1、第九節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【知識梳理】【知識梳理】1.1.必會知識必會知識 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定代數(shù)法代數(shù)法: :把圓錐曲線方程與直線方程聯(lián)立消去把圓錐曲線方程與直線方程聯(lián)立消去y,y,整理得到關(guān)于整理得到關(guān)于x x的方的方程程axax2 2+bx+c=0.+bx+c=0.方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的解的解l與與C C的交點的交點a=0a=0b=0b=0無解無解( (含含l是雙曲線的漸近線是雙曲線的漸近線) )_b0b0有一解有一解( (含含l與拋物線的對稱軸平行與拋物線的對稱軸平行或與

2、雙曲線的漸近線平行或與雙曲線的漸近線平行) )_a0a000兩個兩個_的解的解_=0=0兩個相等的解兩個相等的解_00.( )0.( )2121tyy .【解析】【解析】(1)(1)正確正確, ,直線直線l與橢圓與橢圓C C只有一個公共點只有一個公共點, ,則直線則直線l與橢圓與橢圓C C相切相切, ,反之亦成立反之亦成立. .(2)(2)錯誤錯誤, ,因為直線因為直線l與雙曲線與雙曲線C C的漸近線平行時的漸近線平行時, ,也只有一個公共點也只有一個公共點, ,是是相交相交, ,但并不相切但并不相切. .(3)(3)錯誤錯誤, ,因為直線因為直線l與拋物線與拋物線C C的對稱軸平行時的對稱軸

3、平行時, ,也只有一個公共點也只有一個公共點, ,是是相交相交, ,但不相切但不相切. .(4)(4)正確，正確，|AB|=|AB|=又又x x1 1=ty=ty1 1+a,x+a,x2 2=ty=ty2 2+a,+a,所以所以|AB|=|AB|= =(5)(5)錯誤，應(yīng)是以錯誤，應(yīng)是以l為垂直平分線的線段為垂直平分線的線段ABAB所在的直線所在的直線l與拋物線方與拋物線方程聯(lián)立，消元后所得一元二次方程的判別式程聯(lián)立，消元后所得一元二次方程的判別式0.0.答案：答案：(1) (2)(1) (2) (3) (3) (4) (4) (5)(5)221212xxyy， 221212tyatyayy2

4、222121212tyyyy1tyy .2.2.教材改編教材改編 鏈接教材練一練鏈接教材練一練(1)(1)(選修選修2-1P692-1P69例例4 4改編改編) )直線直線l經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y y2 2=4x=4x的焦點的焦點F,F,與拋物線相與拋物線相交于交于A,BA,B兩點兩點, ,若若|AB|=8,|AB|=8,則直線則直線l的方程為的方程為. . 【解析】【解析】當直線當直線l的斜率不存在時的斜率不存在時, ,顯然不成立顯然不成立. .設(shè)直線設(shè)直線l的斜率為的斜率為k,A,Bk,A,B的坐標分別為的坐標分別為(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2),),因

5、為直線因為直線l過焦點過焦點F(1,0),F(1,0),故直線故直線l的方程為的方程為y=k(x-1).y=k(x-1).由由 得得k k2 2(x-1)(x-1)2 2=4x,=4x,即即k k2 2x x2 2-(2k-(2k2 2+4)x+k+4)x+k2 2=0,=0,2yk(x1),y4x2242122212(2k4)4k02k44xx2kkx x1 ，則，所以所以|AB|=|AB|=所以所以k k2 2=1,=1,故故k=k=1.1.所以直線所以直線l的方程為的方程為y=y=(x-1),(x-1),即即x-y-1=0 x-y-1=0或或x+y-1=0.x+y-1=0.答案：答案：x

6、-y-1=0 x-y-1=0或或x+y-1=0 x+y-1=02221212121kxx1kxx4x x2242216164(1k )1k448kkk ，(2)(2)(選修選修2-1P81B2-1P81B組組T1T1改編改編) )已知已知F F1 1,F,F2 2是橢圓是橢圓16x16x2 2+25y+25y2 2=1600=1600的兩個焦的兩個焦點點,P,P是橢圓上一點是橢圓上一點, ,且且PFPF1 1PFPF2 2, ,則則F F1 1PFPF2 2的面積為的面積為. .【解析】【解析】由題意可得由題意可得|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a=20,|=2a=20,|P

7、F|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2=|F=|F1 1F F2 2| |2 2=4c=4c2 2=144=(|PF=144=(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-2|PF-2|PF1 1| |PF|PF2 2| |=20=202 2-2|PF-2|PF1 1| |PF|PF2 2|,|,解得解得|PF|PF1 1| |PF|PF2 2|=128,|=128,所以所以F F1 1PFPF2 2的面積為的面積為答案答案: :64641211|PF | |PF |12864.223.3.真題小試真題小試 感悟考題感悟考題 試一試試一試(1)(2014(1)(

8、2014四川高考四川高考) )已知已知F F為拋物線為拋物線y y2 2=x=x的焦點，點的焦點，點A A，B B在該拋物在該拋物線上且位于線上且位于x x軸的兩側(cè)，軸的兩側(cè)， ( (其中其中O O為坐標原點為坐標原點) )，則，則ABOABO與與AFOAFO面積之和的最小值是面積之和的最小值是( )( )【解題提示】【解題提示】設(shè)設(shè)ABAB方程：方程：x=ty+mx=ty+m聯(lián)立聯(lián)立 結(jié)合結(jié)合求出求出mm求求S SABOABO+S+SAFOAFO的最小值的最小值. .OA OB2 17 2A.2 B.3 C. D. 1082xtymyx，OA OB2 【解析】【解析】選選B.B.可設(shè)直線可設(shè)

