1、智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan1第第6 6章章 分支限界法分支限界法潘海為潘海為Birds of a feather flock together物以類聚、一丘之貉物以類聚、一丘之貉http:/http:/智能信息處理研究中心（RCIIP）PanPan2 理解分支限界法的剪枝搜索策略理解分支限界法的剪枝搜索策略 掌握分支限界法的算法框架掌握分支限界法的算法框架 隊列式隊列式(FIFO)分支限界法分支限界法 優先隊列式分支限界法優先隊列式分支限界法 通過應用范例學習分支限界法的設計策略通過應用范例學習分支限界法的設計策略 單源最短路徑問題單源最短路徑問題 裝載問題；裝載問題； 0-1背

2、包問題；背包問題； 最大團問題；最大團問題； 旅行售貨員問題旅行售貨員問題 批處理作業調度問題批處理作業調度問題智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan3分支限界法的背景分支限界法的背景理查德理查德.卡普卡普在在IBMIBM期間，深入研究了與實際應用有密切聯系的一系列數學問題，如期間，深入研究了與實際應用有密切聯系的一系列數學問題，如路徑問題路徑問題、背包問題背包問題、覆蓋問題覆蓋問題、匹配問題匹配問題、分區問題分區問題、調度問題調度問題等，取得了許多出色的成等，取得了許多出色的成果。這些問題有一個共同的特點，即如果用圖來表示問題，那么當圖中增加一個果。這些問題有一個共同的特點，即如果用圖來表

3、示問題，那么當圖中增加一個結點時，需要考察的可能的解的數目就急劇增加，形成所謂結點時，需要考察的可能的解的數目就急劇增加，形成所謂“組合爆炸組合爆炸” (combinatorial explosion)(combinatorial explosion)，使計算機的計算工作量大大增加，到一定程度就，使計算機的計算工作量大大增加，到一定程度就根本無法實現。根本無法實現。以路徑問題中最著名的以路徑問題中最著名的旅行商問題為例旅行商問題為例，在卡普以前，最好的結果是，在卡普以前，最好的結果是RandRand公司的公司的丹齊格丹齊格(George Benard Dantzig(George Benard

4、 Dantzig) )、福格森、福格森(R(RFulkerson)Fulkerson)和約翰遜和約翰遜(S(SJohnson)Johnson)用手工和計算機相結合的辦法，求出了包含用手工和計算機相結合的辦法，求出了包含4949個城市個城市的旅行商的最佳路線?？ㄆ盏穆眯猩痰淖罴崖肪€?？ㄆ蘸退耐潞柼睾退耐潞柼?M(MHeld)Held)經過反復研究，終于提出了一種稱為經過反復研究，終于提出了一種稱為“分支限界分支限界法法”(branch(branchandandbound method)bound method)的新方法，用這種新方法實現的算法使旅行的新方法，用這種新方法實現的算法使旅

5、行推銷員能周游的城市數達到推銷員能周游的城市數達到6565個個，從而打破了由，從而打破了由RandRand公司保持的記錄。公司保持的記錄。 1955 1955年年文學學士學位文學學士學位 19561956年年理科碩士學位理科碩士學位 19591959年年應用數學博士學位應用數學博士學位( (哈佛大學哈佛大學) ) Yorktown Heights Yorktown Heights的的IBMIBM沃森研究中心沃森研究中心 1985年獲得年獲得ACM的圖靈獎的圖靈獎智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan4 分支限界法常以分支限界法常以廣度優先廣度優先或以最小耗費（最大效益）優或以最小耗費（最大效

6、益）優先的方式搜索問題的解空間樹。先的方式搜索問題的解空間樹。分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan5 分支限界法常以分支限界法常以廣度優先廣度優先或以最小耗費（最大效益）優或以最小耗費（最大效益）優先的方式搜索問題的解空間樹。先的方式搜索問題的解空間樹。 在分支限界法中，每一個活結點在分支限界法中，每一個活結點只有一次機會只有一次機會成為擴展成為擴展結點?；罱Y點一旦成為擴展結點，就一次性產生其所有兒結點?；罱Y點一旦成為擴展結點，就一次性產生其所有兒子結點。在這些兒子結點中，導致不可行解或導致非最優子結點。在這些兒子結點中，導致不可行解或導致非最優解的

