1、 6.6.1 環環 的的 定定 義義 6.6.2 環環 的的 性性 質質 設設R是一個非空集合是一個非空集合, 其中有加其中有加“+”、乘、乘“ ”兩兩種種二元代數運算，稱（二元代數運算，稱（R,+, ）為一個環，如果）為一個環，如果1) a+b=b+a，2) a+（b+c）=（a+b）+c，3) R中有一個元素中有一個元素0，適合，適合a+0=a，4) 對于對于R中任意中任意a,有有-a, 適合適合a+（-a）=0，5) a （b c）=（a b） c，6) a （b+c）=(a b)+(a c)， （a+b） c=(a c)+(b c)。 例例. 等冪環必是交換環等冪環必是交換環(乘法適合

2、交換律的環乘法適合交換律的環)。若環（若環（R， + ， ）對）對運算滿足等冪律，即運算滿足等冪律，即對對R中任意元素中任意元素a，都有，都有aa=a，證明：，證明：R是交是交換環。換環。證明：證明：一方面，由乘對于加的分配律知，一方面，由乘對于加的分配律知，（a+b）（a+b）=（a+b）a+（a+b）b =(aa)+ (ba) + (ab) +(bb) =a+(ab)+(ba)+b 另一方面，由題設知，另一方面，由題設知，（a + b）（a + b）= a+b所以，所以，a+(ab)+(ba)+b=a+b，即，即，(ab)+(ba) = 0 (*)。在（在（*）式中取）式中取a=b，則，則

3、(aa)+(aa)=0，故故a+a=0，因此，因此，(ab)+(ab)=0，而由（而由（*）式又知，）式又知，(ab)+(ba) = 0，因此，因此，(ab)+(ab)=(ab)+(ba)，即，即，ab= ba，故，故R是交換環。是交換環。 注意：如果只用乘法，則等冪半群未必是交換注意：如果只用乘法，則等冪半群未必是交換半群。半群。*abcaabcbabccabc所有整數在整數的加法與乘法下作成一個環，所有整數在整數的加法與乘法下作成一個環，叫做叫做整數環整數環。域上的所有域上的所有n階矩陣在矩陣的加法與乘法下作階矩陣在矩陣的加法與乘法下作成一個環，叫做成一個環，叫做n階階矩陣環矩陣環。域上的

4、所有多項式在多項式加法與乘法下作成域上的所有多項式在多項式加法與乘法下作成一個環，叫做一個環，叫做多項式環多項式環。整數模整數模n的所有剩余類集合在剩余類加法與乘的所有剩余類集合在剩余類加法與乘法下作成一個環。法下作成一個環。所有有理數、所有實數、所有復數在數的加法所有有理數、所有實數、所有復數在數的加法與乘法下都分別作成環，常稱為與乘法下都分別作成環，常稱為有理數域、實有理數域、實數域、復數域數域、復數域。 性質性質1 用數學歸納法，分配律可用數學歸納法，分配律可以推廣如下：以推廣如下： a（b1+bn）=(ab1) +(abn) ， （a1+am）b= (a1b)+(amb)，（a1+am

5、）（）（b1+bn）= jjiijnjmiibaba,11性質性質2 a（c-b）=(ac)-(ab)， （c-b）a=(ca)-(ba)。證明：證明：由由a（c-b）+(ab)=a（c-b+b）=ac，得得a( (c-b) )=(ac)-(ab)。同理，。同理，( (c-b) )a=(ca)-(ba)。性質性質3 a0=0，0a=0。證明：證明：由性質由性質2，令，令b=c=0，得，得a（0-0）=(a0)-(a0)=0，（，（0-0）a=(0a)-(0a)=0， 即即, ,a0=0，0a=0。 性質性質4 a（-b）= -（ab），），（-a）b = -（ab），（），（-a）（）（-b）

6、=ab。證明：證明：由性質由性質2，令，令c=0，即得，即得a（-b）= -（ab），（），（-a）b = -（ab）。）。因此，因此，（-a）（）（-b） =-(-a)b)= -（-（ab）=ab。 性質性質5 對任意整數對任意整數m，都有，都有a（mb） = （ma）b = m（ab）。）。 性質性質6 am+n=aman，（，（am）n=amn。 性質性質7 在交換環中，有第三指數律：在交換環中，有第三指數律： （ab）n=anbn。 性質性質8 在交換環中二項式定理成立：在交換環中二項式定理成立：( (a+b)n = an + nan-1b + an-2b2 + + bn。用數學歸納法

