1、1.3 1.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積 1 1、表面積：幾何體表面的、表面積：幾何體表面的大小大小 2 2、體積：幾何體所占空間的大小。、體積：幾何體所占空間的大小。12/10/2021 3:50:51 PM12/10/2021 3:50:51 PM 云在漫步云在漫步12/10/2021 3:50:51 PM12/10/2021 3:50:51 PM 云在漫步云在漫步表面積、全面積和側(cè)面積 表面積：立體圖形的所能觸摸到的面積之和叫做它的表面積。（每個(gè)面的面積相加 ） 全面積：全面積是立體幾何里的概念，相對(duì)于截面積（“截面積”即切面的面積）來(lái)說(shuō)的，就是表面積總和 側(cè)面積

2、：指立體圖形的各個(gè)側(cè)面的面積之和（除去底面）12/10/2021 3:50:52 PM12/10/2021 3:50:52 PM 云在漫步云在漫步12/10/2021 3:50:52 PM12/10/2021 3:50:52 PM 云在漫步云在漫步棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積 側(cè)面積所指的對(duì)象分別如下： 棱柱-直直棱柱。 棱錐-正正棱錐。 棱臺(tái)-正正棱臺(tái).2.2.幾何體的表面積幾何體的表面積 （1 1）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是 . . （2 2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是 、 、 ；它們的表面積等于；它們的表面積等于 .

3、 .各面面積各面面積之和之和矩矩形形扇形扇形扇環(huán)形扇環(huán)形側(cè)面積側(cè)面積與底面面積之和與底面面積之和.有關(guān)概念有關(guān)概念1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱錐：、正棱錐：4、正棱臺(tái)：、正棱臺(tái)：側(cè)棱和底面?zhèn)壤夂偷酌娲怪贝怪钡睦庵兄崩庵睦庵兄崩庵酌媸钦噙呅蔚牡酌媸钦噙呅蔚闹敝崩庵姓庵庵姓庵酌媸钦噙呅蔚酌媸钦噙呅危旤c(diǎn)在底面的射影是底面頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心中心的棱錐的棱錐正棱錐正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫正棱臺(tái)面之間的部分叫正棱臺(tái).作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺(tái)各一個(gè)，找出作直三棱柱、正三棱錐、正三棱

4、臺(tái)各一個(gè)，找出斜高斜高CBAA1B1C1COBAPDC1D1A1ODBACB1斜高的概念.2、分別作出一個(gè)圓柱、圓錐、圓臺(tái)，并找出旋轉(zhuǎn)軸、分別作出一個(gè)圓柱、圓錐、圓臺(tái)，并找出旋轉(zhuǎn)軸分別經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸作一個(gè)平面，觀察得到的軸截面是分別經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸作一個(gè)平面，觀察得到的軸截面是 什么形狀的圖形什么形狀的圖形.ABCDABCABCD直棱柱：設(shè)棱柱的高為直棱柱：設(shè)棱柱的高為h，底面多邊形的周長(zhǎng)為，底面多邊形的周長(zhǎng)為c，則則S直棱柱側(cè)直棱柱側(cè) .（類比矩形的面積）（類比矩形的面積）圓柱：如果圓柱的底面半徑為圓柱：如果圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為l，那么，那么S圓柱側(cè)圓柱側(cè) .（類比矩形的面積）（類比

5、矩形的面積）ch2rl知識(shí)點(diǎn)一：柱、錐、臺(tái)、球的表面積與側(cè)面積知識(shí)點(diǎn)一：柱、錐、臺(tái)、球的表面積與側(cè)面積(1)柱體的側(cè)面積.把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？hcbaS)（直棱拄側(cè)habcabchh棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？h正棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖正棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖底側(cè)表面積SSS2.思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線 展開(kāi)，分別得到什么圖形展開(kāi)，分別得到什么圖形?展開(kāi)的圖形與原圖展開(kāi)的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？rlr2 長(zhǎng)長(zhǎng)寬寬llSSr2 長(zhǎng)長(zhǎng)