7、兒子結點被舍棄，其余兒子結點被加入活結點表中。解的兒子結點被舍棄，其余兒子結點被加入活結點表中。此后，從活結點表中取下一結點成為當前擴展結點，并重此后，從活結點表中取下一結點成為當前擴展結點，并重復上述結點擴展過程。這個過程一直持續到找到所需的解復上述結點擴展過程。這個過程一直持續到找到所需的解或活結點表為空時為止?；蚧罱Y點表為空時為止。 分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan6 分支限界法常以分支限界法常以廣度優先廣度優先或以最小耗費（最大效益）優或以最小耗費（最大效益）優先的方式搜索問題的解空間樹。先的方式搜索問題的解空間樹。 在分支限界法中，每一

8、個活結點在分支限界法中，每一個活結點只有一次機會只有一次機會成為擴展成為擴展結點?；罱Y點一旦成為擴展結點，就一次性產生其所有兒結點。活結點一旦成為擴展結點，就一次性產生其所有兒子結點。在這些兒子結點中，導致不可行解或導致非最優子結點。在這些兒子結點中，導致不可行解或導致非最優解的兒子結點被舍棄，其余兒子結點被加入活結點表中。解的兒子結點被舍棄，其余兒子結點被加入活結點表中。此后，從活結點表中取下一結點成為當前擴展結點，并重此后，從活結點表中取下一結點成為當前擴展結點，并重復上述結點擴展過程。這個過程一直持續到找到所需的解復上述結點擴展過程。這個過程一直持續到找到所需的解或活結點表為空時為止。或

9、活結點表為空時為止。 分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想分支限界方法找最優解的效率比回朔法高。分支限界方法找最優解的效率比回朔法高。原因在于原因在于它采用了它采用了最小代價估值函數最小代價估值函數指導搜索，在活節點指導搜索，在活節點表中，選擇有最小代價估值的節點作為擴展節點。即總是表中，選擇有最小代價估值的節點作為擴展節點。即總是像最有可能獲得最優解的子樹上擴展。并且采用限界函數像最有可能獲得最優解的子樹上擴展。并且采用限界函數U U殺死活節點表中不可能成為最優解的節點，提高算法的效殺死活節點表中不可能成為最優解的節點，提高算法的效率。率。智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan7 常見

10、的兩種分支限界法常見的兩種分支限界法（1 1）隊列式分支限界法）隊列式分支限界法 按照隊列先進先出（按照隊列先進先出（FIFOFIFO）或者后進先出（）或者后進先出（LIFOLIFO）原則選取下一個結點為擴展結點。原則選取下一個結點為擴展結點。 （2 2）優先隊列式分支限界法）優先隊列式分支限界法 隊列式分支限界法隊列式分支限界法對結點的選擇規則相當死板，具對結點的選擇規則相當死板，具有一定的有一定的 “ “盲目盲目”性。這種選擇規則不利于快速檢索到性。這種選擇規則不利于快速檢索到一個能夠到達答案的結點。一個能夠到達答案的結點。 對活結點使用一個對活結點使用一個“有智能有智能”的的排序函數排序

11、函數C()C()來選取下來選取下一個結點，往往可以加快獲取答案的速度。一個結點，往往可以加快獲取答案的速度。 按照優先隊列中規定的優先級選取優先級最高的結點按照優先隊列中規定的優先級選取優先級最高的結點成為當前擴展結點。常用方法是成為當前擴展結點。常用方法是LC(LeastLC(Least Cost) Cost)方法方法。分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan8 實例8-拼塊游戲問題輸入輸入: 具有具有8 個編號小方塊的魔方個編號小方塊的魔方輸出輸出: 移動系列移動系列, 經過這些移動經過這些移動, 魔方達到目標狀態魔方達到目標狀態分支限界法的基本思想