9、直線ABAB的方程為的方程為:x=ty+m,:x=ty+m,點點A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),則直線則直線ABAB與與x x軸的交點軸的交點M(m,0),M(m,0),由由 y y2 2-ty-m=0,-ty-m=0,所以所以y y1 1y y2 2=-m,=-m,又又 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=2=2(y(y1 1y y2 2) )2 2+y+y1 1y y2 2-2=0, -2=0, 因為點因為點A A，B B在該拋物線上且位于在該拋物線上且位于x x軸的兩側(cè)，軸的兩側(cè)，所以所以y y1 1y y2 2=-2=-2

10、，故，故m=2m=2，又，又2xtym,yxOA OB2 1F( ,0)4，于是于是S SABOABO+S+SAFOAFO= = =當且僅當當且僅當 即即 時取時取“=”=”，所以所以ABOABO與與AFOAFO面積之和的最小值是面積之和的最小值是3.3.1211112 | yy | y |224 111112192| y| y | y |y88| y |11922| y |38| y | ，1192y8y，14y3(2)(2013(2)(2013新課標全國卷新課標全國卷)已知橢圓已知橢圓E: E: 的右焦的右焦點點F(3,0)F(3,0)，過點，過點F F的直線交的直線交E E于于A A，B

11、 B兩點，若兩點，若ABAB的中點坐標為的中點坐標為(1,-1)(1,-1)，則則E E的方程為的方程為( )( )2222xy1(ab0)ab22222222xyxyA.1 B.145363627xyxyC.1 D.12718189【解析】【解析】選選D.D.由橢圓由橢圓 得，得，b b2 2x x2 2+a+a2 2y y2 2=a=a2 2b b2 2，因為過點因為過點F F的直線與橢圓的直線與橢圓 交于交于A A，B B兩點，兩點，設(shè)設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2,y,y2 2),),則則則則b b2 2x x1 12 2+a+a2 2y y1 12 2=

12、a=a2 2b b2 2 ，b b2 2x x2 22 2+a+a2 2y y2 22 2=a=a2 2b b2 2 ，由由- -得得b b2 2(x(x1 12 2-x-x2 22 2)+a)+a2 2(y(y1 12 2-y-y2 22 2)=0)=0，化簡得化簡得b b2 2(x(x1 1-x-x2 2)(x)(x1 1+x+x2 2)+a)+a2 2(y(y1 1-y-y2 2)(y)(y1 1+y+y2 2)=0.)=0.2b2b2 2(x(x1 1-x-x2 2)-2a)-2a2 2(y(y1 1-y-y2 2)=0)=0，2222xy1ab2222xy1(ab0)ab212212

13、yyb,xxa1212xxyy1122 ，又直線的斜率為又直線的斜率為 即即因為因為b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=a=a2 2-9-9，所以，所以 解得解得a a2 2=18=18，b b2 2=9.=9.故橢圓方程為故橢圓方程為0( 1)1k3 12 ，22b1.a222a91a2，22xy1.189(3)(2014(3)(2014湖南高考湖南高考) )平面上一機器人在行進中始終保持與點平面上一機器人在行進中始終保持與點F(1,0)F(1,0)的距離和到直線的距離和到直線x=-1x=-1的距離相等的距離相等. .若機器人接觸不到過點若機器人接觸不到過點P(-1,0)P(-1,0)

14、且斜且斜率為率為k k的直線的直線, ,則則k k的取值范圍是的取值范圍是. .【解題提示】【解題提示】根據(jù)拋物線的定義和直線與圓錐曲線的關(guān)系求解根據(jù)拋物線的定義和直線與圓錐曲線的關(guān)系求解. .【解析】【解析】把機器人看做一個動點把機器人看做一個動點, ,則根據(jù)拋物線定義知道它的軌跡則根據(jù)拋物線定義知道它的軌跡為拋物線為拋物線, ,其方程為其方程為y y2 2=4x,=4x,過點過點P(-1,0)P(-1,0)且斜率為且斜率為k k的直線方程為的直線方程為y=k(x+1),y=k(x+1),兩個方程聯(lián)立兩個方程聯(lián)立 消去消去y y得得k k2 2x x2 2+(2k+(2k2 2-4)x+k-

15、4)x+k2 2=0,=0,由題意由題意=(2k=(2k2 2-4)-4)2 2-4k-4k4 40,k1,1,所以所以k(-,-1)(1,+).k(-,-1)(1,+).答案答案: :(-(-,-1),-1)(1,+(1,+) )2y4x,yk(x1),考點考點1 1 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的確定及應(yīng)用直線與圓錐曲線位置關(guān)系的確定及應(yīng)用【典例【典例1 1】(1)(1)過拋物線過拋物線y y2 2=2x=2x的焦點作一條直線與拋物線交于的焦點作一條直線與拋物線交于A,BA,B兩點兩點, ,它們的橫坐標之和等于它們的橫坐標之和等于2,2,則這樣的直線則這樣的直線( () )A.A.有且只有一條有