6、方方形形圓圓柱柱側(cè)側(cè) 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形2222()Srrlr rlOOrl2 r 底側(cè)表面積SSS2正棱錐：設(shè)正棱錐底面正多邊形的周長(zhǎng)為正棱錐：設(shè)正棱錐底面正多邊形的周長(zhǎng)為c，斜，斜高為高為h，則，則S正棱錐側(cè)正棱錐側(cè) .（類比三角形的面積）（類比三角形的面積）圓錐：如果圓錐的底面半徑為圓錐：如果圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為l，那，那么么S圓錐側(cè)圓錐側(cè) .（類比三角形的面積）（類比三角形的面積）12chrl(2)錐體的側(cè)面積錐體的側(cè)面積.把正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？hh21chS正棱錐側(cè)正棱錐側(cè)棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算

7、它的表面積？棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？/h/h正三棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖正三棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面展開(kāi)正五棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖正五棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖底側(cè)表面積SSS.思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線 展開(kāi)，分別得到什么圖形展開(kāi)，分別得到什么圖形?展開(kāi)的圖形與原圖展開(kāi)的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？rl180lnl 扇扇lR 扇扇rllllnSS 扇扇扇扇圓圓錐錐側(cè)側(cè)213602圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形r2lOr2()Srrlr rl 正棱臺(tái)：設(shè)正正棱臺(tái)：設(shè)正n棱臺(tái)的上底面、下底面周棱臺(tái)的上底面、下底面周長(zhǎng)

8、分別為長(zhǎng)分別為c、c，斜高為，斜高為h，則正，則正n棱臺(tái)的側(cè)面積公棱臺(tái)的側(cè)面積公式：式：S正棱臺(tái)側(cè)正棱臺(tái)側(cè) . 圓臺(tái)：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為圓臺(tái)：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、r，母線長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為l，則，則S圓臺(tái)側(cè)圓臺(tái)側(cè) 12(cc)hl(rr)(3)臺(tái)體的側(cè)面積臺(tái)體的側(cè)面積注注：表面積側(cè)面積底面積：表面積側(cè)面積底面積.把正三棱臺(tái)側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？（類比梯形的面積）（類比梯形的面積）hh) 21hccS （正正棱棱臺(tái)臺(tái)側(cè)側(cè)側(cè)面展開(kāi)hh正四棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖正四棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它

9、的表面積？下底上底側(cè)表面積SSSS 參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，試想象圓臺(tái)的參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，試想象圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么側(cè)面展開(kāi)圖是什么 r2lOrO r2 r圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)扇環(huán)22()Srrr lrl .思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線 展開(kāi)，分別得到什么圖形展開(kāi)，分別得到什么圖形?展開(kāi)的圖形與原圖展開(kāi)的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？1r2rllrrSS)21 （扇環(huán)扇環(huán)圓臺(tái)側(cè)圓臺(tái)側(cè) r2lOrO r2 r22()Srrr lrl xrxrxl rxr xr l S側(cè)側(cè)()()r lxr

10、xrlrxr x ()r lrl lOrO r圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？lOOrrr上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大lOrr0上底縮小上底縮小2222()Srrlr r l 2()Srrlr rl22()Srrr lrl 棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，h它們的側(cè)面展開(kāi)圖還是平面圖形，它們的側(cè)面展開(kāi)圖還是平面圖形，計(jì)算它們的計(jì)算它們的表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積之和之和.例1：一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3cm和6cm，

11、高是3/2cm，求三棱臺(tái)的側(cè)面積. 分析：關(guān)鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E.例3：圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，高為 ，求其側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)所對(duì)的圓心角32分析：抓住相似三角形中的相似比是解題的關(guān)鍵小結(jié)：1、抓住側(cè)面展開(kāi)圖的形狀，用好相應(yīng)的計(jì)算公式，注意逆向用公式； 2、圓臺(tái)問(wèn)題恢復(fù)成圓錐圖形在圓錐中解決圓臺(tái)問(wèn)題，注意相似比.答：1800.例：圓臺(tái)的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)的圓心角是1800，那么圓臺(tái)的側(cè)面積是多少？（結(jié)果中保留）.小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀是關(guān)鍵； 2、對(duì)應(yīng)的面積公式)cc21hS（正正棱

