1、算題(每題10分)1、求解微分方程y' 2xy2xe2、試用逐次逼近法求方程dydxy2通過點(diǎn)(0,0)的第三次近似解.dx3、求解方程y y' 2yex的通解 4、求方程組刀dt 安dty ，的通解x y5、求解微分方程y 2xy 4x6、試用逐次逼近法求方程業(yè)dx2 _x y通過點(diǎn)(1,0)的第二次近似解。7、求解方程y y' 2y2edxx的通解8、求方程組 ft dydt9、求解微分方程xy' y10、試用逐次逼近法求方程dydx2 -x y通過(0,0)的第三次近似解dx11、求解方程y y' 2y4e的通解12、求方程組 dtdydt的通解y

2、y ，的通解y13、求解微分方程x( yy)14、試用逐次逼近法求方程y2 x2通過點(diǎn)(0,0)的第三次逼近解.15、17、y2y2edx5 4ydtdtdx4也2xdtdt求解方程ydydxx的通解18、y2求方程組3x的通解16、求解方程y y 2y 3e解微分方程x(y2 1)dx y(x219、試用逐次逼近法求方dydxy2滿足初始條件y(0)0(x), 1(x), 2(x), 3(x).20、利用逐次逼近法，求方程 曳dxx2適合初值條件y(0) 1的近似解:21、證明解的存在唯一性定理中的第x的通解1)dy 00的近似解：0(x), 1(x), 2(x)。n次近似解n(x)與精確解

3、(x)有如下誤差估計(jì)式:22、求初值問題dy x223、25、27、30、32、35、36、39、41、43、45、47、50、52、54、55、57、59、61、MLn | n(x)(x)| x(n 1)!n 1x。y2, y( 1) 0 在區(qū)域 R：|x 1| 1, |y|求第二次近似解，給出在存在區(qū)間上解的誤差估計(jì)。dydx一一 Iy1的解的定義區(qū)間，并yycos= dxx1 2x2 yxy 2yln yydx (y3xx(1 e?)dxxcos dy 0 24 x、dydx26、y In ydx(x In y)dyIn x)dyxe?28、dydxx cc 29、 2xy22xydx

4、(x2y )dy 031、xdx ydy 1 x2 y2ydx xdy22x ydy33、dydx34、3(x44.y )dx3 , xy dy 02(2xy y)dx2y2y4y3y6x4x3y2kxdy0 37、0 400 4238 、y2y3y10y 06y 4y13x4x3yy(6)2y y2y 04y 8y448y3yxxe4 ext 2e (tt 2t e e462y4y(x3x2)e5t 2)1 51x(x 5)_ 222k x 5k sin kty sin xcosx 562y5y2y4853(k49s 2as0)4y2y3y2y2sinx cosxxe cosx10 y e

5、xcos2x2 cos x6058sin at, a 04yxsin 2x3 4sin 2x 62 、 y2y 2y4excosx63、y 9y 18cos3x 30sin3 x 64x sint cos2t65、x 2x 2xtetcost 66 、求微分方程y(y )21 y0的通解。67、求y y xxxecosx的通解。68、求微分方程y x_y2 x0的通解。69、求微分方程xyyx(y)2yy0的通解。70、求微分方程y3y2yxesin x的通解。71、求微分方程y4y 4y1 xe2W通解。72、求方程y4y2x5y ecscx的通解。73、求微分方程2x y2xy2y0的通解

6、。74、求微分方程2x y2xy2yx2 2的通解。u75、xe利用代換ycosx將方程76、求下列線性微分方程組77、解下列微分方程組些dxdy2dxdy3dxy cosx2y sin x3y cosxdx2x4y 4e 2t(1)dt也2x2y(2)dt2y1 2y2(1)y2V2的通解。2y3化簡，并求出原方程的通解。78、dy氏5y dxdz一 4y dx4z5z79dx dt dy dt3x4y80 、5x2y2x3x5y 4y x4y 2x y2xy計(jì)0的通解為y案x2解：對應(yīng)的齊次方程y用常數(shù)變易法，可設(shè)非齊次方程的通解為x2 c 所以原方程的通解為0y -2y 0特征方程為ce

