1、1類比歸納專鬆:三角形中內、外角的有關計算2類比歸納專霍；與三角唏言角平分線有巧專鬆:利用全等解決問鬆的模型與技巧4難惑兗專鬆:動態變化中的三角形全第5 易錯易泯專題:等腰三角形中易漏礙滲解6 陶妬專題:等腰三角形中帥線的作法7 勰構建專題:共頂點如腰三角形8類比歸納專鬆:證明線段相等的基本思路的問鬆9解基巧專題：睡公式的10 解舷巧專題：選揮合潮方法因式分解M易措專鬆:分 式中帛見的陥阱12解!強巧專鬆:分式運算中的技巧1、類比歸納專題：三角形中內、外角的有關計算全方位求角度類型一 已知角的關系，直接利用內角和或結合方程思想1. 在 ABC 中，/ A-Z B = 35° / C=

2、 55° 則/ B 等于（）A. 50 ° B . 55 ° C. 45 ° D. 40。周國年 10312. 在 ABC 中，已知Z A= 2Z B = 3Z。，則厶 ABC 是（）A 銳角三角形 B 直角三角形C 鈍角三角形D 形狀無法確定 周國年10313. 如圖，在 ABC中，Z C =Z ABC = 2ZA, BD是AC邊上的高，求Z DBC的度數.4. 如圖， ABC 中，Z B = 26° Z C= 70 ° AD 平分Z BAC, AE丄 BC 于 E, EF丄 AD 于F，求Z DEF的度數.周國年1031類型二綜合

3、內外角的性質 周國年10315. 如圖，BD、CD分別平分/ ABC和/ ACE,/ A= 60 °則/ D的度數是（）A. 20 °B. 30 °第6題圖6. 如圖，/ B= 20 ° / A=/ C= 40 ° 則/ CDE 的度數為7. 如圖，AD 平分/ BAC，/ EAD =/ EDA .周國年1031求證：/ EAC = / B;若/ B= 50 ° / CAD :/ E= 1 : 3，求/ E 的度數.類型三在三角板或直尺中求角度（2015 - 2016瑤海區期末）將一副三角板按如圖所示擺放，圖中/120 °

4、B. 105 ° C. 90 ° D. 75 °9.A.將兩個含30。和45。的直角三角板如圖放置，則/10 ° B . 15 ° C. 20 ° D. 25。周國年伽10. 一副三角板如圖所示疊放在一起，則圖中/aa的度數是（a的度數是（周國年103111. 如圖，將三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，若/周國年10311= 55 °則/ 2的度數為類型四與平行線結合12. （2015南充中考）如圖，已知 B、C、E在同一直線上，且 CD/ AB，若/ A= 75 ° / B = 40°則/ ACE的度數

5、為（）A. 35 ° B. 40 ° C. 115 ° D. 14513 .如圖，AB / CD，直線PQ分別交 AB、AB于點G.若/ PFA = 40 °那么/ EGB等于（CD于點F、E, EG是/ DEF的平分線，交A. 80 ° B. 100 ° C. 110 ° D. 120 ° 周國年103114. 如圖，BD是厶ABC的角平分線，DE / BC,交AB于點E, / A= 45 ° / BDC = 60 ° 則 / BDE =15. 如圖，在 ABC中，點 D在BC上，點E在AC上

6、，AD交BE于F.已知EG / AD 交 BC 于 G, EH 丄 BE 交 BC 于 H , / HEG = 55°(1) 求/ BFD的度數；(2) 若/BAD = Z EBC, / C = 44 ° 求/ BAC 的度數.類型五與截取或折疊相關16. 如圖，把厶ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE的外部時，則Z A與Z 1B. 2/A=Z 1-Z 2D .3/ A= 2(/ 1-Z 2) 周國年1031/ ACB = 90 ° / A= 52 °將其折疊，使點和Z 2之間有一種數量關系始終保持不變，請試著找一找這個規律，你發現的規律是A.

