1、精選學習資料 - - - 歡迎下載許老師奧數第三部分行程問題第一講行程基礎【專題學問點概述】行程問題為一類常見的重要應用題,在歷次數學競賽中常常顯現；行程問題包括：相遇問題.追及問題.火車過橋問題.流水行船問題.環形行程問題等等；行程問題思維敏捷性大,輻射面廣,但根本在于距離.速度和時間三個基本量之間的關系,即：距離速度時間,時間距離速度,速度距離時間；在這三個量中,已知兩個量,即可求出第三個量；把握這三個數量關系式,為解決行程問題的關鍵；在解答行程問題時,常常實行畫圖分析的方法,依據題意畫出線段圖,來幫忙我們分析.懂得題意,從而解決問題；一.行程基本量我們把討論路程.速度.時間以及這三者之間

2、關系的一類問題,總稱為行程問題 . 我們已經接觸過一些簡潔的行程應用題,行程問題主要涉準時間（ t ）.速度（ v）和路程（ s）這三個基本量,它們之間的關系如下：（1）速度×時間 =路程可簡記為： s = vt（2）路程 ÷速度=時間可簡記為： t = s÷ v（3）路程 ÷時間=速度可簡記為： v = s÷ t明顯,知道其中的兩個量就可以求出第三個量.二.平均速度平均速度的基本關系式為： 平均速度總路程總時間；總時間總路程平均速度；總路程平均速度總時間；【重點難點解析】1.行程三要素之間的關系 2平均速度的概念 3留意觀看運動過程中的不變量

3、【競賽考點挖掘】1. 留意觀看運動過程中的不變量改變教育,從改變關系開始！- 1 -精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載許老師奧數【習題精講】【例 1】（難度等級）郵遞員早晨7 時動身送一份郵件到對面山里,從郵局開頭要走12 千米上坡路,8 千米下坡路；他上坡時每小時走4 千米,下坡時每小時走5 千米,到達目的地停留1 小時以后,又從原路返回,郵遞員什么時候可以回到郵局.【分析與解】法一：先求出去的時間,再求出返回的時間,最終轉化為時刻； 郵遞員到達對面山里需 時 間 ： 12÷ 4+8÷ 5=4.6小 時 ; 郵 遞 員 返 回 到 郵 局 共 用 時 間 ：

4、8÷ 4+12÷ 5+1+4.6=2+2.4+1+4.6 = l0小時 郵遞員回到郵局時的時刻為：7+10-12=5 時 . 郵遞員為下午5時回到郵局的；法二：從整體上考慮,郵遞員走了（12+8）千米的上坡路,走了（12+8）千米的下坡路, 所以共用時間為： （ 12+8）÷ 4+（ 12+8）÷5+1=10 小時 ,郵遞員為下午7+10-12=5 時回到郵局的；【例 2】（難度等級）甲.乙兩地相距100 千米；下午3 點,一輛馬車從甲地動身前往乙地,每小時走10 千米；晚上9 點,一輛汽車從甲地動身駛向乙地,為了使汽車不比馬車晚到達乙地,汽車每小時最少

5、要行駛多少千米？.【分析與解】馬車從甲地到乙地需要100÷ 10=10 小時,在汽車動身時,馬車已經走了9-3=6 小時 ；依題意,汽車必需在10-6=4 小時內到達乙地,其每小時最少要行駛100÷ 4=25 千米 【例 3】（難度等級）小明每天早晨6：50 從家動身, 7：20 到校,老師要求他明天提早6 分鐘到校；假如小明明天早晨仍為6： 50 從家動身,那么,每分鐘必需比平常多走25 米才能按老師的要求準時到校；問：小明家到學校多遠？（第六屆小數報數學競賽初賽題第1 題）【分析與解】原先花時間為30 分鐘,后來提前6 分鐘,就為路上要花時間為24 分鐘；這時每分鐘必需

6、多走25 米,所以總共多走了24× 25=600 米, 而這和 30 分鐘時間里, 后 6 分鐘走的路程為一樣的,所以原先每分鐘走600÷ 6=100 米；總路程就為=100× 30=3000 米；【例 4】（難度等級）韓雪的家距離學校480 米,原方案 7 點 40 從家動身8 點可到校, 現在仍為按原時間離開家,不過每分鐘比原先多走16 米,那么韓雪幾點就可到校？【分析與解】原先韓雪到校所用的時間為20 分鐘,速度為：480÷20=24（米 / 分）,現在每分鐘比原先多 走 16 米,即現在的速度為24+16=40（米 / 分）,那么現在上學所用的時

7、間為：480÷ 40=12（分鐘）, 7 點 40 分從家動身,12 分鐘后,即7 點 52 分可到學校改變教育,從改變關系開始！- 2 -精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載許老師奧數【例 5】（難度等級）王師傅駕車從甲地開往乙地交貨 . 假如他來回都以每小時 60 千米的速度行駛 、 正好可以按時返回甲地 . 可為 、 當到達乙地時 、 他發覺從甲地到乙地的速度只有每小時 50 千米 . 假如他想按時返回甲地 、 他應以多大的速度往回開 .【分析與解】假設甲地到乙地的路程為300、 那么按時的來回一次需時間300÷ 60× 2=10（小時） 、 現在

8、從甲到乙花費了時間300÷ 50=6（小時） 、 所以從乙地返回到甲地時所需的時間只能為10-6=4（小時） . 即假如他想按時返回甲地、 他應以 300÷ 4=75（千米 / 時）的速度往回開【例 6】（難度等級）劉老師騎電動車從學校到韓丁家家訪,以 10 千米 / 時的速度行進,下午 1 點到； 以 15 千米 /時的速度行進,上午11 點到 . 假如期望中午12 點到,那么應以怎樣的速度行進？【分析與解】這道題沒有動身時間,沒有學校到韓丁家的距離,也就為說既沒有時間又沒有路程,好像無法求速度 . 這就需要通過已知條件,求出時間和路程.假設有 a,b 兩人同時從學校動身

9、到韓丁家,a 每小時行10 千米,下午1 點到； b 每小時行15 千米,上午11 點到 .b 到韓丁家時,a 距韓丁家仍有10× 2=20（千米）,這 20 千米為b 從學校到韓丁家這段時間b 比 a 多行的路程 . 由于 b 比 a 每小時多行15-10=5（千米）,所以 b 從學校到韓丁家所用的時間為20÷（ 15-10 ）=4（時） . 由此知, a,b 為上午 7 點動身的, 學校離韓丁家的距離為15× 4=60（千米） . 劉老師要想中午12 點到,即想（ 12-7= ）5 時行 60 千米,劉老師騎車的速度應為60÷（ 12-7 ） =12

10、（ 千 米 / 時 ）【例 7】（難度等級）小紅上山時每走30 分鐘休息10 分鐘,下山時每走30 分鐘休息5 分鐘 . 已知小紅下山的速度為上山速度的2 倍,假如上山用了3 時 50 分,那么下山用了多少時間？【分析與解】上山用了3 時 50 分,即 60× 3+50=230（分）,由 230÷（ 30+10）=530,得到上山休息了 5 次,走了230-10 × 5=180（分） . 由于下山的速度為上山的2 倍,所以下山走了180÷2=90（分） . 由 90÷ 30=3 知,下山途中休息了2 次,所以下山共用90+5× 2=1

11、00（分） =1時 40 分.【例 8】（難度等級）老王開汽車從a 到 b 為平地（見右圖） ,車速為30 千米時；從b到 c 為上山路,車速為22.5 千米時； 從 c到 d 為下山路,車速為36 千米時 .已知下山路為上山路的2 倍,從a 到 d 全 程為72 千米,老王開車從a 到 d 共需要多少時間？【分析與解】設上山路為x 千米,下山路為2x 千米,就上下山的平均速度為：（x+2x ）÷（ x÷ 22.5+2x÷36） =30（千米 / 時）,正好為平地的速度,所以行ad總路程的平均速度就為30 千米 / 時,與平地路程的長短無關. 因此共需要72

12、47;30 2.4 （時）改變教育,從改變關系開始！- 3 -精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載許老師奧數【例 9】（難度等級）汽車以 72 千米 / 時的速度從甲地到乙地,到達后立刻以48 千米 / 時的速度返回甲地；求該車的平均速度；【分析與解】想求汽車的平均速度=汽車行駛的全程÷總時間,在這道題目中假如我們知道汽車行駛的全程,進而就能求出總時間,那么問題就迎刃而解了；在此我們不妨采納“特別值”法,這為奧數里面特別重要的一種思想,在許多題目中都有應用；把甲.乙兩地的距離視為1千米,總時間為：1÷ 72+1÷ 48,平均速度 =2÷（ 1&

13、#247; 72+1÷ 48）=57.6 千米 / 時；我們發覺中的取值在運算過程中不太便利,我們可不行以找到一個比較好運算的數呢？在此我們可以把甲.乙兩地的距離視為72 , 48=144千米,這樣運算時間時就好運算一些,平均速度 =144× 2÷（ 144÷ 72+144÷ 48） =57.6 千米 / 時；【例 10】（難度等級）a如圖,從 a 到 b 為 12 千米下坡路, 從 b 到 c 為 8 千米平d路,從 c 到 d 為 4 千米上坡路 . 小張步行, 下坡的速度都為 6 千米 / 小時,平路速度都為4 千米 / 小時,上坡速度b

14、c都為 2 千米 / 小時 . 問小張從a 到 d 的平均速度為多少.【分析與解】從 a 到 b 的時間為： 12÷6=2（小時）,從 b 到 c的時間為： 8÷ 4=2（小時）,從 c 到 d的時間為： 4÷ 2=2（ 小時）,從 a 到 d 的總時間為： 2+2+2=6（ 小時）,總路程為： 12+8+4=24（千米）,那么從a 到 d 的平均速度為：24÷ 6=4（千米 / 時）【例 11】（難度等級）有一座橋, 過橋需要先上坡,再走一段平路,最終下坡, 并且上坡. 平路及下坡的路程相等；某人騎自行車過橋時,上坡.走平路和下坡的速度分別為4 米/

