數m= a2 b5 c6 d7【陜西省長安一中高三開學第一次考試理】函數) 1, 0(log1)(aaxxfa的圖像恒過定點 a，假

23、設點 a 在直線02 nymx上，其中, 0mn那么nm11的最小值為 被半徑為1的圓面完全覆蓋，那么實數k的取值范圍是 .【株洲市高三質量統一檢測株洲市高三質量統一檢測】函數) 1, 0( 1)2(logaaxya的圖象恒過定點 a，假設點 a 在直線01 nymx上，其中0mn,那么nm21的最小值為 .【安師大附中高三第五次模擬安師大附中高三第五次模擬】實數yx,滿足0,1,2210.xyxy 假設目標函數yaxz0a取得最小值時的最優解有無數個，那么實數a的值為_【安師大附中高三第五次模擬安師大附中高三第五次模擬】對一切實數x，不等式x2a|x|10 恒成立，那么實數a的取值范圍是 .

24、【遼寧省遼寧省沈陽四校協作體沈陽四校協作體高三上學期高三上學期 1212 月月考月月考】105302yyxyx，那么2yx)21(的最大值是_；【山東聊城市五校高三上學期期末聯考山東聊城市五校高三上學期期末聯考】假設實數 x，y 滿足2100,30 xyxyxyzx 則的最小值是 。【山東聊城市五校高三上學期期末聯考山東聊城市五校高三上學期期末聯考】函數)3(logxya ) 10(aa且的圖象恒過定點 a，假設點 a 在02 nymx 上，其中nm，mn210則的最小值為 【】函數1)且a0,3(aaf(x)1x的圖象過一個點 p，且點 p 在直線0)且n00(m1nymx上，那么nm41的

25、最小值是 a.12 b.13 c【山西省太原五中高三 9 月月考理】函數)0(228xxxy的最大值是a6b8c10d18【山西省太原五中高三 9 月月考理】不等式32x的解集是( )a)32,( b)32,(), 0( c)0 ,32(), 0( d)0 ,32(【湖北省黃岡市黃州區一中高三 10 月綜合理】某運輸公司有 12 名駕駛員和 19 名工人，有8 輛載重量為 10 噸的甲型卡車和 7 輛載重量為 6 噸的乙型卡車某天需運往a地至少 72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次派用的每輛甲型卡車需配 2 名工人，運送一次可得利潤 450 元；派用的每輛乙型卡車需配 1 名工人，運送

26、一次可得利潤 350 元，該公司合理方案當天派用兩類卡車的車輛數，可得最大利潤為a4650 元b4700 元c4900 元d5000 元【湖北省黃岡市黃州區一中高三 10 月綜合理】假設正數cb，a滿足14 cba,那么cba2的最大值為 【甘肅省天水一中高三第四階段考甘肅省天水一中高三第四階段考】設rx,如果)73lg(xxa恒成立，那么( )a.1a d b. 1a c. 10 a d. 1a【安徽省六校教育研究會高三聯考安徽省六校教育研究會高三聯考】實數yx,滿足220|xyyx，目標函數yaxz的最小值和最大值分別為2和2，那么a的值為【北京市西城區北京市西城區 度第一學期期末度第一學

27、期期末】點( , )p x y的坐標滿足條件1,2,220,xyxy 那么22xy的取值范圍是 【高三高三 12 月月考月月考】假設不等式 2()xxya xy 對任意的實數 0,0 xy 恒成立，那么實數 a 的最小值為 【北京市朝陽區高三上學期期末考試北京市朝陽區高三上學期期末考試】在平面直角坐標系中,不等式組0,40,xyxyxa所表示的平面區域的面積是 9,那么實數a的值為 . 【北京市東城區北京市東城區 度高三數第一學期期末度高三數第一學期期末)】)】不等式xy222yax ，假設對任意2, 1x且3,2y，該不等式恒成立，那么實數a的取值范圍是 【安徽省皖南八校高三第二次聯考理】假

28、設變量, x y滿足約束條件223yxyxx ，那么目標函數2zxy的最大值為a、9 b、0 c、9 d、15【】假設xy、滿足約束條件11yxxyy ，那么目標函數2zx y+的最大值是 a. 3 b. 32 c. 2 d.3【】2( )2 (1)1f xx xx，那么( )f x的最小值為 .21(0)( )1(0)xxf xx，那么滿足2(4)(4 )fxfx的x的取值范圍是 a3，1和 b-4，6在直線320 xya的兩側，那么 a 的取值范圍是 。12(0,1)xyaaa的圖像恒過定點 a，假設點 a 在直線10,(0,0)mxnymn 上，那么21mn的最小值是 。【】假設00 x

