1、127 二次函數的圖象和性質增減性和最值學習目標1. 了解二次函數的定義.2.掌握二次函數的圖象及增減性和最值.歹預習導學歹預習導學 蘭蘭挑戰自我點點落實_知識鏈接1.函數y=x2 2x 3 的對稱軸為x= 1，該函數的遞增區間為(1 ,),遞減區間為(8,亙2函數y=x2的最小值為 0.預習導引2b二次函數f(x) =ax+bx+c(a0,x R)，當a 0(av0)時，在區間(一,石上遞減(遞bb增)，在蕪，+8)上遞增(遞減),圖象曲線開口向上(下)，在x=二處取到最小(大)值bf( (2? 一產課產課堂講義堂講義聾 至點難點，個牛擊破_要點一求二次函數的解析式例 1 已知二次函數f(x

2、)滿足f(2) = 1,f( 1) = 1，且f(x)的最大值是 8,試確定此二 次函數解析式.2b，這里 =2解方法一利用二次函數一般式.設f(x) =ax2+bx+c(a工 0).4a+ 2b+c=- 1 由得b=-a,貝U2a+c=- 1, 即卩c=- 2a- 1.代入整理得a2=- 4a, 解得a=- 4，或a= 0(舍去). b= 4,c= 7.因此所求二次函數解析式為y=- 4x2+ 4x+ 7.方法二利用二次函數頂點式.設f(x) =a(xm)2+n(a* 0). f(2) = f( - 1),拋物線對稱軸為x=2+2-1= 1，即 m= 2.又根據題意函數有最大值為n= 8,1

3、2y=f(x) =a(x- &+ 8,12 f(2) =- 1,.a(2 -R + 8=- 1.解之得a=- 4.122f(x) = - 4(x- 2 + 8= 4x+ 4x+ 7.方法三利用兩根式.由已知f(x) + 1 = 0 的兩根為X1= 2,X2=- 1.故可設f(x) + 1 =a(x- 2)(x+ 1)(a*0),即f(x) =ax2-ax- 2a- 1.又函數有最大值 8,24a- 2a- 1 -a4a=8.8.解之得a=- 4.2所求函數解析式為f(x) =- 4x+ 4x+ 7.規律方法用待定系數法求二次函數的解析式時，解析式的設法有三種形式，即f(x)2a-b+c

4、=- 1，叫 4ac-b28.4a2ax3+bx+c( 一般式)、f(x) =a(x-X1)(x-X2)(兩根式)、f(x) =a(x-m) +n(頂點式). 跟蹤演練 1 已知f(x)為二次函數，且f(x+1) +f(x- 1) = 2x2+ 4x.求f(x)的解析式.42解 設f(x)=ax+bx+c(az0),則f(x+ 1) =a(x+ 1)2+b(x+ 1) +c,2f(x- 1) =a(x-1) +b(x- 1) +c,又f(x+ 1) +f(x- 1) = 2x+ 4x,2 22 ax+ 2bx+ 2a+ 2c= 2x+ 4x,2a=2 2,| a=1 1,. *2b = 4,b

5、= 2,2a + 2c= 0,c=- 1,f(x) =x2+ 2x- 1.要點二二次函數的增減性例 2f(x) = 4x2-mx+5 在區間2,+)上是遞增函數，求m的取值范圍.解函數的頂點橫坐標為x=m8又函數在區間2,+)上是遞增函數，m亦w 2，即me- 16,8故m的取值范圍是m m 0)在(一, 丁上是遞減函數，在2a2a增函數.跟蹤演練 2已知函數f(x) =x2+ 2ax+ 2,x - 5,5.(1)當a=- 1 時，求函數f(x)的最大值和最小值；求實數a的取值范圍，使y=f(x)在區間5,5上是單調函數.解(1)當a=- 1 時，2 2f(x) =x- 2x+ 2= (x-

