1、二次函數恒成立問題之老陽三干創作2016年8月東莞莞美學校一、恒成立問題的基本類型:類型1:設f(x)ax2 bx c(a0),(1) f(x)0在xR上恒成立a0且0;(2) f(x)0ft xR上恒成立a0且0。類型2:設f(x)ax2 bx c(a0)(1)當a 0時，f (x) 0在x ,上恒成立bbb2a或 2a或 2a,f( ) 00f( ) 0f (x) 0ft x ,上恒成立f( ) 0f( ) 0(2)當a 0時，f (x)0在x,上恒成立f( ) 0f( ) 0f(x) 0ft x ,上恒成立bbb2a或 2a或 2af( ) 00f( ) 0類型3:f (x) 對一切x

2、I包成立 f (x)minf (x) 對一切x I恒成立f (x)max(2) f (x) 0ft x R上恒成立a 0且 0類型4: 二、恒成立問題罕見的解題戰略:戰略一：利用二次函數的判別式對于一元二次函數f (x) ax2bx c 0(a 0,x R)有:(1) f (x) 0在x R上恒成立a 0且 0;(m 1)x2 (m 1)x 2 0的解集是R,求m的范圍。解析：要想應用上面的結論，就得包管是二次的，才有判別式，但二次項 系數含有參數 所以要討論 m-1是否是0。(1)當m-1=0時，不等式化為2>0恒成立，滿足題意;m 1 0時，只需m 1 0 2,所以，m1,9)。(m

3、 1)2或2成2aaf (x)min f( a) 3 a a-224 8(m 1) 0戰略二：利用函數的最值(或值域)(1) f (x)m對任意X都成立f (x) min m；(2) f(x)m對任意x都成立m f(x)max。簡單計作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實質上是一類求函數的最值問題。例2.已知f(x) x2 ax 3 a ,若x 2,2, f (x) 2恒成立，求a的取值范圍.解析 本題可以化歸為求函數f(x)在閉區間上的最值問題，只要對于任意 x 2,2, f (x)min 2 .若 x 2,2, f (x) 2 恒成立2) f (x) g(a)(a為參

4、數)恒成立g(a) f (x) maxx 2,2, f (x)min 2a 22f (x)minf( 2) 7 3af (x) min,即a的取值范圍為f(2) 7 a 25, 2 2-2.戰略三：利用零點分布例3.已知f(x) x2 ax 3 a ,若x 2,2, f (x) 0恒成立，求a的取值范圍解析 本題可以考慮f(x)的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零0 a 點在區間的左側、零點在區間的右側三種情況，即 awo或a 2或 f( 2) 0 f(2) 0 0 a2 2 ，即a的取值范圍為-7 , 2. f( 2) 0 f(2) 0點評 對于含參數的函數在閉區間上函數值恒大于等于零的

5、問題，可以考慮函數的零點分布情況，要求對應閉區間上函數圖象在 X軸的上方或在X 軸上就行了 .變式：設f(x) X2 2mx 2 ,當X 1,)時，f (x) m恒成立，求實數 m的取 值范圍。解：設 F(x) x2 2mx 2 m,則當 x 1,)時，F(x) 當 4(m 1)(m 2) 0即2 m 1時，F(x) 0顯然成立； 當 0時，如圖，F(x) 0恒成立的充要條件為：0F( 1) 0解得3 m 2。綜上可得實數m的取值范圍為3,1)2m / 1 2戰略四：分離參數法若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從 而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍。這種方法

6、實質也還是 求最值，但它思路更清晰，操縱性更強。一般地有：1) f (x) g(a)(a為參數)恒成立 g(a) f (x)max2f(x) x 2x a,x 1,),若對任意x 1,), f(x) 0恒成立，求實數a的取x值范圍。解：若對任意x 1,), f(x) 0恒成立，即對 x 1,), f(x) -2xa 0恒成立，x考慮到不等式的分母x 1,)，只需x2 2x a 0在x 1,)時恒成立而得x2 2x a 0在x 1,)時恒成立，只要 ax2 2x在x 1,)時恒成立。而易求得二次函數h(x)x2 2x在1,)上的最大值為3,所以a 3。變式：已知函數f(x) ax V4x x2,

7、x (0,4時f(x) 0恒成立，求實數a的取值 范圍。解：將問題轉化為a ' 4x x對x (0,4恒成立。 x令 g(x) “4x x ,則 a g(x)min x由 g(x) "4x xJ4可知 g(x)在(0,4上為減函數，故 g(x)min g(4) 0x . x.a 0即a的取值范圍為(，0)。注：分離參數后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。 戰略五：確定主元在給出的含有兩個變量的不等式中，學生習慣把變量x看成是主元(未知數)，而把另一個變量a看成參數，在有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數，則 可簡

8、化解題過程。2x 1 m(x2 1)對滿足2 m 2的所有m都成立，求x的范圍解析：我們可以用改變主元的法子，將m視為主變元，即將元不等式化為:m(x2 1) (2x 1) 0,；令 f(m)m(x2 1) (2x 1),則 2 m 2 時，f(m) 0 恒成立，所以只需f( 2) f(2)干21) (2x 0 0 ,所以x的范圍是2(x2 1) (2x 1) 01 、.7 1.3x (；-, -)22總結：利用了一次函數f(x)kx b, x m,n有:變式：對任意a 1,1,不等式x2 (a 4)x 4 2a 0恒成立，求x的取值范 圍。分析：題中的不等式是關于x的一元二次不等式，但若把a

