1、常見不等式恒成立問題的幾種求解策略不等式恒成立問題是近幾年高考以及各種考試中經(jīng)常出現(xiàn)，它綜合考查函數(shù)、方程和不等式的主要內(nèi)容，并且與函數(shù)的最值、方程的解和參數(shù)的取值范圍緊密相連，本文結(jié)合解題教學實踐舉例說明幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，以拋磚引玉。 1 變量轉(zhuǎn)換策略例1 已知對于任意的a-1,1，函數(shù)f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立，求x的取值范圍.解析 本題按常規(guī)思路是分a=0時f(x)是一次函數(shù)，a0時是二次函數(shù)兩種情況討論，不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a看成常參數(shù)，我們可以通過變量轉(zhuǎn)換，把a看成變量，x看成常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)化一次

2、函數(shù)問題，問題就變得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a-1,1時，g(a)>0恒成立，則，得.點評 對于含有兩個參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。2 零點分布策略例2 已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析 本題可以考慮f(x)的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區(qū)間的左側(cè)、零點在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即0或或，即a的取值范圍為-7，2.點評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題,可以考慮函數(shù)的零點分布情況,要求對應閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.3 函數(shù)最值

3、策略 例3 已知，若恒成立，求a的取值范圍. 解析 本題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問題,只要對于任意.若恒成立或或，即a的取值范圍為.點評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本題也可以用零點分布策略求解.4 變量分離策略 例4 已知函數(shù)，若在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求k的取值范圍.解析 本題等價于一個不等式恒成立問題,即對于恒成立,式子中有兩個變量,可以通過變量分離化歸為求函數(shù)的最值問題. 對于恒成立對于恒成立,令,設,則,即x=1時, k的取值范圍是k>2.變式 若本題中將改為，其余條

4、件不變，則也可以用變量分離法解.由題意得，對于恒成立對于恒成立,令,設,則，, k的取值范圍是k>. 點評 本題通過變量分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，本題構(gòu)造的函數(shù)求最值對學生來說有些難度，但通過換元后巧妙地轉(zhuǎn)化為“對勾函數(shù)”，從而求得最值. 變式題中構(gòu)造的函數(shù)通過換元后轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)型”，從而求得最值.本題也可以用零點分布策略和函數(shù)最值策略求解.5 數(shù)形結(jié)合策略例5 設函數(shù),若恒有成立,試求實數(shù)a的取值范圍. 解析 由題意得,令,.xyO可化為，它表示以(2,0)為圓心，2 為半徑的上半圓；表示經(jīng)過定點(-2,0)，以a為斜率的直線，要使恒成立，只需所表示的半圓在所

5、表示的直線下方就可以了(如圖所示)當直線與半圓相切時就有，即，由圖可知，要使恒成立，實數(shù)a的取值范圍是點評 本題通過對已知不等式變形處理后，挖掘不等式兩邊式子的幾何意義，通過構(gòu)造函數(shù)，運用數(shù)形結(jié)合的思想來求參數(shù)的取值范圍，不僅能使問題變得直觀，同時也起到了化繁為簡的效果.6 消元轉(zhuǎn)化策略 例6 已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù),且f(1)=1,若，若對于所有的恒成立，求實數(shù)t的取值范圍. 解析 本題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù),故 f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1,則對于所有的恒成立對于所有的恒成立，即對于所有的恒成立，令，只要， 點評 對于含有兩個以上變量的不等式恒成立問題,可以根據(jù)題意依次進行消元轉(zhuǎn)化,從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問題,使問題得到解決.以上介紹的幾種常見不等式恒成立問