6、1) + 1,x - 5,5 , 1 - 5,5.當x= 1 時，f(x)min= 1 ；當x=- 5 時，f(x)max= 37.f(x) = (x+a)2+ 2-a2,其頂點橫坐標為x=-a. f (x)在區間5,5上是單調函數，aw 5 或一a5.+m）上是遞5故a的取值范圍是aw- 5 或a5.要點三求二次函數的值域或最值_ 2例 3 求函數y=x- 2ax- 1 在0,2上的值域.解 當av0 時，ymin=f(0) = 1,yma尸f(2) = 4 4a 1 = 3 4a,所以函數的值域為1,3 4a.22當 Owawl時，ymin=yma=f(2) = 3 4a,所以函數的值域為

7、(a2+ 1) , 3 4a.3當 1vaw2時，ymin=f(a)= (a+1),yma=f(0) = 1 ,所以函數的值域為(a2+ 1) , 1.4當a 2 時，ymin=f(2) = 3 4a,ymax=f(0) = 1,所以函數的值域為3 4a, 1.規律方法在求二次函數的最值時，要注意定義域是R 還是區間m n，若是區間m n,最大(小)值不一定在頂點取得，而應該看頂點橫坐標是在區間m n內還是在區間的左邊或右邊在區間的某一邊時應該利用函數的增減性求解，最值不在頂點上取得，而在區間的端 點上取得.跟蹤演練 3 已知二次函數f(x) =x2 2x+ 2.(1)當x 0,4時，求f(x

8、)的最值；當x 2,3時，求f(x)的最值；(3)當x ,t+ 1時，求f(x)的最小值g(t).22解 (1)f(x) =x 2x+ 2= (x 1) + 1,其圖象頂點橫坐標為x= 1，開口向上，當x 0,4時,.f ( x)max=f=42X4+2=10,f(x)min=f(1) = 1./f(x)的頂點橫坐標為x= 1，開口向上，f(x)在2,3上為增函數,f(x)min=f(2)=222X2+2=2,2f(x)max=f(3)=32X3+2=5._ 2ft 2t+ 2,t 1g(t)=1,0wtwi6t2+1,tv0.章當堂檢測當堂檢測全 當堂訓練.休驗成功_2 _1.若f(x) =

9、 (mv1)X+ (m 1)X 1 是二次函數，則()A.m為任意實數B. mlC.m1D. ml 且m1答案 B解析由m 1 工 0,得nr51,故選 B.2 .函數f(x) =x2+ 3x+ 2 在區間(一 5,5)上的最大、最小值分別為()1A. 42,12B. 42, 411C. 12,D.無最大值，最小值為一 44答案 D321解析Tf(x) = (x+)4，x ( 5,5),31當x= 2 時，f(x)有最小值一 4，f(x)無最大值.3 .函數f(x) = 2x2 3|x|的單調遞減區間是 _ .23答案(R, R和0，4】4.已知函數f(x) = 2x2m灶 3，當x (g,

10、1時是遞減函數，則m的取值范圍是 _.答案4 ,+)2lm 2mm 卄解析f(x)=2(x)+3 , 1W；,即卩m4.384課堂爾結-1二次函數在某區間上的最值(或值域)的求法要掌握熟練，特別是含參數的兩類“定軸動區間、 定區間動軸”，解法是：抓住“三點一軸”數形結合，三點指定的是區間兩個端點和區間中 點，一軸指的是對稱軸.具體做法是：首先要采用配方法，化為y=a(xm)2+n的形式，得頂點(m n).其次對區間進行討論，可分成三個類型：(1) 頂點固定，區間也固定.(2) 頂點含參數(即頂點為動)，區間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區間之內，何時在區間之外.7(3) 頂點固定，區間變動，

11、這時要討論區間中的參數M M 分層訓練分層訓練 羞羞解蘿糾偏，訓練檢測_、基礎達標81.二次函數y=2x2x+ 2014 的開口方向是（）A.向上B.向下C.可能向上也可能向下D.向左答案 A解析 因為二次項系數20，所以二次函數開口向上.2 .函數f（x） = x2+ 2x 3 在閉區間0,3上的最大值、最小值分別為（）A. 0, 2B. 2, 6答案 B2解析/f（x） = （x 1） 2,當x= 1 時，有最大值一 2 ;當x= 3 時，有最小值一 6.2B. y=-xD. y=x2+ 2x答案 C22解析y=x 2x+ 1 在1,+s）上遞增，而在（0,1上遞減；y=-在（0 ,+）上

