1、專題跟蹤檢測(十二)直線與圓、全練保分考法一一保大分1.過點( (3,1)作圓( (x 1)2+ y2= r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為( () )A. 2x+ y 5= 0B. 2x + y 7= 0C. x 2y 5= 0D. x 2y 7= 0解析：選 B 過點(3,1)作圓(x 1)2+ y2= r2的切線有且只有一條，點 3,1)在圓(x 1)2+ y2= r2上,1 一 0 1圓心與切點連線的斜率 k=1,3 12切線的斜率為一 2,則圓的切線方程為y 1 = 2(x 3),即 2x+ y 7= 0.2.圓心在直線 x+ 2y= 0 上的圓 C 與 y 軸的負半軸相切，圓

2、 C 截 x 軸所得的弦長為 2 6, 則圓 C 的標準方程為( () )A.(x 2 2)2+ (y+ 2)2= 8B.(x 2)2+ (y+ 2 2)2= 8C . (x 2)2+ (y+ 2)2= 8D . (x 2)2+ (y+ 2)2= 8解析：選 A 法一：設圓心為 r, 2 (r0),半徑為 r.由勾股定理(.6)2+ f2= r2,解得 r= 22,A圓心為(2 2, 2)，圓 C 的標準方程為(x 2 2)2+ (y+ 2)2= 8.法二：四個圓的圓心分別為( (22，. 2), ( 2, 2 2), (2,2), ( 2, 2)，將它們逐一代入 x+ 2y= 0,只有 A

3、選項滿足.3.已知圓 M : x2+ y2 2ay= 0(a0)截直線 x+ y= 0所得線段的長度是 2 2.則圓 M 與 圓 N: (x 1)2+ (y 1)2= 1 的位置關系是( () )A內切B 相交C .外切D .相離解析：選 B由題意知圓 M 的圓心為(0, a),半徑 R = a,因為圓 M 截直線 x + y= 0 所得線段的長度為 2 邁，所以圓心 M 到直線 x+ y= 0 的距離 d= r|=a2 2(a0)，解得 a =所以圓心（1,0）到直線 AB 的距離 d= =衍.又圓 C 的半徑為 1,所以圓 C 上的2,即圓M 的圓心為（0,2） ,又知圓N 的圓心為（1,

4、1） ,半徑 r=1,所以|MN |=2,則 R r0)，則 r=TX6 = 4,3所以圓 C 的方程為(x 4)2+ y2= 16.法二：設 A, B 兩點的坐標分別為( (X1, y,( (X2, y2)(X10, X20)，由題設知 x2+ y2= .2+ y2.又 y1= 2X1, y2= 2x2,故 x2+ 2X1= x2+ 2x2,即(X1 X2) (X1+ X2+ 2) = 0,由 X10, X20，可知 X1= X2,故 A, B 兩點關于 x 軸對稱，所以圓心 C 在 x 軸上.設點 C 的坐標為(r,0)(r0),則點 A 的坐標為 號，烏3r j,于是r j2= 2X孑，

5、解得 r= 4, 所以圓 C的方程為(x 4)2+ y2= 16.7._ 設 M , N 分別為圓 O1： x2+ y2 12y+ 34= 0 和圓。2： (x 2)2+ y2= 4 上的動點，貝 V M , N 兩點間的距離的取值范圍是解析：圓 01的方程可化為 x2+ (y 6)2= 2,其圓心為 01(0,6)，半徑 r1= . 2.圓 02的圓心 02(2,0)，半徑 r2= 2,則 |01。2|=36+ 4= 2 10,則 |MN |max= 210+ 2+ .2, |MN |min=2 10 2 .2,故 M , N 兩點間的距離的取值范圍是 2 10 2 2, 2 10+ 2+

6、. 2 答案：2 ,10 2 2, 2 10+ 2+ 28._過點 P( 3,1),Q(a,0)的光線經 x 軸反射后與圓 x2+ y2= 1 相切，則 a 的值為_解析：點 P( 3,1)關于 x 軸對稱的點為 P ( 3, 1),點到直線 AB 的最大距離為-3+ 1,故ABP 面積的最大值為Smax=1X(.3+1)X3=所以直線 P Q 的方程為 x (a+ 3)y a= 0,由題意得直線 P Q 與圓 x2+ y2= 1 相切，所以_;-= 1,12+ a + 32解得 a= 3.答案：39.已知圓 C 過點( (1,0)，且圓心在 x 軸的正半軸上，直線l: y= x 1 被圓 C

7、 所截得的弦長為 2 寸 2，則過圓心且與直線I 垂直的直線的方程為 _ .解析：由題意，設所求的直線方程為x+ y+ m= 0,圓心坐標為( (a,0)(a0),則由題意知 也衛2+ 2= (a 1)2,I 丿解得 a= 3 或1(舍去),故圓心坐標為( (3,0),因為圓心( (3,0)在所求的直線上，所以 3+ 0+ m= 0,解得 m= 3, 故所求的直線方程為 x + y 3= 0.答案：x+ y 3 = 010. (2018 全國卷n)設拋物線 C： y2= 4x 的焦點為 F，過 F 且斜率為 k(k0)的直線 I 與 C 交于A, B 兩點，|AB|= 8.(1) 求 I 的方