12、棱臺(tái)臺(tái)C=021chS三三棱棱錐錐C=CchchS 直直棱棱柱柱S圓柱側(cè)= 2rlS圓錐側(cè)= rlS圓臺(tái)側(cè)=（r1+r2)lr1=0r1=r2.例1：一個(gè)正三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為5的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為4，則其側(cè)面積為 _;答：60例2：正四棱錐底面邊長(zhǎng)為6 ,高是4，中截面把棱錐截成一個(gè)小棱錐和一個(gè)棱臺(tái)，求棱臺(tái)的側(cè)面積79答：. 例例3 已知棱長(zhǎng)為已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積，求它的表面積 DBCAS 分析：四面體的展開(kāi)圖是由四個(gè)全等的正三角形分析：四面體的展開(kāi)圖是由四個(gè)全等的正三角形組成組成因?yàn)橐驗(yàn)锽C=a，aSBSD2360si

13、n所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面體因此，四面體S-ABC 的表面積的表面積交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D解：先求解：先求 的面積，過(guò)點(diǎn)的面積，過(guò)點(diǎn)S作作 ，ABCBCSD 例例4(2010年廣東省惠州市高三調(diào)研年廣東省惠州市高三調(diào)研)如圖，已如圖，已知正三棱柱知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)是的底面邊長(zhǎng)是2，D，E是是CC1，BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AEDE.(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；(2)正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的表面積的表面積【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】(1)證明證明AED為直為直角三角形，然后求側(cè)棱長(zhǎng)；角三角形，然后求側(cè)棱長(zhǎng)；(2)分別求

14、出分別求出側(cè)面積與底面積側(cè)面積與底面積【點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)】求表面積應(yīng)分別求各部分面的面積，所求表面積應(yīng)分別求各部分面的面積，所以應(yīng)弄清圖形的形狀，利用相應(yīng)的公式求面積，規(guī)則的圖以應(yīng)弄清圖形的形狀，利用相應(yīng)的公式求面積，規(guī)則的圖形可直接求，不規(guī)則的圖形往往要再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，常分割成形可直接求，不規(guī)則的圖形往往要再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，常分割成幾部分來(lái)求幾部分來(lái)求.思考：怎樣求斜棱柱的側(cè)面積？ 1）側(cè)面展開(kāi)圖是 平行四邊形 2）S斜棱柱側(cè)=直截面周長(zhǎng)側(cè)棱長(zhǎng) 3） S側(cè)側(cè)=所有側(cè)面面積之和所有側(cè)面面積之和1高考中對(duì)幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，高考中對(duì)幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，借以考查空間想象能力和運(yùn)算能力

15、，只要正確把握幾何體借以考查空間想象能力和運(yùn)算能力，只要正確把握幾何體的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確應(yīng)用面積公式，就可以順利解決的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確應(yīng)用面積公式，就可以順利解決幾何體的表面積問(wèn)題小結(jié)幾何體的表面積問(wèn)題小結(jié)2多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和圓柱、多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和的面積之和3幾何體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理幾何體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積幾何體占有空間部分

16、的大小叫做它的體積一、體積的概念與公理一、體積的概念與公理:公理公理1、長(zhǎng)方體的體積等于它的長(zhǎng)、寬、高的積、長(zhǎng)方體的體積等于它的長(zhǎng)、寬、高的積。V長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體= abc推論推論1 、長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積、長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積s和高和高h(yuǎn)的積的積。V長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體= sh推論推論2 、正方體的體積等于它的棱長(zhǎng)、正方體的體積等于它的棱長(zhǎng)a 的立方。的立方。V正方體正方體= a3公理公理2 2、夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行、夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體

