1、整式乘除與因式分解、重點難點：重點是整式的乘法運算，因式分解運算難點是乘法公式的靈活運用和分解因式的方法。二、知識要點【知識點一】幕的運算（1）同底數幕的乘法：同底數幕相乘,底數不變,指數相加即am an am n（ m, n都是正整（2）幕的乘方：幕的乘方：底數不變,指數相乘.即（am）namn（ m, n都是正整數）（3） 積的乘方：先把積中的每一個因式分別乘方,再把所得的結果相乘.即（ab）n anbn（n是正 整數）（4） 同底數幕的除法：同底數幕相除，底數不變,指數相減.（這個也可以看做分式的運算）即am an am n （ a工0, m, n都是正整數，且m> n） 零指數幕

2、：不等于零的數的零次幕等于1.即a01（a工0）.推導過程：am am am-m a0 1（這里面注意：a0,因為分母中有a） 負整數指數幕：不等于零的數的負整數次幕等于這個數的正整數次幕的倒數即a p （ a工0, p是正整數）.ap例 1.計算 3（a3）3 2（a4）2 a解：3(a3)3 2(a4)2 a=3a9 2a8 a 3a9 2a9 5a9點評:在整式運算中同樣應遵循有括號先算括號（先小括號，再中括號，后大括號，）,然后算 乘方、再算乘除、最后算加減的原則.例 2: 0. 252009X 42009-8100 X 0. 5300.解:0 . 252009 X 42009 - 8

3、100 X 0 . 5300=(0. 25X 4) 2009-(23) 100X 0. 5300 =12009-( 2X 0. 5) 300 =1- 1300=0【知識點二】整式乘法（1）單項式乘單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的幕分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字 母，則連同它的指數作為積的一個因數.即：3a2b4cX 2x3bc6=（3 X 2）（b 4X b）（c X c6） X a2X x3=6a2x3b5c7（2）單項式乘多項式單項式與多項式相乘，就是根據乘法對加法的分配律，用單項式乘多項式的每一項，再把所得的 積相加即：a(m+n)=am+an (單項式計算部分

4、與上面原理相同)(3) 多項式乘多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.(就是反復多用幾次乘法分配律)。即：(a+b) (m+n)=am+an+bm+bn (單項式計算部分與上面原理 相同)例 3.計算：(1) ( |a 2 2 2b= 16m9 12n 4n =16m 4n 12n 9c) ( |ab2)2 ( 3a3b) ； (2)(2a3-3a+5) (3-a2);解：(1) ( 3a2b3c) ( -ab2)2 ( 3a3b)23=( 3a2b3c) (點評:巧妙的將3 2n看作一個整體是解決本題的關鍵.a【知識點四】：整式除法(了解即

5、可，這幾年幾乎不從這部分里出題) (1)單項式除以單項式：單項式相除，把系數、同底數幕分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的b4) ( 3a3b)29=3 4 ( 3) (a2 a2 a3) (b3 b4 b) c 2a7b8c29(2) (2a3-3a+5) (3-a2)= 6a3 2a5 9a 3a315 5a2=2a5 9a3 5a2 9a 15點評：為防止“漏項”，應注意將一個多項式的每一項“遍乘”另一個多項式的每一項；要正確確定積中每項的符號；如有同類項，則應合并同類項，得出最簡結果；通常情況下， 最后結果應按某一字母的降幕排列.【知識點三】：乘法公式(1)平方差公式：兩個

6、數的和與這兩個數的積，等于這兩個數的平方差.即 a b a b a2 b2. 完全平方公式：兩數和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍.即：a b 2 a2 2ab b2, a b 2 a2 2ab b2例4.利用乘法公式計算：4m 3 2n 4m 3 2n22解：4m 3 2n 4m 3 2n =4m3 2n 4m3 2n = 4m 3 2n字母,則連同它的指數一起作為商的一個因式,再把所得的商相加(2)多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式【知識點五】因式分解1.因式分解：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解；