16、且只有一條 B.B.有且只有兩條有且只有兩條C.C.有且只有三條有且只有三條 D.D.有且只有四條有且只有四條(2)(2013(2)(2013浙江高考浙江高考) )如圖，點如圖，點P(0,-1)P(0,-1)是橢圓是橢圓C C1 1：的一個頂點，的一個頂點，C C1 1的長軸是圓的長軸是圓C C2 2：x x2 2+y+y2 2=4=4的直徑的直徑. . l1 1, ,l2 2是過點是過點P P且互相且互相垂直的兩條直線，其中垂直的兩條直線，其中l(wèi)1 1交圓交圓C C2 2于于A,BA,B兩點，兩點，l2 2交橢圓于另一點交橢圓于另一點D.D.求橢圓求橢圓C C1 1的方程的方程. .求求AB

17、DABD面積取最大值時直線面積取最大值時直線l1 1的方程的方程. .2222xy1(ab0)ab 【解題提示】【解題提示】(1)(1)由于過焦點垂直于軸的弦只有一條由于過焦點垂直于軸的弦只有一條, ,且此時弦長最小且此時弦長最小, ,因此只需看該弦與弦因此只需看該弦與弦ABAB的關(guān)系即可的關(guān)系即可.(2).(2)由長軸可求由長軸可求a a值值, ,由點由點P P可求可求b b值值; ;先確定先確定ABDABD的底與高的底與高, ,再得出面積的解析式再得出面積的解析式, ,利用基本不等式求利用基本不等式求最值最值. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.設(shè)該拋物線焦點為設(shè)該拋物線焦

18、點為F F，A(xA(xA A，y yA A) )，B(xB(xB B，y yB B) )，則則|AB|AB|AF|AF|FB|FB| x xA Ax xB B1 13 32p2p2.2.所以符所以符合條件的直線有且只有兩條合條件的直線有且只有兩條(2)(2)由題意得，由題意得，a=2,b=1a=2,b=1，所以橢圓，所以橢圓C C1 1的方程為：的方程為：設(shè)設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),D(x),D(x0 0,y,y0 0).).由題意知，直線由題意知，直線l1 1的斜率存在，不妨設(shè)其為的斜率存在，不妨設(shè)其為k k，則直線，則直線l1 1的方程

19、為：的方程為：y=kx-1y=kx-1，ABppxx22 22xy1.4又圓又圓C C2 2：x x2 2+y+y2 2=4=4，故點，故點O O到直線到直線l1 1的距離的距離所以所以|AB|=|AB|=又又l2 2l1 1，故直線，故直線l2 2的方程為：的方程為：x+ky+k=0 x+ky+k=0，由由 消去消去y y，整理得，整理得(4+k(4+k2 2)x)x2 2+8kx=0+8kx=0，故故 所以所以設(shè)設(shè)ABDABD的面積為的面積為S S，則，則21dk1，2224k32 4d2k1，22xkyk0 x4y4，028kx4k ，228 k1PD4k，2218 4k3S|AB| P

20、D24k，所以所以當且僅當當且僅當 時取等號，時取等號，所以所求所以所求l1 1的方程為的方程為22223232S13134k324k34k34k316 1313，10k2 10yx1.2 【互動探究】【互動探究】本例本例(1)(1)中的中的“橫坐標之和等于橫坐標之和等于2”2”改為改為“橫坐標之和等橫坐標之和等于于1”1”結(jié)果如何結(jié)果如何? ?若改為若改為“橫坐標之和等于橫坐標之和等于0.5”0.5”結(jié)果如何結(jié)果如何? ?【解析】【解析】若改為若改為“橫坐標之和等于橫坐標之和等于1”,1”,設(shè)該拋物線焦點為設(shè)該拋物線焦點為F,A(xF,A(xA A,y,yA A),B(x),B(xB B,y

21、,yB B) )，則，則|AB|AB|AF|AF|FB|FB| x xA Ax xB B1 12=2p2=2p2.2.所以符合條件的直線有且所以符合條件的直線有且只有一條只有一條若改為若改為“橫坐標之和等于橫坐標之和等于0.5”0.5”，設(shè)該拋物線焦點為設(shè)該拋物線焦點為F F，A(xA(xA A，y yA A) )，B(xB(xB B，y yB B) )，則，則|AB|AB|AF|AF|FB|FB| x xA Ax xB B1 11.51.52p2p2.2.所以沒有符合條件的直線所以沒有符合條件的直線ABppxx22 ABppxx22 【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法及

22、關(guān)注點直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法及關(guān)注點(1)(1)判定方法判定方法: :直線與圓錐曲線方程聯(lián)立直線與圓錐曲線方程聯(lián)立, ,消去消去x(x(或或y),y),判定該方程組解判定該方程組解的個數(shù)的個數(shù), ,方程組有幾組解方程組有幾組解, ,直線與圓錐曲線就有幾個交點直線與圓錐曲線就有幾個交點. .(2)(2)關(guān)注點關(guān)注點: :聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元后聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元后, ,應(yīng)注意討論二次項應(yīng)注意討論二次項系數(shù)是否為零的情況系數(shù)是否為零的情況. .判斷直線與圓錐曲線位置關(guān)系時判斷直線與圓錐曲線位置關(guān)系時, ,判別式判別式起起著關(guān)鍵性的作用著關(guān)鍵性的作用, ,第一第一: :可以

23、限定所給參數(shù)的范圍可以限定所給參數(shù)的范圍; ;第二第二: :可以取舍某些可以取舍某些解以免產(chǎn)生增根解以免產(chǎn)生增根. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2014(2014湖北高考湖北高考) )在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy中中, ,點點M M到點到點F(1,0)F(1,0)的距離比它到的距離比它到y(tǒng) y軸的距離多軸的距離多1.1.記點記點M M的軌跡為的軌跡為C.C.(1)(1)求軌跡求軌跡C C的方程的方程. .(2)(2)設(shè)斜率為設(shè)斜率為k k的直線的直線l過定點過定點P(-2,1).P(-2,1).求直線求直線l與軌跡與軌跡C C恰好有一個公恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點

