1、選修 4_5 不等式選講課題：第 01 課時不等式的基本性質目的要求 ：重點難點 ：教學過程 ：一、引入 ：不等關系是自然界中存在著的基本數學關系。列子?湯問中膾炙人口的“兩小兒辯日”：“遠者小而近者大”、“近者熱而遠者涼”，就從側面表明了現實世界中不等關系的廣泛存在；日常生活中息息相關的問題，如“自來水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫字臺上方怎樣的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個角各剪去一個小正方形，制成一個無蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大，應當剪去多大的小正方形？”等，都屬于不等關系的問題，需要借助不等式的相關知識才能得到解決。而且，不等式在數學

2、研究中也起著相當重要的作用。本專題將介紹一些重要的不等式（含有絕對值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式等）和它們的證明，數學歸納法和它的簡單應用等。人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結構，事與事成因與結果的不同等等都表現出不等的關系，這表明現實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的。還可從引言中實際問題出發，說明本章知識的地位和作用。生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉化為數學問題： a 克糖水中含有 b 克糖(ab0) ，若再加 m(m0) 克糖，則糖水更甜了，為什么? 分析：起初的糖水濃度為ab， 加入 m克糖后的糖水濃度為mamb， 只要證mambab即

3、可。怎么證呢 ? 二、不等式的基本性質 ：1、實數的運算性質與大小順序的關系：數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點所表示的數，從實數的減法在數軸上的表示可知：得出結論：要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差的符號即可。2、不等式的基本性質：、如果 ab，那么 ba，如果 bb。(對稱性 ) 、如果 ab，且 bc，那么 ac，即 ab，bcac。、如果 ab，那么 a+cb+c，即 aba+cb+c。推論：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d即 ab，cda+cb+d、如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 c0，那么 acb0，那么nnba(nn，且 n1) 、如果 ab0

4、，那么nnba(nn，且 n1)。三、典型例題 ：例 1、已知 ab，cb-d 例 2 已知 ab0，ca，對一切實數x都成立，求實數a的取值范圍。三、小結 ：四、練習 ：解不等式1、.1122 x2、01314x3、423xx.4 、xx21. 5、1422xx6、212xx. 7、42xx8、. 631xx9、21xx10、.24xx五、作業 ：選修 4_5 不等式選講課題：第 03 課時含有絕對值的不等式的證明目的要求 ：重點難點 ：教學過程 ：一、引入 ：證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質之外，經常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質：（1）baba（2

5、）baba（3）baba（4）)0(bbaba請同學們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質存在的道理？實際上，性質baba和)0(bbaba可以從正負數和零的乘法、 除法法則直接推出；而絕對值的差的性質可以利用和的性質導出。因此，只要能夠證明baba對于任意實數都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。現在請同學們討論一個問題：設a為實數，a和a哪個大？顯然aa，當且僅當0a時等號成立（即在0a時，等號成立。在0a時，等號不成立）。同樣，. aa當且僅當0a時，等號成立。含有絕對值的不等式的證明中，常常利用aa、aa及絕對值的和的性質。二、典型例題 ：例 1、證明（ 1）bab

6、a，（2）baba。證明（ 1）如果,0ba那么. baba所以.bababa如果,0ba那么).(baba所以babababa)()(（2）根據（ 1）的結果，有bbabba，就是，abba。所以，baba。例 2、證明bababa。例 3、證明cbcaba。思考： 如何利用數軸給出例3 的幾何解釋？（設 a，b，c為數軸上的 3 個點，分別表示數a，b，c，則線段.cbacab當且僅當 c在 a，b之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取 c0（即 c為原點），就得到例2 的后半部分。）探究：試利用絕對值的幾何意義，給出不等式baba的幾何解釋？含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為

7、復雜的不等式，這就需要利用例1，例 2 和例 3 的結果來證明。例 4、已知2,2cbycax，求證.)()(cbayx證明)()()()(byaxbayxbyax（1）2,2cbycax，cccbyax22（2）由（1），（ 2）得：cbayx)()(例 5、已知.6,4ayax求證：ayx32。證明6,4ayax，23,22ayax，由例 1 及上式，aaayxyx223232。注意：在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。三、小結 ：四、練習 ：1、已知.2,2cbbcaa求證：cbaba)()(。2、已知.6,4cbycax求證：c