29、yxyya，yxz2的最大值是 3，那么a的值是 a1 b1 c0 d2【】 此題此題 1212 分分解關于 x 的不等式0222axax。【湖北省黃岡市黃州區一中高三 10 月綜合理】(本小題總分值 12 分)函數 f(x)x|xa|2.(1)當 a1 時，解不等式 f(x)|x2|；(2)當x(0,1時，f(x)x21 恒成立，求實數a的12取值范圍【】 本小題 13 分某飲料生產企業為了占有更多的市場份額，擬在度進行一系列促銷活動，經過市場調查和測算，飲料的年銷售量 x 萬件與年促銷費 t 萬元間滿足113ttx。生產飲料的設備折舊，維修等固定費用為 3 萬元，每生產 1 萬件飲料需再投

30、入 32 萬元的生產費用，假設將每件飲料的售價定為：其生產本錢的 150%與平均每件促銷費的一半之和，那么該年生產的飲料正好能銷售完。 1將的利潤 y萬元表示為促銷費 t萬元的函數；2該企業的促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大？注：利潤=銷售收入生產本錢促銷費，生產本錢=固定費用+生產費用1 湖南嘉禾一中實數x，y滿足約束條件021yxyx那么yxz 2的取值范圍是 a1，2b0，2c1，3d0，10a ，不等式|axbc的解集是 | 21xx ，那么: :a b c等于a1:2:3 b2:1:3 c3:1:2 d3:2:13 廣東省湛江一中高三 10 月月考理不等式0232xx的解集是a

31、21x xx 或 b12x xx或c12xx d21xx 0ab，那么 a22()a cb c cr b1baclg()0abd11( )( )22ab5.湖北省黃岡市浠水縣市級示范高中高三 12 月月考不等式2601xxx的解集為( )a.2,3x xx或 b.213x xx，或c.213xxx ，或 d.2113xxx ，或6河北省唐山一中高三文實數x、y滿足3022yyxyx，那么z2xy的取值范圍是 a. -5,7 b. 5,7 c. 4,7 d. -5,47湖北省南漳縣一中高三第四次月考文0ablog 3b c (lga)2(lgb)2 d(1e)a(1e)b8 (江蘇省數學理)假設

32、關于x的不等式mxx 42對任意 1 , 0 x恒成立，那么實數m的取值范圍是a03mm或 b 03m c 3m d3ma6 b 12：xy=x(1y).假設不等式(xa)(xa)1 對任意實數x成立，那么a11a b02ac2321ad2123a12河北省唐山一中高三理 0, 0ba，假設不等式bamba212恒成立，那么m的最大值等于a.10 b.9 c1100,xzxyztyt 則的最小值是 a2b12c15d1104、浙江省桐鄉一中高三文變量 x，y，滿足240280 xyxxy，那么22yx 的取值范圍為答案 13，405、理設 fx是定義在-1,1上的偶函數在0,1上增，假設 fa

33、-2-f4-a20，y0,x+2y+2xy=8，那么 x+2y 的最小值是 a.3 b.4 c.29 d.1124. 設不等式組110330530 xyxyxy9表示的平面區域為 d，假設指數函數 y=xa的圖象上存在區域 d 上的點，那么 a 的取值范圍是 a.(1,3 b.2,3 c.(1,2 d. 3, 5. 設0abc，那么221121025()aaccaba ab的最8. 設不等式組x1x-2y+30yx所表示的平面區域是1,平面區域是2與1關于直線3490 xy對稱,對于1中的任意一點 a 與2中的任意一點 b, |ab的最小值等于( )a.285 b.4 c.125 d.29.

34、“ln1x 是“1x 的( )a.充分不必要條件 b.必要不充分條件c.充要條件 d.既不充分也不必要條件10.函數xxfx2log31)(，正實數, ,a b c是公差為正數的等差數列，且滿足( ) ( ) ( )0f a f b f c 假設實數d是方程( )0f x 的一個解，那么以下四個判斷：da；db；dc；dc中有可能成立的個數為 a.1 b.2 c.3 d.411. , ,a b c為互不相等的正數，222acbc，那么以下關系中可能成立的是 aabc bbac cacb dbca12.直線012yax與直線03) 1(2byxa互相垂直，a、0brab且，那么|ab|的最小值是 a.4b.3c.2d.1二、填空題共 4 個小題，每題 6 分，共 24 分13. 不等式2211xx 的解集是 .14.設x，y滿足約束條件24,1,20,xyxyx那么目標函數yxz 3的最大值為 .三、解答題共 6 個小題，第一題 10 分，其余各題 12 分。共 66 分17.某營養師要為某個兒童預定午餐和晚餐.一個的午餐含 12 個的碳水化合物，6 個蛋白質和 6 個的維生素 c；一個的晚餐含 8 個的碳水化合物，6 個的蛋白質和 10 個的維生素 c.另外，該兒童這兩餐需要的營養中至少含 64 個的碳水化合物，42 個的蛋白質和 54 個的維生