1、4大學物理實驗91.4隨機誤差的統計分布1.4.1 隨機誤差的正態分布1 .正態分布規律在相同的測量條件下，對某一被測量進行多次重復測量，假設系統誤差已被減弱到可以被忽略的程度，由于隨機誤差的存在，測量結果為，X2,一般存在著一定的差異。如果 該被測量的真值為a,則根據誤差的定義，各次測量的誤差為、i =Xi a i =1,2,3,“| n大量的實驗事實和統計理論都證明，在絕大多數物理測量中， 當重復測量次數足夠多時,隨機誤差占服從或接近正態分布（或稱高斯分布）規律。正態分布的特征可以用正態分布曲線形象地表示出來，如圖1-2所示，橫坐標為誤差 百，縱坐標 為隨機誤差的概率密度分布函數 f （6

2、）。當測量次數nioo 時，此曲線完全對稱。2 .正態分布的性質（1）單峰性。誤差為零處的概率密度最大，即絕對值小 的誤差出現的可能性（概率）大，絕對值大的誤差出現的可 能性小。（2）對稱性（抵償性）。大小相等的正誤差和負誤差出現 的機會均等，對稱分布于真值的兩側， 當測量次數非常多時, 正誤差和負誤差相互抵消，于是，誤差的代數和趨向于零。（3）有界性。在一定測量條件下，誤差的絕對值不會超過一定限度，即非常大的正誤差或負誤差出現的可能性幾乎為零。根據誤差理論可以證明函數f （6 ）的數學表達式為(1-3)f、. = 1 e 左測量值的隨機誤差出現在（6,6 +d6 ）區間內的可能性為 f仁 即

3、圖1-2中陰影線所包含的面積元。式（1-3）中的仃是一個與實驗條件有關的常數，稱之為標準誤差。1 .4.2標準誤差及其計算2 .標準誤差的物理意義按照概率理論，誤差 6出現的區間,*8 ）的事件是必然事件，所以即曲線與橫軸所包圍面積恒等于1。當6=0時，由式（1-3）得(1-4)1f 0 。2/第1章測量誤差與數據處理的基礎知識5由式（1-4）可見，若測量的標準誤差仃很小，則必有f（0）很大。由于曲線與橫軸間圍成 的面積恒等于1,所以如果曲線中間凸起較大，兩側下降較快，相應的測量必然是絕對值小的68.3%。這就是說，如果測量次數的隨機誤差出現較多，即測得值的離散性小，重復測量所得的結果相互接近

4、，測量的精密度高；相反，如果 二- 很大，則f（0）就很小，誤差分布的范圍就較寬，說明測 得值的離散性大，測量的精密度低。這兩種情況的正態 分布曲線如圖1-3所示。°反映的是一組測量數據的離 散程度，常稱它為測量列的標準誤差。可以證明，誤差在區間（TJ,Q）內出現的概率為P（網f 傳）d3 =0.682689 568.3% （1-5）即由YJ到。之間正態分布曲線下的面積占總面積 很大，則在所測得的數據中，將有占總數 68.3%的數據的誤差落在區間（二!,。）之內；即在所測得的數據中，任一個數據Xi的誤差6落在區間（-£!,仃）之內的1率為68.3%o區間（f,。）稱為置信區

5、間，測量誤差在置信區間出現的概率 P為置信概率。也可證明，P （悶<3。）=0.9973嗎9.7%。這表明，在1000次測量中，隨機誤差超過±3。范 圍的測得值大約只出現3次左右。在一般的十幾次測量中，幾乎不可能出現。依據這點，可對多 次重復測量中，由于過失引起的異常數據加以剔除。這被稱為剔除異常數據的3日準則。它只能用于測量次數n>10的重復測量中，對于測量次數較少的情況，需要采用另外的判別準則。同時，由概率積分表可得如下一些典型數據：P 貨 二196；7=0.9500P*| 二2二=0.9545P："2.58c- =0.9901P；*| ；：4；:.一 =0

6、.9999對不同的要求，置信概率可取不同的值，常見的取值有0.68, 0.90, 0.95, 0.99等。在P=0.95時，不必注明P值。多數的工業和商業用途上所用的約定概率為0.95。在本教材中,不確定度用的置彳t概率一般為0.95。3 .標準誤差的數學表達式£ （2 仃=叫,3 n（1-6）由于實際測量次數是有限的，且真值不可能得到，所以標準誤差也無法計算。因此，在 實際應用中，我們用算術平均值來代替真值，用標準偏差來代替標準誤差。4 .標準偏差的計算（1）算術平均值根據隨機誤差的正態分布規律，測得值偏大或偏小的機會相等，即絕對值相等的正負誤差出現的概率是相等的。因此，在排除掉系

7、統誤差后，各次測得值的算術平均值6大學物理實驗9一XiX2一 -XnX =n“ Xii 1n(1-7)必然最為接近被測量的真值,而且當測量次數趨于無限多時 （nT 8）,平均值無限接近真值,所以算術平均值是真值的最佳估計值。（2）算術平均值的標準誤差我們通過多次重復測量獲得了一組數據，并把求得的算術平均值作為測量結果。如果我 們在完全相同的條件下再重復測量該被測量時，由于隨機誤差的影響，不一定能得到完全相 同的數，這表明算術平均值本身具有離散性。為了評定算術平均值的離散性，我們引入算術 平均值的標準誤差 ax ,可以證明仃7=養（1-8）式中，n為重復測量次數。由式（1-8）可見，ax是測量次

8、數n的函數，測量次數越多， 算術平均值的標準誤差越小，所以多次測量提高了測量的精度。但也不是測量次數越多越好。 因為n增大只對隨機誤差的減小有作用，對系統誤差則無影響，而測量誤差是隨機誤差與系統誤差的綜合。所以，增加測量次數對減小誤差的價值是有限的。其次，仃X與測量次數n的平方根成反比，仃一定時，當n>10以后，5隨測量次數的增加而減小得很緩慢。另外，測 量次數過多，觀測者將疲勞，測量條件也可能出現不穩定，因而有可能出現增加隨機誤差的 趨勢。實際上，只有改進實驗方法和儀器，才能從根本上改善測量的結果。（3）標準偏差前面對誤差的討論只有理論上的價值，下面我們討論誤差的實際估算方法。由于算術平均值最接近真值，因此可以用算術平均值參與對標準誤差的估算。我們常用 如下的貝塞爾公式去估算標準誤差：H / _'2、2（Xi X）- ViS =產=V（1-9）1 n -11 n -1式中，測得值為與平均值X之差V （即v =X-X）稱為測得值Xi的殘余誤差，簡稱殘差。 貝塞爾公式是用殘差去求標準誤差。的估計值S,稱此估計值為測量列的標準偏差。可以證明，當測量次數n足夠大時，可以用式（1-9）中S的值代替按式（1-6）定義的。值。 算術平均值的標準誤差 %的估計值為算術平均值的標準偏差sX ,若測量列的標準偏差為S,則s& =7（1-10