1、會計學1高等數學上定積分在物理學上的應用高等數學上定積分在物理學上的應用第一頁，編輯于星期三：七點 四十三分。一個單一個單求電場力所作的功求電場力所作的功 . orabrrdr 解解:當單位正電荷距離原點當單位正電荷距離原點 r 時時,由由庫侖定律庫侖定律電場力為電場力為則則功的元素功的元素為為所求功為所求功為說明說明:位正電荷沿直線從距離點電荷位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到處移動到 b 處處 (a b) , 在一個帶在一個帶 +q 電荷所產生的電場作用下電荷所產生的電場作用下, P288-1第1頁/共22頁第二頁，編輯于星期三：七點 四十三分。S體體, 求移動過程中氣體壓力所求移動

2、過程中氣體壓力所ox解解:由于氣體的膨脹由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積為把容器中的一個面積為S 的活塞從的活塞從點點 a 處移動到點處移動到點 b 處處 (如圖如圖), 作的功作的功 .ab建立坐標系建立坐標系如圖如圖.xdx 由波義耳由波義耳馬略特定律知壓強馬略特定律知壓強 p 與體積與體積 V 成反比成反比 , 即即功元素功元素為為故作用在活塞上的故作用在活塞上的所求功為所求功為力為力為在底面積為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣的圓柱形容器中盛有一定量的氣 P288-2第2頁/共22頁第三頁，編輯于星期三：七點 四十三分。試問要把桶中的水全部吸出需作多少功試問要把桶中的水

3、全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐標系建立坐標系如圖如圖.xm5在任一小區間在任一小區間上的一薄層水的重力為上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功這薄層水吸出桶外所作的功(功元素功元素)為為故所求功為故所求功為( KJ )設水的密設水的密度為度為(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為底圓半徑為3m, P289-3第3頁/共22頁第四頁，編輯于星期三：七點 四十三分。面積為面積為 A 的平板的平板設液體密度為設液體密度為 深為深為 h 處的壓強處的壓強: 當平板與水面平行時當平板與水面平行時, 當平板不與水面平行時當平板不與水面平行時,所受側壓力

4、問題就需用積分解決所受側壓力問題就需用積分解決 .平板一側所受的壓力為平板一側所受的壓力為第4頁/共22頁第五頁，編輯于星期三：七點 四十三分。小窄條上各點的壓強小窄條上各點的壓強 的的液體液體 , 求桶的一個端面所受的側壓力求桶的一個端面所受的側壓力. 解解: 建立坐標系建立坐標系如圖如圖.所論所論半圓半圓的的利用對稱性利用對稱性 , 側壓力元素側壓力元素oxxxxd端面所受側壓力為端面所受側壓力為方程為方程為一水平橫放的半徑為一水平橫放的半徑為R 的圓桶的圓桶,內盛半桶密度為內盛半桶密度為 P290-4第5頁/共22頁第六頁，編輯于星期三：七點 四十三分。當桶內充滿液體時當桶內充滿液體時,

5、小窄條上的壓強為小窄條上的壓強為側壓力元素側壓力元素Pd故端面所受側壓力為故端面所受側壓力為奇函數奇函數oxyRxxxd第6頁/共22頁第七頁，編輯于星期三：七點 四十三分。質量分別為質量分別為的質點的質點 , 相距相距 r ,二者間的引力二者間的引力 :大小大小:方向方向:沿兩質點的連線沿兩質點的連線若考慮若考慮物體物體對質點的引力對質點的引力, 則需用積分解決則需用積分解決 .第7頁/共22頁第八頁，編輯于星期三：七點 四十三分。設有一長度為設有一長度為 l, 線密度為線密度為 的均勻細直棒的均勻細直棒,其中垂線上距其中垂線上距 a 單位處有一質量為單位處有一質量為 m 的質點的質點 M,

6、該棒對質點的引力該棒對質點的引力.解解: 建立坐標系建立坐標系如圖如圖.y細棒上小段細棒上小段對質點的引力大小為對質點的引力大小為故垂直故垂直分力元素分力元素為為axx在在試計算試計算xxdP291-5第8頁/共22頁第九頁，編輯于星期三：七點 四十三分。利用對稱性利用對稱性由對稱性由對稱性,棒對質點引力的棒對質點引力的水平分力水平分力22412llmkFaa故棒對質點的故棒對質點的引力大小引力大小為為2lFdxFdyFdMy2laox xxxd棒對質點的引力的棒對質點的引力的垂直分力垂直分力為為 第9頁/共22頁第十頁，編輯于星期三：七點 四十三分。y2l2laoxxxdx2) 若考慮質點克