17、的體積相等。面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。PQ祖暅原理祖暅原理定理定理1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積的底面積 s 和高和高 h 的積。的積。V柱體柱體= sh二：柱體的體積二：柱體的體積推論推論 ： 底面半徑為底面半徑為r，高為高為h圓柱的體積是圓柱的體積是V圓柱圓柱= r2h三三:錐體體積錐體體積例例2 2： 如圖：三棱柱如圖：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面積為底面積為S S, ,高為高為h h. . ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答:可分成可分成棱錐棱錐A-D1DC, 棱錐棱錐A-D

18、1C1C, 棱錐棱錐A-BCD. 問(wèn)：（問(wèn)：（1 1）從）從A A點(diǎn)出發(fā)棱柱能點(diǎn)出發(fā)棱柱能分割分割成幾個(gè)三棱錐？成幾個(gè)三棱錐？ .3.3.1 1錐體（棱錐、圓錐）的體積錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積（底面積S，高高h(yuǎn)） 注意：三棱錐的頂點(diǎn)和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個(gè)面都可以作為底面，可以用來(lái)求點(diǎn)到面的距離shV31三棱錐定理如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面定理如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是：積是，高是，那么它的體積是：推論：如果圓錐的底面半徑是推論：如果圓錐的底面半徑是，高是，高是， 那么它的體積是：那么它的體積是：hSS錐體錐體 3131圓錐圓錐

19、Shss/ss/hx四四.臺(tái)體的體積臺(tái)體的體積V V臺(tái)體臺(tái)體= =1 1h(s+ss +s)h(s+ss +s)3 3上下底面積分別是上下底面積分別是s/,s,高是高是h，則，則推論：如果圓臺(tái)的上推論：如果圓臺(tái)的上, ,下底面半徑是下底面半徑是r r1 1.r.r2,2,高是高是，那么它的體積是：，那么它的體積是：31圓臺(tái)圓臺(tái) h)(222121rrrr五五.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？hSSSSV)(31S為底面面積，為底面面積，h為柱體高為柱體高ShV 0SS分別為上、下分別為上、下底面底面面積，面積，h 為臺(tái)體高為臺(tái)體高ShV31S

20、S S為底面面積，為底面面積，h為錐體高為錐體高上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大上底縮小上底縮小(1)長(zhǎng)方體的體積長(zhǎng)方體的體積V長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體abc .(其中其中a、b、c為長(zhǎng)、寬、高，為長(zhǎng)、寬、高，S為底面為底面積，積，h為高為高)(2)柱體柱體(圓柱和棱柱圓柱和棱柱)的體積的體積V柱體柱體Sh.其中，其中，V圓柱圓柱r2h(其中其中r為底面半徑為底面半徑)Sh知識(shí)點(diǎn)二柱、錐、臺(tái)、球的體積知識(shí)點(diǎn)二柱、錐、臺(tái)、球的體積(3)錐體錐體(圓錐和棱錐圓錐和棱錐)的體積的體積V錐體錐體 Sh.其中其中V圓錐圓錐 ， r為底面半徑為底面半徑13r2h(4)臺(tái)體的體積公式臺(tái)體的體積公式V臺(tái)臺(tái)h(SS)注：注：h為臺(tái)體的高，

21、為臺(tái)體的高，S和和S分別為上下分別為上下兩個(gè)底面的面積兩個(gè)底面的面積其中其中V圓臺(tái)圓臺(tái) 注：注：h為臺(tái)體的高，為臺(tái)體的高，r、r分別為上、分別為上、下兩底的半徑下兩底的半徑(5)球的體積球的體積V球球 .13h(r2rrr2)13R3.例從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐ABCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？1求空間幾何體的體積除利用公式法外，還求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一常用分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算問(wèn)題的常用方法些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算問(wèn)題的常用方法幾何體的體積小結(jié)幾何體的體積小

22、結(jié)2計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的體積關(guān)鍵是根據(jù)計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題問(wèn)題.RROORR球的體積球的體積：一個(gè)半徑和高都等于一個(gè)半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè)的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的的半球的體積相等。半球的體積相等。探究.球球1 1V =V =2 23 32 2= = R

