1、考點51 不等式選講1理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：（1）.（2）.（3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：.2了解下列柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明.（1）柯西不等式的向量形式：（2）.（3）.（此不等式通常稱為平面三角不等式.）3會用參數配方法討論柯西不等式的一般情形：4會用向量遞歸方法討論排序不等式.5了解數學歸納法的原理及其使用范圍，會用數學歸納法證明一些簡單問題.6會用數學歸納法證明伯努利不等式：了解當n為大于1的實數時伯努利不等式也成立.7會用上述不等式證明一些簡單問題.能夠利用平均值不等式、 柯西不等式求一

2、些特定函數的極值.8了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.一、不等式的求解1絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a=0a<0|x|<ax|-a<x<a|x|>ax|x>a或x<-ax|xr且x0r(2)|ax+b|c(c>0)和|ax+b|c(c>0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|cax+bc或ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的解法利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現了數形結合的思

3、想;利用“零點分段法”求解,體現了分類討論的思想;通過構造函數,利用函數的圖象求解,體現了函數與方程的思想.2絕對值三角不等式(1)定理1:如果a,b是實數,則|a+b|a|+|b|,當且僅當ab0時,等號成立.(2)定理2:如果a,b,c是實數,那么|a-c|a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c)0時,等號成立.(3)推論1:|a|-|b|a+b|.(4)推論2:|a|-|b|a-b|.【技能方法】（一）含絕對值不等式的解法方法解讀適合題型1公式法利用公式|x|<a-a<x<a(a>0)和|x|>ax>a或x<-a(a>0)直接求解

4、不等式|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)2平方法利用不等式兩邊平方的技巧，去掉絕對值，需保證不等式兩邊同正或同負|f(x)|g(x)|f(x)2g2(x)3零點分段法含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法脫去絕對值符號，將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解|f(x)|±|g(x)|a，|f(x)|±|g(x)|a4幾何法利用絕對值的幾何意義，畫出數軸，將絕對值轉化為數軸上兩點的距離求解|x±a|±|x±b|c，|x±a|±|x±b|c5圖象法在直角坐標系中作出

5、不等式兩邊所對應的兩個函數的圖象，利用函數圖象求解或通過移項構造一個函數如|f(x)|+|g(x)|a可構造y=|f(x)|+|g(x)|-a或y=|f(x)|+|g(x)|與y=a（二）含絕對值不等式的恒成立問題的解題規(guī)律1根據絕對值的定義,分類討論去掉絕對值,轉化為分段函數,然后利用數形結合解決.2巧用“|a|-|b|a±b|a|+|b|”求最值.(1)求|a|-|b|的范圍:若a±b為常數m,可利用|a|-|b|a±b|-|m|a|-|b|m|確定范圍.(2)求|a|+|b|的最小值:若a±b為常數m,可利用|a|+|b|a±b|=|m|

6、,從而確定其最小值.3f(x)<a恒成立f(x)max<a,f(x)>a恒成立f(x)min>a.二、不等式的證明1基本不等式(1)基本不等式:如果a,b>0,那么，當且僅當a=b時,等號成立.用語言可以表述為:兩個正數的算術平均數不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數.(2)算術平均幾何平均定理(基本不等式的推廣):對于n個正數a1,a2,an,它們的算術平均數不小于它們的幾何平均數,即,當且僅當a1=a2=an時,等號成立.2柯西不等式(1)二維形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是實數,則(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當且僅當ad=bc時,等

7、號成立.(2)柯西不等式的向量形式:設,是兩個向量,則|·|,當且僅當是零向量或是零向量或存在實數k使=k時,等號成立.(3)二維形式的三角不等式:設x1,y1,x2,y2r,那么.(4)一般形式的柯西不等式:設a1,a2,an,b1,b2,bn是實數,則(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,當且僅當ai=0或bi=0(i=1,2,n)或存在一個數k使得ai=kbi(i=1,2,n)時,等號成立.3證明不等式的基本方法(1)比較法;(2)綜合法;(3)分析法;(4)反證法和放縮法.考向一 絕對值不等式的求解解絕對值不等式的常用方法有：