7、 Z A=Z 1-Z 2C. 3Z A= 2Z 1-Z 217 .如圖，Rt ABC 中， 處，折痕為CD，則/ ADB =第18題圖第17題圖18. 在 ABC中，Z B = 70 °若沿圖中虛線剪去 Z B,則Z 1 + Z 2等于.19. 如圖.（1）將厶ABC紙片沿DE折疊成圖 ，此時點A落在四邊形BCDE內部，則 Z A與Z 1、Z 2之間有一種數量關系保持不變，請找出這種數量關系并說明理由.若折成圖或圖，即點A落在BE或CD上時，分別寫出Z A與Z 2、Z A與Z 1之 間的關系式（不必證明）；周國年1031（3）若折成圖，寫出Z A與Z 1、Z 2之間的關系式（不必證明

8、）.a' I:fj譽A1、參考答案與解析1. C 2.C3.解：設Z A = x,則Z C=Z ABC= 2x.根據三角形內角和為180。知Z C +Z ABC +Z A =180° 即 2x+ 2x+ x= 180° x= 36° /-Z C= 2x= 72°在 Rt BDC 中，/ DBC = 90° / C = 90° 72° = 18°方法點撥：三角形中給出的條件含比例且不易直接求出時，一般需要設未知數， 根據三角形的內角和列方程求解.周國年10314. 解： ABC 中，Z B= 26°

9、 Z C = 70°BAC = 180 °Z B Z C = 180 ° 26°1170° = 84°. v AD 平分Z BAC , /Z DAC = -Z BAC =-X 84° = 42°.在厶 ACE 中，Z CAE= 90°22Z C= 90° 70° = 20° / DAE = Z DAC Z CAE = 42° 20° = 22°vZ DEF +Z AEF = Z AEF + Z DAE = 90°, /Z DEF =Z

10、DAE = 22°5. B 6.80 °7. (1)證明：v AD 平分Z BAC，/Z BAD = Z CAD.又vZ EAD =Z EDA , /Z EAC = Z EAD Z CAD = Z EDA Z BAD = Z B;(2)解：設Z CAD = x° 則Z E= 3x。由(1)知Z EAC =Z B= 50° /Z EAD = Z EDA = (x + 50)。在 EAD 中，vZ E+Z EAD + Z EDA = 180° / 3x° + 2(x+ 50) °= 180° 解得 x = 16. /Z

11、 E= 48 °.周國年 10318. B 9.B10.75 ° 11.35 ° 12.C13.C14.15 °15. 解:(1) v EH 丄 BE，/Z BEH = 90 °vZ HEG = 55 ° /Z BEG=Z BEH Z HEG = 35 °又 v EG / AD , /Z BFD = Z BEG = 35 °(2) vZ BFD = Z BAD + Z ABE ,Z BAD = Z EBC，/Z BFD = Z EBC + Z ABE = Z ABC. 由(1)可知Z BFD = 35°

12、/Z ABC = 35°.vZ C = 44° /Z BAC = 180° Z ABC Z C= 180° 35° 44° = 101°.16. B 17.14 ° 18.250 °19.解：(1)延長BE、CD，交于點卩，則厶BCP即為折疊前的三角形.由折疊的性質知 Z DAE =Z DPE.連接 AP.由三角形的外角性質知Z 1 =Z EAP + Z EPA , Z 2 = Z DAP + Z DPA，則Z 1 + Z 2=Z DAE + Z DPE = 2Z DAE，即Z 1 + Z 2= 2Z A

13、;(2) 圖中，Z 2= 2Z A;圖中，Z 1 = 2Z A;(3) 圖中，Z 2Z 1= 2Z A.2、類比歸納專題：與三角形的高、角平分線有關的計算模型模型1:求同一頂點的角平分線與高線的夾角的度數1. 如圖，AD, AE分別是 ABC的高和角平分線.已知/ B= 40 ° / C = 60 °求/ DAE的度數； 周國年1031設/ B=a , / C =厲a<3，請用含 a, B的代數式表示/ DAE ,并證明.模型2:求兩內角平分線的夾角的度數2. 如圖， ABC中，/ ABC和/ ACB的平分線交于點3. 如圖， ABC中，點P是/ ABC,/ ACB的

14、平分線的交點.(1)若/ A= 80 ° 求/ BPC 的度數. 周國年10311有位同學在解答(1)后得出/ BPC = 90°+ 2/ A的規律，你認為正確嗎？請給出理由.模型3:求一內角平分線與一外角平分線的夾角的度數4. 如圖，在 ABC中，BA1平分/ ABC, CA1平分/ ACD , BA1, CA1相交于點 A1.1求證：/ A1 = 2/ A；(2)如圖，繼續作/ AiBC和/ AiCD的平分線交于點 A2,得/ A2；作/ A2BC和/A2CD的平分線交于點 A3，得/ A3依此得到/ A2017,若/ A = a,則/ A2017=.BC D模型4:求