12、是遞減函x數;1）上遞增，在（1,+）上遞增，從而在（0,+）上遞增.4 .二次函數y=x2+bx+c的圖象的最高點為（一 1， 3），貝U b+c=_答案 6-b +c= 6.5 .二次函數y=x2 4x+ 3 的值域是_.答案（一汽 7解析 因為y= x 4x+ 3 = （x+ 4x+ 4） + 7C. 2, 3D. 3, 63.下列函數中，在區間（0,+）上是遞增函數的是（A.y=x2 2x+ 12x+ 1y=，x2+ 2x= x 12+ 1 在0,1上遞增,21 1,2 2上遞減.只有y=-市在（，解析由已知=1,4cb2_4=3 3,b= 2,C= 4.9=（x+ 2）2+ 7.所以

13、這個函數的值域是（一R,7.6.用長度為 24m 的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為_ m.答案 324 4x解析 設隔墻長為x,則y=x2 = 2x2+ 12x,當x= 3 時，y最大.7.若f(x) =x2+bx+c,且f(1) = 0,f(3) = 0.(1)求b與c的值.試證明函數f(x)在區間(2 ,+)上是遞增函數.(1)解由f(1) = 0,f(3) = 0 得了 12+b+c= 0,b+c= 1,2即|3 + 3b+c= 0,|3b+c= 9,解得b= 4,c= 3.證明設任意x(2,+s)，且h0, f(x+h) f(x)2 2=(x+h)

14、 4(x+h) + 3 (x 4x+ 3)2 2=(x+h) x 4(x+h) + 4x2=2xh+h 4h=h(2x+h 4), x (2,+s) ,.2x + h 40 ,f(x+h) f(h) 0,即f(x+h) f(h),因此函數f(x)在區間(2 , +)上是遞增函數.二、能力提升答案 Db解析 由 A, C, D 的圖象知f(0) =cv0.又abc 0,abv0，對稱軸x= 丁0,知 A2abC 錯誤，D 符合要求.由 B 知f(0) =c 0,ab 0，對稱軸x=亦2, 1 一 10 0VX2+2x+3W2，11函數的值域是(0 ,日.x+ 2x+ 3210 .若二次函數f(x

15、)滿足f(x+ 1) f(x) = 2x，且f(0) = 1，則f(x)的表達式為 _.答案f(x) =x2x+ 12解析 由f(0) = 1 可設f(x) =ax+bx+ 1(a*0),2故f(x+ 1) =a(x+ 1) +b(x+ 1) +1,可得f(x+ 1) f(x) = 2ax+a+b= 2x,所以 2a= 2,a+b= 0，故a= 1,b= 1,所以f(x) =x2x+ 1.11.已知二次函數y=ax2+bx+c(a* 0)的圖象與x軸交點的橫坐標分別是2,6，圖象與y軸相交，交點和原點的距離為3，求此函數解析式.解 設二次函數解析式為y=a(xX1)(xX2).T與x軸交點的橫

16、坐標分別為X1= 2,X2= 6代入得y=a(x+ 2)(x 6),y=a(x2 4x 12) =ax2 4ax 12a.又圖象與y軸相交，交點和原點的距離為3 ,I 12a| = 3.11 12a= 3 或一 12a= 3，即a=-或a=-.4412所求函數解析式為y= (x 4x 12)12亠 12=X+x+ 3 或y= (x 4x 12)1 12=x 一x一 3.411三、探究與創新12. 設函數f(x) =ax2 2x+ 2.對于滿足 1VxV4 的一切x的值都有f(x) 0,求實數a的取值范圍.121解 方法一 當a0 時，f(x) =a(x-)+ 2 -.aa1216a 8+2 0.1 1 a1或2a;f/1Fa2+20,當a2.2方法二/x (1,4)時，f(x) 0 即ax 2x+ 20,1 1a2(2(= =x) )，又一 2(1= 2(1 1 V+1 1,xx221 1由 1x 4, 知xC(4，1)，1 121 1 10 0 2213.已知函數f(x) = 2x 2ax+ 3 在區間1,1上有最小值，記作g(a).(1)求g(a)的函數表