24、時共點、兩個公共點、三個公共點時k k的相應(yīng)取值范圍的相應(yīng)取值范圍. .【解題提示】【解題提示】(1)(1)設(shè)出設(shè)出M M點的坐標點的坐標, ,直接由題意列等式直接由題意列等式, ,整理后即可得整理后即可得到點到點M M的軌跡的軌跡C C的方程的方程. .(2)(2)設(shè)出直線設(shè)出直線l的方程為的方程為y-1=k(x+2),y-1=k(x+2),和和(1)(1)中的軌跡方程聯(lián)立化為關(guān)中的軌跡方程聯(lián)立化為關(guān)于于y y的一元二次方程的一元二次方程, ,求出判別式求出判別式, ,再在直線再在直線y-1=k(x+2)y-1=k(x+2)中取中取y=0y=0得到得到 然后分判別式小于然后分判別式小于0 0

25、、等于、等于0 0、大于、大于0 0結(jié)合結(jié)合x x0 0求解使直線求解使直線l與軌跡與軌跡C C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k k的相應(yīng)取的相應(yīng)取值范圍值范圍. .02k1x,k 【解析】【解析】(1)(1)設(shè)點設(shè)點M(x,y)M(x,y)，依題意得，依題意得|MF|=|x|+1|MF|=|x|+1，即即 =|x|+1=|x|+1，化簡整理得，化簡整理得y y2 2=2(|x|+x).=2(|x|+x).故點故點M M的軌跡的軌跡C C的方程為的方程為(2)(2)在點在點M M的軌跡的軌跡C C中，記中，記C C1 1:y:y2 2=4x

26、(x0)=4x(x0)，C C2 2:y=0(x0).:y=0(x0).依題意，可設(shè)直線依題意，可設(shè)直線l的方程為的方程為y-1=k(x+2).y-1=k(x+2).由方程組由方程組 可得可得kyky2 2-4y+4(2k+1)=0.-4y+4(2k+1)=0.當當k=0k=0時，此時時，此時y=1.y=1.把把y=1y=1代入軌跡代入軌跡C C的方程，得的方程，得故此時直線故此時直線l:y=1:y=1與軌跡與軌跡C C恰好有一個公共點恰好有一個公共點22(x1)y24x,x0,y0,x0.2y 1k(x2),y4x, 1x.41( ,1).4當當k0k0時，方程時，方程的判別式為的判別式為=

27、-16(2k=-16(2k2 2+k-1).+k-1).設(shè)直線設(shè)直線l與與x x軸的交點為軸的交點為(x(x0 0,0),0)，由由y-1=k(x+2)y-1=k(x+2)，令，令y=0y=0，得，得 ( () )若若 由由解得解得k-1k0)2py(p0)的焦點是橢圓的頂點的焦點是橢圓的頂點. .(1)(1)求拋物線求拋物線C C2 2的方程的方程. .(2)(2)過點過點M(M(1,0)1,0)的直線的直線l與拋物線與拋物線C C2 2交于交于E E，F(xiàn) F兩點，過兩點，過E E，F(xiàn) F作拋物線作拋物線C C2 2的切線的切線l1 1，l2 2，當，當l1 1l2 2時，求直線時，求直線l

28、的方程的方程222xy1(0b2)4b32，【解析】【解析】(1)(1)因為橢圓因為橢圓C C1 1的長半軸長的長半軸長a a2 2，半焦距，半焦距由由 得得b b2 21.1.所以橢圓所以橢圓C C1 1的上頂點為的上頂點為(0,1),(0,1),所以拋物線所以拋物線C C2 2的焦點為的焦點為(0,1),(0,1),所以拋物線所以拋物線C C2 2的方程為的方程為x x2 24y.4y.(2)(2)由已知可得直線由已知可得直線l的斜率必存在，設(shè)直線的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為的方程為y yk(xk(x1)1)，E(xE(x1 1，y y1 1) )，F(xiàn)(xF(x2 2，y y2 2) )

29、由由x x2 24y4y，得，得 所以所以所以切線所以切線l1 1，l2 2的斜率分別為的斜率分別為2c4b .2c4b3ea22 ，21yx .41yx.21211xx .22，當當l1 1l2 2時，時， 即即x x1 1x x2 24.4.由由 得得x x2 24kx4kx4k4k0.0.所以所以(4k)(4k)2 24 4( (4k)04k)0，解得，解得kk0k0. .x x1 1x x2 24k4k4 4，即，即k k1 1，滿足，滿足式式所以直線所以直線l的方程為的方程為x xy y1 10.0.1211xx122，2yk(x1),x4y,考點考點2 2 與弦有關(guān)問題與弦有關(guān)問題

30、【典例【典例2 2】(1)(2015(1)(2015濰坊模擬濰坊模擬) )直線直線4kx4kx4y4yk k0 0與拋物線與拋物線y y2 2x x交于交于A A，B B兩點，若兩點，若|AB|AB|4 4，則弦，則弦ABAB的中點到直線的中點到直線 的距離的距離等于等于( )( )1x02 79A. B 2 C. D 444(2)(2)已知橢圓已知橢圓C C： 直線直線 與以原點為圓心，與以原點為圓心，以橢圓以橢圓C C的短半軸長為半徑的圓相切，的短半軸長為半徑的圓相切，F(xiàn) F1 1，F(xiàn) F2 2為其左、右焦點，為其左、右焦點，P P為橢為橢圓圓C C上任意一點，上任意一點，F(xiàn) F1 1PF

