1、煤與瓦斯突出啟動(dòng)和終止的尖點(diǎn)突變研究要：在建立煤與瓦斯突出的安全力學(xué)條件下，運(yùn)用尖點(diǎn)突變理論研究 礦井中的煤與瓦斯突出，通過(guò)構(gòu)造煤與瓦斯突出的突變勢(shì)函數(shù)，利用 突變尖點(diǎn)模型對(duì)突出的啟動(dòng)和終止過(guò)程進(jìn)行定性分析和研究，從而為 煤與瓦斯突出災(zāi)害預(yù)測(cè)與防治提供新的理論依據(jù)。關(guān)鍵詞：煤與瓦斯突出；尖點(diǎn)突變；構(gòu)造勢(shì)函數(shù)；突出力學(xué)條件煤與瓦斯突出是發(fā)生在礦井煤巖體中的災(zāi)害動(dòng)力現(xiàn)象，是含瓦斯煤巖 體的一種劇烈的能量釋放形式。如今對(duì)突出機(jī)理的研究認(rèn)識(shí)，大多是 基于力學(xué)或能量的觀點(diǎn)，但突出從孕育到啟動(dòng)和從發(fā)展到結(jié)束都具有 明顯的突變特征。故研究突出啟動(dòng)和結(jié)束的突變過(guò)程，掌握突出啟動(dòng) 和結(jié)束的影響因素，可以加深對(duì)突

2、出災(zāi)變性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，有利于礦山企 業(yè)采取有效的安全措施來(lái)防治和減輕突出的危害。1 突變理論的基本概況突變理論是奇點(diǎn)理論和分岔理論研究不連續(xù)變化現(xiàn)象的理論，是一個(gè) 新興的數(shù)學(xué)分支。當(dāng)事物發(fā)展的軌跡在拓?fù)淝嫔嫌龅街袛嗵帲胶饩驮獾狡茐模谑?發(fā)生了突變。突變理論是一種旨在應(yīng)用的理論，在數(shù)學(xué)、力學(xué)和物理 學(xué)中，借助突變理論不僅能加深對(duì)已有定律的認(rèn)識(shí)，還取得了一些新 成果。Thom,證明，當(dāng)控制系統(tǒng)的因素(控制變量)不多(個(gè))時(shí)，只有 7 種基本突變形式，其中最常用的是尖點(diǎn)突變模型。當(dāng)控制變量有 2 個(gè)時(shí)，最簡(jiǎn)單的突變模型都是尖點(diǎn)型。該突變型應(yīng)用 最廣，且它的臨界面也容易構(gòu)造，幾何形狀直觀性也很強(qiáng)。2

3、 尖點(diǎn)突變的概述尖點(diǎn)突變的勢(shì)函數(shù)為狀態(tài)變量是一個(gè)，即x,控制變量有2個(gè)，即u和v,所以相空間是三維的，該勢(shì)函數(shù)的臨界點(diǎn)是方程式 (1)的解。式(1)曲面見(jiàn)圖1。假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)是以x，u，v為坐標(biāo)的三維空間的一個(gè)點(diǎn)來(lái)代表,則相點(diǎn)一直位于曲面上,事實(shí)上,這些點(diǎn)一直位于曲面的頂葉或底葉。這是因?yàn)橹腥~對(duì)應(yīng)于小穩(wěn)定平衡。如果相點(diǎn)正好在曲 面終止的邊緣上 （曲綿回折形成的中葉處 ），則它必定跳躍到另一葉上， 這就引起x的突變。尖點(diǎn)之中有2個(gè)極小點(diǎn)，它們被1個(gè)極大點(diǎn)分隔, 而尖點(diǎn)之外只有 1 個(gè)極小點(diǎn)。圖 1 尖點(diǎn)突變的平衡曲而2.1 運(yùn)用尖點(diǎn)突變理論解決工程問(wèn)題的一般方法初等突變理論的應(yīng)用分兩類。一類是定