8、（1）基本性質法：對.（2）平方法：兩邊平方去掉絕對值符號.（3）零點分區(qū)間法（或叫定義法）：含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法脫去絕對值符號，將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式（組）求解.（4）幾何法：利用絕對值的幾何意義，畫出數軸，將絕對值轉化為數軸上兩點的距離求解.（5）數形結合法：在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應的兩個函數的圖象，利用函數圖象求解.典例1 解不等式【答案】.【解析】令，令，.當時，.當時，故解集為；當時，.綜上：.【名師點睛】本題考查絕對值不等式的解法，此類問題常用“零點”分段討論法將絕對值不等式轉化為不含絕對值的不等式后再求解，屬于基礎題

9、.求解時，令和令，得和，分，三種情況分別討論，將絕對值不等式轉化為不含絕對值的不等式，求解轉化后的不等式，再求解這三種情況的解集的并集可得解.典例2 已知函數.（1）解不等式；（2）若不等式有解，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得，當時，；當時，；當時，舍去.綜上得，的解集為.（2）.有解，或，的取值范圍是.【名師點睛】該題考查的是有關絕對值不等式的問題，涉及的知識點有應用零點分段法解絕對值不等式，根據不等式有解求參數的取值范圍，屬于簡單題目.求解時，（1）對去絕對值符號，然后分別解不等式即可；（2）不等式有解，則只需，求出的最小值，然后解不等式即可. 1已知函數

10、，（1）求的解集；（2）若有兩個不同的解，求的取值范圍考向二 含絕對值不等式的恒成立問題含絕對值不等式的恒成立問題的常見類型及其解法：（1）分享參數法運用“”可解決恒成立中的參數范圍問題.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相關性質解決；將函數解析式用分段函數形式表示，作出函數圖象，求得最值；利用性質“”求最值.（2）更換主元法不少含參不等式恒成立問題，若直接從主元入手非常困難或不可能解決時，可轉換思維角度，將主元與參數互換，常可得到簡捷的解法.（3）數形結合法在研究曲線交點的恒成立問題時，若能數形結合，揭示問題所蘊含的幾何背景，發(fā)揮形象思維和抽象思維各自的優(yōu)勢，可直接解決問題.典例3 若不

11、等式log2(|x+1|+|x-2|m)2恒成立，則實數m的取值范圍是. 【答案】(,-1【解析】由題意可知|x+1|+|x2|m4恒成立，即m(|x+1|+|x2|-4)min.又|x+1|+|x2|-4|(x+1) (x2)| 4=1，故m1.典例4 已知函數fx=3x+2.（1）解不等式fx<4-x-1；（2）已知，若恒成立，求實數的取值范圍.【解析】（1）不等式可化為 .當時，式為，解得；當，式為，解得； 當x > 1時，式為，無解綜上所述，不等式的解集為 （2），令，時，要使不等式恒成立，只需，即，實數a的取值范圍是 2設函數.（1）當時，解不等式：；（2）若存

12、在，使得，試求實數的取值范圍.考向三 不等式的證明比較法證明不等式最常用的是差值比較法，其基本步驟是：作差變形判斷差的符號下結論.其中“變形”是證明的關鍵，一般通過因式分解或配方將差式變形為幾個因式的積或配成幾個代數式平方和的形式，當差式是二次三項式時，有時也可用判別式來判斷差值的符號.個別題目也可用柯西不等式來證明. 典例5 已知函數.（1）解不等式；（2）若，求證：.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】（1）.當時，由，解得； 當時，不成立；當時，由，解得綜上所述：不等式的解集為 （2），即 ，所以故所證不等式成立【名師點睛】本題考查了解絕對值不等式，不等式的證明，將絕對值不等式轉化為分