7、證明用數學歸納法證明. . 2) 1( nn如果環如果環R不只有一個元素而且有一個元素不只有一個元素而且有一個元素1適合對任意適合對任意a R， 1a = a1 = a 則稱則稱R為含壹環。為含壹環。例例. 整數環為含壹環，所有偶數在數整數環為含壹環，所有偶數在數的加法和乘法下作成的環不是含壹環。的加法和乘法下作成的環不是含壹環。 性質性質9 含壹環含壹環R的壹是唯一確定的。的壹是唯一確定的。證明：證明：若若1、1為為R的兩個壹，則的兩個壹，則1=11=1。 性質性質10 設環設環R有有1，則，則10。證明：證明：取取aR,且且a0,則則a0=0,而而a1=a,故故10。 性質性質11 任意環

8、任意環R均可擴充成一個含壹環均可擴充成一個含壹環R+。證明：證明：令令R+=a+m| aR，mZ。規定：。規定：（a+m）+（b+n）=（a+b）+（m+n）;（a+m）（）（b+n）=（ab+na+mb）+mn。則則R+為環，其壹為為環，其壹為0+1。 試證明：對于含壹環來說，加法適合交換律是試證明：對于含壹環來說，加法適合交換律是環定義里其它條件的結果。環定義里其它條件的結果。證明：證明：任取環中二元素任取環中二元素a,b，由分配律、結合，由分配律、結合律得律得(a+b) (1+1)=(a+b) 1+ (a+b) 1 =(a+b)+(a+b)= a+ ( b+a ) +b(a+b) (1+

9、1)=a (1+1)+ b (1+1)=a+ ( a+b ) +b即，即， a+ ( b+a ) +b= a+ ( a+b ) +b，故，故a+b=b+a定義定義. 若若R是環是環,S是是R的非空子集的非空子集,若若S在在R的的加法和乘法下仍是環加法和乘法下仍是環,則稱則稱S是是R的子環。的子環。結論：結論：R本身以及本身以及0是是R的兩個平凡子環。的兩個平凡子環。定理定理6.6.1 環環R的子集的子集S作成子環必要而且作成子環必要而且只要，只要， （1） S非空；非空； （2） 若若aS，bS，則，則a-bS; （3） 若若aS，bS，則，則abS。 對于環來說，若大環有壹，子環未必對于環來

10、說，若大環有壹，子環未必有壹有壹. . 如，整數環含如，整數環含1 1，但其子環偶數環不含，但其子環偶數環不含1 1。即使子環有壹，其壹未必與大環的壹即使子環有壹，其壹未必與大環的壹一致一致. . 見教材見教材224頁矩陣環的例子。頁矩陣環的例子。 定義定義. 若若R是環，是環，a，b R，如果，如果a0，b0，但，但ab=0，則稱，則稱a，b為為零因子零因子。如。如果果R沒有這樣的元素，則說沒有這樣的元素，則說R無零因子。無零因子。無零因子的環稱為無零因子的環稱為消去環消去環。例例. 整數環是消去環，矩陣環不是消去環，整數環是消去環，矩陣環不是消去環，有零因子。比如，有零因子。比如，0000

11、00010010性質性質12 環環R是消去環是消去環 iff R中消去律成立。中消去律成立。證明：證明：必要性必要性。如果如果a0,且且ab = ac,那么那么ab-ac = 0,即即 a（b-c）= 0。因環。因環R中無零因子中無零因子,而而a0,故必有故必有 b-c= 0，即，即b = c，因此，左消去，因此，左消去律成立，同理可證右消去律也成立。律成立，同理可證右消去律也成立。充分性充分性。設消去律成立，即由設消去律成立，即由a0, ,ab = ac可可推出推出b = c。若。若ab=0, ,而而a0, ,則則ab = a0, ,因而由因而由消去律可得消去律可得 b = 0。故。故R無零

12、因子無零因子, ,R是消去環。是消去環。 性質性質13 在消去環在消去環R中，不為中，不為0的元素在加法的元素在加法下的周期相同。下的周期相同。證明：證明：(1) 若不為若不為0的元素在加法下的周期都為的元素在加法下的周期都為0，則，則得證。得證。(2) 否則，否則，R中存在非零元素中存在非零元素a，a的周期不是的周期不是0，設為設為m，即，即ma = 0。 任取任取R中非零元中非零元b， 則，則， a(mb) = (ma)b = 0b = 0，又由又由a0，且，且R無零因子知，無零因子知，mb=0，所以，所以b的的周期不是周期不是0，設為，設為n，則，則n|m。 另一方面，另一方面，(na)

