1、淘寶店鋪：漫兮教育第一節數列的概念與簡單表示法數列的概念及表示方法(1)了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)(2)了解數列是自變量為正整數的一類函數知識點一數列的概念1數列的定義按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫作這個數列的項排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫作首項)2數列的分類分類原則類型滿足條件按項數有窮數列項數有限無窮數列項數無限按項與項間的大小關系遞增數列an1an其中nn遞減數列an1an常數列an1an,搖擺數列從第2項起有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項易誤提醒1由前n項寫通項、數列的通項并不唯一2易混項與項數兩個不同的概

2、念，數列的項是指數列中某一確定的數，而項數是指數列的項對應的位置序號自測練習1數列an：1，的一個通項公式是()aan(1)n1(nn)ban(1)n1(nn)can(1)n1(nn)dan(1)n1(nn)解析：觀察數列an各項，可寫成：，故選d.答案：d2已知數列的通項公式為ann28n15，則3()a不是數列an中的項b只是數列an中的第2項c只是數列an中的第6項d是數列an中的第2項或第6項解析：令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是數列an中的第2項或第6項答案：d知識點二數列與函數關系及遞推公式1數列與函數的關系從函數觀點看，數列可以看作定義域為正整數集n(或它的有限子

3、集)的函數，當自變量從小到大依次取值時，該函數對應的一列函數值就是這個數列2數列的遞推公式如果已知數列an的首項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an1(n2)(或前幾項)間的關系可用一個公式來表示，那么這個公式叫數列的遞推公式必記結論an與sn的關系若數列an的前n項和為sn，則an自測練習3在數列an中，a11，an2an11，則a5的值為()a30 b31c32 d33解析：a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.答案：b4已知數列an的前n項和sn2n3，則數列an的通項公式是_解析：當n1時，a1s1231，當n2時，ansnsn1(2n

4、3)(2n13)2n2n12n1.故an答案：an 考點一由數列的前幾項求數列的通項公式|1下列公式可作為數列an：1,2,1,2,1,2，的通項公式的是()aan1 bancan2 dan解析：由an2可得a11，a22，a31，a42，.答案：c2根據數列的前幾項，寫出各數列的一個通項公式：(1)4,6,8,10，；(2)，；(3)a，b，a，b，a，b，(其中a，b為實數)；(4)9,99,999,9 999，.解：(1)各數都是偶數，且最小為4，所以通項公式an2(n1)(nn)(2)這個數列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數，且奇數項為負，偶數項為正，所以它的一個通項公式

5、an(1)n×.(3)這是一個擺動數列，奇數項是a，偶數項是b，所以此數列的一個通項公式an(4)這個數列的前4項可以寫成101,1001，1 0001,10 0001，所以它的一個通項公式an10n1.用觀察法求數列的通項公式的兩個技巧(1)根據數列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，觀察出項與n之間的關系、規律，可使用添項、通分、分割等辦法，轉化為一些常見數列的通項公式來求(2)對于正負符號變化，可用(1)n或(1)n1來調整考點二由an與sn的關系求通項an|已知下面數列an的前n項和sn，求an的通項公式：(1)sn2n23n；(2)sn3nb.解(1)a1s

6、1231，當n2時，ansnsn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5.(2)a1s13b，當n2時，ansnsn1(3nb)(3n1b)2·3n1.當b1時，a1適合此等式當b1時，a1不適合此等式當b1時，an2·3n1；當b1時，an已知sn求an的三個步驟(1)先利用a1s1求出a1；(2)用n1替換sn中的n得到一個新的關系，利用ansnsn1(n2)便可求出當n2時an的表達式；(3)對n1時的結果進行檢驗，看是否符合n2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n1與n2兩段來寫已知各項均

7、為正數的數列an的前n項和滿足sn>1，且6sn(an1)(an2)，nn，求an的通項公式解：由a1s1(a11)(a12)，解得a11或a12，由已知a1s1>1，因此a12.又由an1sn1sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因為an>0，故an1an不成立，舍去因此an1an30.即an1an3，從而an是以公差為3，首項為2的等差數列，故an的通項公式為an3n1.考點三由遞推關系式求數列的通項公式|遞推公式和通項公式是數列的兩種表示方法，它們都可以確定數列中的任意一項，只是由遞推公式確定數列中的項時，不如通項公式直接歸納

8、起來常見的探究角度有：1形如an1anf(n)，求an.2形如an1anf(n)，求an.3形如an1aanb(a0且a1)，求an.4形如an1(a，b，c為常數)，求an.探究一形如an1anf(n)，求an.1在數列an中，a11，anan1(n2)解：因為anan1(n2)，所以an1an2，a2a1.由累乘法可得ana1····(n2)又a11符合上式，an.探究二形如an1anf(n)，求an.2在數列an中，a12，an1an3n2.解：因為an1an3n2，所以anan13n1(n2)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a

9、1(n2)當n1時，a12×(3×11)，符合上式，所以ann2.探究三形如an1aanb(a0且a1)求an.3在數列an中a11，an13an2.解：因為an13an2，所以an113(an1)，所以3，所以數列an1為等比數列，公比q3.又a112，所以an12·3n1，所以an2·3n11.探究四形如an1(a，b，c為常數)，求an.4已知數列an中，a11，an1，求數列an的通項公式解：an1，a11，an0，即，又a11，則1，是以1為首項，為公差的等差數列(n1)×，an(nn*)已知數列的遞推關系，求數列的通項時，通常利用累

