1、淘寶店鋪：漫兮教育第十三節定積分與微積分基本定理積分的運算及應用(1)了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念(2)了解微積分基本定理的含義知識點一定積分1定積分的性質(1)kf(x)dxf(x)dx(k為常數)(2)f(x)±g(x)dxf(x)dx±g(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)2定積分的幾何意義(1)當函數f(x)在區間a，b上恒為正時，定積分f(x)dx的幾何意義是由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖(1)中陰影部分)(2)一般情況下，定積分f(x)dx的

2、幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線xa、xb之間的曲邊梯形面積的代數和(圖(2)中陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區間上積分值的相反數易誤提醒(1)若積分式子中有幾個不同的參數，則必須先分清誰是被積變量(2)定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限(3)定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負，而定積分的結果可以為負自測練習1設f(x)則f(x)dx的值是()a.x2dx b.2xdxc.x2dx2xdx d.2xdxx2dx解析：由分段函數的定義及積分運算性質，f(x)dx2xdxx2dx.答案：d2已知f(x)是偶函數，且f

3、(x)dx8，則f(x)dx()a0 b4c6 d16解析：因為函數f(x)是偶函數，所以函數f(x)在y軸兩側的圖象對稱，所以f(x)dxf(x)dxf(x)dx2f(x)dx16.答案：d知識點二微積分基本定理如果f(x)是區間a，b上的連續函數，并且f(x)f(x)那么f(x)dxf(b)f(a)這個結論叫作微積分基本定理，又叫作牛頓萊布尼茲公式為了方便，常把f(b)f(a)記成f(x)，即f(x)dxf(x)f(b)f(a)必備方法運用微積分基本定理求定積分的方法：(1)對被積函數要先化簡，再求積分(2)求被積函數為分段函數的定積分，依據定積分“對區間的可加性”，分段積分再求和(3)對

4、于含有絕對值符號的被積函數，要先去掉絕對值號再求積分(4)注意用“f(x)f(x)”檢驗積分的對錯自測練習3設axdx，b1xdx，cx3dx，則a，b，c的大小關系為()aa>b>c bb>a>cca>c>b db>c>a解析：axdxx，b1xdx1x，cx3dxx4，因此a>b>c，故選a.答案：a4由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形的面積為()a. b.c. d.解析：由得或結合圖形知(圖略)所求封閉圖形的面積為(x2x3)dx，故選a.答案：a考點一定積分的計算|1定積分dx的值為()a9 b3c. d.解析：由定積分的幾何

5、意義知，dx是由曲線y，直線x0，x3，y0圍成的封閉圖形的面積，故dx，故選c.答案：c2(2016·臨沂模擬)若(sin xacos x)dx2，則實數a等于()a1 b1c. d解析：(asin xcos x)sin xacos x.(sin xacos x)dx(asin xcos x)(asin 0cos 0)a12.a1.答案：b3(2015·西安模擬)已知a|x21|dx，則a_.解析：a|x21|dx(1x2)dx(x21)dx.答案：定積分計算的三種方法定義法、幾何意義法和微積分基本定理法，其中利用微積分基本定理是最常用的方法，若被積函數有明顯的幾何意義，

6、則考慮用幾何意義法，定義法太麻煩，一般不用 考點二利用定積分求平面圖形的面積|設拋物線c：yx2與直線l：y1圍成的封閉圖形為p，則圖形p的面積s等于()a1b.c. d.解析由得x±1.如圖，由對稱性可知，s22，選d.答案d利用定積分求平面圖形面積的三個步驟(1)畫圖象：在直角坐標系內畫出大致圖象(2)確定積分上、下限：借助圖象的直觀性求出交點坐標，確定積分上限和下限(3)用牛頓萊布尼茨公式求面積：將曲邊多邊形的面積表示成若干定積分的和，計算定積分，寫出結果1(2015·衡中三模)由曲線y2x2，直線yx及x軸所圍成的封閉圖形(圖中的陰影部分)的面積是_解析：把陰影部分

7、分成兩部分求面積ss1s2(2x2)dx(2x2x)dx22.答案：考點三定積分物理意義的應用|一物體做變速直線運動，其v ­t曲線如圖所示，則該物體在 s6 s間的運動路程為_解析由圖象可知，v(t)所以 s6 s間的運動路程s v (t)= 2tdt2dtdt.答案利用定積分解決變速直線運動問題和變力做功問題時，關鍵是求出物體做變速直線運動的速度函數和變力與位移之間的函數關系，確定好積分區間，得到積分表達式，再利用微積分基本定理計算即得所求2一物體在力f(x)(單位：n)的作用下沿與力f(x)相同的方向運動了4米，力f(x)做功為()a44 jb46 jc48 j d50 j解析

