1、.1層次分析法層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡稱，簡稱AHP） 一、層次分析法概述一、層次分析法概述 二、二、AHP的基本原理的基本原理 三、三、AHP的求解步驟的求解步驟 四、應用實例四、應用實例.2一、層次分析法概述一、層次分析法概述美國運籌學家美國運籌學家Saaty教授于二十世紀教授于二十世紀70年代提出年代提出的一種實用的多方案或多目標的決策方法。的一種實用的多方案或多目標的決策方法。主要特征是：合理地將定性與定量的決策結合主要特征是：合理地將定性與定量的決策結合起來，按照思維、心理的規律把決策過程層次化、起來，按照思維、心理的規律把決策過程層次化、

2、數量化。數量化。1982年被引入國內后迅速地在我國社會經濟各年被引入國內后迅速地在我國社會經濟各個領域內，如能源系統分析、城市規劃、經濟管個領域內，如能源系統分析、城市規劃、經濟管理、科研評價等，得到了廣泛的重視和應用理、科研評價等，得到了廣泛的重視和應用。.3二、層次分析法的基本原理二、層次分析法的基本原理層次分析法的基本思想：層次分析法的基本思想：是把復雜問題分解為是把復雜問題分解為若干層次，在最低層次通過兩兩對比得出各因若干層次，在最低層次通過兩兩對比得出各因素的權重，通過由低到高的層層分析計算，最素的權重，通過由低到高的層層分析計算，最后計算出各方案對總目標的權數，權數最大的后計算出各

3、方案對總目標的權數，權數最大的方案即為最優方案。方案即為最優方案。.4 層次分析法的基本假設：是層次之間存在遞層次分析法的基本假設：是層次之間存在遞進結構，即從高到低或從低到高遞進。進結構，即從高到低或從低到高遞進。 層次分析法的基本方法：是建立層次結構模層次分析法的基本方法：是建立層次結構模型。型。 建立層次模型的步驟如下：建立層次模型的步驟如下： （1 1）明確問題，搞清楚涉及的因素以及因素相）明確問題，搞清楚涉及的因素以及因素相 互之間的關系。互之間的關系。 (2) (2) 將決策問題層次化，劃分為總目標層、分將決策問題層次化，劃分為總目標層、分 目標層和方案層。目標層和方案層。.5三、

4、求解步驟三、求解步驟（1）建立層次結構模型；）建立層次結構模型；（2）對各層元素兩兩比較，構造判斷矩陣；）對各層元素兩兩比較，構造判斷矩陣；（3）求解判斷矩陣的特征向量，并對判斷矩陣）求解判斷矩陣的特征向量，并對判斷矩陣的一致性進行檢驗；的一致性進行檢驗； （4）一致性檢驗通過后，確定各層排序加權值，）一致性檢驗通過后，確定各層排序加權值，若檢驗不能通過，需要重新調整判斷矩陣；若檢驗不能通過，需要重新調整判斷矩陣； （5）得出層次總排序。）得出層次總排序。.6層次單排序求解過程構造判斷矩陣構造判斷矩陣C C求求C C的特征向量的特征向量求求C C的最大特征值的最大特征值結束結束一致性收斂一致性

5、收斂判斷判斷修改判斷修改判斷矩陣矩陣C C是是否否.7(一一) 判斷矩陣判斷矩陣 概念：設概念：設Wi表示反映第表示反映第i個方案對于某個最低個方案對于某個最低層目標的優越性或某層第層目標的優越性或某層第i個目標對于上層某一個目標對于上層某一目標的重要性的權重，以每兩個方案（或子目目標的重要性的權重，以每兩個方案（或子目標）的相對重要性為元素的矩陣標）的相對重要性為元素的矩陣A稱為判斷矩陣。稱為判斷矩陣。.8 判斷矩陣是層次分析法的核心。判斷矩陣是層次分析法的核心。111122221212.nnnnnnWWWWWWWWWWWWAWWWWWW.9判斷矩陣中各元素的確定判斷矩陣中各元素的確定標度標