13、段函數是常用的技巧，需要靈活掌握.求解時，（1）得到分段函數，分別計算不等式得到答案.（2）不等式等價于，證明得到答案.3設正數滿足，求證：，并給出等號成立的條件.1不等式的解集為abcd2函數的最小值及取得最小值時的值分別是a1，b3，0c3，d2，3不等式無實數解，則的取值范圍是abcd4若a，b，c為正數，且a+b+c=1，則+的最小值為a9 b8c3 d5已知函數，若恒成立，則的取值范圍是abcd6若函數f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值3，則實數a的值為a-4或8b-1或-4c-1或5d5或87不等式|x+1|<2x-1的解集為_.8已知不等式|2xa|+a6的解集為2

14、,3,則實數a的值為_.9若關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍為_.10已知，函數在區(qū)間上的最大值是5，則的取值范圍是_.11若關于的不等式的解集不是，則實數的最大值是_.12設函數.（1）畫出函數的圖象；（2）若不等式的解集非空，求實數的取值范圍.13函數的最小值為.（1）求的值；（2）若，且，求的最小值14已知函數，.（1）當時，求不等式的解集；（2）若關于的不等式的解集包含，求的取值集合.15已知函數（1）當時，求不等式的解集；（2）當時，若對任意實數都成立，求的取值范圍16已知，（1）求證：；（2）求證：17已知函數.（1）求不等式的解集；（2）若函數的定義域為，求實數的取值范圍.

15、18設函數（1）若不等式的解集為，求實數的值；（2）若，求證：對任意的實數19已知函數.（1）解不等式；（2）若函數，若對于任意的r都存在r，使得成立，求實數a的取值范圍.1【2019年高考全國卷文數】已知a，b，c為正數，且滿足abc=1證明：（1）；（2）2【2019年高考全國卷文數】已知 （1）當時，求不等式的解集；（2）若時，求的取值范圍3【2019年高考全國卷文數】設，且（1）求的最小值；（2）若成立，證明：或4【2019年高考江蘇卷數學】設，解不等式5【2018年高考全國卷文數】已知（1）當時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍6【2018年高考全國卷文數】設函數（

16、1）當時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍7【2018年高考全國卷文數】設函數（1）畫出的圖像；（2）當，求的最小值8【2017年高考全國卷文數】已知函數，（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含1，1，求的取值范圍9【2017年高考全國卷文數】已知證明：（1）；（2）10【2017年高考全國卷文數】已知函數f（x）=x+1x2（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范圍變式拓展1【答案】（1）;（2）.【解析】（1）由絕對值的意義可得：，當時，得：無解；當時，解得：；當時，解得：.綜合可得的解集為：.（2）若有兩個不同的解，即的圖象與直線有兩個交

17、點，當直線過點時，當直線與中的第一段重合時，.結合圖象可得【名師點睛】本題考查了絕對值的意義、數形結合的數學思想方法，難度不大，但對作圖要求較高求解時，（1）由絕對值的意義可得：，再分段求解即可；（2）采用數形結合的數學思想方法解題，分別作的圖象與直線圖象，觀察交點個數情況，從而得出的取值范圍2【答案】（1）；（2）.【解析】（1），或或，所以或或，所以不等式的解集為.（2）即若存在，使得，因為，所以，所以的取值范圍為.【名師點睛】求解本題時，（1）由題意將不等式轉化為分段函數的形式，然后分別求解相應的不等式組即可確定不等式的解集；（2）首先利用絕對值三角不等式求得的最小值，據此得到關于a的不

18、等式即可確定實數的取值范圍.絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；法三：通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現了函數與方程的思想3【答案】見解析.【解析】因為，所以，所以，取等號時，即，所以成立.【名師點睛】（1）絕對值不等式常用的求解集方法：零點分段法、幾何意義法、圖象法；（2）利用基本不等式完成證明或者計算最值得時候一定要說明取等號的條件.對于本題，將分別利用得到等價變形，然后利用基本不等式證明，并給出取等號的條件.考點沖關1【答案】d【解析】原不等式等價于或或或或或或或故d正確【名師點睛】本題考