7、服引力沿若考慮質點克服引力沿 y 軸從軸從 a 處處1) 當細棒很長時當細棒很長時,可視可視 l 為無窮大為無窮大 ,此時引力大小此時引力大小為為方向與細棒垂直且指向細棒方向與細棒垂直且指向細棒 .移到移到 b (a b) 處時克服引力作的功處時克服引力作的功,y22412llmkyy則有則有22412llmkFaa第10頁/共22頁第十一頁，編輯于星期三：七點 四十三分。loxya引力大小為xxxdxFdyFd注意正負號3) 當質點位于棒的左端點垂線上時當質點位于棒的左端點垂線上時, 第11頁/共22頁第十二頁，編輯于星期三：七點 四十三分。(1) 先用微元分析法求出它的微分表達式 dQ一般

8、微元的幾何形狀有:扇扇、片片、殼殼 等.(2) 然后用定積分來表示整體量 Q , 并計算之. 1.用定積分求一個分布在某區間上的整體量 Q 的步驟:2.定積分的物理應用:變力作功 ,側壓力 ,引力,轉動慣量等.條條、段段、環環、帶帶、第12頁/共22頁第十三頁，編輯于星期三：七點 四十三分。(99考研)提示提示: 作 x 軸如圖.ox30 xxd1.為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底, 泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為3m /s , 問克服重力需作多少焦耳( J ) 功?已知井

9、深30 m ,抓斗自重400N , 將抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功為 米重50N ,第13頁/共22頁第十四頁，編輯于星期三：七點 四十三分。提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為3ms, 污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉ox30 xxd克服纜繩重:抓斗升至 x 處所需時間 :克服抓斗自重: 第14頁/共22頁第十五頁，編輯于星期三：七點 四十三分。xyoAB上每一點處線密上每一點處線密度的大小等于該點到原點距離的立方度的大小等于該點到原點距離的立方,提示提示: 如圖如圖.在點在點O

10、處有一單處有一單 位質點位質點 ,求星形線在第一象限的弧段對這質點的引力求星形線在第一象限的弧段對這質點的引力.第15頁/共22頁第十六頁，編輯于星期三：七點 四十三分。故星形線在第一象限的弧段對該質點的故星形線在第一象限的弧段對該質點的xFdyFdsykdxyoAB),(yxsd引力大小為引力大小為作業: P291 2 , 3 , 5 , 9 , 12第16頁/共22頁第十七頁，編輯于星期三：七點 四十三分。銳角 取多大時, 薄板所受的壓力 P 最大 .斜邊為定長的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 選取坐標系如圖.設斜邊長為 l ,水中, 并使一直角邊與水面相齊, oyxy則其方程為問斜邊

11、與水面交成的xxxd第17頁/共22頁第十八頁，編輯于星期三：七點 四十三分。故得唯一駐點 故此唯一駐點即為所求. 由實際意義可知最大值存在 ,即loyxyxxxd第18頁/共22頁第十九頁，編輯于星期三：七點 四十三分。質量為質量為 m 的質點關于軸的質點關于軸 l 的轉動慣量為的轉動慣量為l的質點系的質點系若考慮若考慮物體物體的轉動慣量的轉動慣量 , 則需用積分解決則需用積分解決 .r關于軸關于軸 l 的轉動慣量為的轉動慣量為m第19頁/共22頁第二十頁，編輯于星期三：七點 四十三分。 求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉動慣量求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉動慣量 ; 求圓盤對直徑所在軸的轉動慣量求圓盤對直徑所在軸的轉動慣量 .解解: 建立坐標系建立坐標系如圖如圖.設圓盤面密度為設圓盤面密度為 .小圓環質量小圓環質量對應于對應于的小圓環對軸的小圓環對軸 l 的轉動慣量為的轉動慣量為故圓盤對軸故圓盤對軸 l 的轉動慣量為的轉動慣量為l