1、會計學1第一頁，共42頁。引言(ynyn) 狀態方程反映了控制輸入對狀態的影響；輸出方程反映系統輸出對控制輸入和狀態的依賴 能控性揭示系統輸入對狀態的制約能力；能觀性反映從外部對系統內部的觀測能力；能控性和能觀性的概念(ginin)是卡爾曼在1960年提出，成為現代控制理論中最重要的概念(ginin)，是最優控制設計的基礎。狀態(zhungti)空間模型建立了輸入、狀態(zhungti)、輸出之間的關系xAxBuyCxDu第1頁/共41頁第二頁，共42頁。3引 言可控性。可觀測(gunc)性。確定(qudng)終態。各狀態。第2頁/共41頁第三頁，共42頁。4引 言第3頁/共41頁第四頁，共4

2、2頁。5xyuxxxx6021500421212116 4xyuxx1x2x2x1xuxx2522引 言終點(zhngdin),所以完全可控。第4頁/共41頁第五頁，共42頁。3.1 能控性3.1.1 定義(dngy) 若線性連續定常系統：如果存在一個無約束的輸入u(t)，能在有限時間區間 內，使系統由某一初始狀態(zhungti)x(t0) = x0，轉移到指定的任意終端狀態(zhungti)x(tf) = xf，則稱此狀態(zhungti)是能控的。若系統的所有狀態(zhungti)都是能控的，則稱系統是完全能控的，或簡稱系統是能控的。 有時也稱矩陣（A，B）是能控的。xAxBu0 ,ft

3、 t 若系統存在某一個狀態x(t0)不滿足上述條件(tiojin)，則此系統稱為不能控系統。第5頁/共41頁第六頁，共42頁。3.1 能控性3.1.1 定義(dngy)0 ,ft t時間段內存在(cnzi)控制輸入u1(),fnx tPP0( )x tP第6頁/共41頁第七頁，共42頁。3.1.2 線性定常系統(xtng)的能控性判別1 從A與B判定(pndng)能控性（能控性判據）定理3.1-1 線性定常連續系統(xtng)(A，B)其狀態完全能控的充要條件是其能控性矩陣的秩為n，即21nMB AB A BAB rankMn3.1 能控性第7頁/共41頁第八頁，共42頁。證明(zhngmng

4、) 定理已知狀態方程的解為ffftttttfdetet00)()()()(0)(BuxxAA在以下討論中，不失一般性，可設初始(ch sh)時刻為零，即t0 = 0以及終端狀態為狀態空間的原點，即x(tf ) = 0。則有ftde0)()0(BuxA利用(lyng)凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilton）定理()( )0(0)( )ffftAtA tfox texeBud3.1.2 線性定常系統的能控性判別3.1 能控性第8頁/共41頁第九頁，共42頁。證明(zhngmng) 定理利用(lyng)凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilton）定理10)(nkkkAAe100(0)( )

5、( )fntkkkxA Baud 進而(jn r)得到因tf 是固定的，所以每一個積分都代表一個確定的量，令0( ) ( )ftkkaud3.1.2 線性定常系統的能控性判別3.1 能控性第9頁/共41頁第十頁，共42頁。證明(zhngmng) 定理011101(0)nk2nkknxA BBABA BAB 若系統是能控的，那么對于任意(rny)給定的初始狀態x(0)都應從上述方程中解出 0，1，n 1來。這就要求系統能控性矩陣的秩為n，即rank B AB A2B An 1B = n3.1.2 線性定常系統(xtng)的能控性判別3.1 能控性第10頁/共41頁第十一頁，共42頁。12例3-1

6、 試判斷下列(xili)系統的狀態可控性。(1)(2)110001010110 xxu uxx1100410201223.1.2 線性定常系統(xtng)的能控性判別3.1 能控性第11頁/共41頁第十二頁，共42頁。139414212102bAAbbScnrankSScc31（1） 該系統(xtng)可控。 解： 2101112102bAAbbSc（2） 32nrankSc該系統(xtng)不可控。 3.1.2 線性定常系統(xtng)的能控性判別3.1 能控性第12頁/共41頁第十三頁，共42頁。14uxx1111123100202313.1.2 線性定常系統(xtng)的能控性判別3.1

