1、高中奧林匹克物理競賽解題方法三、微元法方法簡介微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復雜的物理過程用我們熟悉的物理規律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進行必要的數學方法或物理思想處理，進而使問題求解。使用此方法會加強我們對已知規律的再思考，從而引起鞏固知識、加深認識和提高能力的作用。賽題精講例 1：如圖3 1 所示，一個身高為h 的人在燈以悟空速度v 沿水平直線行走。設燈距地面高為 H，求證人影

2、的頂端C 點是做勻速直線運動。解析 ：該題不能用速度分解求解，考慮采用“微元法”。設某一時間人經過 t（ t 0），則人由AB 處，再經過一微小過程AB 到達 A B，人影頂端C 點到達 C點，由于SAA =v t 則人影頂端的HSCClim HSAAHv移動速度 vClimht 0tt 0tH h可見 vc 與所取時間 t 的長短無關，所以人影的頂端 C 點做勻速直線運動 .例 2：如圖 32 所示，一個半徑為R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點，B 端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質量為.試求鐵鏈A 端受的拉力T.解析 ：以鐵鏈為研究對象，

3、由由于整條鐵鏈的長度不能忽略不計，所以整條鐵鏈不能看成質點，要分析鐵鏈的受力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看成質點，分析每一小段鐵邊的受力，根據物體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況 .在鐵鏈上任取長為 L 的一小段（微元）為研究對象，其受力分析如圖 3 2甲所示 .由于該元處于靜止狀態，所以受力平衡，在切線方向上應滿足：TTG cosTTG c o sLg c o s由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大 T ，所以整個鐵鏈對A 端的拉力是各段上T 的和，即TTLg c o sgL c o s觀察所以L cos的意義，見圖3 2乙，由于 很小，CD OC， OCE= Lc

4、os 表示 L 在豎直方向上的投影R，所以L c o sR可得鐵鏈A 端受的拉力TgL cosgR例 3：某行星圍繞太陽C 沿圓弧軌道運行，它的近日點A 離太陽的距離為a，行星經過近日點 A 時的速度為 vA ，行星的遠日點B 離開太陽的距離為 b，如圖 3 3 所示，求它經過遠日點B 時的速度 vB 的大小 .解析： 此題可根據萬有引力提供行星的向心力求解.也可根據開普勒第二定律，用微元法求解.設行星在近日點A 時又向前運動了極短的時間t，由于時間極短可以認為行星在t 時間內做勻速圓周運動，線速度為vA ，半徑為 a，可以得到行星在t 時間內掃過的面積Sa1v Ata同理，設行星在經過遠日點

5、B 時也運動了相同的極短時間t，2則也有S1 vt b由開普勒第二定律可知： Sa=Sbb2B即得vBav A此題也可用對稱法求解 .b例 4：如圖 34 所示，長為 L 的船靜止在平靜的水面上，立于船頭的人質量為 m，船的質量為 M ，不計水的阻力，人從船頭走到船尾的過程中，問：船的位移為多大？解析： 取人和船整體作為研究系統，人在走動過程中，系統所受合外力為零，可知系統動量守恒.設人在走動過程中的 t 時間內為勻速運動，則可計算出船的位移.設 v1、 v2 分別是人和船在任何一時刻的速率，則有mv1Mv 2兩邊同時乘以一個極短的時間t， 有mv1 tMv2 t由于時間極短，可以認為在這極短

6、的時間內人和船的速率是不變的，所以人和船位移大小分別為s1v1 t ，s2v2 t由此將式化為m s1M s2把所有的元位移分別相加有ms1 Ms2 即 ms1=Ms 2 此式即為質心不變原理 .其中 s1、s2 分別為全過程中人和船對地位移的大小， 又因為 L=s 1+s2由、兩式得船的位移s2mLMm例 5：半徑為 R 的光滑球固定在水平桌面上，有一質量為 M 的圓環狀均勻彈性繩圈，原長為 R，且彈性繩圈的勁度系數為 k，將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上，使彈性繩圈水平停留在平衡位置上，如圖3 5 所示，若平衡時彈性繩圈長為2 R ，求彈性繩圈的勁度系數k.解析： 由于整個彈性繩圈的大小不