8、bayx3232。五、作業 ：選修 4_5 不等式選講課題：第 07 課時不等式的證明方法之一：比較法目的要求 ：重點難點 ：教學過程 ：一、引入 ：要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質：二、典型例題 ：例 1、設ba，求證：)(2322babba。例 2、若實數1x，求證：.)1()1(32242xxxx證明：采用差值比較法：=3242422221333xxxxxxx=)1(234xxx=) 1()1(222xxx=.43)21()1(222xx,043)21() 1(222xx.)1()1(32242xxxx討論：若題設中去掉1x這一限制條件，要求證的結論如

9、何變換？例 3、已知,rba求證.abbababa本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。證明： 1)差值比較法：注意到要證的不等式關于ba,對稱，不妨設.0ba0)(0bababbabbabababababa，從而原不等式得證。2）商值比較法：設, 0ba, 0, 1baba.1)(baabbabababa故原不等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。例 4、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果n

10、m，問甲、乙兩人誰先到達指定地點。分析：設從出發地點至指定地點的路程是s，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為21,tt。要回答題目中的問題，只要比較21,tt的大小就可以了。解：設從出發地點至指定地點的路程是s，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為21,tt，根據題意有sntmt2211，222tnsms，可得nmst21，mnnmst2)(2，從而mnnmsnmstt2)(221mnnmnmmns)(2)(42mnnmnms)(2)(2，其中nms,都是正數，且nm。于是021tt，即21tt。從而知甲比乙首先到達指定地點。討論：如果nm，甲、乙兩人誰先到達指定地點？例 5、設.1,0

11、, 12)(2qppqxxf求證；對任意實數ba,，恒有).()()(qbpafbqfapf（1）證明考慮（ 1）式兩邊的差。1)(2)12() 12(222qbpabqap.14)1(2)1(222qppqabbqqapp（2）即（1）成立。三、小結 ：四、練習 ：五、作業 ：1比較下面各題中兩個代數式值的大小：（1）2x與12xx； （2）12xx與2)1(x. 2已知.1a求證： （1）;122aa（2）.1122aa3若0cba，求證.)(3cbacbaabccba4比較 a4-b4與 4a3(a-b) 的大小解：a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3

12、(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3) =(a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)=-(a-b)2(3a3+2ab+b2) =-(a-b)20323322bba(當且僅當 db 時取等號 ) a4-b44a3(a-b) 。5比較 (a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小6已知 x0，比較 (x2+1)2與 x4+x2+1 的大小7如果 x0，比較21x與21x的大小8已知 a0，比較121222aaaa與1122aaaa的大小9設 x1，比較 x3與 x2-x+1 的大小說明：“變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等

13、是“變形”的常用方法。選修 4_5 不等式選講課題：第 08 課時不等式的證明方法之二：綜合法與分析法目的要求 ：重點難點 ：教學過程 ：一、引入 ：綜合法和分析法是數學中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認識、學習，以便于對比研究兩種思路方法的特點。所謂綜合法， 即從已知條件出發，根據不等式的性質或已知的不等式，逐步推導出要證的不等式。而分析法，則是由結果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是“由因及果”，后一種是“執果索因”。打一個比方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發，逐步尋找，直至

14、找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法”。以前得到的結論，可以作為證明的根據。特別的，abba222是常常要用到的一個重要不等式。二、典型例題 ：例 1、ba,都是正數。求證：.2abba證明：由重要不等式abba222可得本例的證明是綜合法。例 2、設0,0 ba，求證.2233abbaba證法一分析法要證2233abbaba成立. 只需證)()(22baabbababa成立，又因0ba，只需證abbaba22成立，又需證0222baba成立，即需證0)(2ba成立. 而0)(2ba顯然成立 . 由此命題得證。證法二綜合法注意到0,0 ba，即0ba，由上式即得)