19、查絕對值不等式，屬于基礎題.求解時，討論與與1的大小關系，將絕對值拿掉，再解不等式即可.2【答案】c【解析】依題意，當且僅當，即時等號成立，故選c【名師點睛】本小題主要考查絕對值不等式，以及絕對值不等式等號成立的條件，屬于基礎題.求解時，利用絕對值不等式，求得函數的最小值，并求得對應的值.3【答案】c【解析】由絕對值不等式的性質可得，即.因為無實數解，所以.故選c【名師點睛】本題考查了絕對值不等式的性質，利用絕對值不等式的性質解出變量的范圍是解決問題的關鍵.求解時，利用絕對值不等式的性質，因此得出的范圍，再根據無實數解得出的范圍.4【答案】a【解析】，當且僅當時等號成立，故所求的最小值為，故選

20、a5【答案】b【解析】根據絕對值三角不等式，得，的最小值為，恒成立，等價于的最小值大于等于2，即，或，即或，故選b【名師點睛】本題主要考查了絕對值三角不等式的應用及如何在恒成立條件下確定參數a的取值范圍.求解時，利用絕對值三角不等式確定的最小值；把恒成立的問題，轉化為其等價條件去確定a的范圍.6【答案】a【解析】由f(x)=|x+1|+|2x+a|，當a=2時，f(x)=3|x+1|0，不合題意；當a<2時，得；當時，得.故選a7【答案】(2,+)【解析】|x+1|<2x-1，x-1x+1<2x-1或x<-1-x-1<2x-1，解得x2，故所求不等式的解集是（2，

21、+）.8【答案】1【解析】由|2xa|+a6,得a62xa6a,所以a3x3,所以a=1.9【答案】【解析】由絕對值不等式的性質可得： ，又關于的不等式的解集為，即恒成立，所以只需.故答案為：.【名師點睛】本題主要考查由不等式恒成立求參數的問題，熟記絕對值不等式的性質即可，屬于常考題型.求解時，先由絕對值不等式性質得到，再由題意，即可得出結果.10【答案】【解析】由題可知，即，所以，又因為，所以，故，又因為，所以，解得，故.11【答案】【解析】不等式變形為，構造函數，當時，；當時，；當時，.即，畫出函數圖象如下圖所示:因為的解集不是空集，即有解，所以從圖象可知，即實數的最大值是3.故答案為3.

22、【名師點睛】本題考查了分類討論絕對值不等式相關問題，將不等式轉化為函數，結合圖象來分析參數取值是常用方法，屬于基礎題.求解時，將不等式變形，并構造函數，對分類討論，求得不同取值范圍內解析式.畫出函數圖象，并根據圖象求得的取值范圍.12【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）函數，當時，當時，.則函數的圖象如圖所示：（2）由題得，即有解.所以，又（當時取等號），所以，則，可得.【名師點睛】本題主要考查了不等式選講的內容，一般地，對含有絕對值的函數，采用零點分段法，即可把絕對值去掉，屬于中檔題.求解時，（1）去掉絕對值，再根據解析式畫出圖象即可.（2）根據題意，將不等式的解集非空，轉化為有解，

23、由三角不等式求出的最小值，解不等式，即可得出實數得取值范圍.13【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意，函數當時，函數的最小值為；當時，函數的最小值；當時，函數的最小值為，所以函數的最小值為，即.（2）由（1）知，則，則，當且僅當且，即時取等號，所以的最小值為.【名師點睛】本題主要考查了含絕對值函數的應用，以及利用基本不等式求最值問題，其中解答中合理去掉絕對值得到分段函數，以及準確利用基本不等式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.求解時，（1）由題意，去掉絕對值，得到分段函數，即可求得函數的最小值，得到答案.（2）由（1）知，則，利用基本不等式，即可求得的最小值，得

