1、談“數形結合“在數學教學中的應用曾紅蘭摘要：數與學是密切相關的兩個表象，它們的有機結合是一種重要的思想方法，重視數形結合的 思想方法，是優化思維品質的有效途徑，在教學中注意引導學生把數形問題相互轉化，使學生看到形 能想到數而看到數貝能想至'j形。關鍵詞：數形結合；知識記憶；思維能力引言系數學是研究現實世界的空間形式與數量關系的科學。數和形是客觀事物不可分離的 兩個數學表象，兩者既能是對立的又是統一的。數學家華羅庚說過：“數缺形是少直觀， 形少數吋難入微。”數與形的對立統一主要表現在數與形的互相轉化和互相結合上。數形 結合的思想，其實質就是抽象的數學語言與直觀的幾何圖形結合起來，使抽象思

2、維和形象 思維有機結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，實現抽象概念與具 體形象、表象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀。本人在教學中通過不斷探索和相 關的實踐，深深地體會到在數學教學中用“數形結合”的思想引導學生思考，用“數形結 合（借數解形與以形助數）”的技巧去訓練學生解題，能夠促進學生學習數學的興趣，提 高學生的數學思維能力。1. 應用“數形結合s激發學生的學習興趣數學的客觀存在的美感，在數與形的結合上表現得十分和諧、完美。例如：在數與形 的關系中特別引人注目的著名的“黃金分割率”，它被世人稱之為和諧性的最完美的表現。“0. 618”被譽為黃金數、神圣的比例、宇宙的美神

3、。在日常生活中，人們習慣用“黃金 分割” 一一審美的觀念看世界。在繪畫和建筑藝術中，如達芬奇的名畫最后的晚餐, 法國的建筑埃菲爾鐵塔等，都用到了 “黃金分割率”，所以，它們才有經久不衰的藝術魅 力。我們教師在數學教學活動中，要充分運用這些材料，引導學生領略數學的美，使學生 對數學產生強烈的情感、濃厚的興趣和探討的欲望。誘發學生對數學美的追求心理，從而 消除對學習數學感到單調、枯燥、負擔和懼怕的心理，產生對數學學習的興趣和積極追求 的欲望。偉大的科學家愛因斯坦說'興趣是最好的老師。”培養學習數學的興趣是克服數 學學習困難的內在動力。所以，所學材料或研究對象的生動趣味有助于把學生從“要我學

4、”轉變成“我要學”的良好的學習心理，從而有可能獲得最佳的教學效果。將美感滲透融合 于數學教學的過程，這種審美心理活動能啟迪和推動學生數學思維活動，觸發智慧的美感, 使學生的聰明才智得以充分發揮。“數形結合”就能起到這方面的作用。2. 應用“數形結合”，提高學生的能力對大腦的科研成果表明，大腦的兩個半球具有不同的功能，左半腦功能偏重于抽象的 邏輯思維，講究規范嚴謹，穩定封閉，如數運算、代數式的運算、邏輯推理、歸納演繹等。 右半球功能則偏重于形象思維，講究直覺想象，自由發散，如猜想、假設、構思開拓、奇 異創造等。左、右半腦的功能各有特征，如果互相補充就會使大腦功能更加健全和發達。 “數形結合”思想

5、就同時綜述運用了左、右半大腦的功能，在培養形象思維能力的同時, 也促進了抽象邏輯思維能力的發展。2. 1 “數形結合”有助于對數學知識的記憶“記憶是智慧的倉庫”，人的知識、經驗的積累、技能的形成、技巧的熟練、思維能 力的培養、事業的成就等都離不開良好的記憶能力。中學的數學知識是基礎性知識，需要 牢固地記憶并掌握這些基礎知識并在此基礎上做到靈活運用，在整個教學過程中，這二者 是相輔相成的。記憶正是掌握知識的基本手段，記憶的過程也就是知識積累的過程，同時 有助于知識的深化，知識水平的提高更是要以記憶為前提。有的學生面對一些數學問題束 手無策，找不到解題的思路與方法，這與腦子里記憶的數學知識太少。只

6、有對數學的基礎 知識記憶準確牢固，才能做到溫故而知新，應用時熟能生巧，才能進一步發展數學思維, 提高數學能力。教學悴用形彖記憶的特點，使抽彖的數學盡可能地形彖化、具體化，對 學生輸入的數學信息知識和印彖就更加深刻，在學生的腦海中形成數學的模型，可以形彖 地幫助學生理解和記憶例如：在研究函數時，可以利用函數圖形來記憶有關函數的知識 爲f列函數的定以期、值域、彎調性只奇偶枕2周期性、有界性秋i凸性等。這樣，材料 的組成方式較好，內容的組織結構較嚴密，記時可以提綱挈領地在大腦屮儲存，今后可以 隨時綱舉目張地提，達到非常良好的記憶效果。圖1如圖1是余弦函數y=cosx的圖象.，從屮我們知道余弦函數的定