7、c(x)ec (x) 2x 因此有 c(x)解：按初始條件取y°(x)3、解：對應(yīng)的齊次方程為y對應(yīng)的齊次方程通解為Y Gex c2e2x設(shè)方程的一個(gè)特征解為 y則y1Ae x , y Ae x代入解得A -22代入方程y 2xy 2xe x得2x2y (x c)e2+2 0 解得 1,-2Ae x從而y11 -e2故方程的通解為y Y y1 c1ex2x 1 xc2ee24、解：它的系數(shù)矩陣是特征方程|AE|2或?yàn)?10 +9=0原方程對應(yīng)于y=e9t, x1=e9t1111特征根1 = 1, 2=9=1的一個(gè)特解為y1=et, x1=-e” 對應(yīng)于2=9的一個(gè)特解為原方程組的通解

8、為tcetce2tce2ce 2t5、解:y對應(yīng)的齊次方程 y 2xy用常數(shù)變易法，可設(shè)非齊次方程的通解為/ r> a 、 ，- zi=rv2r r r 0的通解為y2 x ce代入方程y 2xy 4x侍c (x) 4e x因此有c(x)所以原方程的通解為yx2y c(x)ex22e c6、解:取 y°(x)0, yn(x)y°(x)xx21則 y(x) tdt -1222(2exx1【tx2c)e 02y因此，第二次近似解為y2(x)x 11-一。20624 307、解:y -2y 00 ,得1,-2對應(yīng)的齊次方程通解為設(shè)方程的一個(gè)特征解為y1 Aex8、則 y1A

9、e-x,V1入武代入解得A -1 ,而y1-x-e故方程的通解為y 由方程解出y,得x-2x- xY y Gec?ee2y p ,代入 dx1dx dp idy侍 即故通解為y c(x22方程化為y' 2 y對應(yīng)的齊次方程y'2x2p1 1) 2c2x32 y 0的通解為y=cx2px p(4 1)解:解:p cx對應(yīng)的齊次方程為y特征方程為 2+2Ycex c2e2xx用常數(shù)變易法，可設(shè)非齊次方程的通解為y=c(x)x 2代入方程得c1(x)=2x 因此有 c(x)=x 2+c(31)y=(x 2+c)x2(1 1)y°(x): t y2n 1(t)dt所以原方程的

10、通解為10、解:取 y°(x) 0, yn(x)2則 y(x)0 tdt x t2 2 y2(x)0 t - dt2x2 20532xx x x 1120 6 2 411、解：對應(yīng)的齊次方程為y y 2y 0 特征方程為對應(yīng)的齊次方程通解為Y Gex C2e2x設(shè)方程的一個(gè)特征解為y1 Ae x因此，第三次近似解為y2(x)302+ -2=0 解得=1,-20 12 13y2y1021則yAe x , y Ae x代入解得A 2從而y12e x故方程的通解為yx2xxGec2e2e12、解：它的系數(shù)矩陣是A特征方程|A E| 20或?yàn)?2-4 -5=0(21)原方程對應(yīng)于1 =5的一

11、個(gè)特解為 對應(yīng)于2=-1的一個(gè)特解為y2= -e特征根1=-1, y1=e5t, x1=e5t -t, x2=e-t2=5原方程組的通解為t2tx ce cet2tce 2cex ce13、解：方程化為y y ex對應(yīng)的齊次方程y - y 0的通解為y x用常數(shù)變易法，可設(shè)非齊次方程的通解為y c(x)ex代入方程得c (x) 1因此有c(x) ln | x | c所以原方程的通解為y14、解：取 y°(x) 0, yn(x)ex(ln |x| c)x°tyMx)1(t)dty2(x)t32dt37x63因此，第三次近似解為15、解：對應(yīng)的齊次方程特征方程為2+2=0解得=