7、能忽略不計，彈性繩圈不能看成質點，所以應將彈性繩圈分割成許多小段，其中每一小段 m 兩端受的拉力就是彈性繩圈內部的彈力F.在彈性繩圈上任取一小段質量為m 作為研究對象， 進行受力分析 .但是 m 受的力不在同一平面內，可以從一個合適的角度觀察.選取一個合適的平面進行受力分析，這樣可以看清楚各個力之間的關系 .從正面和上面觀察， 分別畫出正視圖的俯視圖，如圖 3 5甲和 2 3 5乙 .先看俯視圖 35甲，設在彈性繩圈的平面上，m 所對的圓心角是 ，則每一小段的質量mM m 在該平面上受拉力F 的作用，合力為2T2F cos(2)2F sin2因為當 很小時， sin所以 T2F2F再看正視圖

8、35乙， m 受重力 mg，支持力 N ，二力的合力與T 平衡.即Tmg t a n現在彈性繩圈的半徑為r2 R2 R22所以sinr245t an1R2因此 T= mg2Mg、聯立，2MgF ，解得彈性繩圈的張力為：MgF2設彈性繩圈的伸長量為x 則 x2 RR (21)R所以繩圈的勁度系數為：FMg(21)Mgk2(21)2 R22 Rx例 6：一質量為 M 、均勻分布的圓環，其半徑為r，幾何軸與水平面垂直，若它能經受的最大張力為 T，求此圓環可以繞幾何軸旋轉的最大角速度.解析 ：因為向心力 F=mr 2，當 一定時， r 越大，向心力越大，所以要想求最大張力T 所對應的角速度 ， r 應

9、取最大值 .如圖 3 6 所示，在圓環上取一小段L，對應的圓心角為 ，其質量可表示為mM ，受圓環對它的張2力為 T ，則同上例分析可得2T sinmr 22因為 很小，所以 sin2，即22TMr22 T2解得最大角速度2Mr例 7：一根質量為 M ，長度為 L 的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上， 如圖 3 7 所示， 求鏈條下落了長度 x 時，鏈條對地面的壓力為多大？解析： 在下落過程中鏈條作用于地面的壓力實質就是鏈條對地面的“沖力”加上落在地面上那部分鏈條的重力.根據牛頓第三定律，這個沖力也就等于同一時刻地面對鏈條的反作用力，這個力的

10、沖量， 使得鏈條落至地面時的動量發生變化.由于各質元原來的高度不同， 落到地面的速度不同，動量改變也不相同.我們取某一時刻一小段鏈條（微元）作為研究對象，就可以將變速沖擊變為恒速沖擊 .設開始下落的時刻t=0 ，在 t 時刻落在地面上的鏈條長為x，未到達地面部分鏈條的速度為v，并設鏈條的線密度為 .由題意可知， 鏈條落至地面后， 速度立即變為零 .從 t 時刻起取很小一段時間 t，在 t 內又有 M= x 落到地面上靜止 .地面對 M 作用的沖量為(FMg )tI因為Mg t 0所以 FtMv0vx 解得沖力：Fvx ，其中x 就是 t 時刻鏈條的速度 v，tt故Fv2鏈條在 t 時刻的速度v

11、 即為鏈條下落長為 x 時的即時速度，即 v2=2gx，代入 F 的表達式中，得F2gx此即 t 時刻鏈對地面的作用力，也就是t 時刻鏈條對地面的沖力 .所以在 t 時刻鏈條對地面的總壓力為N 2 gxgx3gx3Mgx .L例 8：一根均勻柔軟的繩長為L ，質量為m，對折后兩端固定在一個釘子上，其中一端突然從釘子上滑落， 試求滑落的繩端點離釘子的距離為 x 時，釘子對繩子另一端的作用力是多大？解析： 釘子對繩子另一端的作用力隨滑落繩的長短而變化，由此可用微元法求解.如圖 3 8 所示，當左邊繩端離釘子的距離為 x 時，左邊繩長為1 (l)v2gx ，2x ，速度右邊繩長為1 (l).又經過一