7、 能控性第13頁/共41頁第十四頁，共42頁。rank =2t0內，能夠根據輸出量y(t)在t0，tf內的測量值，唯一地確定系統在時刻t0的初始狀態x(t0)，則稱此系統的狀態是完全能觀測的，或簡稱系統能觀測的。討論線性系統的能觀測性。考慮(kol)零輸入時的狀態空間表達式xAxyCx第20頁/共41頁第二十一頁，共42頁。3.2.1 定義(dngy)能觀測性的概念非常重要，這是由于在實際問題中，狀態反饋控制遇到的困難是一些狀態變量不易直接量測。因而在構造控制器時，必須首先估計(gj)出不可量測的狀態變量。在“系統綜合”部分我們將指出，當且僅當系統是能觀測時，才能對系統狀態變量進行觀測或估計(

8、gj)。3.2 能觀性第21頁/共41頁第二十二頁，共42頁。1 從A與C判定(pndng)能觀性（能觀性判據）定理3.2-1 線性定常連續系統(xtng)(A，C)其狀態完全能觀的充要條件是其能觀性矩陣1nCCANCArankNn3.2 能觀性3.2.2 線性定常系統(xtng)的能觀性判別的秩為n，即)(1TnTTTTTCACACNrankNnT第22頁/共41頁第二十三頁，共42頁。證明(zhngmng) 定理已知系統(xtng)(A，C)狀態方程的解為在以下討論中，不失(b sh)一般性，可設初始時刻為零，即t0 = 0則有利用凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilton）定理( )(

9、0)( )(0)AtAtx te xy tCe x00()()0( )( )( )tA t tA ttx tex teBud10)(nkkktteAA3.2.2 線性定常系統的能觀性判別1 從A與C判定能觀性（能觀性判據）第23頁/共41頁第二十四頁，共42頁。證明(zhngmng) 定理所以(suy)因為一般(ybn)m n，此時，方程無唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同時刻進行觀測，得到y(t1)，y(t2)，y(tf )，此時把方程個數擴展到n個，即)0()()(10 xCAttyknkk10110111( )( )(0)( )(0)( )(0)( )( )( )(0)nnmmnmny

10、 tt Cxt CAxt CAxCCAt It It IxCA1 從A與C判定能觀性（能觀性判據）3.2.2 線性定常系統的能觀性判別第24頁/共41頁第二十五頁，共42頁。證明(zhngmng) 定理)0()()()()()()()()()()()(111021212011111021xCACACIIIIIIIIImmmmmmmmmnfnffnnfttttttttttytyty）上式表明(biomng)，根據在（0，tf）時間間隔的測量值y(t1)，y(t2)，y(tf)，能將初始狀態x(0)唯一地確定下來的充要條件是能觀測性矩陣N滿秩。1 從A與C判定(pndng)能觀性（能觀性判據）3.

11、2.2 線性定常系統的能觀性判別第25頁/共41頁第二十六頁，共42頁。例3.2-1 設系統的狀態方程為判斷(pndun)其狀態能觀性。)(0101)()(11)(3112)(tttttxyuxx 10102121CNCArankN = 2 = n 所以系統是能觀測的。3.2.2 線性定常系統(xtng)的能觀性判別第26頁/共41頁第二十七頁，共42頁。解：0501310112CACACVnVrank3該系統(xtng)可觀測。 321321321011102101110221xxxyuxxxxxx, 05V3.2.2 線性定常系統(xtng)的能觀性判別第27頁/共41頁第二十八頁，共42