12、1,-2對應(yīng)的齊次方程通解為 Y qex c2e-2x設(shè)方程的一個(gè)特征解為 y Ae-代入解得A 1從而y1 e-x故方程的通解為y Y y1 c1ex c2e-2x e-x16、解：對應(yīng)的齊次方程特征方程為2+ -2=0解得=1,-2對應(yīng)的齊次方程通解為Y Gex c2e2x設(shè)方程的一個(gè)特征解為y Ae x代入解得A -2從而y1-e x2故方程的通解為x2xy1 qe qe17、解：化簡有x 2x y x它的系數(shù)矩陣是特征方程|AE|或?yàn)?-1=0(21) 特征根1=ddz 1x原方程對應(yīng)于1 =-1的一個(gè)特解為y1=el, X1=ef18、解:對應(yīng)于2=1的一個(gè)特解為 y2=et, x2

13、=3etcecet2tcet 2ce 2t原方程組的通解為xy因 M(x,y) x(y2 1),N(x,y) y(x2 1)2、yxdy ) xdx ydy 0 2xy 熟 所以為全微分方程 yx將其分組（xy2dx原方程可寫成d 1(x2y2 x2 y2) 02方程的通解為 x2y2 x2 y2 2c1 c19、20、解：0(x)y(0) 0解：零次近似解為0(x) y(0) 1x一次近似解為1(x) 1(1 s2)ds 1 x 1x303二次近似解為21、x證：由(x) y0f(s, (s)ds及迭代列x0得 | (x)o(x)|、| f(s, (s)|ds M |x x)|x0MLk 1

14、僅 | (x)k(x)| & B!|x x°|x貝| (x) k 1(x)| X|f(s, (s) f(s, k(s)|dsx0由歸納法知，對任意n次近似解，估計(jì)式（1）成立。22、解：1）由存在唯一性定理知，解的定義區(qū)間為|x 1|其中 |x 1| h° min（a,）, MM解的定義區(qū)間為|x 1| 1042）求初值問題的二次近似解則二次近似解為3）由誤差估計(jì)公式|yn（x）max |x2 y21 4。這里(x,y) R1y°(x)y( 1) 0y(x)|ML" x (n 1)!1n 1x023、其中L是李普希茲常數(shù)。因?yàn)閨2y| 2,可取

15、L即第二次近似解在存在區(qū)間上的誤差不超過解：方程可化為蟲dx進(jìn)一步化簡，得作變換u ycosxcosudu 蟲h0a 1, b2,則有10241，代入方程得到ux兩邊積分得 sin u lndux一dx1cosu|x| C代回原變量，得原放通解sin! ln|x| Cx24、解：令v y 2, u x 3,代入原方程得 理2dudzudu這是齊次方程，再作變換z -，則方程化為zu2將變量分離，得(1氣dz du (z 0)z(1 z2)u兩邊積分得In | zu | 2arctan z In | C |- y 22arctan代回原變量，得通解 y 2 ce x 3此外，z 0即y2也是解，

16、它包含在上述通解中。25、26、解：首先求線性齊次方程也dx分離變量，得也 竺dx,y x1設(shè)原方程通解為y C(x)x2e手1兩邊積分得C(x) C e；于是,解：若對調(diào)x與y的地位，即可把方形y 0的通解。x1兩邊積分得 y Cx2ex代入原方程，得到 C'(x)所求方程的通解為 y化為 安工Jdy y ln y y12 -2Cx ex x這是以x為未知函數(shù)的一階線性方程，先求線性齊次方程dxdyxyln y0的通解。分離變量，得 室一1dy ,兩邊積分得x -C-x y ln yln yln y yC x ln y為求得原方程通解，設(shè)x 斜，代入原方程，得C'(y)ln

17、y兩邊積分得 C(y) C ( 所以，所求方程的通解為27、解：若對調(diào)x與y的地位，即可把方程化為堅(jiān) -1 2ln ydy y這是以x為未知函數(shù)的一階線性方程，先求線性齊次方程蟲 的通解dy y分離變量，得? d , 兩邊積分得 x C令x 9(嚴(yán)，代入原方程，得 C'(y) y 2yln y兩邊積分得C(y) C2 yln y所以，所求方程的通解為xC y ln y oy28、 解：原方程為業(yè)2L1,令 z y2 ,代入上式得蟲dx2x2ydx(1)上式兩邊同乘,并整理得-xx這樣，得到線性方程(1)的通解為代回原變量，得原方程通解此外，x出現(xiàn)在分母位置，不可取解：因?yàn)?M (x,