23、 R3 33 3球球4 4V =V = R R3 3RROORR22221 1 RR-RR- RRRR3 3.第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n個(gè)網(wǎng)格，個(gè)網(wǎng)格， 表面積分別為：表面積分別為：nSSSS.321，則球的表面積則球的表面積：nSSSSS.321則球的體積為：則球的體積為：設(shè)設(shè)“小錐體小錐體”的體積的體積為：為：iViVnVVVVV.321iSO O知識(shí)點(diǎn)三、球的表面積和體積知識(shí)點(diǎn)三、球的表面積和體積（.O O第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV3

24、1iSiV.第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的體積球的體積: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑R RRihiSO OiV“小錐體小錐體”就越接近小棱錐。就越接近小棱錐。設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R，則球的體積公式為，則球的體積公式為V球球 .43R3例例1(2009年高考上海卷年高考上海卷)若球若球O1、O2表表面積之比面積之比4，則它們的半徑之比，則它們的半

25、徑之比_.(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的倍。倍。(2)(2)若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍。倍。(3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是。(4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是。例例2 2：2422:134: 1.例例3.3.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為a,a,它的各個(gè)它的各個(gè)頂點(diǎn)都

26、在球頂點(diǎn)都在球O O的球面上，問(wèn)球的球面上，問(wèn)球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球O O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則

27、有和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=S=。變題變題2.2.如果球如果球O O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=S=。2a2 2 a 關(guān)鍵關(guān)鍵：找正方體的棱長(zhǎng)找正方體的棱長(zhǎng)a a與球半徑與球半徑R R之間的關(guān)系之間的關(guān)系.OABCO 例例4已知過(guò)球面上三點(diǎn)已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距離的距離等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體，求球的體積，表面積積，表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑為半徑為R，截面截面 O的半徑為的半徑為r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,

28、2 .例例5、有三個(gè)球、有三個(gè)球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一一球切于正方體的各側(cè)棱球切于正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn)各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比求這三個(gè)球的體積之比.作軸截面作軸截面規(guī)律方法總結(jié)1直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一些全等的等腰三角形，正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一些全等的是一些全等的等腰三角形，正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一些全等的等腰梯形等腰梯形2斜棱柱的側(cè)面積等于它的直截面斜棱柱的側(cè)面積等于它的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面?zhèn)壤舛枷嘟坏慕孛?的周長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)

29、的乘積的周長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)的乘積3如果直棱柱的底面周長(zhǎng)是如果直棱柱的底面周長(zhǎng)是c，高是，高是h，那么它的側(cè)面，那么它的側(cè)面積是積是S直棱柱側(cè)直棱柱側(cè)ch.4應(yīng)注意各個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，不要死記硬背公式本應(yīng)注意各個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺(tái)體中的身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺(tái)體中的直角梯形等特征圖形在公式推導(dǎo)中的作用直角梯形等特征圖形在公式推導(dǎo)中的作用規(guī)律方法總結(jié)5如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)，在求其側(cè)面積或如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)，在求其側(cè)面積或全面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一個(gè)側(cè)面的面積分別求解后再相加全面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一個(gè)側(cè)面的面積分別

30、求解后再相加6求球的體積和表面積的關(guān)鍵是求出球的半徑反之，求球的體積和表面積的關(guān)鍵是求出球的半徑反之，若已知球的表面積或體積，那么就可以得出其半徑的大小若已知球的表面積或體積，那么就可以得出其半徑的大小7計(jì)算組合體的體積時(shí)，首先要弄清楚它是由哪些基本計(jì)算組合體的體積時(shí)，首先要弄清楚它是由哪些基本幾何體構(gòu)成，然后再通過(guò)軸截面分析和解決問(wèn)題幾何體構(gòu)成，然后再通過(guò)軸截面分析和解決問(wèn)題8計(jì)算圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件找計(jì)算圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)