15、兩外角平分線的夾角的度數【方法 5】5. (1)如圖，BO平分 ABC的外角/ CBD , CO平分 ABC的外角/ BCE，則/ BOC 與/ A的關系為;請就(1)中的結論進行證明.2、參考答案與解析1.解：（1） / B = 40 ° / C = 60 ° / BAC = 180B-Z C = 180 °-40 °-60 ° =1 180 °v AE 是角平分線，/ BAE= 2/BAC =壬 80。= 40° ： AD 是高，丄 BAD = 90。 / B =90° 40° = 50°D

16、AE = / BAD / BAE = 50° 40° = 10°1(2) / DAE = 2( 3 %),證明如下：t / B = a, / C a< 3) ,BAC = 180 ° ( a+ 3 . T AE1 1是角平分線，/ BAE= 2/ BAC = 90° 2( a+ 3).t AD 是高，/ BAD = 90。/ B= 90。1 1a, / DAE = / BAD / BAE = 90 ° a 90 ° - ( a+ 3=只 3- a).2. 60°1 13. 解：(1) / BP , CP 為角

17、平分線，/ PBC +/ PCB = 2(/ ABC+Z ACB) = 0(180 °/ A)1=X (180 ° 80°) = 50° / BPC = 180° (/ PBC +Z PCB)= 180° 50°= 130°(2)正確，理由如下：T BP, CP 為角平分線，/ PBC +Z PCB = 2(/ ABC + Z ACB)=1 1 1*180°/ A) = 90。扌/ A，/ BPC = 180° (/ PBC + Z PCB) = 180° 90。A = 90°

18、;1 /八+ 一/ A.周國年103121 14. (1)證明：T CA1 平分/ ACD，/ A1CD = 2/ ACD =刁(/ A+Z ABC).又t/ A1CD1 1=Z A1 + Z A1BC， / A1 + Z A1BC= 2( / A+Z ABC) .t BA1 平分/ ABC，/ A1BC = ?1 1 1/ ABC , 3/ ABC +Z A1= 2(/ A +Z ABC), / A1 =.周國年1031a2201715. (1) / BOC = 90。 2/ A(2)證明：如圖，t BO, CO分別是 ABC的外角/ DBC，/ ECB的平分線，/ DBC =2/ 1 =Z

19、 ACB + Z A, / ECB = 2/ 2 = Z ABC + Z A , 2 / 1 + 2/ 2 = 2 / A + Z ABC +1/ ACB = Z A + 180°, / 1 + Z 2 = - / A + 90°.又t/ 1 + / 2 + Z BOC= 180° / BOC =-/ A.周國年10312180 ° (/ 1 + Z 2) = 90 ° 3、解題技巧專題：利用全等解決問題的模型與技巧明模型，先觀察，再猜想，后證明類型一 全等三角形的基本模型1.如圖，AC= AD , BC = BD，/ A = 50 °

20、;第1題圖BF = AC , BC= 7, CD = 2,貝U AF 的第2題圖長為_3.AC = 6,A . 22.如圖，銳角 ABC的高AD , BE相交于 .周國年1031如圖，點A, D,貝U CD的長為B. 4 C .F，若C, E在同一條直線上, (4.5AB/EF, AB = EF，/ B=Z F, AE = 10, ADE 中，/ BAC =Z DAE = 90° AB= AC, AD = AE，點 C, D, E在同一直線上，連接 BD交AC于點F.求證： BAD CAE;猜想BD, CE有何特殊位置關系，并說明理由.4.如圖，在 ABC,周國年1031類型二 證明

21、線段間的等量關系一、等線段代換5.如圖，Rt ABC中，AB= AC,/ BAC = 90 °直線l為經過點 A的任一直線，BD丄I 于D, CE丄I于E，若BD>CE,試問：(1)AD與CE的大小關系如何？請說明理由；周國年1031線段BD, DE , CE之間的數量關系如何？請說明理由.、截長補短法6.如圖，在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點，若AC 平分/ BAE, / ACE = 90 °猜想線段AE、AB、DE的長度滿足的數量關系，并證明.周國年1031三、倍長中線法7.在 ABC中，AB = 8, AC= 6，貝U BC邊上的中線 AD的取值范圍是 ()