4、量描述，主要用于數(shù)理化等科 學(xué)，其方法是尋找一個(gè)勢(shì)函數(shù)或者某一突變流形或分叉集有相同數(shù)學(xué) 描述的系統(tǒng)，應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法，將其歸結(jié)為Thom分類表中的某一 種類型。另一類是定性分析，主要用于生物、社會(huì)等科學(xué)，由觀察到 的特征假想出一個(gè)初等突變模型，然后作數(shù)據(jù)擬合，看這個(gè)數(shù)學(xué)模型 能否用來(lái)較好地解釋觀察到的現(xiàn)象，最后推斷現(xiàn)象的機(jī)理，導(dǎo)出一個(gè) 物理模型。基于尖點(diǎn)突變理論，工程問(wèn)題分析一般是建立勢(shì)函數(shù)表達(dá)式，再利用 泰勒展開、變量替換等技巧將勢(shì)函數(shù)化為尖點(diǎn)突變的標(biāo)準(zhǔn)形式：式(2)中V(x)表示系統(tǒng)總勢(shì)能，x表示狀態(tài)變量，u, v為控制變量，對(duì)V(x)求導(dǎo)，得平衡曲面M的方程：式(3)所決定的臨界點(diǎn)集

5、稱為突變流形，即平衡曲面，該曲面在(x， u，v)空間中的圖形是具有皺褶的光滑曲面，見(jiàn)圖 2,由上、中、下三葉組 成，其中上、下兩葉穩(wěn)定，中葉不穩(wěn)定。不管 u， v 按何種途徑變化， 其中相點(diǎn)(x，u，V)都只在上葉或者下葉穩(wěn)定變化，恒在其到達(dá)上葉或 者下葉的皺褶邊緣時(shí)產(chǎn)生突跳而直接躍過(guò)中葉。所有在平衡曲面上有 豎直切線的點(diǎn)構(gòu)成狀態(tài)的突變點(diǎn)集 S,其方程為奇異點(diǎn)集的控制變量(u換行，v)在平面C上的投影就構(gòu)成了分叉集， 它是所有使得狀態(tài)變量產(chǎn)生突跳突變的點(diǎn)的集合， 分叉集方程由式 (3)、 (4)聯(lián)立并消去X，即得到：圖 2 平衡曲面和控制變量平面由圖2可知，當(dāng)uWO時(shí)才有跨越分叉集的可能，所

6、以系統(tǒng)發(fā)生突跳的一個(gè)必要條件是：uW0當(dāng)控制變量 u， v 滿足分叉集方程時(shí)，系統(tǒng)則處于突跳前的臨界狀態(tài)， 所以可得到系統(tǒng)發(fā)生突變的充分條件 （臨界條件）。系統(tǒng)中某些因素的變化將會(huì)導(dǎo)致 u, v的改變。利用圖2可以對(duì)系統(tǒng)的演化途徑作一些定量分析。2.2 煤與瓦斯發(fā)生突出機(jī)制綜合作用假說(shuō)認(rèn)為突出是地應(yīng)力、瓦斯壓力和煤的物理力學(xué)性質(zhì)綜合作用的結(jié)果。資料表明，物理力學(xué)性質(zhì)方面具備能夠形成突出的煤體在地應(yīng)力的作用破壞下是煤與瓦斯突出發(fā)生的一個(gè)必要條件但不是充分條件，原因是地應(yīng)力破壞煤體后如果煤體的裂紋或裂隙中沒(méi)有足夠的瓦斯壓力，裂紋或裂隙就不會(huì)大面積地?cái)U(kuò)展，暴露面附近已被地應(yīng) 力破壞的煤體也不會(huì)被拋出