31、PF2 2的重心為的重心為G G，內(nèi)心為，內(nèi)心為I I，且，且IGFIGF1 1F F2 2. .求橢圓求橢圓C C的方程的方程. .若直線若直線l：y ykxkxm(k0)m(k0)與橢圓與橢圓C C交于不同的兩點交于不同的兩點A A，B B，且線段，且線段ABAB的垂直平分線過定點的垂直平分線過定點 求實數(shù)求實數(shù)k k的取值范圍的取值范圍2222xy1 ab0ab ，yx6 1C( ,0)6，【解題提示】【解題提示】(1)(1)首先判斷出直線過拋物線的焦點首先判斷出直線過拋物線的焦點, ,再根據(jù)再根據(jù)|AB|=4|AB|=4求解求解. .(2)(2)設(shè)出設(shè)出P P點坐標點坐標, ,表示出重

32、心坐標表示出重心坐標, ,設(shè)出內(nèi)心坐標設(shè)出內(nèi)心坐標, ,根據(jù)相切和根據(jù)相切和IGFIGF1 1F F2 2求解求解; ;聯(lián)立方程聯(lián)立方程, ,利用線段利用線段ABAB的中點在垂直平分線上求解的中點在垂直平分線上求解. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.直線直線4kx4kx4y4yk k0 0，即，即即直線即直線4kx4kx4y4yk k0 0過拋物線過拋物線y y2 2x x的焦點的焦點設(shè)設(shè)A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )，則，則|AB|AB|故故 則弦則弦ABAB的中點的橫坐標是的中點的橫坐標是弦弦ABAB的中點到直線的中點到直線

33、 的距離是的距離是1yk(x)4，1( ,0).4121xx42 ，127xx2 ，74，1x02 719.424 (2)(2)設(shè)設(shè)P(xP(x0 0，y y0 0) )，x x0 0a a，則，則又設(shè)又設(shè)I(xI(xI I，y yI I) )，因為，因為IGFIGF1 1F F2 2，所以，所以因為因為|F|F1 1F F2 2| |2c2c，所以所以所以所以2c2c3 32a2a2c2c，所以所以 又由題意知又由題意知所以所以 所以所以a a2 2，所以橢圓，所以橢圓C C的方程為的方程為00 xyG(,).330Iyy3，12FPF1 201S|FF | | y |20121 2y1(|

34、PF |PF |FF |) |23|，c1ea2 ，6b1 1，b3，22xy1.43設(shè)設(shè)A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )，由，由 消去消去y y，得得(3(34k4k2 2)x)x2 28kmx8kmx4m4m2 212120 0，由題意知由題意知(8km)(8km)2 24(34(34k4k2 2)(4m)(4m2 212)12)0 0，即即m m2 24k4k2 23 3，又，又x x1 1x x2 2 則則y y1 1y y2 2所以線段所以線段ABAB的中點的中點P P的坐標為的坐標為又線段又線段ABAB的垂直平分線的垂直平分線l的方程為

35、的方程為點點P P在直線在直線l上，上，22xy1,43ykxm28km34k，26m34k，224km3m(,).34k34k11y(x)k6，所以所以所以所以4k4k2 26km6km3 30 0，所以，所以所以所以 所以所以解得解得所以所以k k的取值范圍是的取值范圍是223m14km1()34kk34k6，21m(4k3)6k ，2222(4k3)4k336k ，23k32，66kk88或 ，66(,)(,).88 【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】1.1.弦長的計算方法與技巧弦長的計算方法與技巧求弦長時可利用弦長公式求弦長時可利用弦長公式, ,根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后根據(jù)直線方程與

36、圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程得到的一元二次方程, ,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式的代數(shù)式, ,然后進行整體代入弦長公式求解然后進行整體代入弦長公式求解. .提醒提醒: :注意兩種特殊情況注意兩種特殊情況:(1):(1)直線與圓錐曲線的對稱軸平行或垂直直線與圓錐曲線的對稱軸平行或垂直; ;(2)(2)直線過圓錐曲線的焦點直線過圓錐曲線的焦點. .2.2.弦中點問題的解法弦中點問題的解法點差法在解決有關(guān)弦中點、弦所在直線的斜率、弦中點與原點連線斜點差法在解決有關(guān)弦中點、弦所在直線的斜率、弦中點與原點連線斜率問題時可簡化運算率問

37、題時可簡化運算, ,但要注意直線斜率是否存在但要注意直線斜率是否存在. .3.3.與弦端點相關(guān)問題的解法與弦端點相關(guān)問題的解法解決與弦端點有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法解決與弦端點有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法, ,就是將就是將其轉(zhuǎn)化為端點的坐標關(guān)系其轉(zhuǎn)化為端點的坐標關(guān)系, ,再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系, ,構(gòu)建方程構(gòu)建方程( (組組) )求解求解. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】設(shè)設(shè)F F1 1，F(xiàn) F2 2分別是橢圓分別是橢圓E E： 的左、右焦的左、右焦點，過點，過F F1 1斜率為斜率為1 1的直線的