10、加法、累乘法、構造法求解1形如anan1f(n)(n2，nn*)時，用累加法求解2形如f(n)(an10，n2，nn*)時，用累乘法求解3形如anan1m(n2，nn*)時，構造等差數列求解；形如anxan1y(n2，nn*)時，構造等比數列求解16.函數思想在數列中的應用【典例】已知數列an(1)若ann25n4.數列中有多少項是負數？n為何值時，an有最小值？并求出最小值(2)若ann2kn4且對于nn*，都有an1>an成立求實數k的取值范圍思路點撥(1)求使an<0的n值；從二次函數看an的最小值(2)數列是一類特殊函數，通項公式可以看作相應的解析式f(n)n2kn4.f(

11、n)在n*上單調遞增，但自變量不連續從二次函數的對稱軸研究單調性解(1)由n25n4<0，解得1<n<4.nn*，n2,3.數列中有兩項是負數，即為a2，a3.ann25n42，對稱軸方程為n.又nn*，n2或n3時，an有最小值，其最小值為a2a32.(2)由an1>an知該數列是一個遞增數列，又因為通項公式ann2kn4，所以(n1)2k(n1)4>n2kn4，即k>12n，又nn*，所以k>3.方法點評1本題給出的數列通項公式可以看作是一個定義在正整數集上的二次函數，因此可以利用二次函數的對稱軸來研究其單調性，得到實數k的取值范圍，使問題得到解決

12、2本題易錯答案為k>2.原因是忽略了數列作為函數的特殊性，即自變量是正整數3在利用二次函數的觀點解決該題時，一定要注意二次函數對稱軸位置的選取跟蹤練習已知數列an的通項公式是an(n1)n，試問該數列中有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的序號；若沒有，請說明理由解：法一：an1an(n2)n1(n1)nn×，當n<9時，an1an>0，即an1>an；當n9時，an1an0，即an1an；當n>9時，an1an<0，即an1<an，該數列中有最大項，為第9、10項，且a9a1010×9.法二：根據題意，令(n2)，即解得9n10

13、.又nn*，n9或n10，該數列中有最大項，為第9、10項，且a9a1010×9.a組考點能力演練1已知數列an滿足a10，an1an21，則a13()a143 b156c168 d195解析：由an1an21得an11(1)2，所以1，又a10，則n，ann21，則a131321168.答案：c2(2015·杭州質檢)已知數列an滿足a10，an1(nn*)，則a20()a0 bc. d.解析：本題由數列遞推關系式，推得數列an是周期變化的，找出規律，再求a20.由a10，an1(nn*)，得a2，a3，a40，由此可知：數列an是周期變化的，且三個一循環，所以可得a20

14、a2，故選b.答案：b3在數列an中，a38，an1則a5等于()a12 b14c20 d22解析：本題考查數列的基本性質代入得a4a3210，a52a420.答案：c4在數列an中，有anan1an2(nn*)為定值，且a72，a93，a984，則此數列an的前100項的和s100()a200 b300c298 d299解析：由題意，知anan1an2an1an2an3，則anan3，所以數列an是周期為3的周期數列，則a1a4a7a97a1002，a2a5a984，a3a6a9a993，所以數列的前100項和為(a1a2a3)×33a100299，故選d.答案：d5已知在數列an

15、中，a12，a27，若an2等于anan1(nn*)的個位數，則a2 016的值為()a8 b6c4 d2解析：因為a1a22×714，所以a34；因為a2a37×428，所以a48；因為a3a44×832，所以a52；因為a4a58×216，所以a66；因為a5a62×612，所以a72；因為a6a76×212，所以a82；依次計算得a94，a108，a112，a126，所以從第3項起，數列an成周期數列，周期為6，因為2 0162335×64，所以a2 0166.答案：b6已知在數列an中，a11，a20，若對任意的正整

16、數n，m(n>m)，有aaanmanm，則a2 015_.解析：令n2，m1，則aaa1a3，得a31；令n3，m2，則aaa1a5，得a51；令n5，m2，則aaa3a7，得a71，所以猜想當n為奇數時，an為1，1,1，1，所以a2 0151.答案：17若數列(na)2是遞增數列，則實數a的取值范圍是_解析：由題意得，對任意的nn*.(n1a)2>(na)2恒成立，即2a<2n1恒成立，所以2a<(2n1)min3，則a<.答案：8(2016·蚌埠檢查)已知數列an滿足：a1為正整數，an1如果a11，則a1a2a2 014_.解析：由題意知a11，

17、a23×114，a32，a41，a54，a62，所以an的周期為3，因為2 0143×6711，所以a1a2a3a2 014(142)×67114 698.答案：4 6989已知數列an的通項公式為annp，數列bn的通項公式為bn2n5，設cn若在數列cn中，c8>cn(nn*，n8)，求實數p的取值范圍解：由題意得，c8是數列cn中的最大項，所以解得12<p<17.10已知數列an中，an1(nn*，ar，且a0)(1)若a7，求數列an中的最大項和最小項的值；(2)若對任意的nn*，都有ana6成立，求a的取值范圍解：(1)an1(nn*，

18、ar，且a0)，又a7，an1.結合函數f(x)1的單調性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>>an>1(nn*)數列an中的最大項為a52，最小項為a40.(2)an11.對任意的nn*，都有ana6成立，結合函數f(x)1的單調性，知5<<6，10<a<8.故a的取值范圍為(10，8)b組高考題型專練1(2012·高考大綱全國卷)已知數列an的前n項和為sn，a11，sn2an1，則sn()a2n1 b.n1c.n1 d.解析：由已知sn2an1得sn2(sn1sn)，即2sn13sn，而s1a11，所以snn1，故選b.答案：b2(2011·高考四川卷)數列an的前n項和為sn，若a11，an13sn(n1)，則a6()a3×44 b3×441c45 d451解析：法