/福建省福州市2023?2024學(xué)年高一下冊(cè)期末考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部（

）A． B．1 C． D．2．已知一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80，其平均數(shù)、第60百分位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是（

）A．平均數(shù)第60百分位數(shù)眾數(shù) B．平均數(shù)第60百分位數(shù)眾數(shù)C．第60百分位數(shù)眾數(shù)平均數(shù) D．平均數(shù)第60百分位數(shù)眾數(shù)3．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩向量，則“”是“向量與夾角為銳角”的什么條件（

）A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要4．已知用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)得的正方形的直觀圖的面積為，那么原正方形的面積為（

）A． B． C． D．5．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對(duì)應(yīng)的圓心角為，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．6．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．7．已知向量，滿足，，向量在向量方向上的投影向量為，則（

）A．3 B． C．2 D．8．在中，角所對(duì)的邊分別為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則為銳角三角形B．若為銳角三角形，有，則C．若，則符合條件的有兩個(gè)D．若，則為等腰三角形二、多選題（本大題共3小題）9．在中，，為的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．某圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為4，則下列關(guān)于此圓錐的說(shuō)法正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為B．圓錐的體積為C．過(guò)圓錐的兩條母線作截面的面積最大值為8D．圓錐軸截面的面積為11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，，是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．平面C．的面積與的面積相等D．三棱錐的體積為定值三、填空題（本大題共3小題）12．一只田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員56名，女運(yùn)動(dòng)員有42名，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)員中抽出一個(gè)容量為28的樣本.如果樣本按比例分配，則男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽取名、女運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽取名.13．在5張中有2張有獎(jiǎng)，甲、乙先后從中各任取一張，則乙中獎(jiǎng)的概率為.14．已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，若，則的面積最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知．（1）求與的夾角；（2）若，且，求實(shí)數(shù)t及．16．在中，，，.(1)求的面積；(2)求c及的值.17．他指出：“要健全社會(huì)心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛(ài)的社會(huì)心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用.某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取位市民進(jìn)行心理健康問(wèn)卷調(diào)查，按所得評(píng)分（滿分分）從低到高將心理健康狀況分為四個(gè)等級(jí)：調(diào)查評(píng)分心理等級(jí)有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評(píng)分在的市民為人.（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的心理等級(jí)為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評(píng)分分層抽取人，進(jìn)行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評(píng)分在的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問(wèn)在抽取的人中，經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少?（3）心理調(diào)查機(jī)構(gòu)與該市管理部門(mén)設(shè)定的預(yù)案是:以抽取的樣本作為參考，若市民心理健康指數(shù)平均值不低于則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂．根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說(shuō)明理由.(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)=問(wèn)卷調(diào)查評(píng)分/100)18．如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，側(cè)棱與底面所成的角的正切值為.(1)求側(cè)面與底面所成的二面角的大小；(2)若是的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的正切值；(3)在（2）的條件下，問(wèn)在棱上是否存在一點(diǎn)，使側(cè)面，若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.19．在復(fù)數(shù)集中有這樣一類復(fù)數(shù)：與，我們把它們互稱為共軛復(fù)數(shù)，時(shí)它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，這是共軛復(fù)數(shù)的特點(diǎn)．它們還有如下性質(zhì)：(1)設(shè)，，求證：是實(shí)數(shù)；(2)已知，，，求的值；(3)設(shè)，其中，是實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值．

答案1．【正確答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出即可作答.【詳解】依題意，，所以的虛部是1.故選B.2．【正確答案】D從數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80中計(jì)算出平均數(shù)、第60百分位數(shù)和眾數(shù)，進(jìn)行比較即可.【詳解】平均數(shù)為，，第5個(gè)數(shù)50即為第60百分位數(shù).眾數(shù)為50，它們的大小關(guān)系是平均數(shù)第60百分位數(shù)眾數(shù).故選D.3．【正確答案】A【分析】根據(jù)兩向量夾角為銳角，可得且排除同向共線情況，計(jì)算得到，然后根據(jù)充分條件、必要條件判斷即可.【詳解】若夾角為銳角，則，當(dāng)同向共線時(shí)，，則，因?yàn)椋圆淮嬖冢?所以且不同向共線夾角為銳角，所以“”是“向量與夾角為銳角”的充要條件.故選A.4．【正確答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的原則得到直觀圖的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)關(guān)系，即可求出相應(yīng)的面積．【詳解】設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為，