12、段很短的時間t 以后，2x1 V左邊繩子又有長度t 的一小段轉移到右邊去了，我們就分2析這一小段繩子，這一小段繩子受到兩力：上面繩子對它的拉力 T 和它本身的重力 1 v tg (m / l 為繩子的線密度） ，2根據動量定理，設向上方向為正(T1 vtg) t 0 (1 v t v)22由于 t 取得很小，因此這一小段繩子的重力相對于T 來說是很小的，可以忽略，所以有T1 v2gx因此釘子對右邊繩端的作用力為2F1 (l x) g T1 mg(13x )22l例 9：圖 3 9 中，半徑為 R 的圓盤固定不可轉動，細繩不可伸長但質量可忽略，繩下懸掛的兩物體質量分別為M 、 m.設圓盤與繩間光

13、滑接觸，試求盤對繩的法向支持力線密度.解析： 求盤對繩的法向支持力線密度也就是求盤對繩的法向單位長度所受的支持力.因為盤與繩間光滑接觸，則任取一小段繩，其兩端受的張力大小相等，又因為繩上各點受的支持力方向不同，故不能以整條繩為研究對象，只能以一小段繩為研究對象分析求解 .在與圓盤接觸的半圓形中取一小段繩元L ， L 所對應的圓心角為 ，如圖 39甲所示，繩元L 兩端的張力均為T，繩元所受圓盤法向支持力為N，因細繩質量可忽略，法向合力為零，則由平衡條件得：NT sin2T sin22T sin2當 很小時， sin22 N=T 又因為 L=R 則繩所受法向支持力線密度為NTTnRLR以 M 、

14、m 分別為研究對象，根據牛頓定律有Mg T=Ma 2MmgT mg=m a由、解得：TMm將式代入式得：2Mmgnm) R( M例 10：粗細均勻質量分布也均勻的半徑為分別為R 和 r 的兩圓環相切 .若在切點放一質點m，恰使兩邊圓環對 m 的萬有引力的合力為零，則大小圓環的線密度必須滿足什么條件？解析：若要直接求整個圓對質點m 的萬有引力比較難， 當若要用到圓的對稱性及要求所受合力為零的條件，考慮大、小圓環上關于切點對稱的微元與質量m 的相互作用，然后推及整個圓環即可求解 .如圖 3 10 所示，過切點作直線交大小圓分別于P、Q 兩點，并設與水平線夾角為 ，當 有微小增量時，則大小圓環上對應

15、微小線元L1R 2L2r2其對應的質量分別為m11 l11 R 2m22 l 22 r 2由于 很小，故 m1、 m2 與 m 的距離可以認為分別是r12Rc o s2rc o sr2所以 m1、 m2 與 m 的萬有引力分別為F1Gm m1G 1R 2 mGm m2 G 2 R 2 m2(2R cos)2,F22(2r cos)2r1r2由于 具有任意性，若 F1 與 F2 的合力為零，則兩圓環對 m 的引力的合力也為零，G1R 2mG 2 r 2m即)2( 2r cos) 2(2R cos解得大小圓環的線密度之比為：1R2 r例 11：一枚質量為 M 的火箭， 依靠向正下方噴氣在空中保持靜

16、止， 如果噴出氣體的速度為 v，那么火箭發動機的功率是多少？解析 ：火箭噴氣時， 要對氣體做功，取一個很短的時間，求出此時間內， 火箭對氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出火箭發動機的功率.選取在 t 時間內噴出的氣體為研究對象，設火箭推氣體的力為F，根據動量定理，有F t= m· v 因為火箭靜止在空中，所以根據牛頓第三定律和平衡條件有F=Mg即 Mg · t= m· vt= m·v/Mg對同樣這一部分氣體用動能定理，火箭對它做的功為：W1mv22W1 mv21 MgV所以發動機的功率P2t( mV / Mg )2例 12：如圖 311 所示，小環