9、看成主元，則問題可轉化為一次不等式(x 2)a x2 4x 4 0在a 1,1上恒成立的問題。解：令f(a) (x 2)a x2 4x 4 ,則原問題轉化為f(a) 0恒成立(a 1,1)。當x 2時，可得f (a) 0,分歧題意。當x 2時，應有f0解之得x 1或x 3。f( 1) 0故x的取值范圍為(,1) (3,)。戰略六：消元轉化例6.已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數，且f(1)=1,若m,n 小n。時。，若f(x) t2 2ati對于所有的x 1,” 1,1恒成 立，求實數t的取值范圍.解析本題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉化的戰略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定

10、義在-1,1上的增函數，故f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1,則f(x) t2 2at 1對于所有的x 1,1, a 1,1恒成立1 t2 2at 1對于所有的a 1,1恒成立，即2ta t2 0對于所有的a 1,1恒成 立，令 g(a) 2ta t2,只要 g( 1) 0 , t 2或t 2或t 0.g(1) 0點評 對于含有兩個以上變量白不等式恒成立問題，可以根據題意依次進行消元轉化，從而轉化為只含有兩變量的不等式問題，使問題得到解決.以上介紹的幾種罕見不等式恒成立問題的求解戰略，只是分別從某個正 面入手去探討不等式中參數的取值范圍。事實上，這些戰略不是孤立的，在 具體的解題實踐中

11、，往往需要綜合考慮，靈活運用，才干使問題得以順利解 決。鞏固練習 1. (1)若關于x的不等式x2 ax a。的解集為(，)，求實數a的取值范圍；(2)若關于x的不等式x2 ax a3的解集不是空集，求實數 a的取值范圍.解：(1 )設f x x2 ax a .則關于x的不等式x2 ax a 0的解集為(,)f x 0在，上恒成立fmin x 0,即fmin x 組工0,解得44 a 0(2)設f x x2 ax a.則關于x的不等式x2 ax a3的解集不是空集上能成立 fmin x3,即x”3,解得a 64或a 2.2 .若函數y Jmx26mxm8在R上恒成立，求 m的取值范圍 分析：該

12、題就轉化為被開方數 mx2 6mx m 8 0在R上恒成立問題，而且注 意對二次項系數的討論。略解：要使y Wmx2 6mx m 8在R上恒成立，即mx2 6mx m 8 0在R上恒成立1'm 0 時，8 0m。成立t m 02 m 0 時，236 m2由1, 2,可知，0 m3 .已知向量a(x2,x,0 m 14 m 8 32mmi 011),b (1 x,t),若函數fx a b在區間 1,1上是增函數，求t的取值范圍.解：依定義 f(x) x2 (1 x) t(x 1)x3 x2 tx t,則f (x)3x2 2x t. f x在區間 1,1上是增函數等價于f x 0在區間 1

13、,1上恒成立；而f x 0在區間1,1上恒成立又等價于t 3x2 2x在區間1,1上恒成立；設g x 3x2 2x,x 1,1進而t g x在區間 1,1上恒成立等價于 t gmax x , x 1,1考慮到g x3x2 2x,x 1,1在1,1上是減函數，在1,1上是增函數，則3 3gmax x g 1 5.于是，t的取值范圍是t 5.4.已知函數f xx3 3ax 1,g x f x ax 5 ,其中f' x是f x的導函數.對滿足1 a 1的一切a的值，都有g x 0,求實數x的取值范圍；解法1.由題意g x 3x2 ax 3a 5,這一問概況上是一個給出參數 a的范圍， 解不等

14、式g x 0的問題，實際上，把以x為變量的函數g x ,改為以a為變 量的函數，就轉化為不等式的恒成立的問題，即令 a 3 x a 3x2 5,1 a 1 ,則對 1 a 1 ,恒有 g x 0,即a 0,從而轉化為對1 a 1, a0恒成立，又由 a是a的一次函數,2只需11 00即3：2 x8 0懈得3 x1.故,-,1時，對滿足 31 a 1的一切a的值，都有g x0.2g x 3x ax 3a 50.由1 a 1知,a2 36a 600,于是，不等式的解為aa2 36a 60a 、a236a60 x 但是，這個結果是不正確的，因為沒有考慮a的條件，還應進一步完善.為此，設 ga a &

15、#39;a2 636a 60,ha a2 36a 60 a 6不等式化為g a x h a , 11恒成立，即g amax xh a min , 1 a 1.由于g aa 、a2 36a 60a 1上是增函數，則ga maxg1 I- a、a2 36a 60 h a 61上是減函數，則ha min1.所以,x 1.故x 2,1時，對滿足31的一切a的值，都有g x0.5.若對任意的實數x,.2 sin x2kcosx 2k2 0恒成立，求k的取值范圍。解法一：原不等式化為2 cos x2k cosx 2kcosx ,1,即f (t) t2 2kt2k2 k2 2k 1在t 1,1上恒大于0。若

16、k 1 ,要使 f(t) 0 ,即 f(1)k不存在若1 k 1,若使 f(t) 0,即f(k)k2 2k 1 0 1 、2 k 1.2若k 1 ,要使 f (t) 0,即 f(1)由，可知,解法二：f t2 2kt2k 10,在 1,1上恒成立。 k2 2k 1 012 k 1 .22_k 2k 1 0 f(1) 0k 1、2f( 1) 0k 1或 k1由，可知，k 1 x2o6 .已知函數f(x) x2 ax 1 0對于一切x (0,1成立，求a的取值范圍。 27 .已知函數f (x) x2 4x m對于x (0,1恒成立，求 m的取值范圍。8 .若不等式9x2 6ax a2 2a 6 0在-x1內怛成立，求a的取值范圍 33y lgx2 (a 1)x a2的定義域為R,求實數a的取值范圍。解：由題設可將問題轉化為不等式x2 (a 1)x a2 0對x R恒成立，即有1或a所以實數a的取值范圍為(a 1)2 4a2 0 解得