13、b=a(nb)=a0= 0，又由，又由b0,且且R無零因子知，無零因子知，na=0。而。而a的周期為的周期為m,故故m|n。因此，因此，m=n。由由b的任意性知，在消去環的任意性知，在消去環R中，不為中，不為0的元素的元素在加法下的周期都與在加法下的周期都與a的周期相同。的周期相同。 性質性質14 在消去環在消去環R中，不為中，不為0的元素在加法下的的元素在加法下的周期或為周期或為0或為質數。或為質數。證明：證明：設設aR，a0，且，且a的周期為的周期為n，故，故 na = 0。 (1) 若若n=0，則得證。，則得證。(2) 否則，只需證否則，只需證n是質數。是質數。用反證法。設用反證法。設n

14、不是質數，則不是質數，則n = n1n2， 且且n11， n21。故。故1n1 n，1n2n。 顯然，顯然， n1a， n2a R，由，由a的周期為的周期為n知，知， n1 a0，n2a0。而。而 （n1 a）（）（n2a） = （n1 n2）（）（a a） = （na）a = 0 a = 0，故故n1 a，n2a為零因子，與為零因子，與R無零因子矛盾。無零因子矛盾。因此，原假設不對，因此，原假設不對，n是質數。是質數。 整區整區 有壹無零因子的交換環。有壹無零因子的交換環。理解整區定義理解整區定義 是含壹環（至少兩個元素）、消去環、交換環。是含壹環（至少兩個元素）、消去環、交換環。 想證明想

15、證明(R,+,）是整區，需要證明：）是整區，需要證明：v（R,+）是）是Abel群群;v（R,）是半群，有壹，）是半群，有壹， 且交換律、消去律成立（無零因子）且交換律、消去律成立（無零因子）;v 對對+有分配律有分配律.例例. 整數環、有理數環、實數環、復數環都是整數環、有理數環、實數環、復數環都是 整區。整區。 例例. 實數域上的所有實數域上的所有n階矩陣在矩陣的加法與乘階矩陣在矩陣的加法與乘法下作成的法下作成的n階矩陣環不是整區：不是交換環，不階矩陣環不是整區：不是交換環，不是消去環。是消去環。 例例. 整數模整數模4的所有剩余類集合的所有剩余類集合Z4在剩余類加法在剩余類加法與乘法下作

16、成一個有壹的交換環，但不是整區：與乘法下作成一個有壹的交換環，但不是整區：不是消去環。不是消去環。體體 設設R為環，如果去掉為環，如果去掉0，R的其余元素作成一個乘法的其余元素作成一個乘法群，則稱環群，則稱環R為體。為體。理解體的定義：理解體的定義： 是含壹環（至少兩個元素）是含壹環（至少兩個元素） 、消去環，任意非零元素、消去環，任意非零元素在乘法下有逆，未必是交換環，因此未必是整區。在乘法下有逆，未必是交換環，因此未必是整區。想證明想證明(R,+,）是體，需要證明：）是體，需要證明： （R,+）是）是Abel群群;（R*,）是群）是群; 對對+有左右分配律。有左右分配律。例例. 整數環不是

17、體。有理數環、實數環、復數環都是體。整數環不是體。有理數環、實數環、復數環都是體。 可見，整區未必是體。可見，整區未必是體。結論：結論：假定假定R是無零因子的有限環，且不只有一個元素，是無零因子的有限環，且不只有一個元素，則則R必是一個體。必是一個體。證明：證明：只需證明環只需證明環R中所有非零元做成乘法群。中所有非零元做成乘法群。v由由R中不只有一個元素，知中不只有一個元素，知R*非空。非空。v任取任取a,bR*，即，即a0，b0，由，由R無零因子，知無零因子，知ab0，即即abR*。 v由環由環R對乘法適合結合律知對乘法適合結合律知,R*對乘法亦適合結合律。對乘法亦適合結合律。v由由R無零

18、因子知，無零因子知，R*中消去律成立。中消去律成立。v由由R有限，知有限，知R*有限。有限。 所以環所以環R中所有非零元做成乘法群，因而是體。中所有非零元做成乘法群，因而是體。 域域 交換體交換體理解域的定義：理解域的定義：是含壹環（至少兩個元素）、消去環、交換環是含壹環（至少兩個元素）、消去環、交換環想證明想證明(R,+,）是域，需要證明：）是域，需要證明： （R,+）是）是Abel群；（群；（R*,）是）是Abel群；群； 對對+有分配律。有分配律。 在域中每一個非零元素都具有兩個與之相聯在域中每一個非零元素都具有兩個與之相聯系的周期，一個是在加法群中的加法周期，一系的周期，一個是在加法群

