1、橢圓典型題型歸納題型一 定義及其應用例1.已知一個動圓與圓 C:(x 4)2 y2 100相內切，且過點A(4,0)，求這個動圓圓心 M的軌跡方程；例2.方程3/(x 1)2 (y 1)2 x J2y 2所表示的曲線是 練習：1. 方程(x3)2y2(x3)2y26 對應的圖形是()A.直線B.線段C.橢圓D.圓2. 方程：y2y2 10對應的圖形是()A.直線B.線段C.橢圓D.圓3. 方程、.x2(y3)2 ；x2(y3)2 10成立的充要條件是()A.2x252y16B.2 2x y259C.2 2x y1625D.2y254.如果方程、.、x2 (y m)2、.、x2 (y m)2m

2、1表示橢圓，則m的取值范圍是 5.過橢圓9x2 4y2 1的一個焦點F1的直線與橢圓相交于 A, B兩點，則A, B兩點與橢圓的另一個焦點F2構成的 ABF2的周長等于 6.設圓(x 1)2 y2 25的圓心為C，A(1,0)是圓內一定點，Q為圓周上任意一點，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點 M，則點M的軌跡方程為 ；題型二.橢圓的方程(一) 由方程研究曲線、x2 y2例1.方程1的曲線是至y定點 禾廿的距離之和等于 的1625點的軌跡；(二) 分情況求橢圓的方程例2.已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，求橢圓的方程；(三) 用待定系數法求方程例3.已知橢

3、圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點P(J6,1)、F2( J3, J2),求橢圓的方程； 例4.求經過點(2, 3)且與橢圓9x2 4y2 36有共同焦點的橢圓方程;2 2 2 2注：一般地，與橢圓 篤 爲 1共焦點的橢圓可設其方程為¥2y1(kb2)；a2 b2a2 k b2 k(四) 定義法求軌跡方程；例5.在 ABC中，A,B,C所對的三邊分別為a,b,c，且B( 1,0),C(1,0)，求滿足b a c且b, a, c成等差數列時頂點 A的軌跡；(五) 相關點法求軌跡方程；2x例6.已知x軸上一定點A(1,0)，Q為橢圓 寸1上任一點，求 AQ的中點M的軌跡4方程；

4、(六) 直接法求軌跡方程；例7.設動直線l垂直于x軸，且與橢圓x2 2y2 4交于A, B兩點，點P是直線l上滿足PAPB 1的點，求點P的軌跡方程；(七) 列方程組求方程例8.中心在原點，一焦點為 F(0, .50)的橢圓被直線 y 3x 2截得的弦的中點的橫坐標1為丄，求此橢圓的方程；2題型三.焦點三角形問題x2 v25例1.已知橢圓1上一點P的縱坐標為一，橢圓的上下兩個焦點分別為F2、F1，16 253求 PF)、PF2 及 cos F1PF2 ；題型四.橢圓的幾何性質2X例1.已知P是橢圓Pab21上的點，的縱坐標為 -,Fi、F2分別為橢圓的兩個焦點,3橢圓的半焦距為c，貝V PF1

5、 PF2的最大值與最小值之差為 2 2X y例2.橢圓二 21 (a b 0)的四個頂點為A, B,C, D，若四邊形ABCD的內切圓恰a b好過焦點，則橢圓的離心率為；例3.若橢圓2y_411的離心率為一，則k22 2例4.若P為橢圓 篤每1(a b 0)上一點，F1、F2為其兩個焦點，且PF1F2a b150 ,PF2F175°，則橢圓的離心率為 題型五.求范圍例1.方程x22y(m 1)21表示準線平行于 x軸的橢圓，求實數 m的取值范圍;題型六.橢圓的第二定義的應用例1.方程2j(x 1)2 (y 1)2x y 2所表示的曲線是 1 例2.求經過點M(1,2)，以y軸為準線，

6、離心率為 一的橢圓的左頂點的軌跡方程；2X2y2.5例3.橢圓1上有一點P，它到左準線的距離等于，那么P到右焦點的距離為259222例4已知橢圓 11，能否在此橢圓位于y軸左側的部分上找到一點M，使它到43左準線的距離為它到兩焦點FF2距離的等比中項，若能找到，求出該點的坐標，若不能找到，請說明理由。2 2例5已知橢圓 乞1內有一點A(1,1) , Fi、F2分別是橢圓的左、右焦點，點 P是953橢圓上一點求 PA 2 PF2的最小值及對應的點 P的坐標.題型七.求離心率2 2例1.橢圓篤y21(ab0)的左焦點為F1 (c,0)，A( a,0)，B(0,b)是兩個頂點,ab如果F1到直線AB