12、分支限界法的基本思想28316475初始狀態12384765目標狀態智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan9 FIFO隊列式分支限界法分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想. 2 31 8 476512384765目標狀態2 . 31 8 47651 2 3. 8 47652 3 .1 8 47652 8 31 . 47651 2 37 8 4.651 2 38 . 4765智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan10 優先隊列式分支限界法優先隊列式分支限界法 “有智能有智能”的排序函數的排序函數C()C()最小代價估計函數：最小代價估計函數：C C(X)(X)從初始狀態到從初始狀態到X

13、X所移動的次數還未到位的數字方塊數。所移動的次數還未到位的數字方塊數。從初始狀態到從初始狀態到X X所移動的次數是實際耗費的代價，還未到位的數字方所移動的次數是實際耗費的代價，還未到位的數字方塊數表示至少還要移動的次數。塊數表示至少還要移動的次數。分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想28316475初始狀態12384765目標狀態C(X)=C(1)=0+4=4C(X)=s+0=s智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan11283164751238476514263446556576869710511712513C(X)= C(13) =5+0=52831647528314765283164

14、752831476523184765283147658321476528371465231847652318476512384765L=(3,2,4)L=(5,6,2,4,7)L=(6,2,4,7,8,9)L=(10,2,4,7,8,9,11)L=(12,2,4,7,8,9,11)L=(2,4,7,8,9,11)優先隊列優先隊列L=(1)1 2 3847 6 5智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan12 分支限界法與回溯法比較（1 1）求解目標）求解目標回溯法的求解目標是找出解空間樹中滿足約束條件的所回溯法的求解目標是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標則是找出滿足約束

15、條件有解，而分支限界法的求解目標則是找出滿足約束條件的一個解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義的一個解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優解。下的最優解。 （2 2）搜索方式的不同）搜索方式的不同回溯法以深度優先的方式搜索解空間樹，而分支限界法回溯法以深度優先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優先或以最小耗費優先的方式搜索解空間樹。則以廣度優先或以最小耗費優先的方式搜索解空間樹。 分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan13 問題描述問題描述下面以一個例子來說明單源最短路徑問題：在下圖所給下面以一個例子來說明單源最短路徑問題：在下

16、圖所給的有向圖的有向圖G G中，每一邊都有一個非負邊權。要求圖中，每一邊都有一個非負邊權。要求圖G G的從的從源頂點源頂點s s到目標頂點到目標頂點t t之間的最短路徑。之間的最短路徑。 單源最短路徑問題單源最短路徑問題智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan14 單源最短路徑問題單源最短路徑問題 問題描述問題描述下圖是用優先隊列式分支限界法解有向圖下圖是用優先隊列式分支限界法解有向圖G G的單源最短路徑問題產生的解的單源最短路徑問題產生的解空間樹。其中，每一個結點旁邊的數字表示該結點所對應的當前路長?？臻g樹。其中，每一個結點旁邊的數字表示該結點所對應的當前路長。AB智能信息處理研究中心（RC

17、IIP）Pan15 單源最短路徑問題單源最短路徑問題 問題描述下圖是用優先隊列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產生的解空間樹。其中，每一個結點旁邊的數字表示該結點所對應的當前路長。AB智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan16 單源最短路徑問題單源最短路徑問題 結點結點A控制結點控制結點B如果解空間樹中以結點如果解空間樹中以結點A A為根的子樹中所含的解優于以結點為根的子樹中所含的解優于以結點B B為根的子樹為根的子樹中所含的解，則稱中所含的解，則稱結點結點A A控制結點控制結點B B，以結點，以結點B B為根的子樹可以剪去。為根的子樹可以剪去。AB智能信息處理研究中心（RCIIP）

18、Pan17 算法思想算法思想 解此問題的優先隊列式分支限界法用一解此問題的優先隊列式分支限界法用一極小堆極小堆來存儲來存儲活結點表。其優先級是結點所對應的當前路長?；罱Y點表。其優先級是結點所對應的當前路長。 算法從圖算法從圖G G的源頂點的源頂點s s和空優先隊列開始。結點和空優先隊列開始。結點s s被擴被擴展后，它的兒子結點被依次插入堆中。此后，算法從展后，它的兒子結點被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當前路長的結點作為當前擴展結點，堆中取出具有最小當前路長的結點作為當前擴展結點，并依次檢查與當前擴展結點相鄰的所有頂點。如果從并依次檢查與當前擴展結點相鄰的所有頂點。如果從當前擴展結