8、程；(2) 求過點 A, B 且與 C 的準線相切的圓的方程.解：由題意得 F(1,0), I 的方程為 y= k(x 1)(k0).設 A(X1, y1), B(X2, y2),y=kx1,2 222由得 k2x2 (2k2+ 4)x + k2= 0.y2= 4x2 ,22k + 4= 16k + 160，故 * + X2=L.所以 |AB|= |AF|+ |BF|Ia|24k + 4 =( (X1+ 1) + (X2+ 1) = _.24k + 4由題設知2= 8,k ，解得 k= 1 或 k= 1(舍去).因此 I 的方程為 y= x 1.(2)由(1)得 AB 的中點坐標為(3,2),

9、所以 AB 的垂直平分線方程為 y 2 = (x 3),即 y= x+ 5.設所求圓的圓心坐標為(xo, yo),|xo=3,|xo=11,解得或yo= 2yo= 6.因此所求圓的方程為 (x 3)2+ (y 2)2= 16 或(x 11)2+ (y+ 6)2= 144.11. (2018 成都模擬) )在平面直角坐標系xOy 中，曲線r：y= x2 mx+ 2m(m R)與軸交于不同的兩點 A, B,曲線r與 y 軸交于點 C.(1) 是否存在以 AB 為直徑的圓過點 C?若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明 理由.(2) 求證：過 A, B, C 三點的圓過定點.解：由曲線r：y= x

10、2 mx+ 2m(mR),令 y= 0,得 x mx+ 2m = 0.設 A(X1,0), B(X2,0),則可得= m2 8m0,解得 m8 或 m0,又圓 C 與 y 軸相切，所以圓 C 的半徑 r= a,I x=或y=25,45所以圓 C 的方程為( (X a)2+ y2= a2.因為點 M(1,3)在圓 C 上，所以(1 a)2+ (,3)2= a2,解得 a= 2.所以圓 C 的方程為(x 2)2+ y2= 4.證明：記直線 OA 的斜率為 k(kz0)，則其方程為 y= kx.2 2x 2) )+ y = 4,消去 y,得(k2+ l)x2 4x = 0,2由 k koB= 2，得

11、 koB= k,直線 OB 的方程為 y= fx,4k24k2+1，得k=2，此時直線1的方程為宀孑2 24 + 8k k + 1 3k k + 23k.2 k故直線 I 的方程為 y今丄一他k + 12 k I2在點 A 的坐標中用-下下代換k，得4k28k當直線的斜率存在時,則直線8k2 2k + 1 k + 4的斜率為4k24 4k22k + 1 k + 4聯立y= kx解得 xi= 0,4x2=茁所以 A4k卞2+ 1 k2+ 1 丿當直線的斜率不存在時,24k k +一44 k + 4 4k k + 14 kx*k2+1，所以直線 l 過定點4, 0 .綜上，直線 I 恒過定點，定點

12、坐標為 3，0.、強化壓軸考法拉開分1 已知圓 C: X2+ y2= 1,點 P（Xo, yo）在直線 1: 3x + 2y 4= 0 上，若在圓 C 上總存在兩個不同的點A,B,使6A +OB=6?，貝 y x0的取值范圍是（）-? -? -?選 C 如圖， OA + OB = OP ,0P 與 AB 互相垂直平分,圓心到直線 AB 的距離x()()+yV1,2 2X0+ y04.又 3x0+ 2y0 4= 0,y0= 2 3x0,代入得 x0+ 2 2X0232.已知直線 y= x+ m 和圓 x + y = 1 交于 A, B 兩點，O 為坐標原點，若 AO -AB = ,則實數 m 的

13、值為（)A. B 3B. 2.2C. 22D. sA. 0,2413B.-14,0C. 0,1324(13、 D.0, 1i解析:解析：選 C 設 A(Xi, yi), B( (X2, y2) ),貝 U AO = ( Xi， yi), AB =( (X2 xi,yi),消去 y,整理得，2x2+ 2mx+ m2 i = 0,故= 4m2 8(m2 i)= 8 4m20,m2i2xi+X2= m,XiX2=-2，yiy2=(xi+m)(x2+m)=XiX2+m(xi+X2)+m,223i2i又 AO -AB = XiX2 yiy2+ Xi+ yi=，故 xix?+ yiy2= 2，故 2xix

14、?+ m(xi+ X2) + m =-, 即 m2i m2+ m2= , 得 m2= , m= 22.3. (20i8 荊州模擬) )過點 A(i ,2)的直線 I 將圓 C: (x 2)2+ y2= 4 分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線I 的斜率為解析：易知點 A(i ,2)在圓(x 2)2+ y2= 4 的內部，圓心 C 的坐標為(2,0)，要使劣弧所i對的圓心角最小，只能是直線5 所以說 2答案：壬4.已知圓 O: X2+ y2= i 與 X 軸負半軸的交點為 A, P 為直線 3x+ 4y a = 0 上一點,過 P 作圓 O 的切線，切點為 T,若|PA| = 2|PT|，

15、則實數 a 的最大值為 _ .解析：由題意知 A( i,0)，設 P(x, y),由 |PA| = 2|PT|可得(x + i)2+ y2= 4(x2+ y2 i),化簡得(x 3；+ y2=乎.由 3x + 4y a= 0 與圓x 寸)+ y2=晉有公共點 P，所以圓心 g, 0到|i a| 4i72323直線 3x + 4y a = 0 的距離 d=；,解得一 a石，所以實數 a 的最大值為 27.53333答案：235.已知圓 O: X2+ y2= 1，圓 M ： (x a)2+ (y a+ 4)2= 1若圓 M 上存在點 P，過點 P作圓 O 的兩條切線，切點分別為 A, B，使得/ APB = 60則實數 a 的取值范圍為 _ .解析：圓 O 的半徑為 1，圓 M 上存在