15、()(22baabbababa，從而2233abbaba成立。議一議： 根據上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎？例 3、已知 a，b，m都是正數，并且.ba求證：.bambma（1）證法一要證（ 1），只需證)()(mbamab（2）要證（ 2），只需證ambm（3）要證（ 3），只需證ab（4）已知（ 4）成立，所以（ 1）成立。上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。證法二因為mab,是正數，所以ambm兩邊同時加上ab得)()(mbamab兩邊同時除以正數)(mbb得（1）。讀一讀： 如果用qp或pq表示命題 p可以推出命題 q （命題 q可以由命題p推出），那么采用

16、分析法的證法一就是（1）).4()3()2(而采用綜合法的證法二就是).1 ()2()3()4(如果命題 p可以推出命題 q ，命題 q也可以推出命題 p，即同時有pqqp,，那么我們就說命題p與命題 q等價， 并記為.qp在例 2 中， 由于mbmb,都是正數，實際上例 4、證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析：當水的流速相同時，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設截面的周長為l，則周長為l的圓的半徑為2l，截面積為22l；周長為l的正方形為4l，截面積為24l。所以本題只需證明2242ll。證明：設截面的周長

17、為l，則截面是圓的水管的截面面積為22l，截面是正方形的水管的截面面積為24l。只需證明：2242ll。為了證明上式成立，只需證明164222ll。兩邊同乘以正數24l，得：411。因此，只需證明4。上式顯然成立，所以2242ll。這就證明了：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。例 5、證明：cabcabcba222。證法一因為abba222（2）bccb222（3）caac222（4）所以三式相加得)(2)(2222cabcabcba（5）兩邊同時除以 2 即得（ 1）。證法二因為,0)(21)(21)(21)(222222

18、accbbacabcabcba所以（ 1）成立。例 6、證明：.)()(22222bdacdcba（1）證明（ 1）0)()(22222bdacdcba（2）0)2(222222222222dbabcdcadbdacbca（3）022222abcddacb（4）0)(2adbc（5）（5）顯然成立。因此（ 1）成立。例 7、已知cba,都是正數，求證.3333abccba并指出等號在什么時候成立？分析：本題可以考慮利用因式分解公式著手。證明：abccba3333=)(222cabcabcbacba=.)()()(21222accbbacba由于cba,都是正數，所以.0cba而0)()()(2

19、22accbba，可知03333abccba即abccba3333（等號在cba時成立）探究：如果將不等式abccba3333中的333,cba分別用cba,來代替，并在兩邊同除以 3，會得到怎樣的不等式？并利用得到的結果證明不等式：27)1)(1)(1(accbba，其中cba,是互不相等的正數，且1abc. 三、小結 ：解不等式時， 在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時加上 （或減去）一個數或代數式，移項，在不等式的兩邊同時乘以（或除以）一個正數或一個正的代數式，得到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常用到的技巧。四、練習 ：1、已知,

20、0 x求證：.21xx2、已知,0,0yxyx求證.411yxyx3、已知, 0ba求證.baba4、已知.0,0 ba求證：（1）.4)(11baba（2）.8)()(333322babababa5、已知dcba,都是正數。求證：（1）;2cdabdcba（2）.44abcddcba6、已知cba,都是互不相等的正數，求證.9)(abccabcabcba選修 4_5 不等式選講課題：第 09 課時不等式的證明方法之三：反證法目的要求 ：重點難點 ：教學過程 ：一、引入 ：前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設出發，經過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些較復雜

21、的不等式，有時很難直接入手求證，這時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或轉而證明它的等價命題為真，以間接地達到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結論，就會導致矛盾。具體地說，反證法不直接證明命題“若p 則 q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結論q，然后通過合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結論是正確的。利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；第二步作出與所證不等式相反的假定；第三步從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出