19、點當前擴展結點i i到頂點到頂點j j有邊可達，且從源出發，途經有邊可達，且從源出發，途經頂點頂點i i再到頂點再到頂點j j的所相應的路徑的長度小于當前最優的所相應的路徑的長度小于當前最優路徑長度，則將該頂點作為活結點插入到活結點優先路徑長度，則將該頂點作為活結點插入到活結點優先隊列中。這個結點的擴展過程一直繼續到活結點優先隊列中。這個結點的擴展過程一直繼續到活結點優先隊列為空時為止。隊列為空時為止。 單源最短路徑問題單源最短路徑問題智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan18 剪枝策略剪枝策略在算法擴展結點的過程中，一旦發現一個結點的在算法擴展結點的過程中，一旦發現一個結點的下界不小于當前

20、找到的最短路長，則算法剪去以下界不小于當前找到的最短路長，則算法剪去以該結點為根的子樹。該結點為根的子樹。在算法中，利用結點間的控制關系進行剪枝。從在算法中，利用結點間的控制關系進行剪枝。從源頂點源頂點s s出發，出發，2 2條不同路徑到達圖條不同路徑到達圖G G的同一頂點。的同一頂點。由于兩條路徑的路長不同，因此可以將路長長的由于兩條路徑的路長不同，因此可以將路長長的路徑所對應的樹中的結點為根的子樹剪去。路徑所對應的樹中的結點為根的子樹剪去。 單源最短路徑問題單源最短路徑問題智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan19 0-1背包問題背包問題 給定給定n n種物品和一背包。物品種物品和一背包

21、。物品i i的重量是的重量是w wi i，其價值為，其價值為v vi i，背包的容量為背包的容量為C C。問應如何選擇裝入背包的物品，使得裝。問應如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中物品的總價值最大入背包中物品的總價值最大? ? 輸入：輸入：C0, wi0, vi0, 1 in 輸出：輸出：(x1, x2, , xn), xi0, 1, 滿足滿足智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan20 0-1背包問題背包問題 FIFO隊列式分支限界法的基本思想 實例實例 n=3n=3，C=30C=30，w=16w=16，1515，1515，p=45p=45，2525，2525可行性約束函數：可行性約束函

22、數：P=45P=45 P=50P=50P=25P=25 P=25P=25P=0P=0AB,CE,F,GFIFO隊列隊列K,L,M,N,O智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan21結點的優先級結點的優先級由已裝袋的物品價值加上剩下的最大單由已裝袋的物品價值加上剩下的最大單位重量價值的物品裝滿剩余容量的價值和。位重量價值的物品裝滿剩余容量的價值和。算法首先檢查當前擴展結點的左兒子結點的算法首先檢查當前擴展結點的左兒子結點的可行性可行性。如果該左兒子結點是可行結點如果該左兒子結點是可行結點，則將它加入到子集樹和，則將它加入到子集樹和活結點優先隊列中。活結點優先隊列中。當前擴展結點的右兒子結點一定是

23、可行結點當前擴展結點的右兒子結點一定是可行結點，僅當右兒，僅當右兒子結點滿足上界約束時才將它加入子集樹和活結點優先子結點滿足上界約束時才將它加入子集樹和活結點優先隊列。當擴展到葉節點時為問題的最優值。隊列。當擴展到葉節點時為問題的最優值。 0-1背包問題背包問題 優先隊列式分支限界法的基本思想優先隊列式分支限界法的基本思想首先，要對輸入數據進行預處理，將各物品依其單位首先，要對輸入數據進行預處理，將各物品依其單位重量價值從大到小進行排列。重量價值從大到小進行排列。智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan22 0-1背包問題背包問題 優先隊列式分支限界法的基本思想 實例實例 n=3n=3，C=3

