1、5-4 定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系一、力矩的功一、力矩的功(力矩對空間的累積效應(yīng)力矩對空間的累積效應(yīng)) MddA cosrdFrdFdA cosFrd )2(sin FrdMMrFz sin又又叫叫力矩的功，它本質(zhì)上就是力矩的功，它本質(zhì)上就是力的功！力的功！不是新概念。不是新概念。力矩力矩M所作總功為所作總功為 21MdA z在在轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動平平面面內(nèi)內(nèi)F 力力 在在 段所作的元功為段所作的元功為Frd若幾個力同時作用，可先求合力矩，再求合若幾個力同時作用，可先求合力矩，再求合力矩的功力矩的功 21 dMA合合 21 dMA外外外外對剛體，對剛體，由由“質(zhì)點系內(nèi)一對作用力與反作用力作

2、功之和只質(zhì)點系內(nèi)一對作用力與反作用力作功之和只與兩相互作用質(zhì)點間的相對位移有關(guān)，與參考系與兩相互作用質(zhì)點間的相對位移有關(guān)，與參考系的選擇無關(guān)的選擇無關(guān)” 對剛體，內(nèi)力矩不作功。對剛體，內(nèi)力矩不作功。二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能(rotational kinetic energy)設(shè)第設(shè)第i個質(zhì)點（距軸為個質(zhì)點（距軸為r i）的動能為）的動能為22)(2121 iiiikrmvmEi 整個剛體的轉(zhuǎn)動動能為整個剛體的轉(zhuǎn)動動能為 iiiikkrmEEi2221 iiirm22)(21 Jrmiii 2221 JEk （相當(dāng)于平動動能（相當(dāng)于平動動能公式公式mJ，v ）即所有質(zhì)

3、點作圓周運動的動能之和。即所有質(zhì)點作圓周運動的動能之和。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 21 dMA外外外外dtdJJM 外外 dJddtdJdM 外外 21 dJA外外對定軸剛體，對定軸剛體，J一定，有一定，有kEJJA 21222121 外外動能定理動能定理2112222121 JJAA 內(nèi)內(nèi)外外對非剛體，有對非剛體，有四、剛體的重力勢能四、剛體的重力勢能xzoimiz勢能零點勢能零點iipgzmEi 剛體的重力勢能為：剛體的重力勢能為： iiiippgzmEEiCiiimgzmzmmg CpmgzE 一個不太大的剛體的重力勢能和它的全部質(zhì)量一個不太大的剛體的重力勢能

4、和它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的勢能一樣。集中在質(zhì)心時所具有的勢能一樣。，則則機機械械能能守守恒恒。若若包包括括剛剛體體的的系系統(tǒng)統(tǒng)，非非保保內(nèi)內(nèi)外外0 AA(參見參見p84公式公式4-19)五、剛體在平面力系作用下的平衡條件五、剛體在平面力系作用下的平衡條件設(shè)各力均在設(shè)各力均在oxy面內(nèi)，則剛體面內(nèi)，則剛體靜止平衡靜止平衡（或（或作作勻速直線平動勻速直線平動）的充要條件為：）的充要條件為：0 iF軸）軸）（對任意（對任意zMzi0 其中，其中，0 iF通常寫成分量形式：通常寫成分量形式：0, 0 yxiiFF例例5、長、長l、重、重W的均勻梯子，靠墻放置，如圖。的均勻梯子，靠墻放置，如圖。

5、梯子下端連一倔強系數(shù)為梯子下端連一倔強系數(shù)為k的彈簧。當(dāng)梯子靠墻豎的彈簧。當(dāng)梯子靠墻豎直放置時，彈簧處于自然長度。墻和地面均光滑。直放置時，彈簧處于自然長度。墻和地面均光滑。當(dāng)梯子依墻而與地面成當(dāng)梯子依墻而與地面成 角且處于平衡狀態(tài)時，角且處于平衡狀態(tài)時，（1）地面對梯子的作用力的大小為）地面對梯子的作用力的大小為.（2）墻面對梯子的作用力的大小為）墻面對梯子的作用力的大小為.（3) W、k、l、應(yīng)滿足的關(guān)系式為應(yīng)滿足的關(guān)系式為.AB(學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo)p29,47)yxAB(O)FWNBNA原長原長l由剛體的平衡條件：由剛體的平衡條件：無平動：無平動： cos0klFNFBiix WNFAii