7、，即突出不會(huì)發(fā)生，且被破壞的煤體僅承 受一定應(yīng)力，動(dòng)態(tài)的應(yīng)力場(chǎng)將會(huì)慢慢地形成靜態(tài)應(yīng)力場(chǎng)，這樣暴露面 也將慢慢地處于穩(wěn)定狀態(tài)，煤體內(nèi)部的瓦斯氣體將以較為緩慢的速度 向井巷釋放。但是如果煤體在地應(yīng)力作用下破壞后能較快地釋放足夠 的瓦斯量并形成積聚，從而形成較高的瓦斯壓力，撕裂煤體，從而使 得煤體被拋出，這樣煤與瓦斯突出就發(fā)生了。2.3 煤與瓦斯突出發(fā)生的力學(xué)條件根據(jù) M.M.Leven 提出的球蓋失穩(wěn)的經(jīng)驗(yàn)公式，可推出煤與瓦斯發(fā)生突 出現(xiàn)象的力學(xué)條件為式(6)的使用條件是：？i=20o60o, Ri/ti=400200式中： Pim 為煤殼后部裂隙內(nèi)積聚的最大瓦斯壓力， MPa；i 為球蓋狀 煤殼

8、的邊緣與煤殼的曲率中心構(gòu)成的中心角的一半； E為煤體的彈性模 量，MPa; E為煤殼的厚度，m; Ri為煤殼的曲率半徑，m; p2為煤殼 外部作用的氣壓， MPa。令式(6)的右邊部分為P1,則煤與瓦斯突出的安全力學(xué)條件為：Pim< P1由此可以得出：煤與瓦斯突出所能承受的安全受力與煤殼的厚度、煤殼的曲率半徑、煤殼的外部作用氣壓、煤體的彈性模量，以及球蓋狀 煤殼的邊緣與煤殼的曲率中心構(gòu)成的中心角等有關(guān)。2.4 構(gòu)造突變勢(shì)函數(shù)發(fā)生煤與瓦斯突出前，影響其發(fā)生的一個(gè)或多個(gè)因素是在變化的，一直達(dá)到臨界點(diǎn)，這段過(guò)程是突出的量變過(guò)程；達(dá)到臨界點(diǎn)后，當(dāng)某一個(gè)或多個(gè)影響因素向有利于突出發(fā)生的方向變化時(shí)，

9、就發(fā)生了突出， 這一過(guò)程是突出的質(zhì)變過(guò)程；從量變到質(zhì)變，必定存在著一個(gè)突變。現(xiàn)在構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)：w(?i, Ri)和y(E, ti, P2),其中w是單調(diào)減小的; y是分段函數(shù)；當(dāng)P1-Pim>0時(shí)，單調(diào)增加，當(dāng)P1-Pimim為實(shí)際瓦斯壓 力)。煤與瓦斯突出可以適合尖點(diǎn)突變模型,則其突變勢(shì)函數(shù)為由式(7)對(duì)(P1-Pim求導(dǎo)，可得到平衡曲面 M的方程:突變點(diǎn)集（奇點(diǎn)集）方程S為分叉集方程口為3 突變理論對(duì)煤與瓦斯突出 換行 分析2 個(gè)條件；在圖3中，w和y分別代表煤與瓦斯突出的啟動(dòng)和發(fā)展的當(dāng) P1-Pim圖 3 平衡曲面和控制平面通常，在無(wú)外界因素影響的情況下，圖 3 中分叉集日的左支、

10、右支曲線分別代表瓦斯突出過(guò)程的臨界啟動(dòng)條件和瓦斯突出的臨界終止條件因此，把突出的啟動(dòng)過(guò)程描繪為孕育、激發(fā)和發(fā)展階段的前部；突出 的終止過(guò)程為發(fā)展階段的后部和終止階段。3.1 煤與瓦斯突出的啟動(dòng)過(guò)程煤與瓦斯突出的啟動(dòng)過(guò)程，見(jiàn)圖 4。其中， P1-Pimim，P2 這幾個(gè)參數(shù) 中的一個(gè)或多個(gè)的增大而減小，直至封分叉集 B 的左支曲線，此時(shí)突 出也已到達(dá)臨界點(diǎn)的位置。若參數(shù)繼續(xù)增大，圖上就表現(xiàn)為從下葉躍遷至上葉，相應(yīng)的P1-Pim安全瓦斯壓力，則突出就會(huì)發(fā)生。圖中 a-b-c 是（w，y）在平衡曲面上的運(yùn)動(dòng)軌跡。再假定y不變，則由圖當(dāng)y>0時(shí)，無(wú)論w怎樣變化，最多也只能到達(dá) 臨界點(diǎn)，此種情況下