24、0C=30，w=16w=16，1515，1515，p=45p=45，2525，2525 使用最大堆使用最大堆 上界上界 up = 68.38 Bound(int i)實現實現下界下界 L = 45 貪心算法實現貪心算法實現 bestp為當前最優值，則為當前最優值，則 L=45 bestp up=68.38智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan23 0-1背包問題背包問題 優先隊列式分支限界法的基本思想優先隊列優先隊列 實例實例 n=3n=3，C=30C=30，w=16w=16，1515，1515，p=45p=45，2525，2525P=45P=45 P=50P=50A, level=1K,

25、level=450,4568.38,4568.38,4550,45B, level=2C, level=2C, level=2E, level=3F, level=3K, level=4L, level=4智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan24 while (i != n+1) / 非葉結點非葉結點 / 檢查當前擴展結點的左兒子結點檢查當前擴展結點的左兒子結點 Typew wt = cw + wi; if (wt bestp) bestp = cp+pi; AddLiveNode(up, cp+pi, cw+wi, true, i+1); up = Bound(i+1); / 檢查當前擴

26、展結點的右兒子結點檢查當前擴展結點的右兒子結點 if (up = bestp) / 右子樹可能含最優解右子樹可能含最優解 AddLiveNode(up, cp, cw, false, i+1); / 取下一個擴展節點（略）取下一個擴展節點（略） 0-1背包問題背包問題 分支限界搜索過程分支限界搜索過程智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan25 0-1背包問題背包問題 分支限界搜索過程分支限界搜索過程 實例實例 (1)(1)物品個數為物品個數為 n=4n=4 (2)(2)背包的容量為背包的容量為 C=7C=7 (3)(3)物品的重量分別為物品的重量分別為 w=3w=3，5 5，2 2，11 (

27、4)(4)物品的價值分別為物品的價值分別為 p=9p=9，1010，7 7，44智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan26 裝載問題裝載問題有一批共有一批共n n個集裝箱要裝上個集裝箱要裝上2 2艘載重量分別為艘載重量分別為c c1 1和和c c2 2的輪船，的輪船，其中集裝箱其中集裝箱i i的重量為的重量為w wi i，且，且裝載問題裝載問題確定是否有一個合理的裝載方案可將這確定是否有一個合理的裝載方案可將這n n個集裝箱裝上這個集裝箱裝上這2 2艘艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。輪船。如果有，找出一種裝載方案。容易證明，如果一個給定裝載問題有解，則采用下面的策略容易證明，如果一個給定裝

28、載問題有解，則采用下面的策略可得到最優裝載方案?？傻玫阶顑炑b載方案。(1)(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan27 隊列式分支限界法隊列式分支限界法 在算法的在算法的whilewhile循環中，首先檢測當前擴展結點的左兒子循環中，首先檢測當前擴展結點的左兒子結點是否為可行結點。如果是則將其加入到活結點隊列結點是否為可行結點。如果是則將其加入到活結點隊列中。然后將其右兒子結點加入到活結點隊列中中。然后將其右兒子結點加入到活結點隊列中( (右兒子結右兒子結點一定

29、是可行結點點一定是可行結點) )。2 2個兒子結點都產生后，當前擴展個兒子結點都產生后，當前擴展結點被舍棄。結點被舍棄。 裝載問題裝載問題智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan28while (true) / 檢查左兒子結點檢查左兒子結點 if (Ew + wi = c) / xi = 1 EnQueue(Q, Ew + wi, bestw, i, n); / 右兒子結點總是可行的右兒子結點總是可行的 EnQueue(Q, Ew, bestw, i, n); / xi = 0 Q.Delete(Ew); / 取下一擴展結點取下一擴展結點 裝載問題裝載問題 隊列式分支限界法智能信息處理研究中心

30、（RCIIP）Pan29 裝載問題裝載問題 算法的改進算法的改進 節點的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將節點的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。此集裝箱裝上船。設設bestwbestw是當前最優解；是當前最優解；ewew是當前擴展結點所相應的重量；是當前擴展結點所相應的重量；r r是剩余集裝箱的重量。則當是剩余集裝箱的重量。則當ew+rew+r bestwbestw時，可將其右子時，可將其右子樹剪去，因為此時若要船裝最多集裝箱，就應該把此箱樹剪去，因為此時若要船裝最多集裝箱，就應該把此箱裝上船。裝上船。 另外，為了確保右子樹成功剪枝，應該在算法每一次進另外，為