6、度對任意兩因素的相對重要性進行判斷，并予以量化。對任意兩因素的相對重要性進行判斷，并予以量化。19標度方法列表如下：標度方法列表如下：標度標度定義定義(比較因素比較因素i與與j)1因素因素i與與j一樣重要一樣重要3因素因素i比比j稍微重要稍微重要5因素因素i與與j較強重要較強重要7因素因素i與與j強烈重要強烈重要9因素因素i與與j絕對重要絕對重要2，4，6，8介于以上相鄰兩種情況之間介于以上相鄰兩種情況之間倒數倒數兩目標反過來比較兩目標反過來比較.10設設 ，則判斷矩陣，則判斷矩陣 的元素的元素 具有三條性質：具有三條性質：1(2);ijijaa(3);ijikkjaa aiijjWaWija

7、 滿足這三條性質的判斷矩陣，稱為完全一致性判斷滿足這三條性質的判斷矩陣，稱為完全一致性判斷矩陣。矩陣。 n階完全一致性判斷矩陣的最大特征根為階完全一致性判斷矩陣的最大特征根為其余特征根為其余特征根為 0。11121321222312nnnnaaaaaaAaaa(1)1;iia max; n.11(二二) 權重的確定方法權重的確定方法設判斷矩陣為：設判斷矩陣為： 為為 的特征根，的特征根， 為特征根為特征根所對應的特征向量。所對應的特征向量。A12(,)TnWW WW111122221212.nnnnnnWWWWWWWWWWWWAWWWWWW.12特征向量近似解法特征向量近似解法（1）將判斷矩陣

8、每一列歸一化：）將判斷矩陣每一列歸一化：1,1,2,ijijnkjkaai jna（2）將每一列經歸一化后的矩陣按行相加：）將每一列經歸一化后的矩陣按行相加：11,2,niijjMain1，和積法：，和積法：.13（3）將向量）將向量 歸一化：歸一化： 11,2,iinjjMWinM（4）計算判斷矩陣最大特征根）計算判斷矩陣最大特征根max1(),niiiAWnW12(,)TnMM MM所求得所求得 即為所求特征向量。即為所求特征向量。12(,)TnWW WW其中其中 表示向量表示向量 的第的第 個元素。個元素。()iAWAWi.14（1）計算判斷矩陣）計算判斷矩陣A每行元素乘積的每行元素乘積

9、的n次方根：次方根：（2）將向量）將向量 歸一化：歸一化：2，方根法：，方根法：11,2,nniijjWain12(,)TnWW WW11,2,iiniiWWinW所求得所求得 即為所求特征向量。即為所求特征向量。12(,)TnWW WW.15（3）計算判斷矩陣最大特征根）計算判斷矩陣最大特征根max1(),niiiAWnW其中其中 表示向量表示向量 的第的第 個元素。個元素。()iAWAWi.16(三三) 一致性檢驗一致性檢驗 構造好判斷矩陣后，需要根據判斷矩陣構造好判斷矩陣后，需要根據判斷矩陣計算針對某一準則層各元素的相對權重，計算針對某一準則層各元素的相對權重，并進行一致性檢驗。雖然在構

10、造判斷矩并進行一致性檢驗。雖然在構造判斷矩陣陣A時并不要求判斷具有一致性，但判斷時并不要求判斷具有一致性，但判斷偏離一致性過大也是不允許的。因此需偏離一致性過大也是不允許的。因此需要對判斷矩陣要對判斷矩陣A進行一致性檢驗。進行一致性檢驗。 通過計算通過計算一致性指標一致性指標和和檢驗系數檢驗系數進行檢進行檢驗。驗。.17 CI，度量判斷矩陣偏離一致性的指標，度量判斷矩陣偏離一致性的指標Max-nCIn1 CI愈大，判斷矩陣的一致性愈差；愈大，判斷矩陣的一致性愈差； Max-n愈大，愈大，CI愈大，矩陣的一致性愈差；愈大，矩陣的一致性愈差； CI=0，判斷矩陣具有完全一致性。，判斷矩陣具有完全一

