1、學習必備精品知識點高等數學下冊知識點第八章空間解析幾何與向量代數（一） 向量線性運算定理 1：設向量 a0，則向量 b 平行于 a 的充要條件是存在唯一的實數，使ba1、 線性運算：加減法、數乘；2、 空間直角坐標系：坐標軸、坐標面、卦限，向量的坐標分解式；3、 利用坐標做向量的運算：設),(zyxaaaa，),(zyxbbbb；則),(zzyyxxbabababa, ),(zyxaaaa；4、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222zyxr；2） 兩點間的距離公式：212212212)()()(zzyyxxba3） 方向角：非零向量與三個坐標軸的正向的夾角,4） 方向余弦：rzryr

2、xcos,cos,cos1coscoscos2225） 投影：cospraaju，其中為向量a與u的夾角。（二） 數量積，向量積1、 數量積：cosbaba1）2aaa2）ba0ba學習必備精品知識點zzyyxxbabababa2、 向量積：bac大小：sinba，方向：cba,符合右手規則1）0aa2）ba/0bazyxzyxbbbaaakjiba運算律：反交換律baab（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),(:zyxfs2、 旋轉曲面：yoz面上曲線0),(:zyfc，繞y軸旋轉一周：0),(22zxyf繞z軸旋轉一周：0),(22zyxf3、 柱面：0),(yxf表示母線平行于

3、z軸，準線為00),(zyxf的柱面4、 二次曲面學習必備精品知識點1） 橢圓錐面：22222zbyax2） 橢球面：1222222czbyax旋轉橢球面：1222222czayax3） 單葉雙曲面：1222222czbyax4） 雙葉雙曲面：1222222czbyax5） 橢圓拋物面：zbyax22226） 雙曲拋物面（馬鞍面）：zbyax22227） 橢圓柱面：12222byax8） 雙曲柱面：12222byax9） 拋物柱面：ayx2（四） 空間曲線及其方程1、 一般方程：0),(0),(zyxgzyxf學習必備精品知識點2、 參數方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋線：btzt

4、aytaxsincos3、 空間曲線在坐標面上的投影0),(0),(zyxgzyxf，消去z，得到曲線在面xoy上的投影00),(zyxh（五） 平面及其方程1、 點法式方程：0)()()(000zzcyybxxa法向量：),(cban，過點),(000zyx2、 一般式方程：0dczbyax截距式方程：1czbyax3、 兩平面的夾角：),(1111cban，),(2222cban，222222212121212121coscbacbaccbbaa210212121ccbbaa21/212121ccbbaa4、 點),(0000zyxp到平面0dczbyax的距離：222000cbadczb

5、yaxd（六） 空間直線及其方程學習必備精品知識點1、 一般式方程：0022221111dzcybxadzcybxa2、 對稱式（點向式）方程：pzznyymxx000方向向量：),(pnms，過點),(000zyx3、 參數式方程：ptzzntyymtxx0004、 兩直線的夾角：),(1111pnms，),(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21ll0212121ppnnmm21/ ll212121ppnnmm5、 直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角，222222sinpnmcbacpbnam/l0cpbnamlpcnbma第九

6、章多元函數微分法及其應用（一） 基本概念1、 距離，鄰域，內點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區域，閉區域，有界集，無界集。2、 多元函數：（1）定義：設 n 維空間內的點集d是 r2的一個非空子集，稱映學習必備精品知識點射 f：dr為定義在 d上的 n 元函數。當 n2 時，稱為多元函數。記為u=f（x1，x2， xn） ， （x1，x2， xn）d。3、 二次函數的幾何意義：由點集d所形成的一張曲面。如z=ax+by+c 的圖形為一張平面，而z=x2+y2的圖形是旋轉拋物線。4、 極限： （1）定義：設二元函數f(p)=f(x,y)的定義域 d,p0(x0,y0) 是 d的聚點

7、d,如果存在函數a 對于任意給定的正數, 總存在正數 , 使得當點 p（x,y ）d（ p0, ）時 ,都有 f(p)-a =f(x,y)-a成立 , 那么就稱常數a為函數 f(x,y)當(x,y) (x0,y0) 時的極限，記作ayxfyxyx),(lim),(),(00多元函數的連續性與不連續的定義5、 有界閉合區域上二元連續函數的性質： （1）在有界閉區域d 上的多元連續函數，必定在 d上有界，且能取得它的最大值和最小值； （2）在有界區域d上的多元連續函數必取得介于最大值和最小值之間的任何值。6、 偏導數：設有二元函數z=f(x,y)，點(x0,y0) 是其定義域 d內一點。把 y 固

8、定在 y0 而讓 x 在 x0 有增量 x，相應地函數 z=f(x,y)有增量( 稱為對 x/y 的偏增量) 如果 z 與 x/ y 之比當 x0/ y0 時的極限存在，那么此極限值稱為函數z=f(x,y)在(x0,y0) 處對 x/y 的偏導數記作學習必備精品知識點xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000007、 混合偏導數定理：如果函數的兩個二姐混合偏導數fxy(x,y) 和 fyx(x,y) 在 d內連續，那么在該區域內這兩個二姐混合偏導數必相等。8、 方向導數：coscosyfxflf其中,為l的方向角