18、y) 2xy,29、N(x,y) (x2因此方程為全微分方程。于是方程的通解為30、解：這里M (x, y)- x31、32、33、34、1xz2yCxCx兩邊積分得xln | x |xln | x |y2)，所以有業(yè)也xo 0,3L Co33M (x, y)N (x, y) y ln x , 丁ze 因此這是一個(gè)全微分方程。把方程重新分項(xiàng)組合，得到4即 d(y ln x) d 0 所以, 4解：這里 M(x,y) .x22.1 x yM (x, y)N(x,y)yx因此這是一個(gè)全微分方程。即方程的通解為", x yN(x,y)于是xy(i3y2注4 y4y1 x2-12 xy In

19、 xJ x2y2所以，方程的通解為 1 x2y 八 arctan Cx2xLx x2y2y(x2, yC In | X |N(x, y)xN(x,y)x3 ,ln xdy y dy 02 2 y)arctanxM(x,y)y1 -,經(jīng)計(jì)算知 y這是一個(gè)全微分方程。把方程重新分項(xiàng)組合，得到x即 dx d yey解：這里 M (x, y) 1 ey, N (x, y)x0 ,所以，方程的通解為x vCoN(x,y)x解：將方程改寫為這里 M (x,y) x所以M(x,y) y這是一個(gè)全微分方程。2x2解：M (x, y) x4(x y 1)dx y 1, N(x, y) N(x, y)xyx

20、76;3 y30,N(x,y)2-(x y 3)dy 0(x y2 3)3y于是方程的通解為M 34y , y2 x2Nxxy3 y_33y C。M N所以 旦xN334y y3xy5,這樣,x方程有積分因子(x)-Adxx原方程兩端乘以-15,得到全微分方程xdxx4%dx x3y而 dy x5x035、36、37、38、39、4即 d(ln|x|) d 0,原方程的通解為4x4解：M (x, y) 2xy22y, N(x, y) y y x ,4ln|x| 上 C4xM4xy1,于是得到然所以，方程有積分因子于是原方程可化為即d(x2) d ydy因而，方程的通解為解：令y' p

21、,則兩邊積分得p22x2(2 xy 1)y(2xy 1)?dye y(y)dx2y12y:dy yd(ln|y|)2 x x y -dp pdy，2，y將變量分離，易求得其通解為 解：特征方程為 特征根為1 1, 解：特征方程為 特征根為12,解：特征方程為0,y ln |y|代入方程得pdp從而將方程降為一階方程3dy ydydx2,332,3_ 221 Cy (Cx C1)。1 0,因式分解為(故所求通解為1)(xy C1e C2 cosx2 310 0,因式分解為(i ,故所求通解為C1e 2x e2x(C2 cosx0,特征根為1,2C3sin x)。;i, 3,41) 0C3sin

22、x。.22)(45) 0故所求通解為y e萬C1、.2cos x22C2 sin x2八 2C3 cos x2C4sin x °240、解：特征方程為62 422 0,因式分解為特征根為1、2,2至31, 41, 5,6 i ,故所求通解為yGe：2xC2e 2xC3ex C4e x C5 cosxC&sinx41、解：特征方程為420,特征根為11,2 1,3,40(二重),故所求通解為y Ci ，C2x C3ex C4ex.42、解：特征方程為44 382 830，因式分解為(1)2( 2特征根為1,21(二重)，3,41. 2i,故所求通解為y -ex(Gi C2x)e

23、x (C3 cos、2x C4 sin、2x).43、解：特征方程為44 362 410，即(1)4023) 044、特征根為1 (四重)，故所求通解為x23、y e ( Ci C2 x C3 x Cqx ).解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為2 1 0 , 特征根為齊次方程的通解為 由于1不是特征根，y C1 cosx C2sin x故已知方程有形如y1 (AxB)e1,2的特解。將y1 (AxB)e x代入已知方程，比較系數(shù)得y 1(x 1)e x2,因此，已知方程的通解為45、-1y C1 cosx C2Sinx -(x 1)e解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為2 2 31 0,特征根為1,46、4

