1、橢圓和雙曲線的類(lèi)似的基本題型2 21（橢圓）已知橢圓 篤+聳= 1（a nb a 0）， a b的弦，貝y ：abf2的周長(zhǎng)為多少？解：如圖所示：c 必BF2 = |ab| + |af2| + |bf2=|af|bf|af2|bf2>=2a 2a = 4aF1, F2為焦點(diǎn)，JYAB是過(guò)F1（雙曲線）F1的弦，若E0 -解：C bf2kX2 2已知雙曲線 X2 一 y2 二 1(a - 0,b 0), a b|AB=m, 則 ABF2的周長(zhǎng)為多少？=ab| +|af2|+|bf2=af1+|bf+|af2| +|bf2= d + (m_d)+|AF2| +| BF2=d (m-d) 9a

2、 (m-d)l (2a d)Fi, F2為焦點(diǎn)，AB是過(guò)=4a 2m注：以上兩題是比較類(lèi)似的，都用到了第一定義，而且這個(gè)結(jié)果可以在選擇和填空中直接應(yīng)用。2 22、（橢圓）求過(guò)點(diǎn) A（3,2）且與橢圓 + = 1有相同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo) 94準(zhǔn)方程2 2解法一：由題可設(shè)所求橢圓方程為x . y =i（. ./），則有9 + k 4 + 幾2 2求過(guò)點(diǎn)A（3.2,2）且與雙曲線X - y =1有相同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程164解法一：由題可設(shè)欲求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2X16-=1（ 一4 ： ： 16），則有:=1 =6，所以所求方程為:2 2151018_416_4=12 2=4，所以欲求雙曲線的標(biāo)

3、準(zhǔn)方程為：=112 82 22 2解法二：由題知橢圓x +y 1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(+J5,o),而欲求橢圓和它有相解法二：由題知雙曲線x - y -1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(+2j5,0),而欲求雙曲線與941642222同的焦點(diǎn)，故可設(shè)欲求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x+L=1(m>0),則有：它有相同的焦占故可設(shè)欲求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：=1(m > 0)，5 + mm20 - mm94229 +4 1= m10，所以所求方程為：x +y=1184則有：4-1=m-8，所以欲求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2 2x -y =15+m m151020- m m12 8注：以上兩題屬于共焦點(diǎn)的冋類(lèi)曲線問(wèn)題，雖然用了兩

4、種解法，但是原理都是一樣的，即利用有相冋的焦點(diǎn)坐標(biāo)。但是值得體會(huì)的是橢圓和雙曲線對(duì)這類(lèi)題目的解法也有很多相似之處。3(橢圓)求過(guò)點(diǎn)AQg)*8)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(雙曲線)求過(guò)點(diǎn) A(2j7,3), B(7,6j2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)欲求橢圓的方程為Ax2 +By2 =1(A =0, B >0),則依題意有解：設(shè)欲求雙曲線的方程為Ax2 + By2 = 1(AB c 0)，則依題意有八125A+27B1A =.128 A + 9 B =1A_rr100 64 1 可解得： B 1， 49A + 72B=1可解得： B =-2536752 2從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+ =12 2從而

5、所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)力程為：=1100362575注：以上兩題雖然是求兩個(gè)不冋的標(biāo)準(zhǔn)方程，但是我們可以發(fā)現(xiàn)，在用待定系數(shù)法對(duì)方程的假設(shè)上，兩個(gè)是一樣的，只是條件有所不冋，并且這兩個(gè)方程這樣寫(xiě)出并沒(méi)有規(guī)定所求曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，如果用常規(guī)解法，則要討論焦點(diǎn)在X軸上和焦點(diǎn)在 Y軸上兩種情形，而用這種設(shè)法就可以避免這類(lèi)討論。這是解、，、/ 、 11 r r->r n*t .、八八 _、 ,»- 人 r,、t八 r八亠 t . n rr r /、 r-n-t r r *、，/、， 、 . -rtt r./Lt 冷冷-、t.、 、, r1* I_r 厶 r r這類(lèi)有曲線上兩點(diǎn)確定，不能判斷

6、焦點(diǎn)所在的位置的標(biāo)準(zhǔn)力程的很間潔的力法。而且針對(duì)橢圓和雙曲線，兩者乂有很多相似的地力，值得回味。2 2xy4、(橢圓)已知橢圓2 + 2=1(a=b>0) , F1, F2為焦點(diǎn)，P為橢圓上2 2(雙曲線)已知雙曲線仔篤=1(a A0,b = 0)，F(xiàn)1, F2為焦點(diǎn)，P為雙abab-一占八、：曲線上一點(diǎn)，試證：S岳Pf2 = b2 tan NFJF2證明：宥f1f2= |FiP+尸2卩2|FiP 卜 |F2P|cosFiPF2=(RP|+F2P0 2|FiP卜|F2P|(1+cosNFiPF2 )二(2cj =(2a j - |叨卜尸2卩卜(1 +COSNRPF2 )F2試證:證明:F