7、 注意：因式分解與乘法是相反的兩個轉化2因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分組分解法”、“十 字相乘法” (前三個較常考，第四個較難理解，而且大綱里不作要求，近幾年不 常考，但是用好了會簡化許多計算)一、提公因式法 .am+an=a(m+n)二、運用公式法.a2-b2=(a+b)(a-b)； a2± 2ab+b2=(a± b)2;三、分組分解法.把需要分解的式子改變順序，對其中某部分提公因式或運用公式，然后再進行下一步的因式分解(一)分組后能直接提公因式例5、分解因式：am an bm bn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公

8、式分解，但從“局部” 看，這個多項式前兩項都含有 a,后兩項都含有b,因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為 一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯系。解：原式=(am an) (bm bn)=a(m n) b(m n每組之間還有公因式！=(m n )(a b)【注】分組的選擇是不唯一的，這道題還可以選擇其他的分組方式，試試看。(二)分組后能直接運用公式例6、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就不能繼 續分解，所以只能另外分組。解：原式=(x2 y2) (ax ay)=(x y)(x y) a(x y)=(x y)(x y

9、 a)例7、分解因式：a2 2ab b2 c2解：原式=(a2 2ab b2) c2=(a b)2 c2=(a b c)(a b c)四、十字相乘法.(這是因式分解的最精華部分，但是大綱里不做要求，是課本中的思考題部分，所以了解即可， 但是如果學會了，解題會快很多)(一)二次項系數為 1的二次三項式直接利用公式 x2 (p q)x pq (x p)(x q)進行分解。特點：(1)二次項系數是1 ；(2)常數項是兩個數的乘積；(3 )一次項系數是常數項的兩因數的和。2例8分解因式：x 5x 6分析：將6分成兩個數相乘，且這兩個數的和要等于5。即 2+3=5 。13由于6=2 X 3=(-2) X

10、 (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，從中可以發現只有2 X 3的分解適合，解：x2 5x 6 = x2(2 3)x 2 3a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。=(x 2)( x 3)條件：(1) a a1a2a1C1C2(2) cC|C2a(3) b a1c2a2cib3 c2a?C1分解結果：ax 2例 10、x y 3xy 2把xy看作一個整體1-1 bxc = (a1X G)(a2X C2)例7、分解因式:3x2 11x 10分析：1 . -23 -5(-6) + (-5) = -11解：3x211x10 = (x 2)(3x 5)例6、分解因式：x2 7x 6解：原式=

11、x2 ( 1) ( 6)x ( 1)( 6)1 一 . -1=(x 1)(x 6)1 _ -6(-1) + (-6) = -7(二)二次項系數不為1的二次三項式 ax2 bx c（三）二次項系數為 1的齊次多項式例8分解因式：a2 8ab 128b2分析：將b看成常數，把原多項式看成關于1 8b1- -16b解: a2 8ab8b+(-16b)= -8b128b2 = a2 8b(16b)a 8b ( 16b)=(a 8b)(a 16b)（四）二次項系數不為1的齊次多項式2 2 例 9、2x 7xy 6y1 一 -2y2 ”-3v(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2x3y

12、)原式=10n2 + 2mn=2n ( 5n+ m)11=2X X( 5X 2)=55評析：本題用到平方差及完全平方公式，注意應用公式要準確.【注】這類習題一定要先化簡，在代數求值，以后的分式部分也要這樣做例 3.已知(a+ b) 2= 11, (a b) 2 = 5,求(1) a2+ b2; (2) ab. 分析：利用完全平方公式變形即可.解：由(a+ b) 2= 11,得 a2 + 2ab+ b2= 11. 由(a b) 2= 5,得 a2 2ab+ b2= 5. + ，得 2a2 + 2b2=16.故 a2+ b2= 8.3，得4ab= 6.故ab=例4 abc的三邊a、b、c有如下關系

