1、保證書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則, 我們完全明白在競賽開始后不能以任何方式與隊外的任何人（包括指導教師）討論競賽題的求解問題, 抄襲別人的成果也是違反競賽規則的, 如被發現將會受到嚴肅處置。我們也知道如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網上查到的資料) 必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文和參考文獻中明確列出。為了確保競賽的公正、公平性, 我們保證嚴格遵守競賽規則。           參賽報名號（由各賽區統一指定編號）：   &

2、#160;                              參賽隊員  (簽名) 丁正言 湯可金 邵明智              

3、;                    指導教師  (簽名) （若為指導組，請指導組負責教師簽名）- 14 -賽區評閱編號：全國統一編號：平面連桿擺動機構問題摘要本題主要研究的是平面連桿擺動機構問題，根據圖示通過幾何關系找出該機構中滑塊運動的位移和擺桿的擺角的函數關系，并在此函數關系的基礎上，分析機構中擺角的變化范圍，并以此求出滑塊的行程以及滑塊運動速度的均勻性。在求解過程中

4、討論和在不同情況下對機構擺動角度的影響。每種討論方法均用作圖法進行研究，討論是通過對位移和擺角的函數關系式進行二次求導后分析滑塊運動的加速度大小變化來具體分析的。不同模型下對應的不同的滑塊運動速度的均勻性，并利用mathematic軟件程序畫出滑塊運動速度的均勻性的變化。關鍵詞：平面連桿擺動 速度均勻性 作圖法問題重述平面連桿擺動機構在實現在水平方向上的高強度碰撞、打擊等工程任務以及石油開采、采礦業、建筑等領域發揮重要作用，此外可以利用平面連桿擺動機構完成在某些山體、懸崖的中間部位進行的水平勘探、運輸工作，某種平面連桿擺動機構的結構和某時刻的位置如圖1所示，擺桿OQ繞O點擺動，通過連桿PQ帶動

5、滑塊P水平往復運動，設擺桿長OQr，連桿長PQl，擺角中心O到滑軌OP的距離為h，且r<h<l+r. 根據這個擺動機構使用的一般要求，作出適當的假設，解決以下問題： 1）P的位移x 與擺角的函數關系； 2）擺角的變化范圍； 3）滑塊P的行程（即滑動的最大距離）； 4）討論滑塊P運動速度的均勻性。圖1問題的分析根據圖1可以看出的長度都是固定的，唯一改變的只有連桿在擺動時，的角度，隨著的變化，連桿的位置也在不斷變化。針對問題一，的位移與擺角的函數關系可以根據三角形的幾何關系得出；針對問題二，擺角的變化范圍的需要根據的長度關系進行討論，劃分不同的模型分別計算；針對問題三，在不同的模型下討

6、論的位置關系，確定三者在什么情況下，滑塊的行程，即滑動的最大距離；問題四的討論則需要通過對位移和擺角的函數關系式進行二次求導后分析滑塊運動的加速度大小變化來具體分析的。不同模型下對應的不同的滑塊運動速度的均勻性，并利用mathematic軟件程序畫出滑塊運動速度的均勻性的變化模型假設、建立及求解問題一：OPQOhlrlsinrsinXS圖2 的位移與擺角的函數關系根據上圖，由幾何關系可得： 解得： 式即為的位移與擺角的函數關系。由，式可以看出：，從而得出和的符號相同。所以：，即時，即時，問題二、三和四：一、 第一種模型（）：1、 模型假設：（1） 滑軌為X軸,為坐標原點，X軸正向向左；（2）

7、桿與水平軸負向的夾角（）；（3） 桿與負向的夾角（）；（4） 滑塊的位移；（5） 擺角的變化是均勻的；（6） 滑塊運動初始位置取為最小值時的位置。（7） 在擺動過程中忽略摩擦和撞擊；模型建立：ShPOlO圖3 第一種模型假設圖2、 模型求解：（1） 擺角的范圍求解：根據圖3分析可得，由于ShlrOPPXO圖4 擺角的范圍情況一 當時，PQ滑動的范圍不可能超過水平線以下，所以的最小值應是，最大值是，即的取值范圍是。SShlrlQOrQ1PPOXX圖5 擺角的范圍情況二 當時，PQ滑動的范圍在水平線之上，則當時有最大或最小值。連桿從向右移動，當移動至圖示位置時，連桿無法繼續運動，此時，又因為，所以

