1、    隨機變量母函數(shù)在常見離散型隨機變量的應(yīng)用    劉奕君摘要：母函數(shù)是處理整值隨機變量的瑞士軍刀。本文詳細闡述了母函數(shù)的概念以及其和隨機變量數(shù)學(xué)期望及方差的聯(lián)系；并且利用隨機變量的母函數(shù)給出了幾個主要離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差。關(guān)鍵詞：整值隨機變量；母函數(shù)；數(shù)學(xué)期望；方差一、特殊離散型隨機變量母函數(shù)的概念及性質(zhì)（一）整值隨機變量和母函數(shù)本小節(jié)主要介紹一種特殊的離散型隨機變量及其母函數(shù)的概念和性質(zhì)。我們稱取非負整數(shù)值的隨機變量為整值隨機變量，顯然整值隨機變量是一種離散型隨機變量。對于整值隨機變量，有一種處理方法很便于利用，這就是母函數(shù)法。定義1

2、整值隨機變量的可能取值為0，1，2，對應(yīng)的概率分別為p0，p1，p2，則稱為隨機變量的母函數(shù)。（二）隨機變量母函數(shù)和隨機變量數(shù)字特征的聯(lián)系關(guān)于一般離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望有一個著名的統(tǒng)計學(xué)公式，由以下定理給出。定理1（佚名統(tǒng)計學(xué)公式）若函數(shù)f （x）為連續(xù)函數(shù)，若離散型隨機變量x的可能取值為x0，x1，x2，對應(yīng)的概率分別為p0，p1，p2，令隨機變量y為隨機變量x的函數(shù)，即y= f （x ），那么隨機變量y的數(shù)學(xué)期望為，由佚名統(tǒng)計學(xué)公式，整值隨機變量的母函數(shù)可以寫為，整值隨機變量母函數(shù)的一個重要應(yīng)用是可以建立母函數(shù)和隨機變量數(shù)字特征的聯(lián)系，進而可以通過母函數(shù)給出隨機變量的重要數(shù)字特征。首

3、先可以給出隨機變量母函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，隨機變量母函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在1處的導(dǎo)數(shù)即為該隨機變量的數(shù)學(xué)期望，隨機變量母函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)和隨機變量的方差存在密切的聯(lián)系，首先隨機變量母函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為，由佚名統(tǒng)計學(xué)公式，隨機變量的母函數(shù)在1處的二階導(dǎo)數(shù)為，因此隨機變量的方差和母函數(shù)的關(guān)系，二、幾種整值隨機變量的母函及重要數(shù)字特征（一）二項分布二項分布是伯努利分布的推廣，在n重獨立重復(fù)試驗中，記某事件a出現(xiàn)的概率為p，定義隨機變量x1為某事件a發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機變量x1服從二項分布，記作x1b（n， p）.隨機變量x1的概率分布為，隨機變量x1的母函數(shù)為，隨機變量x1的母函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為，由隨機變量x1母函數(shù)的一

4、階導(dǎo)數(shù)可以給出隨機變量x1的數(shù)學(xué)期望，隨機變量x1的母函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為，由隨機變量x1母函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)可以給出隨機變量x1的方差，（二）幾何分布進行無窮次獨立重復(fù)試驗，設(shè)每次試驗中事件b出現(xiàn)的概率為p，若將試驗進行到出現(xiàn)一次事件b為止，以隨機變量x2表示試驗進行的總次數(shù)，則稱x2服從幾何分布，記作x2g（ p）.幾何分布的概率分布為，其中，k=1，2，3，.隨機變量x2的母函數(shù)為，隨機變量x2母函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，隨機變量x2母函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為，隨機變量x2的數(shù)學(xué)期望為，隨機變量x2的方差為，（三）泊松分布假設(shè)隨機變量x3的可能取值為所有自然數(shù)，并且x3的概率分布為，其中，>0 為正常數(shù)，則稱

5、隨機變量x3服從泊松分布，記作，x3p（）.隨機變量x3的母函數(shù)為，隨機變量x3母函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，隨機變量x3的數(shù)學(xué)期望為，隨機變量x3母函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)為，隨機變量x3的方差為，（四）帕斯卡分布帕斯卡分布式幾何分布的推廣，在獨立重復(fù)實驗中，設(shè)每次試驗中事件b出現(xiàn)的概率為p，若將試驗進行到出現(xiàn)r次事件b為止，以隨機變量x4表示試驗進行的總次數(shù)，則稱x4服從帕斯卡分布，記作x4pa（ p， r）.帕斯卡分布的概率分布為，隨機變量x4的母函數(shù)為，隨機變量x4母函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，隨機變量x4母函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)為，隨機變量x4的數(shù)學(xué)期望為，隨機變量x4的方差為，三、小結(jié)母函數(shù)法處理隨機變量有很大的優(yōu)勢，使計算隨機變量的數(shù)字特征變得容易，但同時也有其局限性，只有整值隨機變量才有母函數(shù)；一般的隨機變量可用隨機變量的特征函數(shù)進行處理。參考文獻：1莊光明，于興江，劉啟德，等.基于伯努利試驗的概率分布及其應(yīng)用j.聊城大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，22（3）：34-37.2王思儉.探公式