11、突出不可能發(fā)生，這一結(jié)論與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況完全 吻合；相反當(dāng) yi， p2 這幾個(gè)參數(shù)中的一個(gè)或多個(gè)的減小而增大，等到 達(dá)分叉集B的右支曲線時(shí)，若y繼續(xù)增大，則在圖中表現(xiàn)為躍遷P1-Pim 也由大于 0變?yōu)樾∮?0，煤體所承受的瓦斯壓力就會(huì)小于煤體所能承受 的安全瓦斯壓力，突出就終止。圖中a'-b'-c是（w，v）在平衡曲面上的運(yùn) 動(dòng)軌跡。圖 5 突出停止參數(shù)變化圖若 y 不變，當(dāng) y 很小時(shí)，則不論 w 怎樣增大也到不了分叉集 B 的右支 曲線，使人容易認(rèn)為突出將持續(xù)下去，其實(shí)，這是表象，當(dāng)突出達(dá)到 一定的程度時(shí)，突出的空洞將被排出的煤巖體堵塞，相當(dāng)于 P1 增大， 當(dāng) P1 增

12、大到使得 P1>pim 時(shí)，突出過(guò)程就終止。如果 y 不是很小的情 況下，當(dāng)w隨著影響其因素（i, Ri）的增大而增大，現(xiàn)場(chǎng)表現(xiàn)為遇到較為 堅(jiān)硬的煤（巖）層等，根據(jù)突出終止過(guò)程的條件，也將到達(dá)分叉集B的右 支曲線，進(jìn)而發(fā)生躍遷。在圖5上表現(xiàn)為（P1-pim）由大于0躍遷變?yōu)樾?于0,過(guò)程終止。（w，y）在平衡曲面上的運(yùn)動(dòng)軌跡為 a'-b'-d'。同理，在突出的終止過(guò)程時(shí)，w和y可能都發(fā)生變化。（w, y）在平衡曲 面上的運(yùn)動(dòng)軌跡也較為復(fù)雜， 但有一點(diǎn)明確的是先從上葉到達(dá)分叉集 B 的左支曲線,然后躍遷到下葉。4 結(jié)束語(yǔ) 應(yīng)用尖點(diǎn)突變理論,描述了突出啟動(dòng)和終止的力學(xué)安全突變勢(shì)函數(shù), 分析了突出啟動(dòng)和終止的突變過(guò)程和突變影響因素。 現(xiàn)場(chǎng)采掘過(guò)程中,突出發(fā)生前，點(diǎn)（w, y）處于平衡曲面下葉的某一個(gè)位置，隨著掘進(jìn)工作的進(jìn)行，該點(diǎn)不斷地變化，通常情況下，該點(diǎn)只在下葉的頁(yè)面范圍內(nèi) 移動(dòng)。但是，如果在掘進(jìn)前方存在能引起突出的物質(zhì)和條件，如構(gòu)造 煤、斷層、應(yīng)力集中區(qū)、煤層傾角突然變大等情況，此時(shí) y 減小， w 增大，點(diǎn)（w, y）極有可能向分叉集B的左支曲線移動(dòng)，當(dāng)y減小以及w 增大達(dá)到一定值時(shí)，點(diǎn)（w，y）就會(huì)到達(dá)分叉集B的左支曲線換行，如 果繼續(xù)向這一方向變化，貝S點(diǎn)（w，y）就會(huì)突破分叉集B的左支曲線，由 下葉躍遷到