7、義域是(-°°, 4-00), 值域是t, 1,函數在區間(2k兀，2k ji + ji ) (kez)內單調遞減，在區間(2kn + n, 2k +2) (kez)內單調遞增，函數的最小正周期是2兀，|cosx|wl,函數有界，函數是偶函數，在區間(2k兀-兀/2, 2k n + n /2) (kez)上是下凹，在區間(2kn + ji/2, 2k ji+3 ji/2) (kez)上是上凹的。2. 2應用“數形結合”，訓練學oj直覺思維能力在數學里，彳寸扇是人們在求解問題時，運用已有的知識，從 整體上對數學對象及結構迅速識別、判斷,薩而作出大膽的滋b,合理的假設并作出試探

8、性的結論。它具有頓悟、飛躍、-1-i靈感的特征。用數形結合的方法解題，能最肓接提示問題的木質，直觀地看到問題的結果，只需稍 加計算或推導，就能得到確切的答案。如：若復數z滿足|z+i | + |z-i i二2,則i z+i+11的最小值是（）a） 1 b） v2 c） 2 d） v5對此題的分析可知，由于i z+i |和| z-i丨分別表示復數z在復平面上的對應點至i和-i 的距離，且有|z+i| + |z-i|二2,所以表示復數z的點的集合是虛軸上點i到-i之間的線段 （含端點）。另外，|z+i+l |二|z-（t-i）丨為復數z在復平面上的對應點到-1-i距離，由 圖2可以看到，當z二-i

9、時，|z+i+l|取得最小值1,所以選a。此題的常規解法是根據已 知條件，尋求變量x和y的關系，轉化為一元函數，按照求二次函數的最值的方法求解。 這個解法雖有可遵循的操作程序，但對解題過程中出現的情況難以預料，對可能發牛的疏漏不易察覺且解程冗長。而用數形結合的方法，則通過圖形宜接提示出問題的木質面貌,只要思考正確，形象清晰，往往很快就能看到問題的結果。又如：解不等式vx+2>xy2= x常規解法：原不等式等價于（i） 或（ii材lxi+2解（i ）,得 0wx2；解（ii）rw-2x<0綜上可知，原不等式的解集為x |-2x<0或0wx二x i-2wx數形焚合解法：令yi=j

10、x + 2 , y2=x,則4等式厶曲q的風 就是使yi=jx + 2的圖象在y2=x的上方的那段對應的橫坐標,如右圖，不等式的解集為x|xawxxj而xb可由jx+2二x,解得xb二2, xa=-2,故 不等式的解集為x|-2x<2）o在日常的教學中，教師要注意用數形結合的方法訓練直覺思維，讓學牛養成整體觀察、 檢索信息、把握問題實質的好習慣。2. 3應用"數形結合”，培養學生的發散思維能力發散思維是從同一來源的材料或同一個問題，探求不同思路和方法的思維過程，其思維方向是從不同角度、不同方面看待同一個問題。在教學屮常借助豺一題多解”或“一題多變”的形式，突出已知與未知z間的矛

11、盾聯系，來引發學生提出新馬皿想、新的方比/ /曠加-a 新的問題，達到知識融會貫通，發展思維的廣闊性和靈活性，激勵兮生的好奇心和求知欲, 提高解決問題的應變能力。/筆者在教學中曾問過學生這樣一個問題：圖3如何判斷直線與圓的位置關系？大多數學生直線的距離與半徑的大小關系來判定并能計算。筆者在給出如圖3后，學生能從1、叭n三條；直線與圓的交點個數判定直線與圓的位置關系。筆者進而設問：如何求圓與直線的交點？學生能答出聯立方程。筆者列出方程組，把直線方程代入圓方程，得到一個關于x的二次方程。這時，學生一般能知道考察這個方程的根的判別式，由判別式的正負可以知道x的解的情況，進而知道交點的情況,從而判定直

