1、絕對值不等式講義解絕對值不等式1、解不等式|x? 一5x 5|._思路 利用丨 f(x) | 0)尋-af(x)2 x； (2)|x2 2x 6|3x思路利用 | f(x) | g(x)= -g(x)f(x)g(x)二 f(x)g(x)或 f(x)X2-3X-4; (2) 目 1變形二含兩個絕對值的不等式4、解不等式(1) |x 1|5.思路(1)題由于兩邊均為非負數(shù)，因此可以利用| f(x) | | g(x)| = f2(x)g2(x)兩邊平方去掉絕對值符號。(2)題可采用 零點分段法去絕對值求解。5、 解關(guān)于X的不等式|嘰(仁X)| |lga(X)|(30 且3半1)6 不等式|x+3|-

2、|2x-1|v尹 1 的解集為_7.求不等式logix + log- 1的解集.33x變形三解含參絕對值不等式8、解關(guān)于x的不等式x24mx 4m2m 3思路本題若從表面現(xiàn)象看當(dāng)含一個根號的無理根式不等 式來解，運算理較大。若化簡成|x_2m|m + 3，則解題過程更簡 單。在解題過程中需根據(jù)絕對值定義對m3的正負進行討論。2)形如 |f(x)|a(a R)型不等式此類不等式的簡捷解法是等價命題法，即：1當(dāng)a0 時，|f(x)|a =af(x)a= f(x)a或f(x)a；2當(dāng)a=0 時，|f (x)|a= f (x)工 03當(dāng)a0 時，|f(x)|a= f(x)有意義。9 .解關(guān)于x的不等式

3、：x2a2X 9 D10.關(guān)于x的不等式 Ikx 1| 5 的解集為x| 3x 2,求k的值。變形 4 含參絕對值不等式有解、解集為空與恒成立問題11、 若不等式 Ix 4| + |3 x|a的解集為空集， 求a的取值范 圍。思路此不等式左邊含有兩個絕對值符號，可考慮采 用零點分段法，即令每一項都等于0,得到的值作為討論的分區(qū)點，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集 的并集，這是按常規(guī)去掉絕對值符號的方法求解，運算量較 大。若仔細觀察不等式左邊的結(jié)構(gòu)，利用絕對值的幾何意義 用數(shù)形結(jié)合方法或聯(lián)想到絕對值不等式 Ia+b| |a| + |b|，便 把問題簡化。1) 一題有多法，解題時需學(xué)會

4、尋找最優(yōu)解法。2)f(x)a有解 aafxh；f(x)a解集為空集 navf(xhn；這兩者互 補。f X a恒成立=a - f xmax。f(x)f(xmin；f(x)a解集為空集 naMfgax；這兩者 互補。f Xa恒成丄=aWf Xmin。12.對任意實數(shù)x,若不等式 Ix+1| -1x-2|k恒成立，求k的取值范圍。13.對任意實數(shù) x,不等式|x+1|+|x-2|a恒成立， 求實數(shù) a 的取值范圍。1）、若不等式 |x-4|+|x-3|a對于一切實數(shù) x 恒成立，求 a 的取值范圍2）、若不等式 |x-4|-|x-3|a在 R 上恒成立，求 a 的取值范圍變題：14、設(shè) ova 蘭

5、5,若滿足不等式|xab的一切實數(shù) x,亦滿足不等 式x-12求正實數(shù) b 的取值范圍。第 5 變絕對值三角不等式問題15、已知函數(shù)f (x) =ax2+bx+c (a,b,c R)，當(dāng)xf-1,1時| f(x)Q，求證:(1)|b；若g(x)二bx2ax c(a,b,c R)，則當(dāng)x-1,1時，求證：| g(x) 2。16、已知函數(shù) f(x)=-.1 x2， a,b R，且a = b，求證|f(a)-f(b)|a的解集非空， 求 a 的取值 范圍。(4)已知不等式|x-3|+|x+1| a的解集非空，求 a 的取 值范圍。18、已知 f(x)的定義域為0,1,且 f(0)=f(1),如果對于