7、的距離為b&，則橢圓的離心率e例2.2若P為橢圓篤a2 y b21(ab 0)上一點，F1、F2為其兩個焦點，且PF1F2PF2R 2 ，則橢圓的離心率為例3. F,、F2為橢圓的兩個焦點，過F2的直線交橢圓于P,Q兩點，PF, PQ，且PFi |PQ，則橢圓的離心率為；題型八橢圓參數方程的應用2 2例1.橢圓 也 1上的點P到直線x 2y 7 0的距離最大時，點 P的坐標43例 2.方程 x2 siny2 cos 1( 0)表示焦點在y軸上的橢圓，求 的取值范圍;題型九.直線與橢圓的關系(1 )直線與橢圓的位置關系例1.當m為何值時，直線丨：y x m與橢圓9x216y2144相切、

8、相交、相離?例2.曲線2x2 y2 2a2 ( a 0 )與連結A( 1,1), B(2,3)的線段沒有公共點，求 a的取值范圍。例3.過點P( . 3, 0)作直線I與橢圓3x2 4y212相交于 代B兩點，O為坐標原點，求OAB面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。-了 Py /_-十 A/ BO丿x分析：若直接用點斜式設I的方程為y 0 k(x 3)，則要求I 的斜率一定要存在， 但在這里I的斜率有可能不存在， 因此要討論 斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設直線I的方程為x my 3，這樣就包含了斜率不存在時的情形了，從而簡化了運算。解：設 A(, y1), B(x2, y2)，

9、I : x my 3S AOB|V2 |)y2)1 1 2|OP|1川 2|OP|y2|3(|y把x my 3代入橢圓方程得:3(m2y22.3my 3) 4y212 0,即(3m24) y26、3my 3 0， y1 y2Y1Y233m2 4| y1108m212,(3m24)2 3m243m' 4 144x2484 9m234、3，3m214 3 3m212 2 23m 43m 4(3m1) 34%'3m打1 一3卜4 3233 S T 23，此時亦1,63令直線的傾角為，則tan即OAB面積的最大值為3此時直線傾斜角的正切值為6。2例4.求直線xcos ysin2和橢圓x

10、2 3y26有公共點時， 的取值范圍2x。212，則16x°2 8x°24893-<36 2X0234 143x2 IX1X2 I ,4 143(0(二)弦長問題例1.已知橢圓x2 2y2 12 , A是x軸正方向上的一定點，若過點 A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為 4 13，求點A的坐標。3分析：若直線y kx b與圓錐曲線f (x, y) 0相交于兩點P%,%)、Q(X2,y2),則弦PQ的長度的計算公式為| PQ | .1 k2 |x1 x2 | . 1 ! | % y2 |,V k而|Xj X2 | .(X1 X2)2 4X1X2,因此只要把直線y kx

11、b的方程代入圓錐曲線f(x, y) 0方程，消去y (或x)，結合一元二次方程根與系數的關系即可求出弦長。解：設A(Xq,0) ( X0 0)，則直線l的方程為y x X0，設直線丨與橢圓相交于 P(X1,yJ、y x x0口 22Q(X2，y2)，由 x2 2y2 12，可得 3X 4X0X 2X0 12 0，4x0X1 X2, X1 x232| x1 x2 |(x1 x2)4x1x22-X04，又 X00 , X 2 , A(2,0)；例2.橢圓ax2 by2 1與直線x y 1相交于 代B兩點，C是AB的中點,若| AB| 2 2 , O為坐標原點,OC的斜率為求a,b的值。x2例3.橢

12、圓452y201的焦點分別是F1和F2，過中心0作直線與橢圓交于 A,B兩點，若ABF2的面積是20,求直線方程。(三)弦所在直線方程2 2例1.已知橢圓 -1，過點P(2,0)能否作直線1與橢圓相交所成弦的中點恰好是P ；164例2.已知一直線與橢圓 4x2 9y2 36相交于A, B兩點，弦AB的中點坐標為 M(1,1),求直線AB的方程;，過點C( 1,0)的直線l與橢例3橢圓E中心在原點O，焦點在x軸上，其離心率e圓E相交于A,B兩點，且C分有向線段 AB的比為2.(1)用直線l的斜率k(k 0)表示 OAB的面積;(2)當 OAB的面積最大時，求橢圓 E的方程.2 2解：(1)設橢圓

13、E的方程為篤每 1，由e Ca2 b2a故橢圓方程X2 3y2 3b2 ；設A(x1,y1), B(x2,y2)，由于點C( 1,0)分有向線段AB的比為2.Xi 2X21，即 X 12(X21)y 2科 20y1 2y233y2 3b2消去y整理并化簡得k(x 1)(3k2+1)x2+6k2x+3k2 3b2=o由直線l與橢圓E相交于A(為，yJ,B(X2,y2)兩點4 2 2 2 36k4(3k1)(3k 2b ) 0X1X26k23k21X-|X?3k23b23k2 111333而 S OAB 才y2 1 12y2y2 11 y211 k( X21)|? 1 k 11X21由得：X2 1

