1、淘寶店鋪：漫兮教育第四節隨機事件的概率事件與概率了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區別了解兩個互斥事件的概率加法公式知識點一概率與頻率1在相同條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件a發生的頻率會在某個常數附近擺動，即隨機事件a發生的頻率具有穩定性我們把這個常數叫作隨機事件a的概率，記作p(a)2頻率反映了一個隨機事件出現的頻繁程度，但頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，因此，人們用概率來反映隨機事件發生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值3概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0p(a)1.(2)必然事件的概率：p(a)1.(3)不可

2、能事件的概率：p(a)0.易誤提醒易將概率與頻率混淆，頻率隨著試驗次數變化而變化，而概率是一個常數自測練習1給出下列三個命題，其中正確命題有_個有一大批產品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；做7次拋硬幣的試驗，結果3次出現正面，因此正面出現的概率是；隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率解析：錯，不一定是10件次品；錯，是頻率而非概率；錯，頻率不等于概率，這是兩個不同的概念答案：02某城市2015年的空氣質量狀況如下表所示：污染指數t3060100110130140概率p其中污染指數t50時，空氣質量為優；50<t100時，空氣質量為良；100<t15

3、0時，空氣質量為輕微污染，則該城市2015年空氣質量達到良或優的概率為_解析：由題意可知2015年空氣質量達到良或優的概率為p.答案：知識點二互斥事件和對立事件事件定義性質互斥事件在一個隨機試驗中，我們把一次試驗下不能同時發生的兩個事件a與b稱作互斥事件p(ab)p(a)p(b)，(事件a，b是互斥事件)；p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)(事件a1，a2，an任意兩個互斥)對立事件在一個隨機試驗中，兩個試驗不會同時發生，并且一定有一個發生的事件a和稱為對立事件p()1p(a)易誤提醒互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有

4、一個發生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件自測練習3裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，則與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是()“兩球都不是白球；兩球恰有一個白球；兩球至少有一個白球”abc d解析：從口袋內一次取出2個球，這個試驗的基本事件空間(白，白)，(紅，紅)，(黑，黑)，(紅，白)，(紅，黑)，(黑，白)，包含6個基本事件，當事件a“兩球都為白球”發生時，不可能發生，且a不發生時，不一定發生，不一定發生，故非對立事件，而a發生時，可以發生，故不是互斥事件答案：a4運動會火炬傳遞活動中，有編號為1,2,3,4,5的5名火炬手若從中任選3

5、人，則選出的火炬手的編號相連的概率為()a. b.c. d.解析：從1,2,3,4,5中任取三個數的結果有10種，其中選出的火炬手的編號相連的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，選出的火炬手的編號相連的概率為p.答案：a考點一事件的關系|1一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設事件a表示向上的一面出現奇數點，事件b表示向上的一面出現的點數不超過3，事件c表示向上的一面出現的點數不小于4，則()aa與b是互斥而非對立事件ba與b是對立事件cb與c是互斥而非對立事件db與c是對立事件解析：根據互斥事件與對立事件的意義作答，a

6、b出現點數1或3，事件a，b不互斥也不對立；bc，bc，故事件b，c是對立事件答案：d2設條件甲：“事件a與事件b是對立事件”，結論乙：“概率滿足p(a)p(b)1”，則甲是乙的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：若事件a與事件b是對立事件，則ab為必然事件，再由概率的加法公式得p(a)p(b)1.設擲一枚硬幣3次，事件a：“至少出現一次正面”，事件b：“3次出現正面”，則p(a)，p(b)，滿足p(a)p(b)1，但a，b不是對立事件答案：a3在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率是的事件是()

7、a至多有一張移動卡b恰有一張移動卡c都不是移動卡d至少有一張移動卡解析：至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯通卡”、“兩張全是聯通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件，故選a.答案：a集合法判斷互斥事件與對立事件的方法1由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥2事件a的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件a所含的結果組成的集合的補集考點二隨機事件的概率|(2015·高考陜西卷)隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統計，結果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期1617181920

8、21222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率解(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數是26，以頻率估計概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為.(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如，1日與2日，2日與3日等)這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為.以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為.1某中學部分學生參加全國高中數學競賽取得了優異成績，指導

9、老師統計了所有參賽同學的成績(成績都為整數，試題滿分120分)，并且繪制了條形統計圖(如圖所示)，則該中學參加本次數學競賽的人數為_，如果90分以上(含90分)獲獎，那么獲獎的概率大約是_解析：由題圖可知，參加本次競賽的人數為46875232；90分以上的人數為75214，所以獲獎的頻率為0.437 5，即本次競賽獲獎的概率大約是0.437 5.答案：320.437 5考點三互斥事件與對立事件的概率|某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為a，b，c.求：(1)

10、p(a)，p(b)，p(c)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率解(1)p(a)，p(b)，p(c).(2)因為事件a，b，c兩兩互斥，所以p(abc)p(a)p(b)p(c).故1張獎券的中獎概率為.(3)p()1p(ab)1.故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.求復雜互斥事件概率的兩種方法(1)直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和，運用互斥事件概率的加法公式計算(2)間接求法：先求此事件的對立事件，再用公式p(a)1p()求得，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就會較簡便2根據以往統計資料，某地車主購買甲