8、：力f(x)做功為10dx(3x4)dx10x202646.答案：b5.混淆圖形面積與定積分關系致誤【典例】已知函數yf(x)的圖象是折線段abc，其中a(0,0)，b，c(1,0)函數yxf(x)(0x1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為_解析由題意可得f(x)所以yxf(x)與x軸圍成圖形的面積為10x2dx(10x10x2)dxx3.答案易誤點評(1)本題易寫錯圖形面積與定積分間的關系而導致解題錯誤(2)本題易弄錯積分上、下限而導致解題錯誤，實質是解析幾何的相關知識和運算能力不夠致錯防范措施解決利用定積分求平面圖形的面積問題時，應處理好以下兩個問題：(1)熟悉常見曲線，能夠正確作出圖形，求

9、出曲線交點，必要時能正確分割圖形(2)準確確定被積函數和積分變量跟蹤練習(2015·洛陽期末)函數f(x)的圖象與直線x1及x軸所圍成的封閉圖形的面積為_解析：由題意知，所求面積為(x1)dxexdxex(e1)e.答案：ea組考點能力演練1已知t>0，若(2x2)dx8，則t()a1 b2c2或4 d4解析：由(2x2)dx8得(x22x)t22t8，解得t4或t2(舍去)，故選d.答案：d2(2015·青島模擬)設f(x)(其中e為自然對數的底數)，則f(x)dx的值為()a. b.c. d.解析：f(x)dxf(x)dxf(x)dxx2dxdxln xln e，

10、故選a.答案：a3(2016·武漢模擬)設a(3x22x)dx，則6的展開式中的第4項為()a1 280x3 b1 280c240 d240解析：本題考查定積分的計算與二項式定理依題意得a(x3x2)4，二項式6的展開式的第四項是t4c·(4x2)3·31 280x3，故選a.答案：a4如圖所示，設d是圖中邊長分別為1和2的矩形區域，e是d內位于函數y(x>0)圖象下方的區域(陰影部分)，從d內隨機取一點m，則點m取自e內的概率為()a. b.c. d.解析：本題考查定積分的計算與幾何概率的意義依題意，題中的矩形區域的面積是1×22，題中的陰影區域

11、的面積等于2×eq avs4al(iin(dx1ln xeq blc|rc (avs4alco1(oal(1,1ln 2，因此所求的概率等于，故選c.答案：c5已知數列an是等差數列，且a2 013a2 015dx，則a2 014(a2 0122a2 014a2 016)的值為()a2 b2c d42解析：dx表示圓x2y24在第一象限的面積，即dx，又數列an是等差數列，所以a2 013a2 015a2 012a2 0162a2 014，所以得a2 014·(a2 0122a2 014a2 016)×22，故選a.答案：a6(2015·南昌模擬)直線y

12、x與拋物線yxx2所圍圖形的面積等于_解析：由解得x0或，所以所求面積為dxdx×2×30.答案：7(2015·長春二模)已知a>0且曲線y、xa與y0所圍成的封閉區域的面積為a2，則a_.解析：由題意a2dxx，所以a.答案：8已知a，則(cos xsin x)dx取最大值時，a_.解析：(cos xsin x)dx(sin xcos x)sin acos a1sin1.a，當a時，max1.答案：9求曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積解：如圖，由得交點a(1,1)；由得交點b(3，1)故所求面積sdxdx.10汽車以54 km/h的速度行駛，到某處需要

13、減速停車，設汽車以等加速度3 m/s2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多遠？解：由題意，得v054 km/h15 m/s.所以v(t)v0at153t.令v(t)0，得153t0.解得t5.所以開始剎車5 s后，汽車停車所以汽車由剎車到停車所行駛的路程為sv(t)dt(153t)dt37.5(m)故汽車走了37.5 m.b組高考題型專練1(2014·高考陜西卷)定積分(2xex)dx的值為()ae2be1ce de1解析：(2xex)dx(x2ex)1e11e.答案：c2(2014·高考江西卷)若f(x)x22f(x)dx，則f(x)dx()a1 bc. d1解析：令f(

14、x)dxm，則f(x)x22m，所以f(x)dx(x22m)dx2mm，解得m，故選b.答案：b3(2013·高考湖北卷)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車繼續行駛的距離(單位：m)是()a125ln 5 b825ln c425ln 5 d450ln 2解析：由v(t)0得t4.故剎車距離為sv(t)dtdt425ln 5.答案：c4(2014·高考山東卷)直線y4x與曲線yx3在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為()a2 b4c2 d4解析：由得x0或x2或x2(舍)s(4xx3)dx4.答案：d5(2015·高考天津卷)曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_解析：由題意，可得封閉圖形的面積為(xx2)