1、精選優質文檔-傾情為你奉上高中數學中古典概率應用上之易錯處探究一、基本概念（1）分類計數原理：（2）分步計算原理：（3）排列:一般地，從個元素中取出個元素（），按照一定的順序排成一列， 叫做從個元素中取出個元素的一個排列。從個元素中取出個元素（）的所有排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號表示，。（4）組合：一般地，從個不同元素中取出個元素（）并成一組，叫做從個元素中取出個元素的一個組合。從個元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數，用符號表示。 （5）必然事件：在一定的條件下必然要發生的事件。（6）不可能事件：在一定的條件下不可能發生的事件。（

2、7）隨機事件：在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件。（8）在相同的條件下，進行了次試驗，在這次試驗中，事件發生的次數稱為事件發生的。比值稱為事件發生的頻率。（9）一般地，在大量重復進行同一實驗時，事件發生的頻率總是接近于某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件的頻率，記作，且一次實驗連同其中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件，通常此試驗中的某一個事件由幾個基本事件組成，如果一次實驗中可能出現的結果有個，即此實驗由個基本事件組成。而且所有結果出現的可能性相等，那么每一個基本事件的概率都是。如果某個事件包含的結果有個，那么事件的概率 。 二、重點問題剖析1.“有放回摸球”與“無放回摸

3、球”“有放回摸球”與“無放回摸球”主要有以下區別：（1）無放回摸球主要是指每次摸出的球放在袋外，下次再摸球時總數比前次少一；而有放回的摸球是每次摸出一球放在袋內，下次再摸球時袋內球的總數不變。（2）“無放回摸球”各次抽取不是相互獨立的，而“有放回摸球”每次是相互獨立的。下面通過一個例題來進一步的說明“無放回摸球”與“有放回摸球”的區別。例1 袋中有1，2，3，號球各一個，采用無放回，有放回的兩種方式摸球，試求在第次摸球時首先摸到一號球的概率。解：設為事件“第i次摸到一號球” 。無放回摸球若把次摸出的個球排成一排，則從個球任取個球的每個排列就是一個基本事件，因此基本事件的總數為以數碼1，2，中任

4、取個數碼的排列數，。下面求事件包含的基本事件數，事件可分兩步完成：先在第個位置上排上1號球，只有一種排法，再在前個位置排其它個球，共有種排法，由乘法原理知，事件包含的基本事件數為，從而 。有放回的摸球因為有放回摸球，每次袋中都有個球，共摸次，故共有種可能結果，既基本事件總數為。事件可分為兩步完成：前次未摸到1號球，共有，于是。分析：對于有放回摸球與無放回摸球題型，在審題時一定要注意是有放回還是無放回，然后根據題意來考慮排列與組合的應用，總之，一定要抓住題目的隱含條件與已知條件的關系，所要求的問題與已知條件之間的連接點，這樣才能夠很快的解決問題而不至于錯誤。2.“隔板法”隔板法是插空法的一種特殊

5、情況，它的使用非常廣泛，能解決一大類組合問題。下面用一個具體的例子來說明它的使用的優越性。例2 將9個相同的小球放到六個不同的盒子里，每個盒子至少放一個球，有多少種不同放法。解法一：先在盒子里各放一個球，再把剩下的3個球放到6個盒子里，分三類： 3個球放到一個盒子里，有種放法； 3個球放到兩個盒子里，球數分別為2，1，共種放法； 3個球放到3個盒子里，每個盒子各一個球，共種放法。根據分類計數原理，共有種放法。解法二（隔板法）：把 6個盒子看做由平行的7個隔板組成的，每一個滿足要求的放法、相當于9個小球和7個隔板的一個排列，其中2個隔板在兩頭，任何2個隔板之間至少有1個球（既任何2個隔板不相鄰）

6、，把兩頭的2個隔板拿掉，每一個滿足要求的放法還相當于再排成一列的9個小球間8個空檔中插入5個隔板，不同的放球方法即插隔板的方法，共有種。分析：對于用隔板法解決概率問題，一般都是將問題的思考角度進行轉化，使問題從多向思維向單一思維轉化，然后把問題的本質找出來進行剖析，問題自然就很好理解了。上述解法2應用了對應的方法，轉化為插空問題，計算比較簡單，但不易理解，等理解透徹后，就會發現隔板法是非常好用的，是具有普適性的方法。但一定要注意的是應用此法的前提是小球是完全相同（不加區分），盒子是不同的，每個盒子至少放一球。例3 要從高一年級8個班中產生12學生代表，每個班至少產生一名代表，則代表名額的分配的