13、式：c2+ a2 + 2ab 2bc = 0，求證這個三角形是等腰三角形。分析：此題實質上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解(還有些題是對某部分因 式分解)。證明： c2 + a2 + 2ab 2bc = 0， '( a + c) (a c) + 2b (a c)= 0， °.( a c) (a + 2b + c) 0 .又a、b、c 是厶 abc 的三條邊，二 a + 2b + c >0，二 a c 0，即a c， abc為等腰三角形。例5 簡便計算2001X 19992001X 1999= (2000+1) (2000-1 )=2000 2-1 X 2000+

14、1X 2000+1 X( -1 )=2000 2-1(用平方差公式也可以直接得到這一步)=3999999 .例 6.計算 am+5bn+1 解：=4000000-1n+1-m+6n-1b a b分析：無論指數多繁雜同底數幕結合是關鍵。分析：(-1)的奇次幕是-1&皿+5+1 am+6bn-1 =(am+5 a-m+6)(bn+1 bn-1) _ m+5-m+6 . n+1+n-1=a b11 2n=a b2例 7 .計算(-1)2k+1 (-亍2解:(-1)2k+1 (- :)2k=(-1) (-)2k2=-1 ( -)k(-1)的偶次幕是+1丄利用 amn = (am)n 將(-:)

15、2k1 _ 1 =-(-)k =-I''1 1 1 變形(-)2k=(- : )2k=( 4 )k2 1例8.用簡便方法計算：(1) (-9)3 (-忙(：;)3分析：本題逆用積的乘方公 式，即同指數的若干個 幕的積等于它們 底數乘 積之幕mma b c =(abc)21解：(-9)3 (- :; )3 ( :; )32 1=(-9)(-)(約32 £=(9X -i X ：i )3=23=8例9 如果2 8n 16n=222,求n的值分析：依據相等的2個幕，如其底數相同，則其指數相等的原理解方程。 解：/ 2 8n 16n=222又左邊=2 8n 16n=2 (23)

16、n (24)n=2 23n 24n=21+3n+4n =21+7n . 21+7n=222,1+7n=22/ n=3例10 已知x 1 2,求x2的值xx解：(x 1) 2=x2-2x 丄+(丄)2= x2-2+( -)2=4xx xx2 1x 2 =4+2=6x例 11 如果 a2 + b2 2a + 4b + 5= 0，求 a、b 的值解：a2 + b2 2a + 4b + 5=( a-1) 2+ (b+2) 2=0所以a-仁0 b+2=0 所以a=1 b=-2例12兩個連續整數的平方差必是奇數解：設這兩個連續整數是n和n+1貝U 這兩個數的平方差是(n+1) -n =(n+1+ n)(n

17、+1-n)=2 n+1因為n是整數 所以2n+1是奇數 則結論成立。分式一、重點難點：重點是提高分式部分化簡求值的運算能力，注意分式什么時候無意義，什么時候值為0;會解分式方程，會用分式方程解決實際問題。難點是計算要快速準確，解方程記得檢驗是否是增根。二、知識要點【知識點一】分式的基礎知識Aa1. 分式：整式A除以整式B,可以表示成 直的形式，如果除式B中含有字母，那么稱§為分式.若AAABM0,貝U b有意義；若B=0,貝U B無意義；若A=0, BM0,貝U B二0.2 分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變.A A?CA A C z用

18、式子表示為，（C M 0）.B B?CBBC3. 約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分.4. 通分：根據分式的基本性質，把異分母的分式化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分【注】通分的關鍵是確定n個分式的最簡公分母，約分的關鍵是確定分式的分子與分母中的最 大公因式.例1下列各式，哪些是整式，哪些是分式？1 a a ab jr + 2 十 11,八/十+&2一訪.一,一，匚（兀一必一 +耳a 3 x-y a -2 k 4y僅十由答案: 整式有 仝及勺，丄（天-刃；34分式有.丄厶竺竺出丄十的s-j a a- 2 廂 y例2分別求出使下列式子有意義的x的值。也