12、頁。xyxbax11,01解：baCACV111101ababV ，系統(xtng)可觀測。 3.2.2 線性定常系統(xtng)的能觀性判別第28頁/共41頁第二十九頁，共42頁。2.可觀測(gunc)性對角型判據3.2.2 線性定常系統(xtng)的能觀性判別第29頁/共41頁第三十頁，共42頁。 321321100050007xxxxxx 32121130023xxxyy例3.2-3: 試判別以下系統(xtng)的狀態可觀測性。 （1）可觀測(gunc)2.可觀測(gunc)性對角型判據3.2.2 線性定常系統的能觀性判別（1）7( )5( )1 ( )045( )tty ttxxx（2

13、）（2）不可觀測第30頁/共41頁第三十一頁，共42頁。3.可觀測(gunc)性約當型判據3.2.2 線性定常系統(xtng)的能觀性判別第31頁/共41頁第三十二頁，共42頁。例3.2-4: 試判別下列(xili)系統的狀態可觀測性。 432143213001320012)1xxxxxxxx 43212111100110 xxxxyyuxxxxxx 101200120001)2321321 321011xxxy1) 不可(bk)觀測2) 可觀測(gunc)3.2.2 線性定常系統的能觀性判別第32頁/共41頁第三十三頁，共42頁。3.3 能控性與能觀性的對偶(du u)關系 從前面幾節的討論

14、中可以看出控制系統的能控性和能觀測性，無論從定義或其判據方面都是很相似的。這種相似關系決非偶然的巧合，而是有著內在的必然(brn)聯系，這種必然(brn)的聯系即為對偶性原理：設系統(xtng)1的狀態空間表達式為設系統2的狀態空間表達式為)()()()()(11111tttttCxyBuAxx )()()()()(22222tttttTTTxByuCxAx 稱系統1和系統2是互為對偶的，即2是1的對偶系統，反之， 1是2的對偶系統。第33頁/共41頁第三十四頁，共42頁。nranknpnnB BA AB BA AABABB B12 控的充要條件是其狀態,對于系統1可nranknpnnB BA

15、 AB BA AA AB BB B12 的充要條件是觀狀態,對于系統2測可3.3 能控性與能觀性的對偶(du u)關系nranknqnnT TT TT TT TT TT TT TC CA AC CA AC CA AC C12 控的充要條件是其狀態,對于系統2可nranknqnnT TT TT TT TT TC CA AC CA AC C1 的充要條件是觀狀態,對于系統1測可第34頁/共41頁第三十五頁，共42頁。結論(jiln)：系統S1可控的充要條件恰是其對偶系統S2可觀測的充要條件；系統S1可觀測的充要條件又是其對偶系統S2可控的充要條件。3.3 能控性與能觀性的對偶(du u)關系第35

16、頁/共41頁第三十六頁，共42頁。buAxxCxy )()()()()(1sDsNbASIASIadjCbASICsG 對于單輸入單輸出(shch)系統:3.4 零極點對消(duxio)與能控性和能觀性的關系第36頁/共41頁第三十七頁，共42頁。5 . 25 . 15 . 2) 1)(5 . 2(5 . 2)(2sssssssGuxx105 . 15 . 210 xy15 . 215 . 215 . 2CACV1 Vrank不可(bk)觀測3.4 零極點對消(duxio)與能控性和能觀性的關系第37頁/共41頁第三十八頁，共42頁。uxx15 . 25 . 115 . 20 xy102.52.5,111CcSBABrankS不可控3.4 零極點對消(duxio)與能控性和能觀性的關系第38頁/共41頁第三十九頁，共42頁。uxx015 . 200110yx不可(bk)控不可(bk)觀測2x3.4 零極點(jdin)對消與能控性和能觀性的關系第39頁/共41頁第四十頁，共42頁。1 理解能控性、能觀性的基本概念。2 掌握能控性、能觀性秩判據(pn j)的內容。3 熟練掌握能控性、能觀性秩判據(pn j)的使用。4 掌握能控性、能觀性對角型、約旦型判據(pn j)。本章(bn zhn)知識點總結第40