24、7、48、1 x 齊次萬程的通解為y C1eC2e 2由于0,1都不是特征根，故已知方程有形如yi的特解。將y1 A Bex代入已知方程，比較系數(shù)得即 y 4 6ex,因而，所求通解為lxyCe * C?e 2BexA4,41 -eABxo解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為2 2齊次方程的通解為y ex (C1 cos、. 3x由于3不是特征根，故已知方程有形如64 0 ,特征根為C?sin . 3x)3x /y1 e (AxB)1,2的特解。將ye即y1e3x 1x3x(Ax B)代入已知方程,比較系數(shù)得10494 因此，已知方程的通解為y ex(C1COS,3x C2sin、3x)解：對應(yīng)齊次方

25、程的特征方程為齊次方程的通解為由于1不是特征根，故已知方程有形如 的特解。解:3x e1049(1)、1 x 7特征根為2 一 -613 0,3ty e (C1cos2t C2sin 2t)x1 (At2 (B C)et (2 A 2Bx1 At2 (2A B)tM At2 (4A B)t(2)、(3)代入已知方程，比較系數(shù)得求出C)et1,2BtC)et120(1)(2)(3)29,1002111000-t22029 t 2111001000x e 3t(C1 cos2t對應(yīng)齊次方程的特征方程為因此，已知方程的通解為C2 sin 2t) et t2 -29t2010021110003 1 0

26、 ,特征根為 11,2,3故通解為x CeC2 cost C3 sint e 222由于i是一重特征根，所以已知非齊次方程有形如Atet代入已知方程，得的特解。將XiXiAtet49、50、即Xi因此，所求通解為八t八 、3,x CeC2 cost22解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為若a i,此時(shí)齊次方程的通解為過 由于i不是特征根，故已知方程有形如將si AS代入已知方程，得 A -（a所以，a i時(shí)已知方程的通解為s2a若a i,此時(shí)齊次方程的通解為過 由于i是二重特征根，故已知非齊次方程有形如將s2 At2et代入已知方程，得所以，a i時(shí)已知方程的通解為Ai 3C3singa2 0,s(C

27、isiAet即)2'(CiC2t)es(Citat2t e 2(CiC2titeto 3特征根為 i,2 aC2 t)e at的特解。i t si e(a i)i t e o (a i)2C2t)etS2 At2et的特解。2 tS -t e2】2 tt )e2（二重）解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為特征根為2 （二重），故齊次方程的通解為由于2是二重特征根，i和0不是特征根，故已知非齊次方程有形如 的特解0,2tX (Ci C2t)eXiA Bet Ct2e2t代入已知方程，得1, CX(CiC2t)e2tit i 2 t e t e425i、解：對應(yīng)齊次萬程的特征萬程為2 40,特征根

28、為oyCiyii4teC2e 4xi 0,方L因此，所求通解為齊次方程的通解為因?yàn)?是一重特征根，故已知非齊次方程有形如即X-iAx的特解。將yi Ax代入已知方程，得所以，所求通解為52、解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為故通解為y （Ci由于i是三重特征根，的特解。將yi x3（A4yCiC?e3 3iX。42 30,特征根為2、 xC2X C3X ）e所以已知非齊次方程有形如Bx）eX代入已知方程，得yi x3(a5 i一，B6 24Bx)e（三重），X即y1x3( 5 土'把'，因此，所求通解為y (C1 c2x13x2x C3x )e x (x 20)e 。2453、解：對

29、應(yīng)齊次萬程的特征萬程為 所以對應(yīng)齊次方程的通解為2 30 ,特征根為1 0, 2yC1C2e3x3,由于i不是特征根，所以已知方程有形如y1 Acosx Bsin x的特解。將y1 Acosx Bsin x代入已知方程，得 A , B 1010因此，所求通解為y Ci C2e3x Wsx ±sinx0 101054、 解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為2 2k2k2 0,特征根為1,2 k ki ,齊次方程的通解為x e kt C1 coskt C2sin kt由于k i不是特征根，所以已知方程有形如x1 A cos kt B sin kt的特解。將x A cos kt Bsin kt代入