12、線與圓的位置關系。這樣就用另一種方法解答了這個問題，學生對于解析幾何的核心一一形與數的結合，用代數方法來研究幾何問題有了更深一步的理解。教師在教學屮要注意學生思維的橫向推廣和縱向深入，使二者有機結合以利于保證思維的流暢性，做到反應靈皺，思路暢通，聯想豐富，在短時間內匯集、檢索與所研究問題有關的概念與性質，隨機應變，巧妙運用有關公式與定理，綜合運用各模塊知識。2. 4應用“數形結合"，培養學生的創造性思維能力。目前，推行素質教育己成為教育發展的主流。對學生進行綜合素質和能力的培養，是 建立新世紀創造性人才隊伍的需要。創造性思維是思維的最高境界。只有具有創造性思維 能力的人，才能在各自的

13、領域中有所創造發明，才能推動科學技術、人類社會的向前發展。 在數學教學中，教師可通過編選一些探索性的題目，讓學牛去研究，去探討，去發現。 讓他們不是從頭腦中己有的思維形式和思維方法中去找答案,而是從問題的木身進行具體 的分析，進行一系列探索思維活動，將己有的思維方式進行大跨度地遷移，從而供選擇的 途徑中篩選出解決問題的新方法。如：若a2+b2=l, a、b均不為零，求證：(a+1/a) 2+ (b+1/b) 09此題要從幾何圖形 入手，由題設a2+b2=l聯想到點(a, b)在圓x'+yjl上而得到一種解題思路；也可以聯想 到點(a,b)在直線ax+by二1上，又得到一種解題思路，解答

14、過程更為簡捷。事實上由(a+1/a) 2+ (b+1/b)彳聯想到兩點b), (-1/a, -1/b)間的距離。顯然由于點(a, b)在直線 ax+by二1上，則點(-1/a, -1/b)到點(a, b)的距離不少于它到直線的距離。故(a+1/a) 2+ (b+1/b)成立。又如：求函數y二曲+ 2的值域。cos x-2（代數法）：則y二的兀+ 2得 ycosx-2y二sinx+2, cosx-2sinx-ycosx=-2y-2, jy2 +1 sin （x+0）二-2y-22 ,而 sin （x評）w1 j站杲等式餐土° wy w 土庁 -4-v7-4 + 7 .3/.sin (x

15、+0 )=-| _2*_2 | 予蕊誦域為土也弓空(數形結合法人y二哪+ 2的式類似于余雀公式y二上121 _c cbk x-2啟 _ 旳y=一 表示旦兩點po (2, -2), p (cosx, sinx)直線斜率xi xi由于點p在單位圓x +yi匕(見下圖)p(2,-2)顯然,kp()a w y w kpob設過p。的圓的切線方程為y+2二k (x-2)則有薦琴印=1,解得k = 土"即k疋土土庁.-4-77?丫三-4 + 街3函括直域為土査，土庁33教師要引導學生通過一些典型題口最佳解法的尋求，增強學生的求新、求異意識，培 養創新、求異思維，激發他們不甘滿足，勇于創新的激情。

16、3.應用"數形結合s培養學生的良好情操31樹立現代思維意識在數學教育中，通過數與形的有機結合，把形彖思維與抽象思維有機的結合起來，盡 可能地先形彖后抽彖，不但能促進這兩種思維能力同步發展，還為學生初步形成辯證思維 能力創造了條件。在數學教學活動中，通過數與形的結合，能夠有的放矢地幫助學生多角度、多層次地 思考問題，可以養成多向性思維的好習慣。在數學教學活動中，教師引導學生變靜態思維方式為動態思維方式，也就是以運動、 變化、聯系的觀點考慮問題，把數與形分別視為運動事物在某一瞬間的取值或某一瞬間的 相對位置。運用動態思維方式處理教材，研究問題，能揭示前后知識的聯系與變化，培養 學生的辯證

17、思維能力，更好地把握事物的本質。3. 2樹立辯證唯物主義世界觀客觀世界是一個普遍聯系的整體，每一個事物都不孤立的存在，它和其他事物以各種 方式相互依賴著，相互制約著，相互作用著。我們從數學的發展即可揭示出：事物無不處 于普遍聯系z屮。例如：解析幾何是由代數的內容（如代數中函數圖象就是借助于形的直 觀性來研究的）。代數和幾何，數和形兩方面的聯系、變化、發展而來的。幾何圖形的研 究，要借助于代數對方程研究（如上文提到的借助于代數式子變換來的黃金率可用于黃金 分割作圖）。而對幾何的研究同時亦豐富了代數的內容（如代數屮函數圖象就是借助于形 的直觀性來研究的）。代數和幾何，數和形是對立的，但又是相互聯系的，可以互相轉化 的。當引入坐標后，它們就統一于解析幾何屮。這樣，數學教師就能用鮮活的事例，引導 學生用普遍聯系的觀點、物質統一性的觀點、對立統一的觀點來全面的認識客觀事物的運 動、變化、規律，從