22、A. 6v AD v 8B. 2v AD v 14C. 1v AD v 7D .無法確定 周國年10313、參考答案與解析1. 110 ° 2.3 3.A4. (1)證明：I/ BAC = / DAE = 90 ° / BAC+Z CAD = / DAE + / CAD，即/ BAD =/ CAE.在 BAD 和 CAE 中，/ AB = AC ,/ BAD = / CAE , AD = AE , BAD CAE (SAS).(2)解：BD 丄 CE.理由如下：由可知 BAD CAE, ABD = Z ACE.：/ BAC= 90 ° / ABD + / AFB

23、= 90°又AFB = / DFC ,ACE + / DFC = 90° BDC = 90° 即BD 丄 CE.5. 解：(1)AD = CE.理由如下：T BD 丄 I 于 D , CE 丄 I 于 E, / BDA =/ AEC= 90 °/ CAE + / ACE = 90°.BAC = / 90° , BAD +/ CAE = 90°, BAD = / ACE.又 / AB = AC ,ABDCAE(AAS) , AD = CE.(2)BD = DE + CE.理由如下：由 可知 ABD CAE , BD = AE

24、, AD = CE.又t AE =DE + AD , - BD = DE + CE.周國年 10316. 解：AE= AB + DE.證明如下：如圖，在 AE上截取 AF = AB ,并連接 CF.： AC平分 / BAE, / BAC = / CAF.又：AC = AC , BAC FAC(SAS), BC = FC , / ACB = / ACF.：/ ACE = 90°，/ACF +/ FCE = 90°, / ACB+Z DCE = 90° , FCE = / DCE. 又：C 為 BD 的中點, BC = DC, DC = FC. 又: CE = CE

25、, FCE DCE(SAS) , DE =FE , AE = AF + FE = AB+ DE .周國年1031n c u7. C4、難點探究專題：動態變化中的三角形全等以“靜”制“動”，不離其宗類型一動點變化1. 如圖，Rt ABC 中，/ C = 90° AC = 6, BC= 3, PQ = AB,點 P 與點 Q 分別在 AC 和AC的垂線AD上移動，則當 AP =時， ABC和厶APQ全等.周國年1031LQA一P2. 如圖， ABC 中，AB= AC = 12cm,/ B=Z C, BC= 8cm，點 D 為 AB 的中點.女口 果點P在線段BC上以2cm/s的速度由B點

26、向C點運動，同時，點 Q在線段CA上由C點 向A點運動.若點 Q的運動速度為 vcm/s，則當 BPD與厶CQP全等時，v的值為 【提示：三角形中有兩個角相等，則這兩個角所對的邊相等】3. (2016 州中考) ABC 中,/ BAC = 90° AB = AC( / ABC = / ACB = 45°，點 D 為直線BC上一動點(點D不與B, C重合)，以AD為邊在AD右側作正方形 ADEF，連接CF.【方法11】觀察猜想：如圖，當點D在線段BC上時， BC與CF的位置關系為 ; 線段BC, CD , CF之間的數量關系為 (將結論直接寫在橫線上).USFAl;U/ C圖

27、（D(2)數學思考：如圖，當點D在線段CB的延長線上時，結論，是否仍然成立?若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明.周國年1031類型二圖形變換4. 如圖甲，已知A, E, F, C在一條直線上，AE = CF，過E, F分別作DE丄AC,BF丄AC, 且AB= CD，連接BD.(1) 試問 OE= OF 嗎？請說明理由；周國年1031(2) 若厶DEC沿AC方向平移到如圖乙的位置，其余條件不變，上述結論是否仍成立？請說明理由.5. 如圖，在 Rt ABC中，/ ACB = 90°點D, F分別在 AB, AC上，CF = CB，連接 CD，將線段CD繞點C按順時針

28、方向旋轉 90。后得CE，連接EF.求證： BCD FCE ;若EF / CD，求/ BDC的度數.4、參考答案與解析1 . 3 或 6 解析： ABC 和厶 APQ 全等，AB = PQ ,有 ABCA QPA 或 ABC PQA當 ABC QPA 時，則有 AP = BC= 3;當厶 ABC PQA 時，則有 AP = AC = 6,二當AP = 3或6時， ABC和厶APQ全等，故答案為 3或6.2. 2或3 解析：當BD = PC時， BPD與厶CQP全等點 D為AB的中點， BD1=2AB= 6cm,. PC= 6cmBP= 8-6= 2(cm) 點 P 在線段 BC 上以 2cm/