19、中的加法周期，一個是在乘法群中的乘法周期。個是在乘法群中的乘法周期。例例. . 有理數域、實數域、復數域都是域。有理數域、實數域、復數域都是域。其中每一非零元素的加法周期是其中每一非零元素的加法周期是0（無窮），（無窮），1的的乘法周期是乘法周期是1，-1的乘法周期是的乘法周期是2，此外，其它非，此外，其它非零元的乘法周期為零元的乘法周期為0。在域中，在域中，abab-1-1可以寫成可以寫成 。結論結論1 域中所有非零元素都有相同的加法周期，域中所有非零元素都有相同的加法周期， 且或為且或為0，或為質數。，或為質數。結論結論2 域是整區。域是整區。ba結論結論3 有限整區是域。有限整區是域。證

20、法一：證法一：因為有限整區是因為有限整區是無零因子的有限環，無零因子的有限環，且不只有一個元素，所以且不只有一個元素，所以有限整區是體。再有限整區是體。再由整區是交換環，知，有限整區是交換體，由整區是交換環，知，有限整區是交換體，因此是域。因此是域。證法二：證法二：只需證明整區只需證明整區R中非零元做成乘法群。中非零元做成乘法群。v由由R是整區，知是整區，知R*非空：非空：1R* 。v任取任取a,bR*，即，即a0，b0，由，由R無零因子，知無零因子，知ab0，即即abR*。 v由環由環R對乘法適合結合律知對乘法適合結合律知,R*對乘法亦適合結對乘法亦適合結合律。合律。v R*有乘法單位元有乘

21、法單位元1。v任取任取aR*，由，由R無零因子知，無零因子知，R*中消去律成中消去律成立立，再由，再由R*有限，知有限，知aR*=R*。由。由1R*，知，知1aR*，即有，即有ak R*，使得，使得aak=1，即每個非，即每個非零元在乘法下有逆。零元在乘法下有逆。所以有限整區中非零元做成乘法群，因而是體，所以有限整區中非零元做成乘法群，因而是體，再由整區是交換環，知，有限整區是再由整區是交換環，知，有限整區是域。域。 l設設R=0,1,2,3,4，定義，定義R上的運算如下：上的運算如下： a b=a+b(mod 5) a b=ab(mod 5)則可以證明（則可以證明（R， ， ）是域。）是域。

22、證明作為練習證明作為練習1，2，3，4的加法周期是？的加法周期是？1，2，3，4的乘法周期分別是？的乘法周期分別是？l 例例. 設設Zp是模是模p的剩余類環，的剩余類環， 則則Zp是域是域 iff p是質數。是質數。證明：證明： 必要性。必要性。用反證法。假設用反證法。假設p不是質數，則不是質數，則p=a b，0ap ,0bp，于是，于是ab=ab=p=0但但 a 0， b 0，因此，因此， a，b 為為Zp的的零因子，與零因子，與Zp是域矛盾。是域矛盾。充分性。充分性。顯然，顯然，Zp是交換環且有壹：是交換環且有壹：1。故只。故只需證需證Zp不含零因子，則不含零因子，則Zp是有限整區，因此就

23、是有限整區，因此就是域。是域。 用反證法。假設用反證法。假設Zp含零因子，即其中存在元含零因子，即其中存在元素素a 0， b 0， 但但ab=0， 由由a 0， 知知 p不整除不整除 a；由；由b 0，知，知 p不不整除整除 b；再由；再由p是質數，知是質數，知p不整除不整除ab。而由而由ab=ab=0， 知，知，p|ab，產生矛盾，因，產生矛盾，因此，此， Zp不含零因子。不含零因子。還可以用域的定義來證。還可以用域的定義來證。Zp中非零元的加法周期是？中非零元的加法周期是？四元數四元數 取三個符號取三個符號i，j，k，以實數，以實數a，b，c，d為系數而作形式的線性組合為系數而作形式的線性組合 a + bi + cj + dk。四元數間運算的規定四元數間運算的規定：（1 1）加法運算）加法運算 (a1 + b1i + c1j + d1k)+(a2 + b2i + c2j + d2k) =(a1 + a2) )+(b1 + b2) )i+(c1 + c2) )j+(d1+d2) )k。（2 2）乘法運算：）乘法運算：先規定先規定i，j，k之間的乘法：之間的乘法： i2 = j2 = k2 = -1, ,ij = k, ,jk = i, ,ki =