6、任 意不同的X1,X2 0,1，都有 |f(x1)-f(x2)|x1-x2|，求證: |f(x1)-f(x2)|219、求證：已知二次函數(shù)f(x)=ax2bx c，當(dāng)一仁x,時，有-1(x), 當(dāng)-2沁乞2時，有-7(x)乞7.解絕對值不等式題根 4解不等式|x?5x+5|1_思路利用丨 f(x)I0)二-avf(x)va 去掉絕對值后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元2二次不等式組-1 -1由(1)得：X：4；由(2)得：X：2或x 3，所以，原不等式的解集為xl1：x :：2或3：x :：4收獲1) 一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我們解不等式的基礎(chǔ)，無論是解高次不等式、絕對值不等式還 是解無理根

7、式不等式，最終是通過代數(shù)變形后，轉(zhuǎn)化為一元 一次不等式、一元二次不等式組來求解。2)本題也可用數(shù)形結(jié)合法來求解。在同一坐標系中畫出函數(shù) y=|X2_5x +5與y =1的的圖象，解方程|X2_5X+5=1，再對照圖形寫出此不等式的解 集。第 1 變右邊的常數(shù)變代數(shù)式變題 1 解下列不等式:(1)|x+1|2 x;(2)|x2 2x 6|3x思路利用If(x) | g(x)= -g(x)f(x)g(x) - f(x)g(x)或 f(x)2x或X+1V(2 X)解得x2解題 原不等式等價于2一1： ：x -5x 5 :或無解，所以原不等式的解集是x|xg(2)原不等式等價于3xx2 2x 63x冃

8、口x-2x -6 *3xx x -60(x 3)(x -2)0 x：-3或x2x-2x-6：3xx -5x-6：0(x 1)(x-6)：0-1：x：62x6所以原不等式的解集是x|2x6收獲形如 If(x)|g(x)型不等式這類不等式的簡捷解法是等價命題法，即：1|f(x)|g(x) =g(x)f(x)g(x)二f(x)g(x)或f(x)x2-3x-4 ; (2) |壬| x2-3x-4或 x-x2-2-(x2-3x-4)解得：1-2x-3故原不等式解集為 x | x-3分析二Tlx-x2-2 | = | x2-x+2 而 x2-x+2 = (x-1)2+70所以| x-x2-2 |中的絕對值

9、符號可直接去掉.故原不等式等價于 x2-x+2x2-3x-4解得：x-3 原不等式解集為 x-3 (2)分析 不等式可轉(zhuǎn)化為-1w啟 1 求解，但過程較x一4繁，由于不等式 壬1 兩邊均為正，所以可平方后求解.x -42原不等式等價于壬 16-1wxw1 或 x4 或 xw-4注意：在解絕對值不等式時，若丨 f(x)丨中的 f(x)的值的 范圍可確定(包括恒正或恒非負，恒負或恒非正)，就可直接 去掉絕對值符號，從而簡化解題過程.第 2 變含兩個絕對值的不等式變題 2解不等式(1) |x- 1|5.思路(1)題由于兩邊均為非負數(shù)，因此可以利用If(x)IIg(x)I = f2(x)g2(x)兩邊

10、平方去掉絕對值符號。(2)題可采用零點分段法去絕對值求解。解題(1 )由于|x- 1| 0, |x+a| 0,所以兩邊平方 后有：|x 1|2|x+a|2即有x2一 2x+ 11 一a2當(dāng) 2a+20 即a- 1 時，不等式的解為x!(1 -a)；當(dāng) 2a+2=0 即a= - 1 時，不等式無解；|lg(1-x)|2|lg(1x)|2當(dāng) 2a+25.解：當(dāng) x 5 二-2x6 二 x-3.當(dāng)-3x5 = 55 無解. 當(dāng) x 2 時，原不等式為(x-2)+(x+3)5 = 2x4= x2.綜合得：原不等式解集為 x | x2 或 x-3 .收獲1)形如|f(x)|g(x)|型不等式此類不等式的

11、簡捷解法是利用平方法，即：|f(x)|V|g(x)|，=f2(x) ：g2(x)，= f(x)g(x) f(x)-g(x)0 且a工 1) 解析：易知1x1，換成常用對數(shù)得：|嚀|3| lgalga于是lg2(1x)lg2(1+x)沁Ig(1 x) lg(1 x)lg(1 x)一lg(1 x) . 021 -x屮0T 1x101 x21 - Ig(1 x2)0家解得 0 xV12 不等式 |x+3|-|2x-1|vf+1 的解集為解:|x+3|-|2x-1|=14 x(x X)214x +2(-3 ex )2x 4(x蘭一3)當(dāng)x一1時4 X：1242當(dāng)-3x2故填(3.求不等式x21log+

12、 fx-1的解集.解：因為對數(shù)必須有意義，即解不等式組x 01，解得0 x : 3口0又原不等式可化為gx+lgx山(1)當(dāng)0 x時，不等式化為-log3x + log3(3-x)21即log3(3 x)之log33x二3x_3x二綜合前提得：07。44當(dāng) 1x9,3144丿第 3 變解含參絕對值不等式變題 3解關(guān)于x的不等式Jx2-4mx + 4m2=m+3思路本題若從表面現(xiàn)象看當(dāng)含一個根號的無理根式不等 式來解，運算理較大。若化簡成|x_2m|m + 3，則解題過程更簡 單。在解題過程中需根據(jù)絕對值定義對m 3的正負進行討論。x 3m 3或x：m一3當(dāng)m +3 =0即卩m= -3時，當(dāng)m+

13、3c0即mw-3時，收獲1)一題有多解，方法的選擇更重要。解題原不等式等價于當(dāng)m 3 0即m 一3時,x - 2m m 3或x- 2m：-(m 3)x6|x 6| 02)形如 |f(x)|a(a R)型不等式 此類不等式的簡捷解法是等價命題法，即:4當(dāng)a0 時，|f(x)|a= f (x)a或f(x)a= f(x)半06當(dāng)a0 時，|f (x)|a：= f (x)有意義。21 解關(guān)于x的不等式：xxa蘭詈40)分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)a進行討論，而是去絕對值時必須對末知數(shù)進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式

14、的解集。a* 7ab故不等式的解集為（弋 3 尋吟2關(guān)于x的不等式|kx一 1| 5 的解集為x| 一 3x 2, 求k的值。按絕對值定義直接去掉絕對值符號后，由于k值的不確定，要以k的不同取值分類處理。解：當(dāng)xa 時，不等式可轉(zhuǎn)化為丿x Aa的)透2即”x _ a9x29ax2a2豈當(dāng) x ca 時不等式可化為丿x ar2即ax(a _x)玄2ax a2 29x - 9ax 2a - 0解：原不等式可化為一 4Wkx 64綜上，k= 2。第 4 變含參絕對值不等式有解、解集為空與恒成立問題變題 4若不等式 Ix 4|+|3 x|a的解集為空集，求a的取值范圍。思路此不等式左邊含有兩個絕對值符

15、號，可考慮采 用零點分段法，即令每一項都等于0，得到的值作為討論的分區(qū)點，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集 的并集，這是按常規(guī)去掉絕對值符號的方法求解，運算量較 大。若仔細觀察不等式左邊的結(jié)構(gòu)，利用絕對值的幾何意義 用數(shù)形結(jié)合方法或聯(lián)想到絕對值不等式|a+b| |a| + |b|，便 把問題簡化。解題解法一 (1)當(dāng)a0 時，先求不等式 IX 4|+|3 x| 4 時，原不等式化為x 4+x 3a，即 2x 70 時，進一步化為上k冷，依題意有k3，此k =3時無解。當(dāng)k=0 時， 顯然不滿足題意當(dāng)k0 時，*一4，依題意有丄2k=：k一263 k2當(dāng) 3x4 時，原不等式化為 4

16、 一x+x一 313當(dāng)XW3 時，原不等式化為 4 一x+3 一Xa即 7 一 2x1 時，原不等式有解，從而當(dāng) 0a 1時，原不等式解集為空集。由(2)知所求a取值范圍是a1 時，|x4| + |3 x|a有解從而當(dāng)a|x 4|+|3 x| |x 4+3-x|=1當(dāng)a1 時，|x 4| + |3 x|a有解從而當(dāng)aW1 時，原不等式解集為空集。收獲1) 一題有多法，解題時需學(xué)會尋找最優(yōu)解法。2 )f X乞a有解二a一f Xmin；f x a解集為空集Hxfgn；這兩者互補。f(x戶a恒成立二afgax。f x a有解二a fXmin；f x a解集為空集二a空f xmin； 這兩者互補。f

17、(x) f (xh。f X-a有解二aXmax；f X-a解集為空集二a f Xmax； 這兩者解不等式組礦47寧,2x-7 1解不等式x乞3T-2x a7-a:x三3=二a1互補。f(xpa恒成立二a(xh。f(x)a有解二acHxhx；f(x)a解集為空集二aEf(xhx； 這兩者互補。f(x)a恒成立二a(x)min。1 對任意實數(shù)x,若不等式 Ix+ 1| - |x 2|k恒成立，求k的取值范圍。思維點撥：要使 Ix+ 1| |x 2|k 對任意實數(shù)x恒成立，只要|x+ 1| IX 2|的最小值大于k。因|x+ 1|的幾何意義為數(shù)軸上點x到一 1 的距離，Ix 2|的幾何意義為數(shù)軸上點