38、直線l與與E E相交于相交于A A，B B兩點，且兩點，且|AF|AF2 2| |，|AB|AB|，|BF|BF2 2| |成等差數(shù)列成等差數(shù)列. .(1)(1)求求E E的離心率的離心率. .(2)(2)設(shè)點設(shè)點P(0P(0，-1)-1)滿足滿足|PA|=|PB|PA|=|PB|，求，求E E的方程的方程. .2222xy1(ab0)ab【解析】【解析】(1)(1)由橢圓定義知由橢圓定義知|AF|AF2 2|+|BF|+|BF2 2|+|AB|=4a,|+|AB|=4a,又又2|AB|=2|AB|=|AF|AF2 2|+|BF|+|BF2 2|,|,得得|AB|= |AB|= l的方程為的方

39、程為y=x+c,y=x+c,其中其中設(shè)設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )，則，則A,BA,B兩點的坐標滿足方程組兩點的坐標滿足方程組消去消去y y，化簡得，化簡得(a(a2 2+b+b2 2)x)x2 2+2a+2a2 2cx+acx+a2 2(c(c2 2-b-b2 2)=0,)=0,則則因為直線因為直線ABAB的斜率為的斜率為1 1，所以，所以即即 故故a a2 2=2b=2b2 2, ,所以所以E E的離心率的離心率4a,322cab .2222yxcxy1,ab，2222121222222a ca (cb )xx,x x.abab22112

40、12AB2 xx2xx4x x ，22244aba,3ab22cab2e.aa2(2)(2)設(shè)設(shè)ABAB的中點為的中點為N(xN(x0 0,y,y0 0),),由由(1)(1)知知由由|PA|=|PB|PA|=|PB|，得，得k kPNPN=-1,=-1,即即 得得c=3,c=3,從而從而故橢圓故橢圓E E的方程為的方程為212022xxa c2cx,2ab3 00cyxc.300y11,x a3 2,b3.22xy1.189考點考點3 3 探究性、存在性問題探究性、存在性問題知知考情考情 探究性、存在性問題是高考在解析幾何中命題的一大亮點探究性、存在性問題是高考在解析幾何中命題的一大亮點,

41、,主要主要是以解答題的形式出現(xiàn)是以解答題的形式出現(xiàn), ,考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì), ,考查學(xué)生的運算能力以及分析問題、解決問題的能力考查學(xué)生的運算能力以及分析問題、解決問題的能力. . 明明角度角度命題角度命題角度1 1：探究是否存在常數(shù)問題探究是否存在常數(shù)問題【典例【典例3 3】(2013(2013江西高考江西高考) )如圖，橢圓如圖，橢圓C:C:經(jīng)過點經(jīng)過點 離心率離心率 直線直線l的方程為的方程為x=4.x=4.2222xy1(ab0)ab 3P(1, )2，1e2，(1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程. .(

42、2)AB(2)AB是經(jīng)過右焦點是經(jīng)過右焦點F F的任一弦的任一弦( (不經(jīng)過點不經(jīng)過點P),P),設(shè)直線設(shè)直線ABAB與直線與直線l相交于相交于點點M,M,記記PA,PB,PMPA,PB,PM的斜率分別為的斜率分別為k k1 1,k,k2 2,k,k3 3. .問問: :是否存在常數(shù)是否存在常數(shù),使得使得k k1 1+k+k2 2=k=k3 3? ?若存在若存在, ,求求的值的值; ;若不存在若不存在, ,說明理由說明理由. . 【解題提示】【解題提示】(1)(1)由點在橢圓上和離心率建立方程求出橢圓方程由點在橢圓上和離心率建立方程求出橢圓方程. .(2)(2)設(shè)出直線的方程設(shè)出直線的方程,

43、,將其與橢圓的方程結(jié)合得到一個一元二次方程將其與橢圓的方程結(jié)合得到一個一元二次方程, ,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出A,BA,B兩點的坐標之間的關(guān)系和兩點的坐標之間的關(guān)系和M M的坐標的坐標, ,由此由此得出相應(yīng)的直線的斜率得出相應(yīng)的直線的斜率, ,根據(jù)根據(jù)A,F,BA,F,B三點共線得出相應(yīng)的坐標之間的關(guān)三點共線得出相應(yīng)的坐標之間的關(guān)系從而求出常數(shù)的值系從而求出常數(shù)的值. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由由 在橢圓上得，在橢圓上得， 依題設(shè)知依題設(shè)知a=2ca=2c，則，則a a2 2=4c=4c2 2,b,b2 2=3c=3c2 2, , 將將代入代入得得c c2

44、2=1,a=1,a2 2=4,b=4,b2 2=3.=3.故橢圓故橢圓C C的方程為的方程為(2)(2)存在存在. .由題意可設(shè)由題意可設(shè)ABAB的斜率為的斜率為k k，則直線，則直線ABAB的方程為的方程為y=k(x-1), y=k(x-1), 代入橢圓方程并整理得代入橢圓方程并整理得(4k(4k2 2+3)x+3)x2 2-8k-8k2 2x+4(kx+4(k2 2-3)=0.-3)=0.設(shè)設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )，則有，則有 3P(1, )222191,a4b22xy1.43221212228k4(k3)xx,x x,4k34k3在

45、方程在方程中令中令x=4,x=4,得得M(4M(4，3k).3k).從而從而注意到注意到A,F,BA,F,B三點共線，則有三點共線，則有k=kk=kAFAF=k=kBFBF, ,即即所以所以1212312333yy3k1222k,k,kk.x1x14 121212yyk.x1x112121212121233yyyy31122kk()x1x1x1x12 x1x1= = 將將代入代入得得k k1 1+k+k2 2= =2k-1.=2k-1.又又 所以所以k k1 1+k+k2 2=2k=2k3 3. .故存在常數(shù)故存在常數(shù)=2=2符合題意符合題意. .121212xx232k,2 x xxx122