29、s 的速度由 B 點向 C 點運動，運動時間為 Is.tA DBP PCQ , CQ = BP = 2cm, a v = 2-1 = 2(cm/s); 當 BD = CQ 時， BDP QCP. PB= PQ, / B=Z CQP.又律 B = Z C,C=Z CQP, PQ = PC,. PB = PC.t BD = 6cm, BC= 8cm, PB= PC, QC= 6cm, BP = 4cm,運 動時間為4-2= 2(s),A v = 6-2 = 3(cm/s)，故答案為 2或3.3解：垂直 BC= CD + CF(2)CF丄BC成立；BC= CD + CF不成立，正確結論：CD = C

30、F + BC.證明如下：正方形 ADEF 中，AD = AF，/ DAF = / BAC = 90°BAD =Z CAF .AD = AF ,在厶 DAB 與厶 FAC 中， / BAD = Z CAF , /. DAB FAC(SAS)，/ ABD = Z ACF, DBAB = AC,=CF.vZ ACB = Z ABC = 45°ABD = 180° 45°= 135°BCF =Z ACF-Z ACB =/ ABD -Z ACB = 90° CF 丄 BC. / CD = DB + BC , DB = CF , CD = CF

31、+ BC.4. 解：(1)OE = OF.理由如下：t DE 丄 AC, BF 丄 AC , DEC = Z BFA = 90 °.v AE =AB = CD,CF , AE + EF = CF + EF ,即 AF = CE.在 Rt ABF 和 Rt CDE 中，AF = CE ,Z BFO =Z DEO , Rt ABFRt CDE(HL) , BF = DE.在厶 BFO 和厶 DEO 中， Z BOF = Z DOE ,BF = DE, BFO DEO (AAS) , OE= OF.周國年 1031(2)結論依然成立.理由如下：T AE = CF, AE - EF = CF

32、 - EF , AF = CE.同(1)可得 BFO也厶DEO, FO = EO ,即結論依然成立.5. (1)證明：將線段 CD繞點C按順時針方向旋轉 90。后得CE , CD = CE , Z DCE =90° tZ ACB = 90° , aZ BCD = 90° - Z ACD = Z FCE.在 BCD 和 FCE 中,CB= CF ,Z BCD = Z FCE ,CD = CE , BCD FCE (SAS).(2)解：由(1)可知Z DCE = 90 ° BCD FCE, BDC =Z E.t EF / CD , E =180 °

33、-Z DCE = 90 ° , aZ BDC = 90 °5、易錯易混專題：等腰三角形中易漏解或多解的問題易錯歸納，各個擊破類型一求長度時忽略三邊關系1. （2017賀州中考）一個等腰三角形的兩邊長分別是4 , 8,則它的周長為（）A. 12B. 16 C. 20D. 16 或 20 周國年10312學習了三角形的有關內容后，張老師請同學們交流這樣一個問題：“已知一個等腰 三角形的周長是 12，其中一條邊長為 3，求另兩條邊的長” 同學們經過片刻思考和交流后， 小明同學舉手說：“另兩條邊長為3、6 或 4.5、4.5.”你認為小明的回答是否正確： 理由是 周國年 10313

34、已知等腰三角形中，一腰上的中線將三角形的周長分成6cm 和 10cm 兩部分，求這個三角形的腰長和底邊的長4.已知等腰三角形的一個內角為A 100°B40°5等腰三角形的一個外角等于 ）A 40°，40° B 80°， 20°類型二當腰或底不明求角度時沒有分類討論周國年103140°，則這個等腰三角形的頂角為（）C 40°或 100 °D 60°100°，則與這個外角不相鄰的兩個內角的度數分別為C80°，80°D50°， 50°或 80°

35、;，20°6已知一個等腰三角形兩內角的度數之比為1 : 4,則這個等腰三角形頂角的度數為類型三 三角形的形狀不明時沒有分類討論7等腰三角形的一個角是50 °則它一腰上的高與底邊的夾角是（）A 25 °B 40 ° C. 25。或 40 °D .不能確定&在厶ABC中，AB= AC, AB的垂直平分線與 AC所在的直線相交所得到的銳角為50°,則/ B等于.9如果兩個等腰三角形的腰長相等、面積也相等，那么我們把這兩個等腰三角形稱為一對合同三角形.已知一對合同三角形的底角分別為X。和y°則（用含x的代數式表示）周國年10

