1、【最新考綱解讀】1圓錐曲線(1)了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用 (2)把握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡潔性質(3)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它們的簡潔幾何性質 (4)了解圓錐曲線的簡潔應用(5)理解數形結合的思想 2曲線與方程結合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關系，進一步感受數形結合的基本思想【回歸課本整合】1. 橢圓的第肯定義：平面內到兩個定點f , f 的距離之和等于定長（ > f f）的點的軌跡.1212留意：橢圓中，與兩個定點f ，f 的距離的和等于常數2a ，且此常數2a 肯定要大于 f

2、f，1212當常數等于 f f時，軌跡是線段f f ，當常數小于 f f時，無軌跡。1212122. 直線和橢圓的位置關系（1）位置關系推斷：直線與橢圓方程聯立方程組，消掉y，得到ax2 + bx + c = 0 的形式（這里的系數a 肯定不為 0），設其判別式為d ，（1） 相交： d > 0 Û 直線與橢圓相交；（2） 相切： d = 0 Û 直線與橢圓相切；（3） 相離： d < 0 Û 直線與橢圓相離；(2 弦長公式：（1） 若直線 y = kx + b 與圓錐曲線相交于兩點a、b，且 x , x分別為a、b 的橫坐標，則 ab121+ k 2

3、 x- x12，若 y , y12分別為 a、b 的縱坐標，則 ab - y，若弦 ab1 + 1yk 212所在直線方程設為 x = ky + b ，則 ab - y。1+ k 2y12b2（2） 焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦a2轉化為兩條焦半徑之和后， 利用其次定義求解。橢圓x2 + y2= 1(a > b > 0) 左焦點弦| ab |= 2a + e(x1+ x ) ,右焦點弦| ab |= 2a - e(x21+ x ) .其中最短的為通徑： 2b2 ,最長為2a ；a2（3） 橢圓的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理

4、”或“點差法”求解。在橢圓a 2b2x 2 + y 2 = 1中，以 p(x , y00) 為中點的弦所在直線的斜率k = -b2 x0a2 y.03. 與焦點三角形相關的結論橢圓上的一點與兩焦點所構成的三角，通常叫做焦點三角形.一般與焦點三角形的相關問題常利用橢圓的第肯定義和正弦、余弦定理求解.設橢圓上的一點p(x , y ) 到兩焦點 f , f 的a 2b20012距離分別為r , r，焦點df pf的面積為 s ，設Ðf pf= q ,則在橢圓 x 2+ y 2= 1中，有以121212下結論：(1)q arccos( 2b 2r r- 1)，且當r1= r 即 p 為短軸端

5、點時，q2最大為qmaxb 2 - c 2a 2 arccos；1 2（2） | pf1| pf |=22b2；焦點三角形的周長為2(a + c) ；1+ cosq1sinqq(3) s =r r sinq =b2 = b2 tan= c | y| ，當| y|= b 即 p 為短軸端點時，s的1+ cosq22 1 200max最大值為bc ；4. 直線和拋物線的位置關系（1）位置關系推斷：直線y = kx + m(m ¹ 0) 與雙曲線方程 y2= 2 px( p > 0) 聯立方程組，消掉 y，得到k 2 x2 + 2(mk - p)x + m2 = 0 的形式，當 k

6、= 0 ，直線和拋物線相交，且與拋物線的對稱軸并行，此時與拋物線只有一個交點，當k ¹ 0 設其判別式為d ，相交： d > 0 Û 直線與拋物線有兩個交點；相切： d = 0 Û 直線與拋物線有一個交點；相離： d < 0 Û 直線與拋物線沒有交點.留意：過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線.（ 2 ） 焦點弦： 若拋物線 y2= 2 px( p > 0) 的焦點弦為 ab, a(x , y ), b(x , y) ， 則有11224| ab|= x + x + p, x x = p2

7、 , y y =-p2 .121 21 2p（3） 在拋物線 y2= 2 px( p > 0) 中，以 p(x , y00) 為中點的弦所在直線的斜率k =.y0（4） 若oa、ob 是過拋物線 y2 定點(2 p,0) ,反之亦成立.= 2 px( p > 0) 頂點o 的兩條相互垂直的弦，則直線ab 恒經過5. 求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：步 驟1、“建”：建立坐標系；“設”：設動點坐標.2、現(限)：由限制條件，列出幾何等式.含 義建立適當的直角坐標系，用(x,y)表示曲線上任意一點m 的坐標.寫出適合條件 p 的點 m的集合 p=m|p(m)說明(1) 所爭辯

8、的問題已給出坐標系，即可直接設點.(2) 沒有給出坐標系，首先要選取適當的坐標系.這是求曲線方程的重要一步，應認真分析題意，使寫出的條件簡明正確.3、“代”：代換用 坐 標 法 表 示 條 件 經常用到一些公式. p(m)，列出方程 f(x,y)=04、“化”：化簡5、證明化方程 f(x,y)=0 為最簡形式.證明化簡以后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點.要留意同解變形.化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產生不增根或失根，應在所得方程中刪去或補上 (即要留意方程變量的取值范圍).留意：這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設現(限)代化.【方法技巧提煉】1. 直

9、線與橢圓的位置關系在直線與橢圓的位置關系問題中，一類是直線和橢圓關系的推斷，利用判別式法 .另一類常與“弦”相關：“平行弦”問題的關鍵是“斜率”、“中點弦”問題關鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度（弦長）”問題關鍵是長度（弦長）公式.在求解弦長問題中，要留意直線是否過焦點，假如過焦點，一般可接受焦半徑公式求解；假如不過，就用 一般方法求解.要留意利用橢圓自身的范圍來確定自變量的范圍，涉及二次方程時肯定要留意 判別式的限制條件.2. 如何利用拋物線的定義解題（1） 求軌跡問題：主要抓住到定點的距離和到定直線距離的幾何特征，并驗證其滿足拋物線的定義，然后直接利用定義便可確定拋

10、物線的方程；（2） 求最值問題：主要把握兩個轉化：一是把拋物線上的點到焦點的距離可以轉化為到準線的距離；二是把點到拋物線的距離轉化為到焦點的距離.在解題時要精確把握題設的條件，進 行有效的轉化，探求最值問題.3. 求曲線方程的常見方法：(1) 直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程(2) 定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求(3) 相關點法：即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依靠于它，那么可尋求它們坐標之間的關系，然后代入定曲線的方程進行求解依據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點

11、的軌 跡方程(4) 參數法：若動點的坐標(x,y)中的 x,y 分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數，建立軌跡的參數方程.依據題中給定的軌跡條件，用一個參數來分別動點的坐標，間接 地把坐標x,y 聯系起來，得到用參數表示的方程.假如消去參數，就可以得到軌跡的一般方程. 留意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區分：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后， 再進一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，肯定要留意軌跡的純粹性和完備性.要注 意區分“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.4. 解析幾何解題的基本方法解決圓錐曲線綜合題，關鍵是嫻熟把握每一種圓錐曲線的定義、標準方程

12、、圖形與幾何 性質，留意挖掘學問的內在聯系及其規律，通過對學問的重新組合，以達到鞏固學問、提高 力量的目的.綜合題中經常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯立，應用判別式、韋達定理的意識.解析幾何應用問題的解題關鍵是建立適當的坐標系， 合理建立曲線模型，然后轉化為相應的代數問題作出定量或定性的分析與推斷.常用的方法：數形結合法，以形助數，用數定形. 在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數形結合(如角平分線的雙重身份對稱性、利用到角公式)、“方程與函數性質”化解析幾何問題為代數問題、“分類爭辯思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍 構造不等關

13、系”等等.5. 避開繁復運算的基本方法可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是依據題設的幾何特征，機敏運用曲線的有關定義、性質等，從而避開化簡方程、求交點、解方程等繁復的運算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標系等，一般以直接性和間接性為基本原則.由于對一般方程運算簡單的問題，用參數方程可能會簡潔；在某始終角坐標系下運算簡單的問題，通 過移軸可能會簡潔；在直角坐標系下運算簡單的問題，在極坐標系下可能會簡潔“所謂尋求”.6. 解析幾何與向量綜合時可能消滅的向量內容：（1） 給出直線的方向向量ur= (1, k )或ur= (m, n)；（2） 給出oa + ob 與 ab

14、 相交,等于已知oa + ob 過 ab 的中點;（3） 給出 pm + pn = 0r(,等于已知)p 是 mn 的中點;（4） 給出 ap + aq = l bp + bq ,等于已知 p, q 與 ab 的中點三點共線;（5） ） 給出以下情形之一： ab / ac ；存在實數 l, 使ab = l ac ；若存在實數a, b, 且a + b = 1,使oc = aoa + b ob ,等于已知 a, b, c 三點共線；1 + l（6） 給出op =oa + lob ，等于已知 p 是 ab 的定比分點， l 為定比，即 ap = lpb ；（7） 給出 ma × mb =

15、0 ,等于已知 ma mb ,即Ðamb 是直角,給出 ma × mb = m < 0 ,等于已知Ðamb 是鈍角, 給出ma × mb = m > 0 ,等于已知Ðamb 是銳角；ç ma + mb ÷çç ma÷èmb ÷øæö（8） 給出l= mp ,等于已知mp 是Ðamb 的平分線；（9） 在平行四邊形 abcd 中，給出(ab + ad) × (ab - ad) = 0 ，等于已知 abcd 是菱形;（

16、10） 在平行四邊形 abcd 中，給出| ab + ad |=| ab - ad | ，等于已知 abcd 是矩形;（11） 在dabc 中，給出oa2= ob2= oc 2 ，等于已知o 是dabc 的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在dabc 中，給出oa + ob + oc = 0 ，等于已知o 是dabc 的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13） 在dabc 中，給出oa × ob = ob × oc = oc × oa ，等于已知o 是dabc 的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（

17、14） 在dabc 中，給出op = oa + l ( ab +ac ) (l Î r +) 等于已知 ap 通過dabc 的內心；| ab | ac |2（15） 在dabc 中，給出 a × oa + b × ob + c × oc = 0, 等于已知o 是dabc 的內心（三角形內切圓的圓心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）；（16） 在dabc 中，給出 ad =1 (ab + ac ),等于已知 ad 是dabc 中 bc 邊的中線。7. 定點、定值問題必定是在變化中所表現出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數量積、

18、比例關系等，這些直線方程、數量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值化解這類問題難點的關鍵就是引進變的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，依據等式的恒成立、數式變換等查找不受參數影響的量 8解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數和建立不等關系，依據目標函 數和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數和不等關系建立 目標函數或不等關系的關鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題， 這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要依據問題的實際狀況機敏處理。【考場閱歷共享】1. 推斷兩種標準方程的方法為比較標準形式中 x2 與 y2 的分母大小，若 x2 的分母比 y2 的分母大，則焦點在 x 軸上，若 x2 的分母比 y2 的分母小