19、 丄斗|x 3x -3x2解：分式有意義，只要分母不為0就可以第一個：X-3 M 0 x M 3第二個：X -3 M 0 x M 3第三個：X2M 0 X M 0lx 3例3 如果分式-的值為零，那么x等于3x 9解：依題意得3x-9 m 0 x m 3x -3=0 x= 3綜合起來，x=-3 （x=3的時候分式分母為0,無意義）（1）化簡！a* be p（2）化簡!a1ab只-2用+1a3 AcFU；x2 1兀 +1F 2 怎 +1忙一1例5不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中的各項系數化為整數湘+ 用廠丄m-2n5D.03<-0.D 08x -i- 0.5jr3ji 20y【知識

20、點二】分式的運算【注：這部分中考必有一道題，計算一定要大量練習，要保證準的基礎上，提高速度?！?1)分式乘除法：概括：與分數乘除法的法則類似，分式的乘除法的法則是：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母;兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，再與被除式相乘。經觀察、類比不難發現/+ 2肚B +戸dib +戸心 b _ Xa2 -解：原式=心£業廣=4b(a - b) a(a b) ab例7.先化簡，再求值。【中考題型，一定要先化簡，再代數，切記?！縲答案；原式= x+22_ 3 _ 1“2 2 宀 232二當?=-時,3x3 - 3x2 十 2xJ

21、Tz + 2(2)分時加減法同分母的分式加減法與同分母分數加減法的法則類似，同分母的分式加減法的法則是:將下列各式逋分：+廠斗.宀 解最簡公分母是12血對一. 孑二亦記丿二劭 Vi 5 _ 弘2皿左_ 10a3c1_ K6aP _ 北訐2? = 2ac3 x =(a + 2口+4)也 + tf 6)2+1* - oi2 5+ -a a式同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式加減法與異分母分數加減法的法則類似，異分母的分式加減法的法則是： 異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進 行計算。例8【知識點三】分式方程概念：含有分式的等式（方程）

22、叫分式方程【注】對于分式方程，當分式中分母的值為零時沒有意義，所以分式方程不允許未知數取那些分母為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件。當把分式方程轉化為整式方程以后，這種限制取消了。換言之，方程中未知數允許取值的范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值，那么就會出現增根。因為解分式方程可能會出現增根，所以解分式方程時，驗根是必要步驟。（驗跟是只有分式方程中才特有的，但是必須的）驗根的方法有兩種，一種是把求得的未知數的值代入原方程進行檢驗，這種方法道理簡單， 而且可以檢查解方程時有無計算錯誤； 另一種是把求得未知數的值代入分式的分母， 看分母的值只 否為

23、零，這種方法不能檢查解方程過程中出現的計算錯誤。例10621(x 1)(x2)x 2解：方程兩邊冋時乘以(x1)(x2)得6 2(x1) (x 1)(x2)整理，得2x x 60解這個方程，得x13x 22經檢驗，x 2是原方程的增根，應舍去所以原方程的根是x 3例11年1月1日起調整居民用水價格，每立方米水費上漲 1/3。小麗家去年12月份的水費 是15元，而今年7月份的水費則是30元。已知小麗家今年7月份的用水量比去年12月份的用水 量多5m，求該市今年居民用水的價格。主要的等量關系是：小麗家今年7月份的用水量一小麗家去年12月份的用水量=5用所以，首先要表示出小麗家這兩個月的用水量，而用

24、水量可以用水費除以水的單價得出。解：設該市去年居民用水的價格 x元/ m3，則今年的水價為(1+1/3)x元/ m3，根據題意，得3015(1解這個方程，得x=1.5經檢驗，x=1.5是所列方程的根。1.5 X( 1+1/3 ) =2 (元)所以，該市今年居民用水的價格例 12 x2 丄 x 1 0 xx1 2 1 解：原方程變為(x )+ ( x -) -2=0xx1所以 x -=-2X1=X2=-1x或x 1=1這個方程無解x經檢驗，X1=X2=-1是這個方程的跟。例13如果方程筈上 2有增根x 1,則k=x211 x解：解這種題，不要先帶x的值，因為帶進去分母為0,分式無意義，所以，先通