22、矛盾結果；第四步斷定產生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。二、典型例題 ：例 1、已知0ba，求證：nnba（nn且1n）例 1、設233ba，求證.2ba證明：假設2ba，則有ba2，從而因為22) 1(62b，所以233ba，這與題設條件233ba矛盾，所以，原不等式2ba成立。例 2、設二次函數qpxxxf2)(，求證：) 3(, )2(, ) 1(fff中至少有一個不小于21. 證明：假設)3(,)2(, ) 1(fff都小于21，則.2) 3()2(2) 1 (fff（1）另一方面，由絕對值不等式的性質，有2)39()24(2)1()3()2(2) 1()

23、3()2(2)1 (qpqpqpffffff（2）（1）、（2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數式中，至少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法進行。議一議 ：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？例 3、設 0a,b,c41,(1b)c41,(1c)a41, 則三式相乘：ab(1a)b?(1b)c?(1c)a641又0a,b,c0，ab+bc+ca0，abc0，求證：a,b,

24、c0 證：設a0,bc0, 則b+c=a0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc0矛盾，必有a0 同理可證：b0,c0 三、小結 ：四、練習 ：1、利用反證法證明：若已知a，b，m都是正數，并且ba，則.bambma2、設 0a,b,c0，且x+y2，則xy1和yx1中至少有一個小于2。提示：反設xy12，yx12x,y0，可得x+y2 與x+y2矛盾。五、作業 ：選修 4_5 不等式選講課題：第 10 課時不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式目的要求 ：重點難點 ：教學過程 ：一、引入 ：所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當地放大（或縮小），使之得出明顯的不等量關系后，再應用不等量大

25、、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學習高等數學時用處更為廣泛。下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。二、典型例題 ：例 1、若n是自然數，求證.213121112222n證明：.,4,3 ,2,111)1(112nkkkkkk=)111()3121()2111(11nn=.212n注意：實際上，我們在證明213121112222n的過程中，已經得到一個更強的結論nn1213121112222，這恰恰在一定程度上體現了放縮法的基本思想。例 2、求證：.332113211211111n證明：由,212221132111kk（k是大于 2

26、 的自然數）得n32113211211111例 3、若a,b,c,d r+，求證：21caddbdccacbbdbaa證：記m=caddbdccacbbdbaaa,b,c,d r+1cbaddbadccacbabdcbaam1m2 時，求證：1)1(log)1(lognnnn證：n20) 1(log,0)1(lognnnn2222)1(log2)1(log)1(log)1(log)1(lognnnnnnnnnnn2 時,1)1(log) 1(lognnnn三、小結 ：四、練習 ：1、設n為大于 1 的自然數，求證.2121312111nnnn2、設n為自然數，求證.!1)122()52)(32

27、)(12(nnnnnn選修 4_5 不等式選講課題：第 11 課時幾個著名的不等式之一：柯西不等式目的要求 ：重點難點 ：教學過程 ：一、引入 ：除了前面已經介紹的貝努利不等式外，本節還將討論柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。這些不等式不僅形式優美、應用廣泛，而且也是進一步學習數學的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理 1：（柯西不等式的代數形式）設dcba,均為實數，則22222)()(bdacdcba，其中等號當且僅當bcad時成立。證明：幾何意義：設，為平面上以原點 o為起點的兩個非零向量，它們的終點分別為 a（ba,），b（dc,），那么它們的數量積為bdac，而22|b

28、a，22|dc，所以柯西不等式的幾何意義就是：|，其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時成立。2、定理 2：（柯西不等式的向量形式）設，為平面上的兩個向量，則|，其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時成立。3、定理 3：（三角形不等式） 設332211,yxyxyx為任意實數，則：分析：思考：三角形不等式中等號成立的條件是什么？4、 定理 4： （柯西不等式的推廣形式） ： 設n為大于 1 的自然數，iiba ,（i1， 2， ，n）為任意實數，則：211212)(niiiniiniibaba，其中等號當且僅當nnababab2211時成立（當0ia時，