9、。9、 全微分： 如果函數 z=f(x, y) 在(x, y) 處的全增量 z=f(x x， y y)-f(x,y)可以表示為 z=a x+b y+o( )，其中 a、b不依賴于 x, y，僅與 x,y 有關，當 0，此時稱函數z=f(x, y)在點（x，y）處可微分， a x+ b y 稱為函數z=f(x, y)在點(x, y)處的全微分，記為dddzzzxyxy（二） 性質1、 函數可微，偏導連續，偏導存在，函數連續等概念之間的關系：微分法1） 定義：ux2） 復合函數求導：鏈式法則z偏導數存在函數可微函數連續偏導數連續充分條件必要條件定義1 2 2 3 4 學習必備精品知識點若( , )

10、,( , ),( , )zf u v uu x y vv x y，則vyzzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy3） 隱函數求導：兩邊求偏導，然后解方程（組）（三） 應用1、 極值1） 無條件極值：求函數),(yxfz的極值解方程組00yxff求出所有駐點，對于每一個駐點),(00yx，令),(00yxfaxx，),(00yxfbxy，),(00yxfcyy， 若02bac，0a，函數有極小值，若02bac，0a，函數有極大值； 若02bac，函數沒有極值； 若02bac，不定。2） 條件極值：求函數),(yxfz在條件0),(yx下的極值令：),(),(),(yxyxfyxl lagran

11、ge 函數解方程組0),(00yxllyx2、 幾何應用1） 曲線的切線與法平面曲線)()()(:tzztyytxx，則上一點),(000zyxm（對應參數為0t ）處的學習必備精品知識點切線方程為：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程為：0)()()(000000zztzyytyxxtx2） 曲面的切平面與法線曲面0),(:zyxf，則上一點),(000zyxm處的切平面方程為：0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx法線方程為：),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx第十章

12、重積分（一） 二重積分1、 定義：nkkkkdfyxf10),(limd),(2、 性質： （6 條）3、 幾何意義：曲頂柱體的體積。4、 計算：1） 直角坐標bxaxyxyxd)()(),(21，21( )()( , )d dd( , )dbxaxdf x yx yxf x yydycyxyyxd)()(),(21，學習必備精品知識點21()()( , )d dd( , )ddycydf x yx yyf x yx2） 極坐標)()(),(21d21()()( ,)d d(cos , sin)ddf x yx ydf（二） 三重積分1、 定義：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),

13、(2、 性質：3、 計算：1） 直角坐標dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),( -“先一后二 ”zdbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),( -“先二后一”2） 柱面坐標zzyxsincos，( , , )d(cos ,sin , ) d d df x y zvfzz3） 球面坐標學習必備精品知識點cossinsincossinrzryrx2( , , )d( sincos , sinsin , cos )sin d d df x y zvf rrrrr（三） 應用曲面dyxyxfzs),(, ),(:的面積：yxyzxzaddd)()(122第十二

14、章無窮級數（一） 常數項級數1、 定義：1）無窮級數：nnnuuuuu3211部分和：nnkknuuuuus3211，正項級數：1nnu ，0nu交錯級數：1) 1(nnnu ，0nu2）級數收斂：若ssnnlim存在，則稱級數1nnu收斂，否則稱級數1nnu發散3）絕對收斂：1nnu收斂，則1nnu絕對收斂；學習必備精品知識點條件收斂：1nnu收斂，而1nnu發散，則1nnu條件收斂。定理：若級數1nnu絕對收斂，則1nnu必定收斂。2、 性質：1） 級數的每一項同乘一個不為零的常數后，不影響級數的收斂性；2） 級數1nna 與1nnb 分別收斂于和 s 與， ，則1)(nnnba收斂且，其

15、和為s+3） 在級數中任意加上、去掉或改變有限項，級數仍然收斂；4） 級數收斂，任意對它的項加括號后所形成的級數仍收斂且其和不變。5） 必要條件：級數1nnu收斂即0limnnu. 3、 審斂法正項級數：1nnu ，0nu1） 定義：ssnnlim存在；2）1nnu收斂ns有界；3） 比較審斂法：1nnu，1nnv為正項級數，且), 3, 2, 1(nvunn若1nnv收斂，則1nnu收斂；若1nnu發散，則1nnv發散. 4） 比較法的推論：1nnu，1nnv為正項級數，若存在正整數m， 當mn時，nnkvu，而1nnv收斂，則1nnu收斂；若存在正整數m，當mn時，學習必備精品知識點nnk

16、vu，而1nnv發散，則1nnu發散. 做題步驟：找比較級數（等比數列，調和數列，p 級數 1/np） ；比較大小；是否收斂。5） 比較法的極限形式：設1nnu，1nnv為正項級數，（1）若)0(limllvunnn，而1nnv收斂，則1nnu收斂；（2）若0limnnnvu或nnnvulim，而1nnv 發散，則1nnu 發散. 6） 比值法：1nnu 為正項級數，設luunnn1lim，則當1l時，級數1nnu 收斂；則當1l時，級數1nnu發散；當1l時，級數1nnu可能收斂也可能發散 . 7） 根值法：1nnu為正項級數， 設lunnnlim，則當1l時，級數1nnu收斂；則當1l時，級數1nnu 發散；當1l時，級數1nnu 可能收斂也可能發散 . 8） 極限審斂法：1nnu 為正項級數，若0limnnun或nnunlim，則級數1nnu發散；若存在1p， 使得)0(limllu