25、分，在 通分時，等式兩邊乘以0,對等式是沒有影響的，所以，原方程可化為：(x+k) -x(x+1)=2(x2-1) 整理3x2-k-2=0此時，帶入x=1， 求k的值，k=11例14若丄x-y3，求 5x 3xy 5y 的值 x 2xy y解：因為-3所以 y-x=3xyxy3xy 5y 5(x - y) 3xy5xx2xy y (x-y)-2xy5(-3xy) 3xy -12xy12(-3xy) - 2xy - 5xy 5【鞏固練習】【整式部分】1、計算:(1) (-3a2) 3 (-2a3) 2 ;(2) 3xy2z (x2y) 2 .(3) 21a2b3 - 7a2b;(4) 7a5b2

26、c3 十(一3a3b);(5) (x)2(x)32x (x)4( x)x4寧x(6) ( -a-b ) ( -a3b)23342、 若 5n= 2, 4n = 3,貝U 20n 的值是;若 2n+1= 16,則 x =3、 已知(3x2y3)?( 4xmy4) (5xyn)2.4x5y10 求 m n 的值111114、(1 2)(1尹(1 24)(1歹)尹(提示：用平方差公式)5、已知 ab 9，a b 3，求 a2 3ab b2 的值&在長為am,寬為bm的一塊草坪上修了一條1m寬的筆直小路，則余下草坪的面積可表示為m2 ;現為了增加美感，把這條小余下草坪的面積為m2路改為寬恒為1

27、m的彎曲小路(如圖6)，則此時7、若a、b、cABC的三邊，且滿足a2 + b2+ c2 = ab+ ac+ be,試判斷 ABC的形狀8、已知 x y 8，xy12，求：(1) x2y xy2 (2)2 xxy y2 (3) xy的值9、利用因式分解說明：367612能被140整除10、因式分解(1) 2x ax 2y ay(2)7a23bab 21a(3) a2x a2y b2x b2y;(4)mxmx2n nx(5) a2b2 2ab a2 1(6)(ab)2(a24b) ab4(7) y2 6y 9x2 9(8)2 x2xy2y axay2(9)2x -7x + 3;(10)6x2-7

28、x-5 ;(11)-3x 2 7x-2 ;(12)5x2 2+ 6xy-8y【注】后四個是用十字相乘法因式分解，盡量做11、已知 x y z 0，求(x2 y2 z2)2 4y2z2 的值12、已知：a、b、c 為 ABC 的三邊，并且滿足 a2(b c) b2(a c) c2(a b) 0求證：ABC是等腰三角形?！痉质讲糠帧?、已知:3x-4y-z = 0, 2x+y-8z = 0,2 2 2求-y的值.xy yz 2xz2、化簡:2a2a1)(13、計算:b2a 2b2 a24ab 4b4、先化簡,再求值:(x y)2 (xy)(xy)寧2x，其中 x = 3, y = -1.55、解方

29、程:x2x 515 2x6、先化簡,再求值:（七aa2 4a 4其中 a2+2a-1 = 07、方程-8的解是8、先化簡，再求值:x2 2x2x x1.9、已知x2 4x +仁0,求x2的值.10、已知：ab c0 ,求ab1-) c1 b(- c1-) a1 c(- a1-)3的值b11、已知abc1, 求abc的值。aba 1bc b1acc 112、已知-1 ,求x2 + z + 13/ + x2 +1,.宀業廠ab1 be1 ca1abt13已知a、b、c為頭數，且.，則:a + b 3 b + c 4 c 5 ab + be ca14、甲做180個機器零件與乙做240個機器零件所用的時間相同，已知兩人每小時共做70個機器 零件，兩人每小時各做多少個？1