1、精品文檔將軍飲馬”莫型詳解與拓展平面幾何中涉及最值問題的相關(guān)定理或公理有：線段公理：兩點(diǎn)之間，線段最短.并由此得到三角形三邊關(guān)系； 垂線段的性質(zhì)：從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連的線段中,垂線段最短.在一些“線段和最值”的問題中， 通過翻折運(yùn)動(dòng)，把一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化 即可應(yīng)用 、 的基本圖形，并求得最值，這類問題一般被稱之為“將軍飲馬”問題。問題提出:唐朝詩人李欣的詩古從軍行開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河. 詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題.如圖所示， 詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的 營請(qǐng)問怎樣走才能使總的路程最短？ 模型提煉：模型【1】一定直線、異側(cè)兩定點(diǎn)直線I和I的異側(cè)兩點(diǎn)A、B

2、,在直線I上求作一點(diǎn)P,使PA+PB最小解答：根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段距離最短”，所以聯(lián)結(jié)AB交直 線I于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求點(diǎn)模型【2】一定直線、同側(cè)兩定點(diǎn) 直線I和I的同側(cè)兩點(diǎn)A、B,在直線I上求作一點(diǎn)P,使PA+PB最小解答：第一步：畫點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A（根據(jù)“翻折運(yùn)動(dòng)”的 相關(guān)性質(zhì)，點(diǎn)A、A到對(duì)稱軸上任意點(diǎn)距離相等，如圖所示，AP=AP,即把一定直線同側(cè)兩定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一定直線異側(cè)兩 定點(diǎn)問題）第二步：聯(lián)結(jié)AB交直線I于點(diǎn)Q,根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段距離 最短”，此時(shí)“AQ+QB最短即“AQ+Q”最短A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿*官地5Ar精品文檔模型【3】一定直線、一定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)已知

3、直線I和定點(diǎn)A,在直線k上找一點(diǎn)B（點(diǎn)AB在直線I同側(cè)） 使得AP+PB最小解答： 第一步：畫點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A第二步：過點(diǎn)A做ABk于點(diǎn)B且交直線I于點(diǎn)P, 外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連的線段中，垂線段最短 最小即AP+PB最小模型【4】一定點(diǎn)、兩定直線 點(diǎn)P是/MOh內(nèi)的一點(diǎn)，根據(jù)“從直線 ,可知AP+PB分別在OM ON上作點(diǎn)A, B,解答：策略：兩次翻折第一步：分別畫點(diǎn)P關(guān)于直線OM ON勺對(duì)稱點(diǎn)P1、P2第二步：聯(lián)結(jié)P1P2交OM ON于點(diǎn)A、點(diǎn)B（根據(jù)“翻折運(yùn)動(dòng)” 間，線段距離最短” 拓展使厶PAB的周長最小的相關(guān)性質(zhì)，AP=AP1 BP=BP2根據(jù)“兩點(diǎn)之可知此時(shí)AP1+BP

4、2+A最短即ABP周長最短）如果兩定點(diǎn)、兩定直線呢？“如圖， 點(diǎn)P, Q為/MOh內(nèi)的兩點(diǎn)， 分別在A, B。使四邊形PAQB勺周長最小”O(jiān)M 0N1作點(diǎn)PB ；問題升級(jí)：問題：如圖，ABC中，點(diǎn)D E、F分別在邊AB AC BC上，試求作厶DEF的最小值F精品文檔解答：將點(diǎn)D視為定點(diǎn)，先作出厶DEF的最小值對(duì)應(yīng)的線段D D，而后研究D D隨著點(diǎn)D的位置變化過程中的 最小值即可無論點(diǎn)D位置在何處，點(diǎn)C對(duì)線段D D的張角不變，即ZD CD的大小不變，為2/ACB.因而，為使得DD 最小，只需要CD= CD = CD最小即可，顯然當(dāng)CELAB時(shí)，有垂線段最小，從而內(nèi)接三角形DEF的周長最小現(xiàn)在已經(jīng)有CDLAB,接下來說明點(diǎn)E、 點(diǎn)F也正好是厶ABC的高線的垂足！如下圖：D、DD三點(diǎn)在以C為圓心的圓上， 弧DD所對(duì)圓心角為ZD CD所對(duì)圓周角為ZD DD,故有：(1/2)ZD CDZD D”D.由翻折又有：(1/2)ZD CDZECD得ZD D”D=ZECD故C、E、D D四點(diǎn)共圓； 另一方面：ZCDBZCD B=180，故C、D B、D四點(diǎn)共圓，綜上有：