7、方案至少有多少種?解：這個問題如果用原始的方法來分析，是比較麻煩的額，但如果轉化問題的角度，用“隔板法”來理解，這個問題就容易解決了。把12個名額看做12個相同小球，8個班看做8個不同的盒子，用隔板法知道名額分配方法共有種。 3. 分組問題分組問題時排列組合中的一個難點，主要有以下兩種情況。（1）非平均分組問題在非平均分組問題中，不管是給出組名或不給出組名，其分組的方法相同。例4 把12人分成如下三組，分別求出以下各種分組的方法數：分成甲、乙、丙三組，其中甲組7人、乙組3人、丙組2人。分成三組，其中一組7人、一組3人、一組2人。解：先從12人中任選7人為甲組，余下5人中任選3人為乙組，剩下2人

8、為丙組，則共有種不同的方法。先從12人中任選7人為一組有種選法，再從余下5人中任選3人有種選法，剩下的兩人為一組，共有種不同的選法。分析：在第一個問題中，學生很容易受到干擾，就是對于甲、乙、丙三組，和分成三組時否需要乘以的問題。但是由于各組的人數不同，這個問題屬于非平均分組問題，雖然第一小問給出了分組的名稱，但是這個并不影響最后的結果，它們的分組方法都是一樣的。（2）平均分分組問題。分析：上面的非平均分組問題中，是否給出組名對結果沒有影響，但在平均分組問題中一定要注意問題是否給出了具體的組名，它們的結果是不同的。 例5 有6本不同的書，按下列要求分配，各有多少種分發。分給甲、乙、丙三人，每人2

9、本；平均分成三份。解：從6本書中任取2本給一個人，再從剩下的4本中取2本給另外一個人，剩下的2本給最后一個人，共有種分法。設平均分成三堆有x種分法，在分給甲乙、丙三人每人各2本，則應有種分法。所以有 種不同的分法。說明：上面例子中可以看出：兩個問題都是分成三堆，每堆兩本，屬于平均分組問題，而（1）分到甲、乙、丙三人，屬于到位問題，相當于給出了甲、乙、丙三個指定的組，但（2）沒有給出組名，因而是不同的。規律：一般地，把個元素平均分到個不同的位置，有種方法，把個不同元素平均分成組有種分法。4. 圓排列與重復組合問題（1）圓排列 定義1：從個不同的元素中任取個，按照一定的順序排成圓形，叫做一個圓排列

10、。定義2：從個不同的元素中取出個元素的所有圓排列的個數，叫做圓排列數，用符號表示。例6 5個朋友坐在圓桌周圍時，席位排列方法有幾種？解：設5個人分別為a，b，c，d，e，把他們排成一排時，排列的數目是5！，排成圓形時，像下圖那樣只是轉了一個地方的排法被看做是一樣的，所以根據乘法原理得： 所以 答：席位的排列方法有24種。命題1： n個不同的元素的圓排列數。例7 有6名同學做成一圓圈做游戲，有多少種做法？解: 據命題一，種。答：共有120種。命題2：從個元素中取出個元素的圓排列數。證明：從個不同元素中取出個元素的組合數為種，而將這個元素排成圓形由命題1共有種方法，于是由乘法原理得 .（2）重復組

11、合定義3：從個不同的元素中任取個元素，元素可以重復選取，不管怎樣的順序并成一組，叫做重復組合。定義4：從個不同的元素中取出個元素的所有重復組合的個數，叫做重復組合數，用符號表示。例8 有5個數1，2，3，4，5，同一個數允許選用任意次，求從中選出3個的重復組合數。解：如果從5個中選出3個時，選的都是不同的數，那么很明顯組合數為，但是同一個數允許選用任意次，因此像（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5），的組合也應在算內，所以要想辦法，把問題轉化成選取的全是不同元素的問題，為了把上述（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5）改成全是不同的數，先把這些數按從小到大的順序排列起來得到（1，

12、1，1），（1，2，1），（4，4，5）。然后第一個數不 變，在第二個數上加1，在第三個數上加2，這就變成：（1，2，3），（1，2，4），（4，6，7）。一般地，可以證明左右兩邊是一一對應的（左右各有一組互相對應，一組不能和兩組以上對應）。這樣，中即使有相同的元素，在上述的一一對應中，也能夠改變成沒有相同的元素組，所以從整體上來說，結果就成了從1，2，3，4，5，6，7的7個數中選取3個不同的元素的組合問題了，即 。答：從1，2，3，4，5中選取3個數的重復組合數為35。命題3：從n個不同的元素中選取出m個元素的重復組合數為 。例9 從3，5，7，11這4個質數中任取兩個相乘，同一個數允許重

