1、 二重積分的變量變換公式二重積分的變量變換公式 用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(滿足滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 變換變換DDT:定理定理21.13,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉域域設(shè)設(shè)Dyxf變換變換:是一一對應(yīng)的是一一對應(yīng)的 ,ovuDoyxDT一、二重積分的變量變換公式一、二重積分的變量變換公式則則 Dyxyxfdd),( Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(oyxDovuD證證: 根據(jù)定理?xiàng)l件可知

2、變換根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 T 可逆可逆. 用平行于坐標(biāo)軸的用平行于坐標(biāo)軸的 ,坐標(biāo)面上在vou 直線分割區(qū)域直線分割區(qū)域 ,D任取其中一個小矩任取其中一個小矩T形形, 其頂點(diǎn)為其頂點(diǎn)為),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通過變換通過變換T, 在在 xoy 面上得到一個四邊面上得到一個四邊形形, 其對應(yīng)頂點(diǎn)為其對應(yīng)頂點(diǎn)為)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令則12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(

3、ohvuuy同理得同理得14yy )(),(okvuvy當(dāng)當(dāng)h, k 充分小時充分小時,曲邊四邊形曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四近似于平行四 邊形邊形, 故其面積近似為故其面積近似為4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(vuvuJdd),(d因此面積元素的關(guān)系為因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式從而得二重積分的換元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時, sin,cosryrx),(),(ryxJcossin

4、rsin cosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(例例1. 計(jì)算計(jì)算其中其中D 是是 x = 0, y = 0, x + y = 1 所圍區(qū)域所圍區(qū)域. 解解則則令令 Dyxyxyxdde, yxu , yxv ),(21vux ),(21uvy ),(vuJxyO11vuO111 21212121 ,21 Dyxyxyxdde Dvuvudd21e vvvuuvded2110 10d| )e(21vvvvvu 101d)e-e (21vv4e-e1 例例2. 求拋物線求拋物線 y2 = mx, y2 = nx 和直線和直線所圍區(qū)域所圍區(qū)域 D 的面積的面積. xyx

5、y ,)0,0( nm解解令令,2xyu xyv vuO mn xyOxy xy nxy 2mxy 2DD 當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分, 或者被積函數(shù)或者被積函數(shù)含有含有 x2 + y2 時，采用極坐標(biāo)變換往往能簡化二重時，采用極坐標(biāo)變換往往能簡化二重積分的計(jì)算積分的計(jì)算. 此時此時, sin,cosryrx ),(),( ryxJ cos sinr sin cosrr Dyxyxfdd),( Drrrrf dd)sin,cos(二、用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 )(1 rr D)(2 rr Ox )()(21d)sin,cos( rrrrrr

6、f,),()(:21 rrrD則則 Drrrrf dd)sin,cos( d (ii) 若原點(diǎn)在若原點(diǎn)在 D 內(nèi)，則內(nèi)，則OxD)( rr )(0d)sin,cos( rrrrrf Drrrrf dd)sin,cos( 20d (i) 若原點(diǎn)在若原點(diǎn)在 D 外，外， (iii) 若原點(diǎn)在若原點(diǎn)在 D 的邊界上，的邊界上， )(0d)sin,cos( rrrrrf Drrrrf dd)sin,cos( dOxD)( rr (iv) 若區(qū)域若區(qū)域 D 可表示為可表示為,),()(:2121rrrrrD DOx )()(21d)sin,cos(rrrrf Drrrrf dd)sin,cos( 11d

7、rrrr則則)(1r )(2r 2r2rr 1r1rr 例例3. 計(jì)算計(jì)算 DyxI221d 其中其中.:222RyxD 例例4. 求球體求球體 2222Rzyx 被圓柱面被圓柱面xRyx 22所截得的所截得的(含在柱面內(nèi)的含在柱面內(nèi)的)立體的體積立體的體積. 解解由對稱性可知由對稱性可知 DyxRV d4222 20d4 cos022dRrrrR d)sin1(342033 R)322(343 RoxyzRyxD DrrrR dd422 cosRr 例例5. 計(jì)算計(jì)算 ,dde)(22 DyxyxI其中其中.:222RyxD 解解 DreI2rerRrd02 Rre02212 )1(2Re 2xe 的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法用直角故本題無法用直角 ddrr 20d由于由于坐標(biāo)計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算.作極坐標(biāo)系變換，有作極坐標(biāo)系變換，有Rr 例例6. 求橢球體求橢球體1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDb