1、考點09 函數與方程（1）結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數.（2）根據具體函數的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似解.一、函數的零點1函數零點的概念對于函數，我們把使成立的實數x叫做函數的零點2函數的零點與方程的根之間的聯系函數的零點就是方程的實數根，也就是函數的圖象與x軸的交點的橫坐標即方程有實數根函數的圖象與x軸有交點函數有零點【注】并非所有的函數都有零點，例如，函數f(x)=x21，由于方程x21=0無實數根，故該函數無零點3二次函數的零點二次函數的圖象與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點零點個數2104零點存在性

2、定理如果函數在區間a，b上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有，那么，函數在區間內有零點，即存在c(a，b)，使得，這個也就是方程的根.【注】上述定理只能判斷出零點存在，不能確定零點個數.5常用結論(1)若連續不斷的函數是定義域上的單調函數，則至多有一個零點；(2)連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號；(3)函數有零點方程有實數根函數與的圖象有交點；(4)函數有零點方程有實數根函數與的圖象有交點，其中為常數.二、二分法1二分法的概念對于在區間a，b上連續不斷且的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法2用二

3、分法求函數零點近似值的步驟給定精確度，用二分法求函數零點近似值的步驟如下：確定區間a，b，驗證，給定精確度；求區間(a，b)的中點c；計算f(c)；a若f(c)=0，則c就是函數的零點；b若f(a)·f(c)<0，則令b=c(此時零點x0(a，c)；c若f(c)·f(b)<0，則令a=c(此時零點x0(c，b)判斷是否達到精確度：即若|ab|<，則得到零點近似值a(或b)；否則重復.【速記口訣】定區間，找中點；中值計算兩邊看，同號丟，異號算，零點落在異號間重復做，何時止，精確度來把關口考向一 函數零點（方程的根）所在區間的判斷函數零點的判定方法(1)定義法

4、（定理法）：使用零點存在性定理，函數必須在區間a，b上是連續的，當時，函數在區間(a，b)內至少有一個零點(2)方程法：判斷方程是否有實數解(3)圖象法：若一個函數(或方程)由兩個初等函數的和(或差)構成，則可考慮用圖象法求解，如，作出和的圖象，其交點的橫坐標即為函數f(x)的零點.典例1 函數的零點所在的區間為a b c d【答案】d【解析】易知函數的圖象是連續的，且通過計算可得，由函數零點存在性定理可得函數零點所在的區間為.本題選擇d選項.【規律總結】首先確定函數是連續函數，然后結合函數零點存在性定理求解函數零點所在的區間即可.判斷函數零點所在區間的方法：一般而言，判斷函數零點所在區間的方

5、法是將區間端點代入函數求出函數的值，進行符號判斷即可得出結論此類問題的難點往往是函數值符號的判斷，可運用函數的有關性質進行判斷典例2 在用二分法求方程的一個近似解時，現在已經將根鎖定在區間(1,2)內，則下一步可以斷定該根所在區間為_.【答案】【解析】令，故下一步可以斷定根所在區間為.故填.1已知函數的零點在區間內，則的取值范圍是abc d2已知函數（1）證明方程f（x）=0在區間（0，2）內有實數解；（2）請使用二分法，取區間的中點兩次，指出方程f（x）=0，x0，2的實數解x0在哪個較小的區間內考向二 函數零點個數的判斷判斷函數零點個數的方法(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，則

6、有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數在區間a，b上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點或零點值所具有的性質(3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，先畫出兩個函數的圖象，看其交點個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.典例3 函數的零點個數是a1b2c3d4【答案】b【解析】要使函數有意義，則，即或，由或，則函數的零點個數為2.故選b典例4 函數f(x)=2xlg(x1) 2的零點有a0個b1個c2個d3個【答案】b【解析】解法

7、一：因為f(0)=102=1<0，f(2)=4lg32=2+lg3>0，所以由函數零點存在性定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零點又f(x)=2xlg(x1)2在(1，)上為增函數，故f(x)=0有且只有一個實根，即函數f(x)僅有一個零點故選b.解法二：在同一坐標系中作出h(x)=22x和g(x)=lg(x1)的圖象，如圖所示，由圖象可知h(x)=22x和g(x)=lg(x1)有且只有一個交點，即f(x)=2xlg(x1)2與x軸有且只有一個交點，即函數f(x)僅有一個零點故選b.3已知函數，若函數存在零點，則實數a的取值范圍是abcd考向三 函數零點的應用問題高考對函數零點

8、的考查多以選擇題或填空題的形式出現，有時也會出現在解答題中常與函數的圖象及性質相結合，且主要有以下幾種常見類型及解題策略1已知函數零點所在區間求參數或參數的取值范圍根據函數零點或方程的根求解參數的關鍵是結合條件給出參數的限制條件，此時應分三步：判斷函數的單調性；利用零點存在性定理，得到參數所滿足的不等式；解不等式，即得參數的取值范圍在求解時，注意函數圖象的應用2已知函數零點的個數求參數或參數的取值范圍一般情況下，常利用數形結合法，把此問題轉化為求兩函數圖象的交點問題3借助函數零點比較大小或直接比較函數零點的大小關系要比較f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)、f(b)與0的大小若直接比較

9、函數零點的大小，則可有以下三種常用方法：求出零點，直接比較大小；確定零點所在區間；同一坐標系內畫出函數圖象，由零點位置關系確定大小.典例5 對任意實數a，b定義運算“”：,設，若函數恰有三個零點，則實數k的取值范圍是a(2,1) b0,1c2,0) d2,1)【答案】d【解析】由新定義可得，即.其圖象如圖所示，所以由恰有三個零點可得，1<k2，所以2k<1.故選d.4已知函數f(x)=lnxx,x1ax2-a,x<1，若函數g(x)=f(x)-13恰有2個零點，則a的取值范圍為_1下列函數中，既是偶函數又存在零點的是a b c d2函數的零點所在的一個區間是a（-2，-1）b

10、（-1,0）c（0,1）d（1,2）3命題，命題函數在上有零點，則是的a充分必要條件 b充分不必要條件c必要不充分條件 d既不充分也不必要條件4已知曲線在點處的切線方程為，則函數的零點所在的大致區間為abcd5若定義在r上的函數fx滿足f(x+2)=f(x)且x-1,1時，fx=x，則方程fx=log3x的根的個數是a4b5c6d76已知函數f(x)=x+2,x<0,x2+12,x0,則函數y=ff(x)-1的零點個數為a2b3c4d57設方程兩個根分別為，則a b c d8已知函數滿足 ，且是偶函數，當時，若在區間內，函數有 4 個零點，則實數的取值范圍是a b c d9已知是定義在上

11、的奇函數，且，當時，則函數在區間上的所有零點之和為a2b4c6d810若函數f(x)=e-x-ln(x+a)在(0,+)上存在零點，則實數a的取值范圍是abcd11已知函數，若方程恰有三個不同的實數根，則實數的取值范圍為abcd12已知函數的零點，則整數的值為_.13函數的所有零點之和等于_14已知函數f(x)=|lnx|,x>0x+1,x0，若函數y=f(x)-a2有3個零點，則實數a的取值范圍是_.15已知函數，若在區間上方程只有一個解，則實數的取值范圍為_16已知函數.（1）若，判斷函數的零點個數；（2）若對任意實數，函數恒有兩個相異的零點，求實數的取值范圍；（3）已知且，求證：方

12、程在區間上有實數根.1（2019年高考全國卷理數）設函數的定義域為r，滿足，且當時，若對任意，都有，則m的取值范圍是ab c d2（2019年高考浙江）已知，函數若函數恰有3個零點，則aa<1，b<0 ba<1，b>0 ca>1，b<0 da>1，b>0 3（2019年高考江蘇）設是定義在r上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數.當時，其中k>0.若在區間(0，9上，關于x的方程有8個不同的實數根，則k的取值范圍是 .4（2018年高考新課標i卷理科）已知函數若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是a1，0） b0，+） c1

13、，+） d1，+）5（2017年高考新課標卷理科）設函數，則下列結論錯誤的是a的一個周期為 b的圖象關于直線對稱c的一個零點為d在(,)單調遞減6（2017年高考新課標卷理科）已知函數有唯一零點，則a=abcd17(2016年高考天津卷理科) 已知函數(a0，且a1)在r上單調遞減，且關于x的方程恰有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是a bcd8（2018年高考新課標卷理科）函數在的零點個數為_9（2018年高考浙江卷）已知r，函數f(x)=，當=2時，不等式f(x)<0的解集是_若函數f(x)恰有2個零點，則的取值范圍是_10（2018年高考天津卷理科）已知，函數若關于的方程恰有2個

14、互異的實數解，則的取值范圍是_.11（2017年高考江蘇）設是定義在上且周期為1的函數，在區間上，其中集合，則方程的解的個數是_12（2016年高考山東卷理科）已知函數，其中若存在實數b，使得關于x的方程有3個不同的根，則實數m的取值范圍是_變式拓展1【答案】b【解析】由題知f(x)單調，故即解得.故選b2【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1），又函數是連續函數，由函數的零點存在性定理可得方程在區間內有實數解（2）取，得，由此可得，則下一個有解區間為，再取，得，由此可得，則下一個有解區間為，綜上所述，所求實數解在較小區間內.【思路分析】（1）通過與的乘積小于0，利用零點的存在性定理證明即可

15、；（2）利用二分法求解方程的近似解的方法，轉化求解即可3【答案】d【解析】函數的圖象如圖：若函數存在零點，則實數a的取值范圍是（0，+）故選d【名師點睛】函數零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間a，b上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點4【答案】(-13,0【解析】函數gxfx-13恰有2個

16、零點，則函數y=fx和y=13的圖象有兩個不同的交點令hx=lnxx，則h'x=1-lnxx2，當1xe時，h'x>0，當x>e時，h'x<0，所以hx在1,e上為增函數，在e,+上為減函數，且最大值為he=1e>13，當a>0時，易知不滿足題意；當a=0時，滿足題意；當a<0時，如圖所示，由圖象可知，-13<a<0綜上可知，a的取值范圍為-13,0故答案為-13,0【名師點睛】（1）本題主要考查了分段函數的零點個數問題，考查了利用導數判斷函數的單調性，還考查了分類思想及數形結合思想，屬于中檔題（2）零點問題是高中數學的一

17、個重要問題，常用的方法有方程法、圖象法、方程+圖象法.考點沖關1【答案】c【解析】選項a中，函數無零點，不合題意，故a不正確.選項b中，函數不是偶函數，不合題意，故b不正確.選項c中，函數是偶函數又存在零點，符合題意，故c正確.選項d中，函數不是偶函數，不合題意，故d不正確.綜上可知選c.2【答案】b【解析】易知函數在定義域上單調遞增且連續，且，f(0)=1>0，所以由零點存在性定理得，零點所在的區間是（-1,0）.故選b.【名師點睛】本題考查函數的單調性和零點存在性定理，屬于基礎題. 3【答案】c【解析】由題意得函數在上單調遞增，又函數在上有零點，所以，解得Ý，是的必要不充分

18、條件故選c4【答案】c【解析】由題意，函數，可得，則，在點處的切線方程為，切線斜率為，則，又由，得，解得，則，故函數的零點所在的大致區間為故選c【名師點睛】本題主要考查了導數的幾何意義，以及函數零點的存在性定理的應用，其中解答中熟記導數的幾何意義，熟練利用零點的存在性定理是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題5【答案】a【解析】因為函數fx滿足fx+2=fx，所以函數fx是周期為2的周期函數.又x-1,1時，fx=|x|，所以函數fx的圖象如圖所示.再作出y=log3x的圖象，如圖，易得兩函數的圖象有4個交點，所以方程f(x)=log3|x|有4個根故選a【名師點睛】本題考查函數與

19、方程，函數的零點、方程的根、函數圖象與x軸交點的橫坐標之間是可以等價轉化的.6【答案】b【解析】由題意，令f(f(x)-1=0，得ff(x)=1，令f(x)=t,由f(t)=1，得t=-1或t=22，作出函數fx的圖象，如圖所示，結合函數f(x)的圖象可知，f(x)=-1有1個解，f(x)=22有2個解，故y=ff(x)-1的零點個數為3.故選b【名師點睛】本題主要考查了函數的零點問題，其中令f(x)=t,由f(t)=1，得到t=-1或t=22，作出函數fx的圖象，結合函數f(x)的圖象求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題7【答案】a【解析】作出函數的圖象，

20、由圖象可知，兩個根一個小于，一個區間內，不妨設，則，兩式相減得：，即，故選a8【答案】d【解析】由題意可知函數是周期為的偶函數，結合當時，繪制函數的圖象如下圖所示，函數有4個零點，則函數與函數的圖象在區間內有4個交點，結合函數圖象可得：當時，求解對數不等式可得：，即實數的取值范圍是.本題選擇d選項.【名師點睛】由題意確定函數的性質，然后將原問題轉化為兩個函數的圖象有4個交點的問題求解實數a的取值范圍即可.函數零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間a，b上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(

21、b)0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點9【答案】d【解析】由題意得，即函數的周期4.，的圖象關于對稱.作出的圖象如圖所示，函數的零點即為圖象與圖象的交點的橫坐標，四個交點分別關于點對稱，則，即零點之和為8.故選d10【答案】b【解析】函數f(x)=e-x-ln(x+a)在(0,+)上存在零點，即e-x-ln(x+a)=0在(0,+)上有解，令函數g(x)=e-x，h(x)=ln(x+a)，e-x-ln(x+a)=0在(0,+)上有解即函

22、數g(x)與函數h(x)的圖象在(0,+)上有交點，函數h(x)的圖象就是函數k(x)=lnx的圖象向左平移a個單位，如圖所示，函數k(x)=lnx向左平移時，當函數圖象過點(0,1)之后，與函數g(x)=e-x的圖象沒有交點，此時h(0)=ln(0+a)=1，a=e，故a的取值范圍為(-,e).故選b.11【答案】d【解析】可變形為，即或，由題可知函數的定義域為，當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減，畫出函數的大致圖象，如圖所示，當且僅當時，因為方程恰有三個不同的實數根，所以恰有兩個不同的實數根，即的圖象有兩個交點，由圖可知時，的圖象有兩個交點，所以實數的取值范圍為.故選d12【答案】3【

23、解析】由題意知：在上單調遞增，若存在零點，則存在唯一一個零點，又，由零點存在性定理可知：，則.故答案為.13【答案】【解析】令，則.設，則，解得(舍去)或.所以，解得或.所以函數有兩個零點，它們之和等于【名師點睛】本題考查函數的零點，通過解方程來求函數的零點.14【答案】-1,0)(0,1【解析】由題意得方程f(x)-a2=0有三個不同的實數根，即方程f(x)=a2有三個不同的實數根，所以函數y=f(x)和函數y=a2的圖象有三個不同的交點畫出函數y=f(x)的圖象如下圖所示，結合圖象可得，要使兩函數的圖象有三個不同的交點，則需滿足0<a21，解得-1a<0或0<a1，所以實

24、數a的取值范圍是-1,0)(0,1故答案為-1,0)(0,1【名師點睛】解答本題時注意兩點：一是把問題轉化為兩個函數圖象公共點個數的問題求解；二是利用數形結合的方法解題考查轉化思想和畫圖、識圖、用圖的能力.15【答案】或【解析】當時，由，得，即；當時，由，得，即.令函數，則問題轉化為函數與函數的圖象在區間上有且僅有一個交點.在同一平面直角坐標系中畫出函數與在區間上的大致圖象如下圖所示：結合圖象可知：當，即時，兩個函數的圖象只有一個交點；當時，兩個函數的圖象也只有一個交點，故所求實數的取值范圍是.【名師點睛】已知方程的解的個數求參數的取值范圍時，要根據方程的特點去判斷零點的分布情況（特別是對于分

25、段函數對應的方程），也可以參變分離，把方程的解的問題歸結為不同函數的交點的個數問題16【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.【解析】（1），,當時，函數有一個零點； 當時，函數有兩個零點.（2）已知，則對于恒成立,即恒成立，,從而解得. 故實數的取值范圍是.（3）設，則，, 在區間上有實數根，即方程在區間上有實數根. 【思路點撥】（1）利用判別式判定二次函數的零點個數；（2）零點個數問題轉化為圖象交點個數問題，利用判別式處理即可；（3）利用零點的定義，將方程在區間上有實數根，轉化為函數在區間上有零點，結合零點存在性定理可以證明.【名師點睛】已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路：（

26、1）直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解直通高考1【答案】b【解析】，時，；時，；時，如圖：當時，由解得，若對任意，都有，則.則m的取值范圍是.故選b.【名師點睛】本題考查了函數與方程，二次函數.解題的關鍵是能夠得到時函數的解析式，并求出函數值為時對應的自變量的值.2【答案】c【解析】當x0時，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得x=b1-a，則yf（x）axb最多有一個零點；當x0時，yf（x）ax

27、b=13x3-12（a+1）x2+axaxb=13x3-12（a+1）x2b，當a+10，即a1時，y0，yf（x）axb在0，+）上單調遞增，則yf（x）axb最多有一個零點，不合題意；當a+10，即a>1時，令y0得x(a+1，+），此時函數單調遞增，令y0得x0，a+1），此時函數單調遞減，則函數最多有2個零點.根據題意，函數yf（x）axb恰有3個零點函數yf（x）axb在（，0）上有一個零點，在0，+）上有2個零點，如圖：b1-a0且-b013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b0，解得b0，1a0，b-16（a+1）3，則a>1，b<0.故選c【名師點睛】

28、本題考查函數與方程，導數的應用.當x0時，yf（x）axbxaxb（1a）xb最多有一個零點；當x0時，yf（x）axb=13x3-12（a+1）x2b，利用導數研究函數的單調性，根據單調性畫出函數的草圖，從而結合題意可列不等式組求解3【答案】【解析】作出函數，的圖象，如圖：由圖可知，函數的圖象與的圖象僅有2個交點，即在區間(0，9上，關于x的方程有2個不同的實數根，要使關于的方程有8個不同的實數根，則與的圖象有2個不同的交點，由到直線的距離為1，可得，解得，兩點連線的斜率，綜上可知，滿足在(0,9上有8個不同的實數根的k的取值范圍為.【名師點睛】本題考查分段函數，函數的圖象，函數的性質，函數

29、與方程，點到直線的距離，直線的斜率等，考查知識點較多，難度較大.正確作出函數，的圖象，數形結合求解是解題的關鍵因素.4【答案】c【解析】畫出函數的圖象，在y軸右側的圖象去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發現當直線過點（0,1）時，直線與函數圖象有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數的圖象有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數有兩個零點，此時滿足，即，故選c【名師點睛】該題考查的是有關已知函數零點個數求有關參數的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的思路是將函數零點個數問題轉化為方程解的個數問題，將式子移項變形，轉化為兩條曲線交點的問題，畫出函數的圖象以及相應的直線，在直線移動的

30、過程中，利用數形結合思想，求得相應的結果.即：首先根據g（x）存在2個零點，得到方程有兩個解，將其轉化為有兩個解，即直線與曲線有兩個交點，根據題中所給的函數解析式，畫出函數的圖象，再畫出直線，并將其上下移動，從圖中可以發現，當時，滿足與曲線有兩個交點，從而求得結果.5【答案】d【解析】函數的最小正周期為，則函數的周期為，取，可得函數的一個周期為，選項a正確；函數圖象的對稱軸為，即，取，可得y=f(x)的圖象關于直線對稱，選項b正確；，函數的零點滿足，即，取，可得的一個零點為，選項c正確；當時，函數在該區間內不單調，選項d錯誤.故選d.【名師點睛】（1）求最小正周期時可先把所給三角函數式化為或的

31、形式，則最小正周期為；奇偶性的判斷關鍵是看解析式是否為或的形式.（2）求的對稱軸，只需令，求x即可；求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令即可.6【答案】c【解析】函數的零點滿足，設，則，當時，；當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增，當時，函數取得最小值，為.設，當時，函數取得最小值，為，若，函數與函數沒有交點；若，當時，函數和有一個交點，即，解得.故選c.【名師點睛】函數零點的應用主要表現在利用零點求參數范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉化為構造兩個函數，利用兩個函數圖象的關系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現了數形結合思想的應用.7【

32、答案】c 【解析】當時，f(x)單調遞減，必須滿足0，故0a，此時函數f(x)在0，)上單調遞減，若f(x)在r上單調遞減，還需，即，所以結合函數圖象，當x0時，函數y=|f(x)|的圖象和直線y=2x有且只有一個公共點，即當x0時，方程|f(x)|=2x只有一個實數解因此，只需當x0時，方程|f(x)|=2x恰有一個實數解根據已知條件可得，當x0時，f(x)0，即只需方程f(x)=2x恰有一個實數解，即，即在(，0)上恰有唯一的實數解，判別式，因為，所以當3a20，即a時，方程有一個正實根、一個負實根，滿足要求；當3a2=0，即a=時，方程的一個根為0，一個根為，滿足要求；當3a20，即a時，因為 (2a1)0，此時方程有兩個負實根，不滿足要求；當a=時，方程有兩個相等的負實根，滿足要求綜上可知，實數a的取值范圍是故選c8【答案】【解析】，由題可知或，解得或，故有3個零點.【名師點睛】本題主要考查三角函數的性質和函數的零點，屬于基礎題.解題時，首先求出的范圍，再