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的原則可知，，高，所以對(duì)應(yīng)直觀圖的面積為，即，故原正方形的面積為.故選C.5．【正確答案】D【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積公式以及圓的面積公式即可求解每個(gè)面的面積,進(jìn)而可求表面積.【詳解】此幾何體為兩個(gè)半圓柱的組合體：一個(gè)大的半圓柱中間挖去一個(gè)小的同軸半圓柱，.故選D.6．【正確答案】D【分析】由外接球球心在正棱錐的高上，求得外接球的半徑后可得表面積．【詳解】由已知是正三棱錐，設(shè)是正棱錐的高，由外接球球心在上，如圖，設(shè)外接球半徑為，為的中心，所以，所以，由，得，解得，所以表面積為．故選D．【關(guān)鍵點(diǎn)撥】解題關(guān)鍵是得到外接球球心，求出球半徑．三棱錐的外接球球心在過(guò)各面外心與該面垂直的直線上．本題中如果求得是負(fù)數(shù)，說(shuō)明點(diǎn)位置在相反方向，并不是說(shuō)不存在.7．【正確答案】B【分析】根據(jù)投影向量的定義求出，再由數(shù)量積的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队跋蛄繛椋裕裕驗(yàn)椋裕裕ㄘ?fù)值舍去）．故選B．8．【正確答案】B【分析】對(duì)于A，根據(jù)余弦定理，只能判定A為銳角；對(duì)于B，移項(xiàng)后，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和誘導(dǎo)公式即得結(jié)論；對(duì)于C，由已知條件為兩邊一夾角，可判定錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)正弦定理把等式的邊換成角的正弦，再利用倍角公式化簡(jiǎn)整理得，進(jìn)而推斷，或，即可判定．【詳解】對(duì)于A：若，則，A為銳角，不能判定為銳角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若為銳角三角形，有，則，所以，故B正確；對(duì)于C：知道兩邊一夾角，則符合條件的三角形有且只有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋裕裕曰蚣矗詾榈妊蛑苯侨切危蔇錯(cuò)誤．故選B．9．【正確答案】BC【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故B正確；對(duì)于C：易知，所以，故C正確；對(duì)于D：，而，故D錯(cuò)誤.故選BC.10．【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面開(kāi)圖的弧長(zhǎng)可求得圓心角；對(duì)于B，根據(jù)題意求出圓錐的高，從而可求出圓錐的體積；對(duì)于C，利用三角形面積公式結(jié)合圓錐軸截面的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于D，直接利用三角形面積公式計(jì)算.【詳解】對(duì)于A：設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則，所以，故A正確；對(duì)于B：圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為4，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：設(shè)圓錐的兩條母線的夾角為，則過(guò)這兩條母線所作截面的面積為，因?yàn)檫^(guò)圓錐母線的截面中，軸截面三角形對(duì)應(yīng)的最大，此時(shí)，所以最大是鈍角，所以當(dāng)時(shí)，截面的面積最大，最大值為8，故C正確；對(duì)于D：圓錐軸截面的面積為，故D正確.故選ACD.11．【正確答案】ABD【分析】證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用面面平行的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可判斷C選項(xiàng)；利用錐體的體積公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，平面，而平面，則，連接，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕驗(yàn)椋遥矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫裕蔄正確；對(duì)于B：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妫瑒t平面，故B正確；對(duì)于C：設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，，