17、O 和 O分別套在不動的豎直桿 AB 和 A B 上，一根不可伸長的繩子穿過環O，繩的兩端分別系在 A 點和 O 環上，設環 O以恒定速度v 向下運動，求當 AOO = 時，環 O 的速度 .解析 ：O、O之間的速度關系與 O、 O的位置有關，即與角有關，因此要用微元法找它們之間的速度關系.設經歷一段極短時間t， O環移到 C， O 環移到 C，自 C與 C 分別作為 O O 的垂線 C D和 CD ，從圖中看出 .OCOD ,OCO D因此 OC+O C = ODO Dcoscoscos因 極小，所以 EC ED ， EC ED ，從而 OD+O D OO CC 由于繩子總長度不變，故OO

18、CC =O C由以上三式可得： OC+O C= O C即 OCO C (11)cos1cos等式兩邊同除以t 得環 O 的速度為v0 v(1)c o s例 13： 在水平位置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈現圓餅形狀（側面向外凸出），過圓餅軸線的豎直截面如圖3 12 所示，為了計算方便，水銀和玻璃的接觸角可按 180°計算 .已知水銀密度13.6103 kg / m3 ，水銀的表面張力系數0.49 N / m. 當圓餅的半徑很大時，試估算其厚度h 的數值大約為多少？（取 1 位有效數字即可）解析 ：若以整個圓餅狀水銀為研究對象，只受重力和玻璃板的支持

19、力，在平衡方程中，液體的體積不是 h 的簡單函數，而且支持力N 和重力 mg 都是未知量，方程中又不可能出現表面張力系數，因此不可能用整體分析列方程求解h.現用微元法求解 .在圓餅的側面取一個寬度為x，高為 h 的體積元，如圖3 12甲所示，該體積元受重力G、液體內部作用在面積 x· h 上的壓力 F， FPS1hgxh1 gh 2x ，22還有上表面分界線上的張力F1= x 和下表面分界線上的張力 F2= x.作用在前、后兩個側面上的液體壓力互相平衡，作用在體積元表面兩個彎曲分界上的表面張力的合力，當體積元的寬度較小時，這兩個力也是平衡的，圖中都未畫出.由力的平衡條件有：FF1 c

20、osF20即 1 gh 2xxcosx02解得： h2 (1cos)2.710 31cosg由于 0, 所以11cos2,故 3 32.7× 10m<h<3.8× 10 m23 3題目要求只取1 位有效數字，所以水銀層厚度h 的估算值為3× 10m 或 4× 10 m.例 14：把一個容器內的空氣抽出一些，壓強降為p，容器上有一小孔，上有塞子，現把塞子拔掉，如圖3 13 所示 .問空氣最初以多大初速度沖進容器？（外界空氣壓強為p0、密度為 ）解析： 該題由于不知開始時進入容器內分有多少，不知它們在容器外如何分布，也不知空氣分子進入容器后壓強如

21、何變化，使我們難以找到解題途徑.注意到題目中“最初”二字，可以這樣考慮：設小孔的面積為S，取開始時位于小孔外一薄層氣體為研究對象，令薄層厚度為L，因 L 很小，所以其質量m 進入容器過程中，不改變容器壓強，故此薄層所受外力是恒力，該問題就可以解決了.由以上分析，得： F=(p 0 p)S 對進入的 m 氣體，由動能定理得： F L1mv2而 m= S L2聯立、式可得：最初中進容器的空氣速度2( p0 p)v例 15：電量 Q 均勻分布在半徑為R 的圓環上（如圖3 14所示），求在圓環軸線上距圓心O 點為 x 處的 P 點的電場強度 .解析 ：帶電圓環產生的電場不能看做點電荷產生的電場，故采用