36、3110已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數為20°求頂角的度數.類型四一邊確定，另兩邊不確定，求等腰三角形個數時漏解11. （2016武漢中考）平面直角坐標系中，已知A（2, 2）、B（4, 0） 若在坐標軸上取點 C,使厶ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是（）A 5 B 6 C. 7 D 812. 如圖，在4X 5的點陣圖中，每兩個橫向和縱向相鄰陣點的距離均為1,該點陣圖C,使得以點A, B, C為頂點中已有兩個陣點分別標為 A, B，請在此點陣圖中找一個陣點的三角形是等腰三角形，則符合條件的C點有個.5、參考答案與解析1. C2. 不正確沒考慮三角形三邊關系1

37、3解：設腰長為xcm,腰長與腰長的一半是 6cm時，x+ 2x= 6,解得x= 4,.底邊12. A 12.5 周國年10311長=10-2X 4= 8（cm）. v 4 + 4 = 8, 4cm、4cm、8cm不能組成三角形；腰長與腰長的半是10cm時，x+ 1x= 10,解得x = 20,-底邊長=6 1x 20 =細），三角形的三邊20 20 8 20 8長為ycm> cm> 3cm，能組成三角形.綜上所述，三角形的腰長為gem,底邊長為3cm.4. C 5.D 周國年10316. 120 或 20 °7.C8.70 或 20 °9.x或90 x解析：兩個

38、等腰三角形的腰長相等、面積也相等，腰上的高相等.當這兩個三角形都是銳角或鈍角三角形時，y= x,當兩個三角形一個是銳角三角形，一個是鈍角三角形時，y= 90 x.故答案為x或90 x.10.解：此題要分情況討論：當等腰三角形的頂角是鈍角時，腰上的高在其外部如圖 所示，得頂角/ ACB = / D + Z DAC = 90° + 20° = 110°當等腰三角形的頂角是銳角時， 腰上的高在其內部，如圖所示，故頂角/A = 90。 / ABD = 90° 20。= 70°.綜上所述，頂角的度數為110°或70°.6、解題技巧專題

39、：等腰三角形中輔助線的作法形成精準思維模式，快速解題類型一利用“三線合一”作輔助線一、已知等腰作垂線（或中線、角平分線）11. 如圖，在 ABC 中，AB= AC, AE丄 BE 于點 E,且 BE = qBC，若/ EAB = 20° 則/ BAC = .周國年10312. 如圖，在 ABC中，AB= AC, D為BC邊的中點，過點 D作DE丄AB, DF丄AC, 垂足分別為E, F.求證：DE = DF ;若/ A= 90°圖中與DE相等的有哪些線段（不說明理由）？3. 如圖， ABC 中，AC = 2AB , AD 平分/ BAC 交 BC 于 D , E 是 AD

40、上一點，且 EA= EC, 求證：EB丄AB.二、構造等腰三角形4. 如圖， ABC的面積為1cm2, AP垂直/ ABC的平分線BP于卩，則厶PBC的面積為（）A. 0.4cm2 B. 0.5cm2 C. 0.6cm2 D. 0.7cm2 周國年10315. 如圖，已知 ABC是等腰直角三角形，/ A= 90 ° BD平分/ ABC交AC于點D,CE 丄BD.求證：BD = 2CE.類型二 巧用等腰直角三角形構造全等6. (2016銅仁中考)如圖，在厶ABC中，AC= BC, / C = 90 ° D是AB的中點，DE丄DF , 點E, F分別在AC, BC上，求證：DE

41、 = DF .類型三 等腰(邊)三角形中截長補短或作平行線構造全等7. 如圖，已知 AB= AC, Z A= 108 ° BD 平分/ ABC 交 AC 于 D，求證：BC= AB + CD.&如圖，過等邊厶 ABC的邊AB上一點P,作PE丄AC于E, Q為BC延長線上一點, 且FA= CQ ,連PQ交AC邊于D.(1) 求證：PD = DQ ； 周國年1031(2) 若厶ABC的邊長為1,求DE的長.6、參考答案與解析1. 402. 證明：如圖，連接AD. / AB= AC,D是BC的中點，二/ EAD = Z FAD.又；DE丄AB, DF 丄AC,. DE = DF .