11、種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的一種的概率；(2)求該地1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率解：記a表示事件：該車主購買甲種保險；b表示事件：該車主購買乙種保險但不購買甲種保險；c表示事件：該車主至少購買甲、乙兩種保險中的一種；d表示事件：該車主甲、乙兩種保險都不購買(1)由題意得p(a)0.5，p(b)0.3，又cab，所以p(c)p(ab)p(a)p(b)0.50.30.8.(2)因為d與c是對立事件，所以p(d)1p(c)10.80.2.31.正難則反思想求互斥事件的概率【典例】某超市為了了解顧客的購物量及結

12、算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率(將頻率視為概率)思路點撥若某一事件包含的基本事件多，而它的對立事件包含的基本事件少，則可用“正難則反”思想求解解(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，

13、所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計，其估計值為1.9(分鐘)(2)記a為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，a1，a2分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結算時間為3分鐘”，將頻率視為概率得p(a1)，p(a2).p(a)1p(a1)p(a2)1.故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為.思想點評(1)要準確理解題意，善于從圖表信息中提煉數據關系，明確數字特征含義(2)正確判定事件間的關系，善于將a轉化為互斥事件的和或對立事件，切忌盲目代入概率

14、加法公式(3)需準確理解題意，特別留心“至多”“至少”“不少于”等語句的含義跟蹤練習某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產情況下，出現乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件是正品(甲級)的概率為()a0.95b0.97c0.92 d0.08解析：記抽檢的產品是甲級品為事件a，是乙級品為事件b，是丙級品為事件c，這三個事件彼此互斥，因而所求概率為p(a)1p(b)p(c)15%3%92%0.92.答案：ca組考點能力演練1甲：a1、a2是互斥事件；乙：a1、a2是對立事件，那么()a甲是乙的充分不必要條件b甲是乙的必要不充分條件c甲是乙的充要條件d甲既不是乙的充分條

15、件，也不是乙的必要條件解析：根據對立事件與互斥事件的關系知，甲是乙的必要但不充分條件答案：b2某射手的一次射擊中，射中10環、9環、8環的概率分別為0.2、0.3、0.1，則此射手在一次射擊中不超過8環的概率為()a0.5b0.3c0.6 d0.9解析：依題設知，此射手在一次射擊中不超過8環的概率為1(0.20.3)0.5.答案：a3從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()a“至少有一個黑球”與“都是黑球”b“至少有一個黑球”與“都是紅球”c“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”d“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”解析：a中的兩個事件是包含關系，不是互斥事件

16、；b中的兩個事件是對立事件；c中的兩個事件都包含“一個黑球一個紅球”的事件，不是互斥關系；d中的兩個事件是互斥而不對立的關系故選d.答案：d4(2016·云南一檢)在2,0,1,5這組數據中，隨機取出三個不同的數，則數字2是取出的三個不同數的中位數的概率為()a. b.c. d.解析：分析題意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4種取法，符合題意的取法有2種，故所求概率p.答案：c5(2015·孝感二模)某天下課以后，教室里還剩下2位男同學和2位女同學如果他們依次走出教室，則第2位走出的是男同學的概率為()a. b.c. d.解析：已知2

17、位女同學和2位男同學走出的所有可能順序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同學的概率p.答案：a6(2016·溫州十校聯考)記一個兩位數的個位數字與十位數字的和為a.若a是不超過5的奇數，從這些兩位數中任取一個，其個位數為1的概率為_解析：根據題意，個位數字與十位數字之和為奇數且不超過5的兩位數有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9個，其中個位是1的有21,41，共2個，因此所求的概率為.答案：7口袋內裝有一些大小相同的紅球、黃球、白球，從中摸出一個球，摸

18、出紅球或白球的概率為0.65，摸出黃球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是_解析：設摸出紅球、白球、黃球的事件分別為a、b、c，由條件知p(ab)p(a)p(b)0.65，p(bc)p(b)p(c)0.6，又p(ab)1p(c)，p(c)0.35，p(b)0.25.答案：0.258中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙奪得冠軍的概率為，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為_解析：由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式進行計算，即中

19、國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為.答案：9近年來，某市為促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱，為調查居民生活垃圾分類投放情況，現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1 000噸生活垃圾，數據統計如下(單位：噸)：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率；(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率解：(1)廚余垃圾投放正確的概率約為.(2)設生活垃圾投放錯誤為事件a，則事件表示生活垃圾投放正確事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”

20、箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即p()約為0.7，所以p(a)約為10.70.3.10經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數及相應的概率如下：排隊人數012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少？(2)至少3人排隊等候的概率是多少？解：記“無人排隊等候”為事件a，“1人排隊等候”為事件b，“2人排隊等候”為事件c，“3人排隊等候”為事件d，“4人排隊等候”為事件e，“5人及5人以上排隊等候”為事件f，則事件a、b、c、d、e、f互斥(1)記“至多2人排隊等候”為事件g，則gabc，所以p(g)p

21、(abc)p(a)p(b)p(c)0.10.160.30.56.(2)法一：記“至少3人排隊等候”為事件h，則hdef，所以p(h)p(def)p(d)p(e)p(f)0.30.10.040.44.法二：記“至少3人排隊等候”為事件h，則其對立事件為事件g，所以p(h)1p(g)0.44.b組高考題型專練1(2014·高考陜西卷)某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統計如下：賠付金額(元)01 0002 0003 0004 000車輛數(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率解：(1)設a表示事件“賠付金額為3 000元”，b表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得p(a)0.15，p(b)0.12.由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是3 000元和4 000元，所以其