14、2，代入得：Soab 衛具你 0).3k213k21因Soab3|k|3k2 13|k| |k|_3_ 122、32當且僅當kSOab取得最大值.此時 x1 x21，又 t 兇 2X21，二 x11, x22;31將X,x2及k2 代入得3b2=5,橢圓方程x2 3y2 5 .232 2例4.已知A(X1, yj, B(1, y°), C(X2, y2)是橢圓-1上的三點，F為橢圓的左焦點,43且AF , BF , CF成等差數列，則 AC的垂直平分線是否過定點？請證明你的結論。（四）關于直線對稱問題X2例1.已知橢圓一41，試確定m的取值范圍，使得橢圓上有兩個不同的點關于直線y 4

15、x m對稱;2 J 2例2.已知中心在原點，焦點在 y軸上，長軸長等于 6，離心率e，試問是否存在直3_ _ 1線I，使I與橢圓交于不同兩點 代B，且線段AB恰被直線x平分？若存在，求出直2線丨傾斜角的取值范圍；若不存在，請說明理由。題型十最值問題2 2例1 若P（ 2,3） , F2為橢圓X y 1的右焦點,2516的最大值和最小值。分析：欲求 MP MF?的最大值和最小值可轉化為距離差再求。由此想到橢圓第一定義MF2 2a MF1 , F1為橢圓的左焦點。點M在橢圓上移動，求|Mp |mf2|i tM1解：MP MF2MP 2a MF1，連接PF1，延長PF1交橢圓于點 M1,延長F1P交

16、橢圓于點M2由三角形三邊關系知PF1 MP MF1 PF1當且僅當M與M1重合時取右等號、 M與M2重合時取左等號。因為 2a 10, PFj 2，所以（MP| MF2 ）max 12, （MP MFzn 8 ；X2 y2結論1：設橢圓二 21的左右焦點分別為 F1,F2,P（x0,y。）為橢圓內一點，M（x,y）為a b橢圓上任意一點，貝V MP MF2的最大值為2a PF1 ,最小值為2a PR ；X2 y2例2. P( 2,6) , F2為橢圓 1的右焦點，點 M在橢圓上移動，求 MP MF2的2516最大值和最小值。分析：點P在橢圓外，PF2交橢圓于M，此點使MP MF2值最小，求最大

17、值方法同例1。解：MP MF2MP 2a MF1，連接PFi并延長交橢圓于點 Mi,則M在M1處時MPMF1取最大值PF1 ；MP MF2最大值是10+寸37，最小值是V41 02 2結論2設橢圓 篤 當 1的左右焦點分別為F1,F2, P(Xo,yo)為橢圓外一點，M(x,y)為a b橢圓上任意一點，貝VMP MF2的最大值為2a PF1，最小值為PF2；2二次函數法2 2例3求定點A(a,0)到橢圓 篤 每 1上的點之間的最短距離。a b分析：在橢圓上任取一點，由兩點間距離公式表示PA，轉化為x,y的函數求最小值。11(x 2 a) 1 a解：設P(x,y)為橢圓上任意一點,PA2 2 2

18、 2 1 2 (x a) y (x a) 1 -x 2由橢圓方程知x的取值范圍是,2, . 2(1)(2)、2-，貝U x 2a 時,2漢則x2PAmin逅時PAmimin1 a2(3)結論3：橢圓2X2a2每 1上的點M (x, y)到定點A(m,0)或B(0,n)距離的最值問題，可以用b2PAmin兩點間距離公式表示IMA丨或丨MB丨，通過動點在橢圓上消去 y或x,轉化為二次函數求最值，注意自變量的取值范圍。3三角函數法2例4 求橢圓篤421上的點M (x, y)到直線l :x 2y4的距離的最值;解：三角換元d -x 2y 42 x'4245則d -2cos2si n42亦1 時

19、 dminy21.令 % 2cos ry sin血sin() 24當 sin(2 x4'.52、105sin(1 時,dmax4 5 2.105結論4:若橢圓2a2爲 1上的點到非坐標軸上的定點的距離求最值時b2，可通過橢圓的參數方程，統一變量轉化為三角函數求最值。4判別式法例4的解決還可以用下面方法把直線平移使其與橢圓相切，有兩種狀態，一種可求最小值，另一種求最大值。解。令直線 m:x 2y c 0將x 2y c代入橢圓方程整理得 8y2 4cy c240,由厶=0解得c 2.2, c 22時直線m:x 2y 2,2 0與橢圓切于點 P ,c 2 2 時直線 m:x 2y 2、2則P到直線丨的距離為最小值，且最小值就是兩平行直線m與丨的距離，所以dmin4.5 2 10 ；;50與橢圓切于點 Q,貝U Q到直線l的距離為最大值，且最大值就疋兩平仃直線m與1的距離，所以 dmax。5結論5:橢圓上的點到定直線l距離的最值問題，可轉化為與I平行的直線m與橢圓相切的問 題,利用判別式求出直線 m方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。2 2例5.已知定點A( 2, . 3)，點F為橢圓L1的右焦點，點M在該橢圓