42、(2)解：若/ BAC = 90°圖中與 DE相等的有線段 DF , AE, AF, BE, CF.周國年103113. 證明：如圖，作EF丄AC 于 F.t EA = EC,. AF = FC = 2AC.V AC = 2AB ,a AF =AB.v AD 平分/ BAC,：/ BAD = Z CAD.又t AE = AE,.A ABEAFE(SAS) ,./ ABE=Z AFE = 90° EB丄AB.4. B5.證明：如圖，延長 BA 和 CE 交于點 M.t CE丄BD , / BEC=/ BEM = 90°.v BD1 平分/ ABC , / MBE =

43、 / CBE.又t BE = BE , BMEBCE(ASA) , EM = EC =MC.tA ABC 是等腰直角三角形，/ BAC = / MAC = 90 ° BA = AC , / ABD +/ BDA = 90 °t/ BEC = 90 ° / ACM + / CDE = 90 ° t/ BDA =/ EDC, / ABE =/ ACM 又t AB =AC ,ABD ACM(ASA) , DB = MC , BD = 2CE.6.證明：如圖，連接 CD.t AC= BC , D是AB的中點， CD平分/ ACB , CD丄AB , / CDB

44、= 90° t/ ACB = 90° ° / BCD = / ACD = 45°, / B = 180° / CDB / BCD = 45 ° , / ACD = / B = / BCD , CD = BD.t ED 丄 DF , / EDF = / EDC + / CDF = 90 ° 又t/ CDF + / BDF = 90° , / EDC = / BDF ,ECD FBD(ASA) , DE = DF.7. 證明：如圖，在線段 BC上截取 BE= BA ,連接 DE.t BD平分/ ABC , / ABD

45、=/ EBD.又t BD = BD , ABD EBD (SAS) , / BED = / A= 108° / DEC = 180° 1/ DEB = 72° 又T AB= AC, / A= 108° /-Z ACB =Z ABC =寸(180。一 108° = 36° /-Z CDE =Z DEB Z ACB = 180° 36° = 72° /Z CDE = Z DEC，/ CD = CE,/. BC = BE + EC = AB + CD.8. (1)證明：如圖，過 P 作 PF / BC 交 AC

46、 于點 F，/ AFP =Z ACB, Z FPD =Z Q, Z PFD =Z QCD. / ABC 為等邊三角形，/Z A=Z ACB = 60° Z AFP = 60° / APF 是 等邊三角形，/ AP = PF. / AP= CQ,/. PF = CQ,/.A PFD QCD (ASA)，/ PD = DQ.(2)解： APF是等邊三角形,PE 丄AC，/ AE = EF.tA PFDQCD ,/ CD = DF ,/ DE = EF + DF = 1aC.又t AC= 1，/ DE =7、模型構建專題：共頂點的等腰三角形明模型，悉結論 類型一 共直角頂點的等腰

47、直角三角形1.如圖，已知 ABC和厶DBE均為等腰直角三角形.(1)求證：AD = CE;猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，請說明理由；若不垂直，則只要寫出結論，不 用寫理由.周國年1031類型二 共頂點的等邊三角形2 .如圖，等邊 ABC中，D是AB邊上的動點，以 CD為一邊，向上作等邊 EDC , 連接AE. DBC和厶EAC會全等嗎？請說明理由；試說明AE/ BC的理由；如圖，將 中動點D運動到邊BA的延長線上，所作仍為等邊三角形，請問是否 仍有AE / BC ?證明你的猜想.也i性27、參考答案與解析1. (1)證明： ABC和厶DBE均為等腰直角三角形， AB = BC, BD =

48、BE ,/ ABC = Z DBE = 90° ,ABC -Z DBC =Z DBE -Z DBC，即/ ABD = Z CBE , ABD CBE(SAS), AD = CE.(2)解：垂直.理由如下：如圖，延長AD分別交BC和CE于G和F.v ABD CBE , Z BAD = Z BCE. tZ BAD + Z ABC + Z BGA =Z BCE + Z AFC + Z CGF = 180° Z BGA = Z CGF ,/ AFC = Z ABC = 90° AD 丄 CE.2. 解：(1) DBC和厶EAC全等.理由如下： ABC和厶EDC為等邊三角形