46、22228k234k32k4(k3)8k214k34k331kk2，【一題多解】【一題多解】解答本題第解答本題第(2)(2)問還有以下解法：問還有以下解法：設(shè)設(shè)B(xB(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 01)1)，則直線，則直線FBFB的方程為：的方程為： 令令x=4x=4，求得，求得從而直線從而直線PMPM的斜率為的斜率為聯(lián)立聯(lián)立 解得解得00yyx1x1，003yM(4,)x1，00302yx1k2 x1，0022yyx1 ,x1xy1,4300005x83yA(,)2x5 2x5，則直線則直線PAPA的斜率為的斜率為 直線直線PBPB的斜率為的斜率為所以所以故存在常數(shù)故存在常數(shù)=2

47、=2符合題意符合題意. .00102y2x5k2(x1)，0202y3k2 x1，000001230002y2x52y32yx1kk2k2(x1)2(x1)x1，命題角度命題角度2 2：探究是否存在點或線問題探究是否存在點或線問題【典例【典例4 4】(2014(2014湖南高考湖南高考) )如圖，如圖，O O為坐標原點，為坐標原點，雙曲線雙曲線C C1 1: : 和橢圓和橢圓C C2 2: : 均過點均過點 且以且以C C1 1的的兩個頂點和兩個頂點和C C2 2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為為2 2的正方形的正方形. .22112211xy1(a0,b0)ab

48、22222222xy1(ab0)ba2 3P(,1)3，(1)(1)求求C C1 1,C,C2 2的方程的方程. .(2)(2)是否存在直線是否存在直線l，使得，使得l與與C C1 1交于交于A,BA,B兩點，與兩點，與C C2 2只有一個公共點，只有一個公共點，且且 ？證明你的結(jié)論？證明你的結(jié)論. .【解題提示】【解題提示】利用橢圓的定義和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系利用橢圓的定義和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, ,聯(lián)立聯(lián)立方程組方程組, ,求解求解. .|OAOB| |AB| 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)設(shè)C C2 2的焦距為的焦距為2c2c2 2，由題意知，由題意知，2c2c2 2=2

49、,2a=2,2a1 1=2,=2,從而從而a a1 1=1,c=1,c2 2=1.=1.因為點因為點 在雙曲線在雙曲線 上，所以上，所以 故故b b1 12 2=3,=3,由橢圓的定義知由橢圓的定義知于是于是故故C C1 1,C,C2 2的方程分別為的方程分別為2 3P(,1)3，2221yx1b2212 31()13b ，222222 32 32a()(1 1)()(1 1)2 3,332222222a3,bac2 ，2222yyxx1,1.332(2)(2)不存在符合題設(shè)條件的直線不存在符合題設(shè)條件的直線. .(i)(i)若直線若直線l垂直于垂直于x x軸，軸，因為因為l與與C C2 2只

50、有一個公共點，所以直線只有一個公共點，所以直線l的方程為的方程為當當 時，易知時，易知所以所以此時，此時，當當 時，同理可知時，同理可知x2x2,或x2A( 23)B( 2,3),，|OAOB| 2 2,|AB| 2 3 ，|OAOB| |AB|. x2|OAOB| |AB|. (ii)(ii)若直線若直線l不垂直于不垂直于x x軸，設(shè)軸，設(shè)l的方程為的方程為y=kx+m,y=kx+m,由由 得得(3-k(3-k2 2)x)x2 22kmx2kmxm m2 23=0.3=0.當當l與與C C1 1相交于相交于A,BA,B兩點時，設(shè)兩點時，設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2

51、 2,y,y2 2) )，則則x x1 1,x,x2 2是上述方程的兩個實根，從而是上述方程的兩個實根，從而于是于是y y1 1y y2 2=k=k2 2x x1 1x x2 2+km(x+km(x1 1+x+x2 2)+m)+m2 2= =由由 得得(2k(2k2 2+3)x+3)x2 2+4kmx+2m+4kmx+2m2 26=0.6=0.22ykxm,yx131222kmxx,3k2122m3x xk3，2223k3m,k322ykxm,yx132因為直線因為直線l與與C C2 2只有一個公共點，所以上述方程的判別式只有一個公共點，所以上述方程的判別式=16k=16k2 2m m2 28

52、(2k8(2k2 2+3)(m+3)(m2 23)=0,3)=0,化簡，得化簡，得2k2k2 2=m=m2 23.3.因此因此于是于是即即故故綜合綜合(i)(ii)(i)(ii)可知，不存在符合題設(shè)條件的直線可知，不存在符合題設(shè)條件的直線. .22221212222m33k3mk3OA OBx xy y0,k3k3k3 2222OAOB2OA OBOAOB2OA OB ，22|OAOB|OAOB| ，|OAOB| |AB |，命題角度命題角度3:3:探究是否存在最值問題探究是否存在最值問題【典例【典例5 5】(2014(2014山東高考山東高考) )已知已知拋物線拋物線C:yC:y2 2=2p

53、x(p0)=2px(p0)的焦點為的焦點為F,AF,A為為C C上異于原點的任意一點上異于原點的任意一點, ,過點過點A A的直線的直線l交交C C于另一點于另一點B,B,交交x x軸的正半軸的正半軸于點軸于點D,D,且有且有|FA|=|FD|.|FA|=|FD|.當點當點A A的橫坐標為的橫坐標為3 3時時, ,ADFADF為正三角形為正三角形. .(1)(1)求求C C的方程的方程. .(2)(2)若直線若直線l1 1l, ,且且l1 1和和C C有且只有一個公共點有且只有一個公共點E,E,證明直線證明直線AEAE過定點過定點, ,并求出定點坐標并求出定點坐標; ;ABEABE的面積是否存