13、復使用，可以得到多少個不相同的乘積？解：根據命題3有：個。答：可以得到10個不相等的乘積。分析：圓排列和重復組合問題時高考中的難點，學生在平時的理解過程中往往也存在很多的理解上的問題，主要是因為他們在平時的訓練當中已經習慣性的接受了全排列和不重復組合的很多的例題，導致了思維的本能反應而導致錯誤，老師在講解這兩個知識點的時候最好能夠重新給學生建立相應的知識體系，在講完這一個知識點以后再與前兩個知識點進行相應的對照理解和學習，這樣可能更好的促進教學，學生也能夠很好的接受。5.連排與間隔排(1)排列中的“連排”問題（我們稱要求某些元素必須排在一起的排列問題為“連排”問題）：例10 某班有學生38人，

14、其中男生24人，女生14人，現將他們排成一排，女生必須排在一起的排法有多少種？我們稱要求某些元素必須排在一起的排列問題為“連排”問題。解：由于14名學生必須排在一起，所以我們可以將14名學生看成1個“人”，把38人的排列問題看成24+1=25人的問題，共有種，再考慮到14名學生之間的排法，因此女生必須排在一起的排法種數為種。一般地，在個不同的元素中，某個元素排在一起的排法種數有種。例11 某班有38名同學，其中第一組的12名同學必須排在一起且第一組中的5名女同學又必須排在一起的排列方法有多少種？解：將第一組的12名同學看成一個“人”。將38名同學的排列問題看成27人的排列的問題，共有排法種，再

15、考慮到12名同學的排列方法，依照例1，可知第一組的12名同學要求5名女生排在一起的排法共有種。因此總的排法種數有種。命題4：一般地，個不同元素的排列中，某個元素必須排在一起的且在這個元素中的某個元素有必須排在一起的排法共有種。分析：“連排”問題的類型很多，不可能一一例舉，處理“連排”問題的基本方法，就是將要求排列在一起的元素看成一個整體，將它作為一個元素放到問題中去處理，之后再考慮這個整體的內部排列。（2）“間隔排”問題我們稱要求某些元素中的任何兩個都不能排列在一起的排列問題為“間隔排”問題。例12 某班有59名同學，其中第一小組有14名，現將他們排成一排且要求第一小組的任何兩名同學都不排在一

16、起的排法有多少種？解：首先將不要求間隔的同學先排列有種排法，然后再將要求間隔排的同學插入已排的45位同學的46個空檔（包括兩頭）中去，有種插入方法，所以總的排法種數共有種。命題5：一般地，在n個不同元素的排列中，某個元素中的任何兩個元素不排列在一起的排法有種。例13 現有數字1，2，3，4，5，6，用它們（不重復）可組成多少個各位上奇偶相間的六位數？解：首先將1，3，5先排共有種排法，再將2，4，6插入已排的1，3，5的空檔中去，考慮到奇偶數字要相間排列，故只有兩大插法。在2，4，6之間還要考慮順序關系，所以插法共有種，故可組成個奇偶相間的六位數。分析：處理“間隔排”問題的基本方法是將不要求間

17、排的元素先排，之后再考慮將要求間隔排的元素插入已排元素的空檔中間去。2.3.6 重復計算或者漏計算 求解排列組合問題時，常有遺漏或重復的情況，導致解答錯誤，下面將求解排列組合問題時幾類常見的錯誤進行分析，以引起注意。(1)對一些數學概念的意義把握不準，出現遺漏或重復。例14 數2310有多少個正約數？ 錯解：因為，所以從這5個質數中分別取1個，取2個，取3個，取4個，取5個的積都是2310的正約數，故正約數有（個）。分析：上述解法其實有遺漏，原因對正約數的概念掌握不深入，所謂的正約數是指：若有一個正約數（此處的整數指正整數），使得整數與之間適合，則稱可整除，記作，這時稱為的倍數，稱為的約數，因

18、為12310，所以1也是2310的一個正約數，所以正確的解答為（個）。 (2)對題意要求或約束條件考慮不周，出現遺漏或重復或者不符題意的解答。例15 用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的數，能夠組成多少個大于的正整數？錯解：用這6個數字組成比大而且沒有重復數字的六位數，可按各數位排數字分類。首位上數字從3，4，5中任取一個安排，取法有種，而后其余數字在余下的各位數上全排列，有個；首位數字上安排2，萬位上數字分別安排4和5，而后其余數字在余下的個位數字上全排列，有個，于是，大于的正整數一共有（個）分析：上述解法的答案其實不符合題意，原因是考慮不夠周全，因為，在第類中，當首位上安排2，萬位上安排4，其余各數字在余下各數位上全排列時，已含有了本身，顯然它不符合“大于”的題意要求，應去掉，所以正確答案（個）(3)對欲求問題停留在直覺或者簡單直觀