22、微元法，用點電荷形成的電場結合對稱性求解.選電荷元q RQ , 它在 P 點產生的電場的場強的x 分量為：2 REx k2q coskR2Q2) R2xr2 R(Rxx2根據對稱性EE xkQxkQx2 3 2kQx22 3222 32(Rx )2 ( Rx )( Rx )由此可見，此帶電圓環在軸線P 點產生的場強大小相當于帶電圓環帶電量集中在圓環的某一點時在軸線P 點產生的場強大小，方向是沿軸線的方向.例 16：如圖 315 所示，一質量均勻分布的細圓環，其半徑為 R，質量為 m.令此環均勻帶正電，總電量為 Q.現將此環平放在絕緣的光滑水平桌面上，并處于磁感應強度為B 的均勻磁場中，磁場方向

23、豎直向下.當此環繞通過其中心的豎直軸以勻角速度 沿圖示方向旋轉時，環中的張力等于多少？（設圓環的帶電量不減少，不考慮環上電荷之間的作用）解析 ：當環靜止時，因環上沒有電流，在磁場中不受力，則環中也就沒有因磁場力引起的張力.當環勻速轉動時，環上電荷也隨環一起轉動，形成電流，電流在磁場中受力導致環中存在張力，顯然此張力一定與電流在磁場中受到的安培力有關.由題意可知環上各點所受安培力方向均不同，張力方向也不同，因而只能在環上取一小段作為研究對象，從而求出環中張力的大小 .在圓環上取L=R 圓弧元，受力情況如圖3 15甲所示 .因轉動角速度 而形成的電流Q，電流元 IL所受的安培力F IRQBILB2

24、2因圓環法線方向合力為圓弧元做勻速圓周運動所需的向心力，2T sinFm2 R2RQB當 很小時， sin2Tm 2 R22mmTR QBm2 R222解得圓環中張力為TR)(QB m2例 17：如圖 316 所示，一水平放置的光滑平行導軌上放一質量為 m 的金屬桿，導軌間距為L ，導軌的一端連接一阻值為R 的電阻，其他電阻不計，磁感應強度為現給金屬桿一個水平向右的初速度B 的勻強磁場垂直于導軌平面v0，然后任其運動，導軌足夠.長，試求金屬桿在導軌上向右移動的最大距離是多少？解析 ：水平地從 a 向 b 看，桿在運動過程中的受力分析如圖 3 16甲所示，這是一個典型的在變力作用下求位移的題，用

25、我們已學過的知識好像無法解決，其實只要采用的方法得當仍然可以求解 .設桿在減速中的某一時刻速度為 v，取一極短時間 t，發生了一段極小的位移 x，在 t 時間內，磁通量的變化為 =BL xIBL xRtRtR金屬桿受到安培力為F安ILBB 2L2xtR由于時間極短，可以認為F 安 為恒力，選向右為正方向，在t 時間內，安培力 F安的沖量為：IF安tB 2 L2 xR對所有的位移求和，可得安培力的總沖量為I(B2 L2xB2 L2其中 x 為桿運動的最大距離，R)Rx對金屬桿用動量定理可得I=0 mV 0 由、兩式得：xmV0 RB2 L2例 18：如圖 317 所示，電源的電動熱為E，電容器的

26、電容為 C，S 是單刀雙擲開關，MN 、 PQ 是兩根位于同一水平面上的平行光滑長導軌，它們的電阻可以忽略不計，兩導軌間距為L ，導軌處在磁感應強度為B 的均勻磁場中，磁場方向垂直于兩導軌所在的平面并指向圖中紙面向里的方向 .L1 和 L 2 是兩根橫放在導軌上的導體小棒，質量分別為 m1 和 m2，且 m1m2 .它們在導軌上滑動時與導軌保持垂直并接觸良好，不計摩擦，兩小棒的電阻相同，開始時兩根小棒均靜止在導軌上.現將開關 S 先合向1，然后合向2.求：（ 1）兩根小棒最終速度的大小；（ 2）在整個過程中的焦耳熱損耗 .（當回路中有電流時，該電流所產生的磁場可忽略不計）解析：當開關S 先合上