31、題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解.題型一題型一 幾何體的展開(kāi)與折疊幾何體的展開(kāi)與折疊 有一根長(zhǎng)為有一根長(zhǎng)為3 cm3 cm，底面半徑為，底面半徑為1 cm1 cm的的 圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2 2圈，并圈，并 使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端, , 則鐵絲的最短長(zhǎng)度為多少？則鐵絲的最短長(zhǎng)度為多少？ 把圓柱沿這條母線展開(kāi)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)把圓柱沿這條母線展開(kāi)，將問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離. .題型分類題型分類 深度剖析深度剖析.解解 把圓柱側(cè)面及纏

32、繞其上把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開(kāi)，在平面上得到的鐵絲展開(kāi)，在平面上得到矩形矩形ABCDABCD（如圖所示），（如圖所示），由題意知由題意知BCBC=3 cm=3 cm，ABAB=4 cm=4 cm，點(diǎn)，點(diǎn)A A與點(diǎn)與點(diǎn)C C分別是鐵絲的起、止位分別是鐵絲的起、止位置，故線段置，故線段ACAC的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度. .故鐵絲的最短長(zhǎng)度為故鐵絲的最短長(zhǎng)度為5 cm.5 cm.cm,522BCABAC. 求立體圖形表面上兩點(diǎn)的最短距離求立體圖形表面上兩點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，是立體幾何中的一個(gè)重要題型問(wèn)題，是立體幾何中的一個(gè)重要題型. .這類題目的這類題目的特點(diǎn)是：立體圖形

33、的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體特點(diǎn)是：立體圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體圖形的幾個(gè)平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上圖形的幾個(gè)平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上. .為了便于發(fā)為了便于發(fā)現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面展開(kāi)為平面，使問(wèn)題得到解決展開(kāi)為平面，使問(wèn)題得到解決. .其基本步驟是：展其基本步驟是：展開(kāi)（有時(shí)全部展開(kāi)，有時(shí)部分展開(kāi)）為平面圖形，開(kāi)（有時(shí)全部展開(kāi)，有時(shí)部分展開(kāi)）為平面圖形，找出表示最短距離的線段，再計(jì)算此線段的長(zhǎng)找出表示最短距離的線段，再計(jì)算此線段的長(zhǎng). . .題型二

34、題型二 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積 如圖所示如圖所示, ,半徑為半徑為R R的半圓內(nèi)的的半圓內(nèi)的 陰影部分以直徑陰影部分以直徑ABAB所在直線為軸所在直線為軸, ,旋旋 轉(zhuǎn)一周得到一幾何體轉(zhuǎn)一周得到一幾何體, ,求該幾何體的求該幾何體的 表面積表面積( (其中其中BACBAC=30=30) )及其體積及其體積. . 先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的 形狀形狀, ,再求表面積再求表面積. .解解 如圖所示如圖所示, ,過(guò)過(guò)C C作作COCO1 1ABAB于于O O1 1, ,在半圓中可得在半圓中可得BCABCA=90=90, ,BACBAC=30

35、=30, ,ABAB=2=2R R, ,ACAC= = , ,BCBC= =R R, ,S S球球=4=4R R2 2, ,R3,231RCO ,231123234,2323,233232222112121RRRRSSSSRRRSRRRSBOAOBOAO側(cè)圓錐側(cè)圓錐球幾何體表側(cè)圓錐側(cè)圓錐.23112R表面積為旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的. 解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算. . .652134)(41314131,3433311122111

36、1221113RRRVVVVBORCOBOVAORCOAOVRVBOAOBOAO圓錐圓錐球幾何體圓錐圓錐球又.知能遷移知能遷移2 2 已知球的半徑為已知球的半徑為R R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解解 如圖為軸截面如圖為軸截面. . 設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h h，底面半徑為，底面半徑為r r， 側(cè)面積為側(cè)面積為S S，則，則,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RR

37、RhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圓柱側(cè)面積時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)即.知能遷移知能遷移2 2 已知球的半徑為已知球的半徑為R R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解解 如圖為軸截面如圖為軸截面. . 設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h h，底面半徑為，底面半徑為r r， 側(cè)面積為側(cè)面積為S S，則，則,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRr

38、rhSrRh最大值是最大圓柱側(cè)面積時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)即.題型三題型三 多面體的表面積及其體積多面體的表面積及其體積 一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6 6，側(cè)棱長(zhǎng)，側(cè)棱長(zhǎng) 為為 ，求這個(gè)三棱錐的體積，求這個(gè)三棱錐的體積. . 本題為求棱錐的體積問(wèn)題本題為求棱錐的體積問(wèn)題. .已知底面已知底面 邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，可先求出三棱錐的底面面積邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，可先求出三棱錐的底面面積 和高，再根據(jù)體積公式求出其體積和高，再根據(jù)體積公式求出其體積. . 解解 如圖所示，如圖所示， 正三棱錐正三棱錐S SABCABC. . 設(shè)設(shè)H H為正為正ABCABC的中心，的中心， 連接連接SHSH， 則則SHSH

39、的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高. .15.連接連接AHAH并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交BCBC于于E E，則則E E為為BCBC的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且AHAHBCBC. .ABCABC是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為6 6的正三角形，的正三角形，, 33623AE. 93393131312153215,Rt. 393362121,. 323222SHSV，AHSASH，AHSASHAAEBCSABCAEAHABCABC正三棱錐中在中在. 求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧颓箦F體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透撸缓髴?yīng)用公式高，然后應(yīng)用公式 進(jìn)行計(jì)算即可進(jìn)行計(jì)算即可. .常用方常用方法：割補(bǔ)法和等積變換法法：割補(bǔ)法和

40、等積變換法. .（1 1）割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾）割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積體的體積，從而得出幾何體的體積. .（2 2）等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為）等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面三棱錐的底面. .求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來(lái)計(jì)算；式來(lái)計(jì)算；利用利用“等積性等積性”可求可求“點(diǎn)到面的點(diǎn)到面的距離距離”. .ShV31.題型四題型四 組合體的表面積及其體積組合體的表面積及其體積 (12 (12

41、分分) )如圖所示如圖所示, ,在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中, , ABAB=2=2DCDC=2=2，DABDAB=60=60，E E為為ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 將將ADEADE與與BECBEC分別沿分別沿EDED、ECEC向上折起，向上折起， 使使A A、B B重合重合, ,求形成的三棱錐的外接球的體積求形成的三棱錐的外接球的體積. . 易知折疊成的幾何體是棱長(zhǎng)為易知折疊成的幾何體是棱長(zhǎng)為1 1的正的正 四面體，要求外接球的體積只要求出外接球的四面體，要求外接球的體積只要求出外接球的 半徑即可半徑即可. . 解解 由已知條件知，平面圖形中由已知條件知，平面圖形中 AEAE= =

42、EBEB= =BCBC= =CDCD= =DADA= =DEDE= =ECEC=1.=1. 折疊后得到一個(gè)正四面體折疊后得到一個(gè)正四面體. 2. 2分分 .方法一方法一 作作AFAF平面平面DECDEC，垂足為，垂足為F F，F(xiàn) F即為即為DECDEC的中心的中心. .取取ECEC的中點(diǎn)的中點(diǎn)G G，連接，連接DGDG、AGAG，過(guò)球心過(guò)球心O O作作OHOH平面平面AECAEC. .則垂足則垂足H H為為AECAEC的中心的中心. 4. 4分分外接球半徑可利用外接球半徑可利用OHAOHAGFAGFA求得求得. .在在AFGAFG和和AHOAHO中，根據(jù)三角形相似可知，中，根據(jù)三角形相似可知，,36)33(1,232AFAG.864663434.46363323.3333OAAFAHAGOAAH外接球體積為6 6分分1010分分1212分分.方法二方法二 如圖所示，把正四面體放在正如圖所示，把正四面體放在正方體中方體中. .顯然，正四面體的外接球就顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球是正方體的外接球. 3. 3分分正四面體的棱長(zhǎng)為正四面體的棱長(zhǎng)為1 1，正方體的棱長(zhǎng)為正方體的