11、致性。.18 RI，平均隨機一致性指標，是足夠多個，平均隨機一致性指標，是足夠多個根據隨機發生的判斷矩陣計算的一致性根據隨機發生的判斷矩陣計算的一致性指標的平均值。指標的平均值。 39階矩陣的階矩陣的RI取值見下表：取值見下表：階階數數3456789RI0.580.9021.411.45.19 CR，檢驗系數，檢驗系數CICRRI CR愈小，判斷矩陣的一致性愈好；愈小，判斷矩陣的一致性愈好； 一般地，當一般地，當CR 0.1時，可認為判斷矩陣時，可認為判斷矩陣具有滿意的一致性。否則需要調整判斷具有滿意的一致性。否則需要調整判斷矩陣，直至滿意的一致性。矩陣，直至滿意的一致性

12、。.20(四四) 層次總排序層次總排序 利用同一層次中所有層次單排序的結果，就可以利用同一層次中所有層次單排序的結果，就可以計算針對上一層次而言的本層次所有元素的重要計算針對上一層次而言的本層次所有元素的重要性權重值，這就稱為層次總排序。層次總排序需性權重值，這就稱為層次總排序。層次總排序需要從上到下逐層順序進行。對于最高層，其層次要從上到下逐層順序進行。對于最高層，其層次單排序就是其總排序。單排序就是其總排序。 若上一層次所有元素若上一層次所有元素A1，A2，Am的層次總的層次總排序已經完成，得到的權重值分別為排序已經完成，得到的權重值分別為a1，a2，am與與aj對應的本層次元素對應的本層

13、次元素B1，B2，Bn的層次的層次單排序結果為：單排序結果為：123nji,(A0)jjjjjib b bbBb 這里，當 與無聯系時，.21(四四)層層次次總總排排序序.22城市公交系統優化滿足乘客要求S1降低公交成本S2提高社會效益S3迅速T1舒適T5提高服務水平T6增加企業收入T7降低能源消耗T8控制環境污染T9準點T4方便T3安全T2.23層次總排序表層次總排序表 111nmjjiija b.24總一致性檢驗總一致性檢驗 在在(1)式中，式中，CI為層次總排序的一致性指標，為層次總排序的一致性指標，CIj為與為與aj對對應的應的B層次中判斷矩陣的一致性指標；在層次中判斷矩陣的一致性指標

14、；在(2)式中，式中，RI為層為層次總排序的隨機一致性指標，次總排序的隨機一致性指標，RIj為與為與aj對應的對應的B層次中判層次中判斷矩陣的隨機一致性指標；在斷矩陣的隨機一致性指標；在(3)式中，式中，CR為層次總排序為層次總排序的隨機一致性比例。的隨機一致性比例。同樣，當同樣，當CR0.10時，則認為層次總排序的計算結果具時，則認為層次總排序的計算結果具有令人滿意的一致性；否則，就需要對本層次的各判斷矩有令人滿意的一致性；否則，就需要對本層次的各判斷矩陣進行調整，從而使層次總排序具有令人滿意的一致性。陣進行調整，從而使層次總排序具有令人滿意的一致性。11CIRImjjjmjjja CIa

15、RICICRRI(1)(2)(3).25四、四、實例實例例例 在城市公共交通系統中，針對在城市公共交通系統中，針對“如何降低事故如何降低事故發生率發生率”，可采取如下措施：，可采取如下措施：P1：實行經濟責任制；：實行經濟責任制；P2：加強職工培訓：加強職工培訓(智力投資智力投資)；P3：加強交通管制：加強交通管制(對行車安全有較大影響對行車安全有較大影響)；P4：發展快速電車；：發展快速電車；P5：修建人行天橋；：修建人行天橋；P6：疏通瓶頸卡口；：疏通瓶頸卡口；P7：合理限制自行車。：合理限制自行車。如何確定上述措施對于目標的重要性次序如何確定上述措施對于目標的重要性次序(即權即權重重)，

16、從而為最終決策提供依據？，從而為最終決策提供依據？.26措措施施P1P2P3P4P5P6P7P111/31/451/71/51/7P2311/271/41/31/7P342171/31/21/5P41/51/71/711/81/61/9P57438121/3P653261/211/5P77759351求解：求解：1，構造判斷矩陣，構造判斷矩陣.272，求最大特征值及特征向量，求最大特征值及特征向量(1)將判斷矩陣每列歸一化將判斷矩陣每列歸一化P1P2P3P4P5P6P7P11.0001.0000.3330.3330.2500.2505.0005.0000.1430.1430.2000.2000