6、y 0無轉(zhuǎn)動：無轉(zhuǎn)動：0 iizM若以若以A為轉(zhuǎn)軸，選力矩為轉(zhuǎn)軸，選力矩 為正，為正，則則0cos2sin lWlNB將將NB的值代入的值代入 sin2klW 對定軸轉(zhuǎn)動，選定正向后，可將力矩、角動量對定軸轉(zhuǎn)動，選定正向后，可將力矩、角動量表示為代數(shù)量。表示為代數(shù)量。例例6、 （學(xué)習(xí)指導(dǎo)（學(xué)習(xí)指導(dǎo)p29，48）轉(zhuǎn)動著的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動著的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，在，在t=0時角速度時角速度為為 0.此后飛輪經(jīng)歷制動過程。阻力矩此后飛輪經(jīng)歷制動過程。阻力矩M的大的大小與角速度小與角速度 的平方成正比，比例系數(shù)為的平方成正比，比例系數(shù)為k（k為大于為大于0的常數(shù)）。當(dāng)?shù)某?shù)）。當(dāng) = 0 /3時，

7、飛輪的角時，飛輪的角加速度加速度 = .從開始制動到從開始制動到 = 0 /3所經(jīng)所經(jīng)過的時間過的時間t= .現(xiàn)現(xiàn)M= - k 2(“-”表示阻力矩表示阻力矩)Jkdtd2 再再由由分離變量再積分：分離變量再積分：得得 32t000dkJdt 03kJ21kJt00 由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律 M=J ，J9kJ)3(k3JkJM202002 時時，例例7、（學(xué)習(xí)指導(dǎo)（學(xué)習(xí)指導(dǎo)p27，35）如圖所示，質(zhì)點的質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)點的質(zhì)量為2kg，位置矢量為，位置矢量為 ，速度為速度為 ，它受到力，它受到力 的作用。這三個矢量均的作用。這三個矢量均在在OXY面內(nèi)，且面內(nèi)，且r=3.0m，v=4.0m/s，

8、F=2N，則，則該質(zhì)點對原點該質(zhì)點對原點O的角動量的角動量 = ；作用在；作用在質(zhì)點上的力對原點的力矩質(zhì)點上的力對原點的力矩 = .rvFLMvmrL ),sin(vrrmvL 150sin0 . 420 . 3)(1212 smkg方方向向即即方方向向：沿沿kvmr, 大?。捍笮。?2 12 smkgkLFrM )(3),sin(mNFrrFM 大大小小：方方向向，即即方方向向：沿沿kFr mNkM 3例例8、（學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo)p18，例，例3）質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體的物體懸于輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸懸于輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上上.軸水平且軸水平且 輪軸面，其半徑為輪軸面

9、，其半徑為r，整個裝置，整個裝置架在光滑的固定軸承之上架在光滑的固定軸承之上. 物體從靜止釋放，物體從靜止釋放，在時間在時間t內(nèi)下降了距離內(nèi)下降了距離s.試求整個輪軸的轉(zhuǎn)動試求整個輪軸的轉(zhuǎn)動慣量慣量J（用（用m、r、t和和s表示）表示）.mromromgTTmaTmg JTr ra 221ats )sgt(mrJ1222 解：解：方法方法2：222121Jmvmgs tvs2 rv J 例例9、如圖，一靜止的均勻細(xì)棒，長、如圖，一靜止的均勻細(xì)棒，長L,質(zhì)量質(zhì)量M，可，可繞通過棒的端點且繞通過棒的端點且棒長的光滑固定軸棒長的光滑固定軸O在光滑水在光滑水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為