7、1F22 24a - 4c2b2二 f1p f2p|=r2(1+COSNRPF2 ) 1+COS/RPF21而 S.F1PF2 =P|*si n F1PF2 FiPF2b2sin F1PF22F1PF2b tan 1 cos F| PF22b2_ 12 1 cos_ F| PF2 sin F1PF22f1pf2S庫(kù)pf2 = b cot2=F1P2 十丁2”2 2FiP |F2P| coAFiPF22呻1 P| F2PI)+ 2 Fi P|.| F2 P|(1 - cod Fi PF2)2c = 2a RP F2P 1- cos F1PF2十卄卄定箱PF2) 1 PF22b2YOXF211而

8、s舉PF2 =卩柑|F2P|sinZF1PF2= sinZF1PF222 1 co F1 PF 22b2b2 sin F1PF22F1PF2b cot 1 co F1PF22注：以上兩題的結(jié)論在今后的選擇和填空中可以直接應(yīng)用，而且在歷年的高考中都有直接應(yīng)用的題目。2 25、求橢圓x+ = 1被點(diǎn)Q(2,1)平分的弦AB所在的直線方程942 2求雙曲線x 一=：1被點(diǎn)Q(3,1)平分的弦AB所在的直線方程442 2解：設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2)，則有：X+=1 ；942 2xy解：設(shè) A(xyj, B(X2, y2)，則有： 一=1；4422X2V2 y =1 2 2 2 2得

9、.XiX2亠 yi-y2_0一(XiX2)(X1+X2)_ (yi y2)(yi+y?)9494Xi F _2 2而l 丫1 *2 “代入式，得：24(XiX2)2"y2)yi y?8=n =94Xj x29而恰好是弦AB所在直線得斜率值，所以直線AB得方程為： y _i =_8(x _2)9即：8x+9y25=0 ，而由點(diǎn)Q(2,i)在橢圓內(nèi)部可知即為所求。2 2 2 2得 :Xi-X2yi y2_0一(XiX2)(xi+X2)(yi y2)(yi+ y2)4444Xi + x2 _3而廣力才代入式，得：26(為X2)2(力y2)、344xi - x2而恰好是弦AB所在直線得斜率值

10、，所以直線AB得方程為：y-i = 3(x 3)即：3xy-8 = 0再將與雙曲線方程聯(lián)立消去y得：2 2x (3x 8) =42 2=-8x +48x 64 =4n 2x T2x + i7=0,可 知 判 另U 式人=i444汽 2漢 17 = 8a0所以，所求直線3x - y - 8 = 0與雙曲線有兩個(gè)不冋的交點(diǎn)，滿(mǎn)足題意，即式為所求。注：以上兩題也可以用常規(guī)解法來(lái)做，橢圓和雙曲線的解法也類(lèi)似，但是計(jì)算過(guò)程相對(duì)麻煩許多，而且道理也簡(jiǎn)單易懂，在此略去不寫(xiě)了。這種解法由于是將 點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)而不求，代入方程作差，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式巧妙的求出直線斜率，從而簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題。這種方法稱(chēng)為“點(diǎn)差法”。但是

11、這種方法對(duì)于橢圓只需要驗(yàn)證題目中給出的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部就可以保證所求直線為所求。而對(duì)于雙曲線，則要在求出直線方程后與雙曲線方程聯(lián)立，用判別式來(lái)判斷所求直線是否與雙曲 線有兩個(gè)不冋的交點(diǎn)。如果有則是所求直線，若沒(méi)有，則所求方程不滿(mǎn)足。這些驗(yàn)證是必要的，尤其是對(duì)雙曲線，因?yàn)橛袝r(shí)用這種方法得到的直線和雙曲線根 本就沒(méi)有交點(diǎn)。這里就不舉例了。X2 y26、（橢圓）已知橢圓1內(nèi)有一點(diǎn)P（1,-1），F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，橢圓上43一點(diǎn)M，使得MP|+2|MF21的值最小，求 M的坐標(biāo)1解：由題可知橢圓的離心率為，如右圖1：2NP F2O所以:2（雙曲線）已知雙曲線 X2 - y =1，有一點(diǎn)Q（3,2），F(xiàn)2為右

12、焦點(diǎn)，雙曲線有帯1 一MN "MF?mp|+2|mf2| = |mp| + |mn|,故最小值是當(dāng)M,P,N三點(diǎn)共線（見(jiàn)圖2），并且當(dāng)點(diǎn) M在P, N之C間時(shí)取得。此時(shí)點(diǎn) M的縱坐標(biāo)和點(diǎn) P的縱坐標(biāo)相同為-1，將y二-1代入橢圓方程可得:- 2 6，舍去負(fù)值,3得點(diǎn)M坐標(biāo)為（2 °,-1）即為所求。3注：這兩道題采取都是用了N圖iN圖21.MP + MF2的值最小，求M的坐標(biāo)2由題可知雙曲線的離心率為 2，如右圖1:上一點(diǎn)M，使得有:MF2MN一 . 1=2= MNMF21所以：|MP|+j|MF2|=|MP| +|MN|，故最小值F是當(dāng)M ,PXN三點(diǎn)共（見(jiàn)圖2），并且當(dāng)點(diǎn)M在P,N之 間時(shí)取得。此時(shí)點(diǎn) M的縱坐標(biāo)