31、了確保右子樹成功剪枝，應該在算法每一次進入左子樹的時候更新入左子樹的時候更新bestwbestw的值。的值。智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan30/ 檢查左兒子結點檢查左兒子結點 Type wt = Ew + wi; / 左兒子結點的重量左兒子結點的重量 if (wt bestw) bestw = wt; / 加入活結點隊列加入活結點隊列 if (i bestw & i n) Q.Add(Ew); / 可能含最優解可能含最優解 Q.Delete(Ew); / 取下一擴展結點取下一擴展結點右兒子剪枝右兒子剪枝 裝載問題裝載問題 算法的改進智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan31

32、 裝載問題裝載問題 構造最優解構造最優解為了在算法結束后能方便地構造出與最優值相應的最為了在算法結束后能方便地構造出與最優值相應的最優解，算法必須存儲相應子集樹中從活結點到根結點優解，算法必須存儲相應子集樹中從活結點到根結點的路徑。為此目的，可在每個結點處設置指向其父結的路徑。為此目的，可在每個結點處設置指向其父結點的指針，并設置左、右兒子標志。點的指針，并設置左、右兒子標志。找到最優值后，可以根據找到最優值后，可以根據parentparent回溯到根節點，找到回溯到根節點，找到最優解。最優解。 智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan32 裝載問題裝載問題 優先隊列式分支限界法優先隊列式分支

33、限界法解裝載問題的優先隊列式分支限界法用最大優先隊列解裝載問題的優先隊列式分支限界法用最大優先隊列存儲活結點表?；罱Y點存儲活結點表。活結點x x在優先隊列中的優先級定義在優先隊列中的優先級定義為從根結點到結點為從根結點到結點x x的路徑所相應的載重量再加上剩的路徑所相應的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。余集裝箱的重量之和。優先隊列中優先級最大的活結點成為下一個擴展結點。優先隊列中優先級最大的活結點成為下一個擴展結點。以結點以結點x x為根的子樹中所有結點相應的路徑的載重量為根的子樹中所有結點相應的路徑的載重量不超過它的優先級。不超過它的優先級。在優先隊列式分支限界法中，一旦有一個葉結點成為在

34、優先隊列式分支限界法中，一旦有一個葉結點成為當前擴展結點，則可以斷言該葉結點所相應的解即為當前擴展結點，則可以斷言該葉結點所相應的解即為最優解。此時可終止算法。最優解。此時可終止算法。 智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan33 旅行售貨員問題旅行售貨員問題 問題描述問題描述給定給定n n個頂點的帶權圖個頂點的帶權圖G=(V, E),G=(V, E),圖中各邊的權為正數，圖圖中各邊的權為正數，圖中的中的一條周游路線一條周游路線是包括是包括V V中的每個頂點在內的一條回路，中的每個頂點在內的一條回路，一條周游路線的費用一條周游路線的費用是這條路線上所有邊的權之和。是這條路線上所有邊的權之和。

35、旅行商問題旅行商問題( (Traveling Salesperson) )是要在圖是要在圖G G中找出一中找出一條有最小費用的周游路線。此問題是條有最小費用的周游路線。此問題是NPNP完全問題。完全問題。智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan34 旅行售貨員問題旅行售貨員問題 實例FIFO隊列式AB1C2F3L4G4M3DH2N4I4O2EJ2P3K3Q2341342306105420C,D,EC,D,EF,G,H,I,J,KF,G,H,I,J,KB BL,M,N,P,QL,M,N,P,Q5959666625252626智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan35 旅行售貨員問題旅行售貨員問題 實例優先隊列式(1)AB1C2DH2N4EJ2K3341342306105420E E,D,C,D,CB B2525J J,K,K,N N,I,C,I,CK K, ,N N,I,C,I,CN N,I,C,I,CI4D D,J,K,J,K,CH H,J,K,I,C,J,K,I,C智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan36 旅行售貨員問題旅行售貨員問題 實例優先隊列式(2)1342306105420AB1C2DH2N4EJ2P3K33425252525I4智能信息處理研究中心（RCIIP）Pan37 旅行售