10、 . 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m速率速率為為v的子彈在水平面內(nèi)沿與棒的子彈在水平面內(nèi)沿與棒的方向射入棒的自的方向射入棒的自由端。設(shè)擊穿棒后子彈的速率減為由端。設(shè)擊穿棒后子彈的速率減為v/2，則此時棒，則此時棒的角速度為的角速度為231ML(A)mv/ML (B)3mv/2ML (C)5mv/3ML (D)7mv/4ML.解：解： 對（子彈對（子彈+棒）系統(tǒng)，對棒）系統(tǒng)，對O軸軸角動量守恒角動量守恒外外 0M選選 為正向，則為正向，則 JL2vmmvL MLmvMLmvL2331212 選（選（B）例例10、一質(zhì)量為、一質(zhì)量為m的螞蟻，在有光滑豎直固定中的螞蟻，在有光滑豎直固定中心軸的圓盤邊緣，沿逆時針

11、方向爬行，它相對地心軸的圓盤邊緣，沿逆時針方向爬行，它相對地面的速率為面的速率為v，此時圓盤正沿順時針方向轉(zhuǎn)動，相，此時圓盤正沿順時針方向轉(zhuǎn)動，相對于地面的角速度為對于地面的角速度為 0，設(shè)圓盤半徑為，設(shè)圓盤半徑為R，對中，對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為心軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，若螞蟻遇到一面包屑，若螞蟻遇到一面包屑(質(zhì)量質(zhì)量不計不計)后停止爬行，則圓盤的角速度為后停止爬行，則圓盤的角速度為.解：解： 0OmvR )mRJ(RmvJ20 20mRJmvRJ 對（螞蟻對（螞蟻+盤）系統(tǒng)，對盤）系統(tǒng)，對O軸軸角動量守恒角動量守恒外外 0M選選 為正向，則為正向，則蟻蟻RmvRRmmR )(2 例例11 、一繞固定

12、水平光滑軸、一繞固定水平光滑軸O勻速轉(zhuǎn)動的圓盤，勻速轉(zhuǎn)動的圓盤，沿圖示的同一水平直線從相反方向同時射入兩顆沿圖示的同一水平直線從相反方向同時射入兩顆質(zhì)量相同、速率相等的子彈，并留在盤中，則子質(zhì)量相同、速率相等的子彈，并留在盤中，則子彈射入前后轉(zhuǎn)盤的角速度是否改變？如何變？彈射入前后轉(zhuǎn)盤的角速度是否改變？如何變？解：解：射入瞬間射入瞬間(盤兩子彈盤兩子彈)所所受對受對O軸的合外力矩為軸的合外力矩為0， JJ兩子彈射入前對兩子彈射入前對O軸的角動量軸的角動量等值、反向，正好抵消等值、反向，正好抵消(?).當(dāng)兩子彈射入后，系統(tǒng)對當(dāng)兩子彈射入后，系統(tǒng)對O的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量JJ，系統(tǒng)角動量守恒。系統(tǒng)角

13、動量守恒。故射入前系統(tǒng)的角動量只是轉(zhuǎn)盤的角動量。故射入前系統(tǒng)的角動量只是轉(zhuǎn)盤的角動量。故故 ，即轉(zhuǎn)盤的角速度減小。，即轉(zhuǎn)盤的角速度減小。例例12 、（學(xué)習(xí)指導(dǎo)（學(xué)習(xí)指導(dǎo)p34,73）在一光滑水平面上，有一輕彈簧，一端固定，在一光滑水平面上，有一輕彈簧，一端固定，一端連接一質(zhì)量一端連接一質(zhì)量m=1kg的滑塊，如圖所示。彈簧的滑塊，如圖所示。彈簧自然長度自然長度l0=0.2m，倔強系數(shù)，倔強系數(shù)k=100N/m.設(shè)設(shè)t=0時，時，彈簧長度為彈簧長度為l0 ，滑塊速度，滑塊速度v0=5m/s，方向與彈簧，方向與彈簧垂直。在某一時刻，彈簧位于與初始位置垂直垂直。在某一時刻，彈簧位于與初始位置垂直的位置，長度的位置，長度l=0.5m.求該時刻滑塊速度的大小求該時刻滑塊速度的大小和方向。和方向。以以 表末速度與彈簧長表末速度與彈簧長度方向的夾角。度方向的夾角。0 外外M角動量守恒。選角動量守恒。選 為正，有為正，有 sin00lmvmvl 20220)(212121llkmvmv 解：解：知知機