18、x到 2 的距 離，Ix+1| |X 2|的幾何意義為數(shù)軸上點x到1 與 2 的距 離的差，其最小值可求。此題也可把不等式的左邊用零點分段的方法改寫成分段 函數(shù)，通過畫出圖象，觀察k的取值范圍。解法一根據(jù)絕對值的幾何意義，設(shè)數(shù)x， 1,2 在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為 P、A B,則原不等式即求 IPAI IPBIk成VIABI=3，即 Ix+1I Ix 2I 3故當(dāng)kk恒成立，從圖象中可以看出，只要k 3 即可。故ka恒成立，求實數(shù) a的取值范圍。分析：經(jīng)過分析轉(zhuǎn)化，實質(zhì)上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a 應(yīng)比最小值小。解： 由絕對值不等式：|x+1|+|x-2| 一 |(x+1)-(x-

19、2)|=3，當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-2) Q 即-i_x2 時取等號。故 a0,不等式|x-4|+|x-3|a 在實數(shù)集 R 上的解集不是 空集，求 a 的取值范圍分析(一)|x-4|+|x-3|-|x-4 (x-3)|=1當(dāng)|x-4|+|x-3|1(二)如圖， 實數(shù) x、 3、 4 在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為 P、A、B 則有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB| -1恒有 y_1數(shù)按題意只須 a1A B PIIIIII 034x(三)令 y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其圖象由 f(x)vg(x)=a 有解得 a1y31E /1 1 1 1103 4 x(四)

20、考慮|z-4|+|z-3|1 時，表示復(fù)平面上以 3、4 為焦點，長軸長為 a 的橢圓內(nèi)部，當(dāng) z 為實數(shù)時，a1 原不等式有解 a1 即為所 求(五)可利用零點分段法討論.將數(shù)軸可分為(-%，3)，:3, 4，(4，+x)三個區(qū)間.當(dāng) x3 時，得(4-x)+(3-x) 守.有解條件為口12當(dāng) 3x4 時得(4-x)+(x-3)1當(dāng) x4 時，得(x-4)+(x-3)a 二 x4 即 a12以上三種情況中任一個均可滿足題目要求，故求它們的并 集，即仍為 a1.變題：1、 若不等式|x-4|+|x-3|a 對于一切實數(shù) x 恒成立，求 a 的取值范圍2、 若不等式|x-4|-|x-3|a 在

21、R 上恒成立，求 a 的取值范圍評注：1、此題運用了絕對值的定義，絕對值不等式的性質(zhì)，以及絕對值的幾何意義等多種方法。4、 構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的方法，是行之有效的常用方法設(shè) Ova5,若滿足不等式|xab的一切實數(shù) x，亦滿足不等式簡析略解：此例看不出明顯的恒成立問題，我們可以設(shè)法轉(zhuǎn)設(shè)集合 A=X | x一a：b丄a - b,a b,由題設(shè)知 A B，則:ab2冷于是得不等式組0：a乞5a4-x211a,24即：b 的取值范圍是0,16第 5 變絕對值三角不等式問題變題 5已知函數(shù)f (x) = ax2+bx + c(a,b,W R)，當(dāng)xj-1,1時|f(x)戶1，求 證：(1)|b1；若g

22、(x) =bx2ax c(a,b, R)，則當(dāng)x -1,1時，求證：|g(x)2。x -a24求正實數(shù) b 的取值范圍。B=廣x| x _a2a2,a212 2-a2a-12-.214，最小值為136；最小值為1；4a2-a -2思路本題中所給條件并不足以確定參數(shù)a,b,c的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是b或g(x)的確定值，而是與條件相 對應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用f1、f(。)、f 1來表 示a,b,c。因為由已知條件得|f(1)|_1，|f(0)|_1，解題證明：(1)由f(1)=a +b +c, feFab+gbf1)1), 從而有1 1|b|pf(1)-f(-1)込(|

23、f(1)| | f(-1)|),；| f(1)國1,| f(-1)吃1,1 |b|違(I f(1)I I f(-1)I) “由f (1 )=a 4b +c, f(二)=a _b +c= b = f (1 )_f(二,a+c = f (1 )+f(二，c = f(0),從而a=扣(1 ) (-1 -f()將以上三式代入g(x) =bx2ax c (a,b,c R),并整理得21 1|g(x)I=| f(0)(x2_1)；f(1)(x 1)(-1)(1-x)I2 21-I f(-1)(1-x)I21-I f()II1 -x|22收獲1 ) 二次函數(shù)的一般式y(tǒng)二ax2bx c(c = 0)中有三個參

24、數(shù)a,b,c.解題的關(guān)鍵在于：通過三個獨立條件“確定”這三個參 數(shù).2)本題變形技巧性強，同時運用公式|a b|_|a| |b|，|a一b |_|a | |b |及 已知條件進行適當(dāng)?shù)姆糯蟆Ｒ笸瑢W(xué)們做題時要有敏銳的數(shù) 學(xué)觀察能力。請你試試 4 5I f(i)l叮。21f(o)(x -i)r-i f(i)(x i)i221H f (0) I x2-1| 2丨f(1)|x 1|21121121 已知函數(shù) f(x)=1 x2, a,b R,且a =b,求證|f(a)-f(b)|v|a-b|。分析：要證I 1 a2-1 b2卜：Ia-bI，考察左邊，是否能產(chǎn)生 Ia-bI。2 21,1 3 _ 1

25、b 1= +2lb2R”bb|（其中同理“w回顧：1、證題時，應(yīng)注意式子兩邊代數(shù)式的聯(lián)系，找出它 們的共同點是證題成功的第一步。此外，綜合運用不等式的 性質(zhì)是證題成功的關(guān)鍵。如在本例中，用到了不等式的傳遞 性，倒數(shù)性質(zhì)，以及“三角形不等式”等等。2、本題的背景知識與解析幾何有關(guān)。函數(shù)y = nx2是雙曲線,y2_x2=1的上支，而|心| （即|f（3Hb（b）l），則表示該圖象上任意捲_ x2a _ b兩點連線的斜率的絕對值。（學(xué)過有關(guān)知識后），很顯然這一 斜率的范圍是在（-1，1）之間。2. （1）已知不等式|x-3|+|x+1|a，的解集為空集，求 a的取值范圍；（2）已知不等式|x-3|

26、+|x+1|a 有解，求 a 的取值范圍。 分析：“有解”即“解集非空”，可見（1） （2）兩小題的答 案（集合）互為補集（全集為R）2x-2（xK3）當(dāng)然可以用|x-3|+|x+1|=4（一13）這種“去絕對值”的方三2x（x1）法來解，但我們考慮到三角形不等式” :|a|-|b| |x-3-x-1|=4這樣|x-3|+|x+1|a 等價于茫3|：|：1|：（*）若(*)解集為，貝 V a4。解(略)回顧：本題是絕對值不等式性質(zhì)定理(即三角形不等 式”)的一個應(yīng)用。發(fā)展題：(1)已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a 的取值范圍。(2)已知不等式|x-3|+|x+1| a 的解集

27、非空，求 a 的取值范圍。3. 已知 f(x)的定義域為0,1，且 f(0)=f，如果對于 任意不同的XI,X20,1，都有|f(xi)-f(x2)|x1-X2I，求證: |f(xi)-f(x2)|2分析：題設(shè)中沒有給出 f(x)的解析式，這給我們分析 f(x) 的結(jié)構(gòu)帶來困難，事實上，可用的條件只有 f(0)=f(1) ， 與 |f(x1)-f(X2)|x1-X2I 兩個。首先，若 IX1-X2I 2，那么必有 |f(x1)-f(X2)|x1-X2I 1即 |f(x1)-f(x2)|1呢？考慮到 0W|x1-X2I 1，則 1-|X1-X2|1，看來要證明的是|f(x1)-f(X2)1 1-|x1-X2|2成立！證明：不妨設(shè) X1 X2，貝U0 X1 X2 1(1)當(dāng) |x1-X2I 2時，則有 |f(x1)-f(x2)|x1-X2I 即 |f(x1)-f(x2)|1時，即 X2-X11時，T0 X2-X1W1必有 1-|X1-X2|1即 1- x2+X1-1也可寫成 |1- x2|+|x1|2(*)另一方面 |f(xi)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(xi)-f(O)|f(1)-f(x2)|+