17、.1430.143P23.0003.0001.0001.0000.5000.5007.0007.0000.2500.2500.3330.3330.1430.143P34.0004.0002.0002.0001.0001.0007.0007.0000.3330.3330.5000.5000.2000.200P40.2000.2000.1430.1430.1430.1431.0001.0000.1250.1250.1670.1670.1110.111P57.0007.0004.0004.0003.0003.0008.0008.0001.0001.0002.0002.0000.3330.333P65

18、.0005.0003.0003.0002.0002.0006.0006.0000.5000.5001.0001.0000.2000.200P77.0007.0007.0007.0005.0005.0009.0009.0003.0003.0005.0005.0001.0001.000Sum 27.20027.20017.47617.47611.89311.89343.00043.0005.3515.3519.2009.2002.1302.130.28P1P2P3P4P5P6P7SumP10.0370.0370.0190.0190.0210.0210.1160.1160.0270.0270.022

19、0.0220.0670.0670.3090.309P20.1100.1100.0570.0570.0420.0420.1630.1630.0470.0470.0360.0360.0670.0670.5220.522P30.1470.1470.1140.1140.0840.0840.1630.1630.0620.0620.0540.0540.0940.0940.7190.719P40.0070.0070.0080.0080.0120.0120.0230.0230.0230.0230.0180.0180.0520.0520.1440.144P50.2570.2570.2290.2290.2520.

20、2520.1860.1860.1870.1870.2170.2170.1560.1561.4851.485P60.1840.1840.1720.1720.1680.1680.1400.1400.0930.0930.1090.1090.0940.0940.9590.959P70.2570.2570.4010.4010.4200.4200.2090.2090.5610.5610.5430.5430.4690.4692.8612.861Sum1.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0007.0007.000

21、2，求最大特征值及特征向量，求最大特征值及特征向量(2) 歸一化后的矩陣按行加總歸一化后的矩陣按行加總(3)將列向量歸一化即得特征向量將列向量歸一化即得特征向量WW=(0.044,0.075,0.103,0.021,0.212,0.137,0.409)T,(4)計算最大特征值計算最大特征值Max=7.691CW=(0.316,0.563,0.797,0.150,1.707,1.102,3.267)T,.293，一致性檢驗，一致性檢驗Max-n7.691 7CI0.115n17 1RI 1.32CI0.115CR0.0870.10RI1.32說明判斷矩陣具有較為滿意的一致性。.30q附錄：求最大

22、特征值及特征向量附錄：求最大特征值及特征向量定理：設有因素定理：設有因素C1，C2，Cn和目標和目標D，記，記iijjCcC對目標D的影響對目標D的影響 則得判斷矩陣則得判斷矩陣C=(cij)nn,解矩陣解矩陣C的特征方程的特征方程|C-E|=0，E為單位陣，求特征值為單位陣，求特征值i(i=1,2,n)，記最大特征值為記最大特征值為max,對應的對應的max的標準化特征向的標準化特征向量為量為Y=(y1,y2,yn)T，則，則yi(i=1,2,n)為因素為因素Ci對對目標目標D的權重。的權重。.31證明：設指標證明：設指標C1，C2，Cn對目標對目標D的影響的影響分別為正數分別為正數x1,x

23、2,xn,記為列向量記為列向量X=(x1,x2,xn)T,通過專家評估得到比較矩陣通過專家評估得到比較矩陣C的判斷矩陣為：的判斷矩陣為：111122221212nnnnnnxxxxxxxxxxxxCxxxxxx.32設設C的特征值為的特征值為，對應的特征向量為，對應的特征向量為Y，解特，解特征方程征方程|C-E|=0 ，即，即11112222121200nnnnnnxxxxxxxxxxxxCExxxxxx.33111122220nnnnxxxxxxxxxxxx1111110111.3412.1110111nrrrnnn 1111 11()0111n.3510010()010n(1)ax1()(

24、)0;0(2,3,., )nMinnin.36 求對應于特征值求對應于特征值Max的特征向量的特征向量Y，解矩陣方，解矩陣方程程(C-nE)Y=0 ，即，即11112122221212000nnnnnnnxxxnxxxyxxxnyxxxyxxxnxxx .3712121212111011100111nnnnnxxxynyxxxynxxx .38121112121211111011110111100000nnnnnnnnxxxxynxxxxynyxxxx 矩陣方程化為線性方程組.39112121112121112121112121112121(1)(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnn

25、yyn yyxxxxyyyn yxxxxn yyyyxxxxnynynyxxxyyyykxxxx .40則，特征向量則，特征向量112244yxyxYkkxyxiYYCDi將 標準化為 ，則對應的y(i=1,2,.,n)表示指標對目標 影響的權重。.41SPSS（Statistical Program for Social Sciences）.42SPSS簡介 SPSS是Statistical Program for Social Sciences 的簡稱，即社會科學統計程序，由美國SPSS公司1970年代推出，迄今已有近30年的歷史。是國際著名三大社會科學統計軟件包之一（SAS、SPSS、S

26、tatis）。.43SPSS的運行步驟如下:錄入數據定義數據整理數據統計數據察看結果.44SPSS的主要窗口和菜單1、SPSS的的3個主要窗口個主要窗口（1） 數據編輯器窗口（數據編輯器窗口（SPSS Data Editor）：用來編輯）：用來編輯和顯示數據；在此窗口中的文件名稱為和顯示數據；在此窗口中的文件名稱為*. sav。（2） 程序語句編輯器窗口（程序語句編輯器窗口（ SPSS Syntax Editor）：用）：用來編寫各種程序；在此窗口中的文件名稱為來編寫各種程序；在此窗口中的文件名稱為*. sps。（3） 結果觀看窗口（結果觀看窗口（ SPSS Viewer）：顯示統計運算結）：

27、顯示統計運算結果；在此窗口中的文件名稱為果；在此窗口中的文件名稱為*. spo。.45.46.472、SPSS 數據編輯器的主要菜單數據編輯器的主要菜單File 菜單菜單：文件管理：文件管理 New；Open；Save；Save as；Exit。Edit 菜單菜單：編輯：編輯 Undo；Cut；Copy；Paste；Clear； Find；View菜單菜單：視圖：視圖 Fonts；Grid lines；Value labels。.Data菜單：菜單：數據整理數據整理Transform菜單菜單：數據轉換：數據轉換Analyze菜單：菜單：統計統計回歸分析、因子分析、相關分析等等。回歸分析、因子分

28、析、相關分析等等。Graphs菜單：菜單：統計圖統計圖Utilities菜單：菜單：工具附件工具附件Windows菜單：菜單：窗口窗口Help菜單：菜單：幫助幫助.49線性回歸SPSS線性回歸的統計命令線性回歸的統計命令AnalyzeRegressionLinear.50.51Model SummaryModel Summary.976a.952.9452.69330Model1RR SquareAdjustedR SquareStd. Error ofthe EstimatePredictors: (Constant), VAR00002, VAR00001a. A AN NO OV VA

29、Ab b1872.7002936.350129.083.000a94.300137.2541967.00015RegressionResidualTotalModel1Sum ofSquaresdfMean SquareFSig.Predictors: (Constant), VAR00002, VAR00001a. Dependent Variable: VAR00003b. .52C Co oe ef ff fi ic ci ie en nt ts sa a37.6502.99612.566.00031.17744.1234.425.301.89214.695.0003.7745.0764

30、.375.673.3956.498.0002.9205.830(Constant)VAR00001VAR00002Model1BStd. ErrorUnstandardizedCoefficientsBetaStandardizedCoefficientstSig.Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval for BDependent Variable: VAR00003a. .53主成分分析AnalyzeData ReductionFactor.54.55.56SPSS-Factor AnalysisD De es sc cr ri ip

31、pt ti iv ve e S St ta at ti is st ti ic cs s385.7000139.539572012388.604322.01497206.02153.386432019.67807.4472420104.179555.3664820百元固定資產產值X1凈資產的勞動生產率X2流動資金占用額X3產值利潤率X4資金利用率X5MeanStd. DeviationAnalysis N.57C Co or rr re el la at ti io on n M Ma at tr ri ix xa a1.000.451-.753-.292.580.4511.000-.446.458.754-.753-.4461.000.319-.458-.292.458.3191.0