8、距的距離為，已知，所以，即的最小角度為，根據連桿擺動是對稱的可得的最大角度為，則的取值范圍是：。hOOPPNlMQrQXX圖6 滑塊的行程S（2）滑塊的行程：連桿、從最小角度的位置開始擺動，逐漸增大，逐漸向左擺動，則逐漸向右擺動，運動過程中，存在兩根連桿成一直線的狀態，假定此時長度的連桿為，連桿從該位置繼續向左擺動，這時連桿應向左返回，而不是繼續向右擺動。因為，若連桿繼續向右擺動，假設行至一點，由三角形的兩邊和大于第三邊可得,又因為,所以,所以,又因為，所以兩者矛盾。于是可知，當三點在一條直線上時，滑塊距的距離最大。此距離為，所以滑塊的行程的是。（3）滑塊運動速度的均勻性：隨著擺角的變化，連桿

9、擺動的速度也在不斷變化，對連桿的位移進行兩次求導可得到加速度的均勻性，連桿的位移為，當時, ,則二次求導得:當時, ,則二次求導得:那么運用mathematic軟件進行速度均勻性分析可得： 圖中速度的變動較大，總體不均勻。二、第二種模型（）:1、模型假設：假設條件同第一種模型:2、模型建立：hlQOPOrXX圖7 第二種模型假設圖S3、模型求解：（1）擺角的范圍：hlOlPOPXX圖8 第二種模型擺角的范圍如圖所示，當長度為的連桿運動至圖示位置，若想要繼續向下擺動，則點的豎直位置下降此時點到達的最小距離大于，這是不可能的，因此連桿運動到圖中的位置后不會繼續向下擺動，距的距離為，已知，所以，所以

10、的取值范圍是：。（2） 滑塊的行程：模型二的滑塊擺動hQQPPOOXXrll圖8 第二種模型滑塊的行程情況同模型一，所以滑塊的行程的是。（3）滑塊運動速度的均勻性： 與模型一相比較，速度的變化開始逐漸趨于均勻。三、第三種模型（）:1、模型假設：（1）假設條件同第一種模型；（2）假設連桿逆時針擺動；2、模型建立：hQlPOOrS圖8 第二種模型假設圖3、模型求解：（1）擺角的范圍：因為，所以連桿能夠行至最低點后繼續繞擺動，其擺動軌跡是一個以為半徑的圓，所以擺角的取值范圍是（3） 滑塊的行程：圖8 第二種模型滑塊的行程hDQQPPXXSOC圖中假設連桿是逆時針擺動，隨著角的不斷增大，三點將出現兩次

11、在同一直線上的狀態。第一次三點成一直線，點位于兩點的中間，此時滑塊的位移最大，分析情況同模型一、二。第二次三點成一直線，點位于兩點的中間, 即、重合，此時滑塊的位移為零。因為連桿能繼續向右擺動，假設其到達一點，而若連桿能繼續向上擺動，假設其到達一點，由三角形的兩邊和大于第三邊可得,而,所以,所以,這于題目矛盾，所以連桿擺動至位置后滑塊不會再向右移動。所以三點成一直線，點位于兩點的中間時，位移最小為零。那么，滑塊的行程為。（3）滑塊運動速度的均勻性：因為在第三種模型中，滑塊只能在一側擺動，又因為假設連桿逆時針轉動，所以時, ,則二次求導得:該模型的速度變化，總體上較均勻。附錄mathematic均勻性分析代碼ManipulatePlotr Cosb-(r2 Cosb2 (h-r Sinb)2)/(l2-(h-r Sinb)2)3/2-(r2 Cosb2)/-(r Sinb (h-r Sinb)/,b,0,p,PlotRan