54、在最小值的面積是否存在最小值? ?若存在若存在, ,請求出最小值請求出最小值; ;若不存在若不存在, ,請請說明理由說明理由. .【解題提示】【解題提示】(1)(1)由拋物線的定義及已知條件點由拋物線的定義及已知條件點A A的橫坐標為的橫坐標為3 3時時，ADFADF為正三角形為正三角形. .可求得可求得p p的值的值. .(2)(2)先設(shè)出點先設(shè)出點A A的坐標的坐標, ,根據(jù)根據(jù)|FA|=|FD|FA|=|FD|表示出表示出D D點坐標點坐標, ,然后根據(jù)然后根據(jù)l1 1l求出求出AEAE的方程的方程, ,即可判斷即可判斷AEAE是否過定點是否過定點; ;可利用設(shè)出的可利用設(shè)出的A A點坐

55、標表示點坐標表示出出ABEABE的面積的面積, ,然后利用基本不等式求出最值然后利用基本不等式求出最值. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由題意知由題意知設(shè)設(shè)D(t,0)(t0),D(t,0)(t0),則則FDFD的中點為的中點為因為因為|FA|=|FD|,|FA|=|FD|,由拋物線的定義知由拋物線的定義知解得解得t=3+pt=3+p或或t=-3(t=-3(舍去舍去) )，由由 解得解得p=2.p=2.所以拋物線的方程為所以拋物線的方程為y y2 2=4x.=4x.pF( ,0)2，p2t(,0)4，pp3| t|22，p2t34 ，(2)(2)由由(1)(1)知知F(1,0),F(1

56、,0),設(shè)設(shè)A(xA(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 0y y0 00),D(x0),D(xD D,0)(x,0)(xD D0),0),因為因為|FA|=|FD|,|FA|=|FD|,則則|x|xD D-1|=x-1|=x0 0+1,+1,由由x xD D00得得x xD D=x=x0 0+2,+2,故故D(xD(x0 0+2,0),+2,0),故直線故直線ABAB的斜率的斜率因為直線因為直線l1 1和直線和直線ABAB平行，平行，設(shè)直線設(shè)直線l1 1的方程為的方程為0AByk2 ，0yyxb2 ，代入拋物線方程得代入拋物線方程得由題意由題意設(shè)設(shè)E(xE(xE E,y,yE E),),則

57、則當當 時，時，可得直線可得直線AEAE的方程為的方程為 由由整理可得整理可得 直線直線AEAE恒過點恒過點F(1,0)F(1,0)，當當y y0 02 2=4=4時，直線時，直線AEAE的方程為的方程為x=1x=1，過點，過點F(1,0)F(1,0)，所以直線所以直線AEAE過定點過定點F(1,0).F(1,0). 20088byy0yy ，20006432b20,byyy 得，EE20044y,x.yy 20y4E00AE2E00yy4ykxxy4，000204yyy(xx )y4，200y4x，0204yy(x1)y4，由由知直線知直線AEAE過焦點過焦點F(1,0)F(1,0)，所以所

58、以|AE|=|AF|+|FE|=|AE|=|AF|+|FE|=設(shè)直線設(shè)直線AEAE的方程為的方程為x=my+1,x=my+1,因為點因為點A(xA(x0 0,y,y0 0) )在直線在直線AEAE上，故上，故設(shè)設(shè)B(xB(x1 1,y,y1 1).).直線直線ABAB的方程為的方程為由于由于y y0 000，可得可得000011(x1)(1)x2xx ，00 x1m,y000yyy(xx )2 ，002xy2xy ，代入拋物線方程得代入拋物線方程得所以所以可求得可求得所以點所以點B B到直線到直線AEAE的距離為的距離為則則ABEABE的面積的面積2008yy84x0y ，0108yyy ，1

59、0100084yy,xx4yx ，00000020048|x4m(y) 1|xy4(x1)1d4( x)xx1m，0000111S4( x)(x2)162xx，當且僅當當且僅當 即即x x0 0=1=1時等號成立，時等號成立，所以所以ABEABE的面積存在最小值為的面積存在最小值為16.16.001xx，悟悟技法技法解決探究性、存在性問題的常用方法解決探究性、存在性問題的常用方法(1)(1)解決是否存在常數(shù)的問題時解決是否存在常數(shù)的問題時, ,應(yīng)首先假設(shè)存在，看是否能求出符合應(yīng)首先假設(shè)存在，看是否能求出符合條件的參數(shù)值，如果推出矛盾就不存在，否則就存在條件的參數(shù)值，如果推出矛盾就不存在，否則就

60、存在. .(2)(2)解決是否存在點的問題時，可依據(jù)條件，直接探究其結(jié)果；也可解決是否存在點的問題時，可依據(jù)條件，直接探究其結(jié)果；也可以舉特例，然后再證明以舉特例，然后再證明. .(3)(3)解決是否存在直線的問題時，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方解決是否存在直線的問題時，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解. .(4)(4)解決是否存在最值問題時，可依據(jù)條件，得出函數(shù)解析式，依據(jù)解決是否存在最值問題時，可依據(jù)條件，得出函數(shù)解析式，依據(jù)解析式判定其最值是否存在，然后得出結(jié)論解析式判定其最值