24、到答案.14【答案】（1）；（2）.【解析】（1）時，.即，由可解得或，所以不等式的解為.（2）由在上恒成立，由于，可得（當且僅當a=1時取等號），不等式等價于在上恒成立，即在上恒成立，即，可得，故的取值集合為.【名師點睛】本題主要考查了絕對值不等式的解法，絕對值的幾何意義，恒成立問題，分離參數的方法，屬于難題.求解時，（1）時，根據絕對值的幾何意義即可求解（2）不等式的解集包含，即在上恒成立，去掉絕對值號，分離參數即可求解.15【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當時，由得，即，解得.當時，關于的不等式的解集為.（2）當時，所以在上是減函數，在上是增函數，所以，由題設得，解得.當時，所以在

25、上是減函數，在上是增函數，所以，由題設得，解得.綜上所述，的取值范圍為.【名師點睛】本題考查絕對值函數，絕對值函數其本質就是分段函數，通過討論絕對值里面的正負號，將絕對值去掉是解本類題的關鍵，屬于中檔題.求解時，（1）當時，解出即可.（2）討論的取值，去掉絕對值，找到，即可求出的取值范圍.16【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1），時取等號（2），所以，時取等號【名師點睛】本題主要考查利用均值不等式證明不等式的方法，不等式的靈活變形等知識，屬于中等題.求解時，（1）由結合均值不等式進行整理變形即可證得題中的結論；（2）由題意利用均值不等式首先證得，然后結合題意即可證得題中的結論，注

26、意等號成立的條件.17【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得：，當時，解得：，；當時，解得：，；當時，解得：，解集為.綜上所述，不等式的解集為.（2）要使函數的定義域為，只要的最小值大于即可.又（當且僅當時取等號），解得：.實數的取值范圍為.【名師點睛】本題考查分類討論求解絕對值不等式、絕對值三角不等式的應用；涉及到根據對數型復合函數的定義域求解參數范圍的問題；關鍵是能夠將問題轉化為函數最值的求解問題，利用絕對值三角不等式求得最值.求解時，（1）分別在、和三種情況下去掉絕對值符號，解不等式求得結果；（2）將問題轉化為最小值大于；利用絕對值三角不等式可求得，根據求得結果.18【答案】（1）；

27、（2）見解析.【解析】（1）因為不等式的解集為，所以是方程的根，所以，解得或，當時，的解集為，不合題意，舍去.經驗證，當時不等式的解集為，符合題意，所以.（2）因為，即，所以對任意的實數即+得因為，所以，所以即，故得證.【名師點睛】本題考查方程的根和所對應的不等式的解集之間的關系和絕對值三角不等式的應用，屬于基礎題.求解時，（1）根據方程的根與所對應的不等式的解集之間的關系，建立方程求得a，注意檢驗所對應的解集是否滿足題意；（2）利用絕對值三角不等式：，對函數進行放縮得證.19【答案】（1）；（2）.【解析】（1）.由得，故所求解集為. （2），由（1）知，.【名師點睛】本題考查了絕對值不等式

28、，絕對值三角不等式和函數最值問題，是中檔題求解時，（1）利用分類討論法去掉絕對值，從而求得不等式f（x）2的解集；（2）利用絕對值不等式化簡g（x）|a1|，求出函數f（x）的最小值，問題化為|a1|，求出不等式的解集即可直通高考1【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）因為，又，故有所以（2）因為為正數且，故有=24所以【名師點睛】本題考查利用基本不等式進行不等式的證明問題，考查學生對于基本不等式的變形和應用能力，需要注意的是在利用基本不等式時需注意取等條件能否成立2【答案】（1）；（2）【解析】（1）當a=1時，當時，；當時，所以，不等式的解集為（2）因為，所以當，時，所以，的取值范圍是【名師點睛】本題主要考查含絕對值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于常考題型3【答案】（1）；（2）見詳解【解析】（1）由于，故由已知得，當且僅當x=，y=，時等號成立所以的最小值為（2）由于，故由已知，當且僅當，時等號成立因此的最小值為由題設知，解得或【名師點睛】