由A選項(xiàng)可知平面，即平面，又平面，所以，又且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫妫矫妫裕运倪呅螢榫匦危瑒t，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋裕蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)榈拿娣e為，因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，故D正確.故選ABD.12．【正確答案】先計(jì)算得到抽取比例為，再計(jì)算得到答案.【詳解】田徑隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)是，要得到28人的樣本，占總體的比例為，于是應(yīng)該在男運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取(名)，在女運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取(名).13．【正確答案】【分析】根據(jù)分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】分兩類情況討論：①甲中獎(jiǎng)：；②甲未中獎(jiǎng).所以乙中獎(jiǎng)的概率.14．【正確答案】【分析】利用余弦定理可求得的值，進(jìn)而求得角的值，利用平面向量的數(shù)量積結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕矗?所以，解得.，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最大值為，所以.【方法總結(jié)】在解三角形的問(wèn)題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.15．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出，由數(shù)量積的運(yùn)算律求得可得向量夾角；（2）計(jì)算，由，求出，然后由數(shù)量積的運(yùn)算求出．【詳解】（1）由已知，，所以，又，所以；（2）由題意，解得，所以，，所以．【思路導(dǎo)引】求向量的模，通常把模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算，根據(jù)是．16．【正確答案】(1)(2)，【分析】（1）利用平方關(guān)系求得，應(yīng)用三角形面積公式求的面積；（2）余弦公式求c，再應(yīng)用正弦定理求.【詳解】（1）由且，則，所以；（2）由，則，而，則.17．【正確答案】（1）2000，（2）（3）只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動(dòng)，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）由調(diào)查評(píng)分在的市民為人及頻率可得樣本容量；根據(jù)頻率和為1可得t；（2）由（1）知，根據(jù)調(diào)查評(píng)分在有人，有人，計(jì)算出心理等級(jí)均達(dá)不到良好的概率，由對(duì)立事件的概率可得答案；（3）由頻率分布直方圖估計(jì)市民心理健康問(wèn)卷調(diào)查的平均評(píng)分及平均值與0.8作比較可得答案.【詳解】（1）由已知條件可得，每組的縱坐標(biāo)的和乘以組距為1，所以，解得；（2）由（1）知，所以調(diào)查評(píng)分在的人數(shù)占調(diào)查評(píng)分在人數(shù)的，若按分層抽樣抽取人，則調(diào)查評(píng)分在有人，有人，因?yàn)榻?jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，所以選出的人經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，心理等級(jí)均達(dá)不到良好的概率為，所以經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為良好的概率為；（3）由頻率分布直方圖可得，估計(jì)市民心理健康問(wèn)卷調(diào)查的平均評(píng)分為，所以市民心理健康指數(shù)平均值為，所以只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動(dòng).18．【正確答案】(1)(2)(3)存在，是的等分點(diǎn)，靠近點(diǎn)的位置【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，由正四棱錐的性質(zhì)知為所求二面角的平面角，為側(cè)棱與底面所成的角，設(shè)，求出的值，即可得解；（2）依題意連接，，可知為異面直線與所成的角，證明出，計(jì)算出，的長(zhǎng)，即可求得結(jié)果；（3）延長(zhǎng)交于，取的中點(diǎn)，連接，，易得平面，可得平面平面，分析出為正三角形，易證平面，取的中點(diǎn)，連接，可得四邊形為平行四邊形，從而，可得平面，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，由正四棱錐的性質(zhì)可知平面，平面，，由正四棱錐的性質(zhì)可知,，，為所求二面角的平面角.平面，為側(cè)棱與底面所成的角，，設(shè)，則，，，，，；（2）連接，，分別為的中點(diǎn)，，，為異面直線與所成的角.平面，平面，則，，，平面，平面，又平面，.，；（3）延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，.，為的中點(diǎn)，，由（1）可知，，又，，，平面，平面，平面，平面平面，由正四棱錐的性質(zhì)可知，，又，為正三角形，為的中點(diǎn)，則，又平面平面，平面平面，平面，平面，取的