30、已知方程，得 A 2, B 1因此，所求通解為x e kt C1 coskt C2 sin kt 2cos kt sin kt。55、 解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為2 1 0,特征根為1,2 i,1齊次方程的通解為y C1 cosx C?sin x因?yàn)?sin xcosx -sin 2x2由于2i不是特征根，故已知方程有形如y1Acos2x Bsin 2x1的特解。將y1 Acos2x Bsin 2x代入已知方程，得 A 0, B 6因此，所求通解為 y C1 cosx C2sin x -sin 2x 0 656、 解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為2 22 0,特征根為1,2 1 i ,齊次方程的

31、通解為y ex C1 cosx C2sinx由于1 i不是特征根，故已知方程有形如y e x(Acosx Bsin x)的特解。將y1 e x( Acosx Bsin x)代入已知方程，得 A 1, B -881 .因此，所求通解為 y e C1 cosx C2 sinx- e (cosx sinx)。57、 解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為2 210 0，特征根為 1,2 1 3i ,齊次方程的通解為y ex C1 cos3x C2 sin3x由于1 2i不是特征根，所以已知非齊次方程有形如的特解。將上式代入已知方程，得A魚B竺,26338C_1,13D1169因此，所求通解為x329y e C

32、1cos3x C2sin3xcos2x26 3881x131169sin 2x。58、解：對應(yīng)齊次萬程的特征萬程為2 1 0 ,特征根為1,2i ,所以對應(yīng)齊次方程的通解為xC1 cost C2sin tI)若a 1,由于i是一重特征根,故已知方程有形如的特解。將x1 t(Acost Bsint)代入已知方程，得1 所以，a 1時(shí)所求通解為 x C1 cost C2sin t -1 cost o2x2 C cosatII )若a 1,此時(shí)已知方程有形如D sin at的特解。將x2C cosatD sin at代入已知方程，得C 0,所以，a 1時(shí)所求通解為xC1 costC2sin t si

33、n at a59、解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為特征根為0,52'齊次方程的通解為yCi5 _x C2e 22cos xcos2x260、而0是一重特征根，2i不是特征根,的特解。將上式代入已知方程，得5因此，所求通解為y CiC2ex1一 x102解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為齊次方程的通解為由于2i是一重特征根，故已知方程有形如的特解。將上式代入已知方程，得故已知方程有形如11A, B104115cos2x sin2x。411644 0 ,特征根為51641,2y C1cos2x C2sin 2x1, B 0, C80,D 16因此，所求通解為y C1cos2xC2sin 2x61、1

34、8160，特征根為12 c 1. Cx cos2x xsin 2x。2 2C2解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為齊次方程的通解為由于0是一重特征根，2i不是特征根,的特解。將上式代入已知方程，得2 xyCe所以已知方程有形如3c1C-,B-,C222, 20,因此，所求通解為62、2xy Ge解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為C23x221 , -(cos2x sin2x)2 0,特征根為1,21齊次方程的通解為y (C1 cosx C2sinx)ex由于1 i是一重特征根，故已知方程有形如y1 xex( Acosx Bsin x)的特解。將y1 xex( Acosx Bsin x)上式代入已知方程，得

35、A 0, B 2 因此，所求通解為 ex y (C1 cosx C2sinx)e 2xe sin x。63、解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為2 9 0,特征根為 1,2 3i ,齊次方程的通解為y C1cos3x C2sin3x因?yàn)?i是一重特征根，所以已知方程有形如的特解。將y1 x(Acos3x Bsin3x)上式代入已知方程，得 A 5, B 3因此，所求通解為64、65、67、68、69、C2sin3x 5xcos3x 3xsin3x。2 1 0 ,特征根為1,2 i ,C2sin ty C1 cos3x解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為齊次方程的通解為因?yàn)閕是一重特征根，而 2i不是特征根，故