49、， BC =AC, DC = EC,Z ACB = Z DCE = 60°,ACB-Z ACD = Z DCE -Z ACD，即Z BCD=Z ACE , DBC EAC(SAS).(2) / DBC EAC ,/ EAC = Z B = 60°.又tZ ACB = 60°, EAC = Z ACB , AE / BC.(3) 仍有AE / BC.證明如下： ABC , EDC為等邊三角形， BC = AC, DC = CE ,Z BCA = Z DCE = 60°BCA + Z ACD = Z DCE + Z ACD，即Z BCD = Z ACE.在厶

50、 DBCBC = AC,和厶 EAC 中，t Z BCD = Z ACE,/. DBC EAC(SAS) , EAC = Z B = 60° 又CD = CE,tZ ACB = 60° / EAC=Z ACB , AE / BC.周國年10314. (2016 2017孝南區期末)如圖，在 ABC中，/ ACB= 2/ B,/ BAC的平分線 AD&類比歸納專題：證明線段相等的基本思路理條件、定思路，幾何證明也容易 類型一 已知“邊的關系”或“邊角關系”用全等 周國年10311.如圖，已知 AB = AE, BC = ED，/ B = Z E, AF丄CD , F為

51、垂足，求證： AC= AD;(2)CF = DF .周國年 10312.如圖，/ C = 90 ° BC = AC, D、E分別在 BC和AC上，且 BD = CE, M是AB的中點.求證： MDE是等腰三角形.類型二 已知角度關系或線與線之間的位置關系用“等角對等邊”3. 如圖，在 ABC中，CE、CF分別平分/ ACB和厶ACB的外角/ ACG, EF / BC交AC于點D,求證：DE = DF. 周國年1031 交BC于D，過C作CN丄AD交AD于H，交AB于N.周國年1031(1) 求證：AN = AC;(2) 試判斷BN與CD的數量關系，并說明理由.類型三已知角平分線、垂直

52、或垂直平分用相應的性質5. 如圖， ABC中，/ CAB的平分線與 BC的垂直平分線 DG相交于D，過點D作DE 丄AB, DF 丄 AC,求證：BE = CF. 周國年10316. 如圖，在 ABC中，/ C= 90° AD是/ BAC的平分線，DE丄AB于E, F在AC 上, BD = DF.求證：(1) CF = EB;(2) AB= AF + 2EB.周國年 1031&參考答案與解析1. 證明：在厶 ABC 和厶 AED 中，AB = AE, / B = Z E,BC = ED，丄 ABC AED , AC = AD ;(2)在 Rt ACF 和 Rt ADF 中，A

53、C= AD , AF = AFACF ADF , CF = DF.2證明：連接 CM，貝U BM = CM，且 CM 丄 MB，/ B=Z MCE = 45° BM = AM = CM.在厶 MBD 和厶 MCE 中，BM = CM，/ B = Z MCE , BD = CE, MBD MCE , DM =EMMDE是等腰三角形.BC EA3. 證明：T CE是厶ABC的角平分線，/ ACE=Z BCE.tCFABC外角/ ACG 的平分線，/ ACF = Z GCF.t EF / BC，/ GCF =Z F，/ BCE = Z CEF.aZ ACE = / CEF，/ F = Z

54、DCF , CD = ED , CD = DF , DE = DF .4. (1)證明：T CN 丄 AD, AHN = Z AHC = 90。又t AD 平分/ BAC , NAH =Z CAH. 又在 ANH 和厶 ACH 中，/ AHN + Z NAH + Z ANH = 180° / AHC + Z CAH + Z ACH = 180 °/ ANH = Z ACH , AN= AC;AN = AC ,(2)解：BN = CD.理由如下：連接ND.在厶AND和厶ACD中，/ NAD = CAD，AD = AD , AND ACD (SAS), DN = DC, / A

55、ND = Z ACD.又t/ ACB = 2 / B, AND = 2/ B. 又丄 BND 中，/ AND = / B +Z NDB , / B = / NDB , NB= ND , BN = CD.5. 證明：連接 BD、CD.t AD 是/ FAE 的平分線，DE 丄 AB, DF 丄AC, DE = DF .t DG 是 BC 的垂直平分線， BD = CD. Rt CDF 也 Rt BDE.a BE= CF.周國年 1031AE if6. 證明：(1)T AD 是/ BAC 的平分線，DE 丄 AB, DC±AC, DE = DC.又t BD = DF , Rt CFD也 Rt EBD(HL) . CF = EB;(2)在 Rt ADC 和 Rt ADE 中，AD = AD, DC = DE , Rt ADC 也 Rt ADE , AC = AE ,