1、解直角三角形問(wèn)題的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型有一些涉及直角三角形的問(wèn)題，常常需要通過(guò)建立各種數(shù)學(xué)“模型”來(lái)解決，這是一種十分重要的思想方法現(xiàn)舉例說(shuō)明說(shuō)明 此類問(wèn)題的特征是：具有公共直角的兩個(gè)直角三角形，并且它們均位于直角邊的同側(cè) .AC g AC匚=tan600-=人門1r匸窩解法 1 在厶 ADC 中，由 L，即，二-二二 V-解法 2 在AADC 中，設(shè) CD=x 貝U AC= 伍二 BC .由 BC-CD=BD 得石黑-藍(lán)士10,.一；匚+ 11丁=1力推廣 1 如圖 2,小山上有一電視塔 CD 由地面上一點(diǎn) A,測(cè)得塔頂 C 的仰角為 30, 由 A 向小山前進(jìn) 100 米到 B 點(diǎn)，又測(cè)得塔頂 C

2、 的仰角為 60,已知 CD=20 米，求小山高度DE.分析 本題可利用模型 1，先求得 二1 ：米，DE=CE-CD再求得 丿-想一想：如果在 A、B 二處均使用了測(cè)量?jī)x，且測(cè)量?jī)x高為 1.2 米時(shí)，該怎樣求山高?將此問(wèn)題改為測(cè)河寬 CD 時(shí)，在河一側(cè)岸邊設(shè)觀測(cè)點(diǎn) A B、E,并使 CELAE 則求解過(guò)程是否完全雷同?推廣 2 如圖 3,有長(zhǎng)為 100m 的大壩斜坡 AB,坡角a=45,現(xiàn)要改造成坡角3=30,模型 1長(zhǎng)如圖 1,在 Rt ABC 中，/ C=90，/求伸長(zhǎng)的坡度 DB 的長(zhǎng).分析此題的條件只不過(guò)是在模型1 中稍加變化而已解 在 Rt ABC 中求得又在 Rt ADC 中,D

3、CCc(rt30G5()R,.DB = DC-BC= 50(7(5推廣 3 如圖 4,船自西向東航行，在 A 處測(cè)得小島 S 在船北偏東 60,船航行 10 海里到 B 處，又測(cè)得小島 S 在船北偏東 45，在小島 S 的周圍有半徑為 12 海里的暗礁區(qū)，如果船不改變航向，繼續(xù)前進(jìn)時(shí)有無(wú)危險(xiǎn)，為什么？分析由題設(shè)可知/ SAB=30，/ SBD=45，則可歸結(jié)為模型1 的問(wèn)題，求得 SD = 5+5衛(wèi). SD 12,二船不會(huì)有危險(xiǎn).(另外，此問(wèn)題還可將 AB=10 改變?yōu)榇?v=40 海里/小時(shí)，船自 A 行駛 15 分鐘后到達(dá) B點(diǎn).)模型 2 如圖 5,在厶 ABC 中，/ B=30，/

4、C=45 , AC=2 求 AB 和 BC.說(shuō)明此類問(wèn)題的特點(diǎn)是：通過(guò)作三角形一條邊上的高，可將原來(lái)的斜三角形化成兩個(gè)直角三角形來(lái)求解解 作 ADL BC 于 D,則 AD =DC =五(或 AD=ACsin45 ).AB_-（或一二；_ ）,BD=ADcot30 = .廠.BC=ED +DC?冷.推廣 1 如圖 6,在平地上有二幢樓 AB 及 CD 相距 60 米，在 A 處測(cè)得 CD 底部的俯角為30,又測(cè)得 CD 頂部的仰角為 45,求 CD 的高.解 在 Rt ADE 中，求得一二-一二在 Rt ACE 中，求得 CE=AE=60.推廣 2 如圖 7,廠房屋架為等腰三角形，傾角為30,跨度 AB 為 15 米，求中柱 CD和屋面 AC 的長(zhǎng).在 Rt ACD 中，/ A=30,4AD。嶺曲.推廣 3 如圖 8,在山坡上種樹(shù)，要求株距（相鄰兩樹(shù)間的水平距離）是 7 米，測(cè)得斜坡坡度為 1:3.5，求斜坡上相鄰兩樹(shù)間的坡面距離AD =-AB=7 5解 此問(wèn)題即在 Rt AB