29、約定0ib，i1，2，n）。證明：構造二次函數：2222211)()()()(nnbxabxabxaxf即構造了一個二次函數：niiniiiniibxbaxaxf121212)(2)()(由于對任意實數x，0)(xf恒成立，則其0，即：0)(4)(4121221niiniiniiibaba，即：)()(121221niiniiniiibaba，等號當且僅當02211nnbxabxabxa，即等號當且僅當nnababab2211時成立（當0ia時，約定0ib，i1，2，n）。如果ia（ni1）全為 0，結論顯然成立。柯西不等式有兩個很好的變式：變式 1 設),2, 1(0,nibiraiiini

30、iibaba212)(，等號成立當且僅當變式 2 設 ai，bi同號且不為 0（i=1 ，2，n），則：iiiniiibaaba21)(，等號成立當且僅當nbbb21。二、典型例題 ：例 1、已知122ba，122yx，求證：1|byax。例 2、設rdcba,，求證：222222)()(dbcadcba。例 3、設,為平面上的向量，則|。例 4、已知cba,均為正數，且1cba，求證：9111cba。方法 1：方法 2：（應用柯西不等式）例 5：已知1a，2a，na為實數，求證：2112)(1niiniiana。分析：推論：在n個實數1a，2a，na的和為定值為 s時，它們的平方和不小于21

31、sn，當且僅當naaa21時，平方和取最小值21sn。三、小結 ：四、練習 ：1、設x1，x2，xn0, 則1111nxxxniiniii2、設rxi（i=1 ，2， n）且111niiixx求證:njijiniixxx1123、設a為實常數 ,試求函數)cos(sin)(xaxxf(xr) 的最大值4、求函數xbxaxfcossin)(在)2, 0(上的最大值 , 其中a，b為正常數五、作業 ：1、已知：122ba，222nm, 證明：22bnam。選修 4_5 不等式選講課題：第 13 課時幾個著名的不等式之三：平均不等式目的要求 ：重點難點 ：教學過程 ：一、引入 ：1、定理 1：如果r

32、ba,，那么abba222（當且僅當ba時取“=”）證明：222)(2baabba1指出定理適用范圍：rba,強調取“ =”的條件ba。2、定理 2：如果ba,是正數，那么abba2（當且僅當ba時取“ =”）證明：abba2)()(22abba2即：abba2當且僅當ba時abba2注意： 1這個定理適用的范圍：ra；2語言表述：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。3、定理 3：如果rcba,，那么abccba3333（當且僅當cba時取“ =”）證明：abcabbacbaabccba333)(32233333rcba,上式 0 從而abccba3333指出：這里rcba,0cba就

33、不能保證。推論 ：如果rcba,，那么33abccba。（當且僅當cba時取“ =”）證明：3333333333)()()(cbacba4、算術幾何平均不等式：abdboac如果nnnraaan且1,21則：naaan21叫做這 n 個正數的算術平均數，nnaaa21叫做這 n 個正數的幾何平均數；基本不等式：naaan21nnaaa21（niranni1 ,*）這個結論最終可用數學歸納法，二項式定理證明（這里從略）語言表述： n 個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。abba2的幾何解釋：以ba為直徑作圓，在直徑 ab上取一點 c， 過 c作弦 dd ab則abcbcacd2，從而abc

34、d，而半徑abcdba2。二、典型例題 ：例 1、已知cba,為兩兩不相等的實數，求證：cabcabcba222。證：abba222222bcbccaac222以上三式相加：cabcabcba222)(2222cabcabcba222例 2、設cba,為正數，求證：abccbcacabbaab16)(1(2。例 3、設1a，2a，3a，na為正數，證明：nnaaannaaa1112121。例 4、若ryx,，設2),(22yxyxq2),(yxyxaxyyxg),(yxyxh12),(求證：),(),(),(),(yxhyxgyxayxq加權平均；算術平均；幾何平均；調和平均證：2442)2(22222222yxyxyxxyyxyx2222yxyx即：),(),(yxayxq（俗稱冪平均不等式）由平均不等式),(),(yxgyxa),(222),(yxgxyxyxyyxxyyxh即：),(),(yxhyxg綜上所述：),(),(),(),(yxhyxgyxayxq三、小結