27、 1 時，電源給電容器充電，當開關S 再合上 2 時，電容器通過導體小棒放電，在放電過程中，導體小棒受到安培力作用，在安培力作用下，兩小棒開始運動，運動速度最后均達到最大 .（ 1）設兩小棒最終的速度的大小為v，則分別為 L 1、 L 2 為研究對象得：Fi tim1v1m1v1Fi1t i1m1v 同理得：Fi 2 t i 2 m2 v 由、得：Fi1ti1Fi 2ti 2( m1m2 )v又因為Fi1Bli1ti1ti 2Fi 2B l 2ii1i 2i所以BLi1t i1BLi 2ti 2BL(i1i 2 )t iBLi tiBL(Qq)(m1m2 )v而 Q=CE q=CU =CBL

28、v所以解得小棒的最終速度vBLCE( m1 m2 )CB2L2（ 2）因為總能量守恒，所以1CE21 q 21m2 )v2Q熱22 C(m12即產生的熱量Q熱1CE21 q 21 (m1m2 )v 222 C21 CE21 1 (CBLv)21 (m1m2 )v 222 C21CE 21CB2 L2( m1m2 )(m1BLCE22m2 ) CB 2 L2(m1m2 )CE 22(m1m2B2L2C)針對訓練1某地強風的風速為 v，設空氣的密度為 ，如果將通過橫截面積為 S 的風的動能全部轉化為電能，則其電功率為多少？2如圖 3 19 所示，山高為距離為 s.現在修一條冰道H，山頂 A ACB

29、 ，其中和水平面上B 點的水平AC 為斜面，冰道光滑，物體從 A 點由靜止釋放，用最短時間經 C 到 B，不計過 C 點的能量損失 .問 AC 和水平方向的夾角 多大？最短時間為多少？3如圖3 21 所示，在繩的C 端以速度v 勻速收繩從而拉動低處的物體M 水平前進，當繩AO 段也水平恰成 角時，物體M 的速度多大？4，如圖 3 22 所示，質量相等的兩個小球A 和 B 通過輕繩繞過兩個光滑的定滑輪帶動C 球上升，某時刻連接 C 球的兩繩的夾角為 ，設 A、B 兩球此時下落的速度為v，則 C 球上升的速度多大？5質量為 M 的平板小車在光滑的水平面上以v0 向左勻速運動，一質量為m 的小球從高

30、 h處自由下落，與小車碰撞后反彈上升的高度仍為h.設 M>>m ，碰撞彈力N>>g ，球與車之間的動摩擦因數為 ，則小球彈起后的水平速度可能是（）A 2ghB 0C 22ghD v06半徑為R 的剛性球固定在水平桌面上.有一質量為M 的圓環狀均勻彈性細繩圈，原長2a， a=R/2 ，繩圈的彈性系數為k（繩伸長 s 時，繩中彈性張力為ks）.將繩圈從球的正上方輕放到球上，并用手扶著繩圈使其保持水平，并最后停留在某個靜力平衡位置.考慮重力，忽略摩擦 .（ 1）設平衡時彈性繩圈長2 b，b= 2a ，求彈性系數k；（用 M 、R、 g 表示， g 為重力加速度）（ 2）設 k

31、=Mg/2 2R，求繩圈的最后平衡位置及長度.7一截面呈圓形的細管被彎成大圓環，并固定在豎直平面內，在環內的環底 A 處有一質量為m、直徑比管徑略小的小球，小球上連有一根穿過環頂B 處管口的輕繩，在外力F 作用下小球以恒定速度 v 沿管壁做半徑為 R 的勻速圓周運動，如圖 3 23 所示 .已知小球與管內壁中位于大環外側部分的動摩擦因數為 ，而大環內側部分的管內壁是光滑的 .忽略大環內、外側半徑的差別，認為均為R.試求小球從 A 點運動到 B 點過程中 F 做的功 W F.8如圖 3 24，來自質子源的質子（初速度為零），經一加速電壓為 800kV 的直線加速器加速，形成電流為1.0mA的細柱形質子流 .已知質子電荷 19e=1.60×10C.這束質子流每秒打到靶上的質子數為.