36、已知方程有形如 的特解。將上式代入已知方程，得因此，所求通解為x C1 cost13 -c八1,B0, C -,D231+tcost1 -sin t o23A00 ,特征根為1,2xC1 costC2sin t解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為齊次方程的通解為x et （C1 cost C2sint）因?yàn)? i一重特征根，故已知方程有形如的特解。將上式代入已知方程，得 A1-,C41 tte (cost tsint)0, B0, D1 i,0, F 0解：設(shè)yP(y)ydp p dy原方程化為dpp -dy 121 y分解得p0和dp dy21 yp0由p0 得解y由業(yè)-dy 12yP 0dp p2

37、dy3得dp dxp c(1y)2積分之得1qxc2或者y11 因此，所求通解為x66、0cc2xc22Pet(C1 cost C2 sin t)dy (y 1)24y故方程的全部解為解：令y即 也dx積分得到解：令y化簡得xup,cdxc1xuxy1 xe21:一 Gx2則故通解為解：（解法一）1c1x c2原方程化為(sin x cosx)1 xex sin x解得(c1 ln xc.xu , yciu'x6)x.1 : _ e22u(cosxsin x)c2.xu代入原方程得:G ln xc2y將原方程重新改寫為xyy由于（yy）分離變量可得兩邊積分y2（解法二）由于方程兩端關(guān)于

38、yy y2 令 uyy'方程化為ucx即2c1x02 .yy cx 或者(y )2dux一dxydyyyGxdx代入方程后得x eu euu消去e2u, xu 2x（u ）2y,y ,y是二次齊次函數(shù),2u 2 u ucuxeu eeu 0u 0故可作變換不顯含u,令 up(x) u p得到伯努利方程dp 1 pdx x所以 空 p vix2dxc1 x兩邊積分ux .dxxc1因此通解為yuIn c?x qe e或者改寫y22*c4 .(x)2p2.2In xc1In c270、解：原方程對應(yīng)齊次方程特征方程為 r2通解為自由項(xiàng)自由項(xiàng)故令3r 20, ri1,22,所以對應(yīng)齊次方程y

39、 ce fi(x) e x f2(x) sin x *yyiy2c2e x1是單重特征根, i不是特征根Axe x2xy2Bsin x C cosxy AxeBsin xxoC cosx o代入原方程兩端比較系數(shù)得x 11071、解：相應(yīng)齊次方程的特征方程為為 y (c1x c2)e2x。非齊次方程的特解可令為故方程的通解為y xeA 1,B110,3C 10sin x310cosxC1e 2xC2e x.2 r4r4(r 2)20,故 rir22,齊次方程的通解G(x) xex c2(x)e2x 0c(x)(xe2x)' c2(x)(e2x)c'(x) xc'i(x)

40、(1c2(x) 02x) 2c；(x)c'i(x)dx x故原方程的通解為所以ci(x)1 2 x172、解：設(shè) y代入后得到其特征方程設(shè)特解為u*解得c1 (x)于是c1(x)1 e2 e xci，q(x)2xc2(x)2x2xxec2(x)e o代入(1)得c2(x)In xci)xe2x ( 2x c2)eIn x(-x(cixe2x(2u(x) u (x), yu u cscxc3 )e2xIn x e*2xc2 i)。u(x), u(x)滿足0 ,齊次方程的通解為qsinxG(x),c2(x)滿足2x e2x e(4u(x) u (x)1G(x)sin x c2(x)cosx。cot xc2(x)1Insin x ci,c2(x)x c22xr/e (ciInsin x)sin x ©c2 cos x O所以原方程的通解為貝xy Dy x2y D(D 1)y dt73、解：令 x et, Dx)cosx O原方程化為(4)D(D 1)y 2Dy 2y 0特征方程為0,r通解為qe2ttc2ed2ydy 小c 2y 0。 dt2 dt2, & 1寫xc2x o74、解：令xet, D自由項(xiàng)f（t）自由項(xiàng)設(shè) y代入方程后2t ef(t) 2Ae2tI4A通解為75、c_x解：（解法一）可將原方程化為齊次方程通解為或者 y設(shè)