15、秒. 6 米/ 秒和 8米 / 秒,求他過橋的平均速度；【分析與解】假設上坡.走平路及下坡的路程均為24 米,那么總時間為：24÷ 4+24÷6+24÷ 8=13（秒）,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載過橋的平均速度為243135 713（米 / 秒）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例 12】（難度等級）汽車來回于a, b 兩地,去時速度為40 千米時,要想來回的平均速度為48 千米時,回來時的速度應為多少？【分析與解】假設 ab 兩地之間的距離為480÷2=240 千米,那么總時間=480÷ 48=10（小時）,

16、回來時的速度 =240÷（ 10-240 ÷ 40） =60（千米 / 時）改變教育,從改變關系開始！- 4 -精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載許老師奧數【例 13】（難度等級）有一座橋, 過橋需要先上坡, 再走一段平路, 最終下坡, 并且上坡. 平路及下坡的路程相等 . 某人騎電動車過橋時,上坡.走平路和下坡的速度分別為11 米秒. 22 米秒和 33 米秒,求他過橋的平均速度 .【分析與解】假設上坡.平路及下坡的路程均為66 米,那么總時間=66÷ 11+66÷ 22+66÷ 33=6+3+2=11（秒）,過橋的平均速度=66

17、× 3÷ 11=18（米 / 秒）【例 14】（難度等級）一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊由a 點開頭爬行一周.在三條邊上它每分鐘分別爬行50cm,20cm,40cm（如右圖） . 它爬行一周平均每分鐘爬行多少厘米？【分析與解】假 設 每 條 邊 長 為200厘 米 , 就 總 時 間 =200 ÷ 50+200 ÷ 20+200 ÷3140=4+10+5=19（分鐘）,爬行一周的平均速度=200× 3÷ 19=11 （厘米 / 分鐘） .19【例 15】（難度等級）甲.乙兩地相距6 千米,某人從甲地步行去乙地,前一半時間平均每

18、分鐘行80 米,后一半時間平均每分鐘行70 米. 問他走后一半路程用了多少分鐘？【分析與解】全程的平均速度為每分鐘（ 80+70）÷ 2=75 米,走完全程的時間為 6000/75=80 分鐘,走前一半路程速度肯定為 80 米,時間為 3000÷ 80=37.5 分鐘, 后一半路程時間為 80-37.5=42.5 分鐘改變教育,從改變關系開始！- 5 -精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載許老師奧數其次講相遇與追及【專題學問點概述】在今日這節課中,我們來討論行程問題中的相遇與追及問題這一講就為通過例題加深對行程問題三個基本數量關系的懂得,使同學養成畫圖解決問題的好

19、習慣！在行程問題中涉及到兩個或兩個以上物體運動的問題,其中最常見的為相遇問題和追及問題.一.相遇甲從 a 地到 b 地,乙從 b 地到 a 地,然后兩人在途中相遇,實質上為甲和乙一起走了a、b 之間這段路程,假如兩人同時動身,那么相遇路程 =甲走的路程 +乙走的路程=甲的速度×相遇時間+乙的速度×相遇時間=（甲的速度 +乙的速度）×相遇時間=速度和×相遇時間 .一般地,相遇問題的關系式為：速度和× 相遇時間 =路程和,即二.追及有兩個人同時行走,一個走得快,一個走得慢,當走得慢的在前,走得快的 過了一些時間就能追上他. 這就產生了 “追及問題”

20、 . 實質上, 要算走得快的人在某一段時間內, 比走得慢的人多走的路程,也就為要運算兩人走的路程之差（追及路程） . 假如設甲走得快,乙走得慢,在相同的時間（追準時間）內：追及路程 =甲走的路程 - 乙走的路程=甲的速度×追準時間- 乙的速度×追準時間=（甲的速度 - 乙的速度）×追準時間=速度差×追準時間 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載一般地,追擊問題有這樣的數量關系：追及路程 =速度差×追準時間, 即 s差v差 t精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載改變教育,從改變關系開始！- 6 -精品學習資料精選學習資料 -

21、 - - 歡迎下載許老師奧數【重點難點解析】1直線上的相遇與追及2環線上的相遇與追及【競賽考點挖掘】1.多人多次相遇與追及【習題精講】【例 1】（難度等級）一輛客車與一輛貨車同時從甲.乙兩個城市相對開出,客車每小時行46 千米,貨車每小時行 48 千米； 3.5 小時兩車相遇；甲.乙兩個城市的路程為多少千米？【分析與解】（46+48）× 3.5=94 × 3.5=329 （千米）【例 2】（難度等級）兩地間的路程有255 千米,兩輛汽車同時從兩地相對開出,甲車每小時行45 千米,乙車每小時行 40 千米；甲.乙兩車相遇時,各行了多少千米？【分析與解】255÷（ 4

22、5+40）=255÷ 85=3（小時）；45× 3=135（千米）；40× 3=120（千米）；【例 3】（難度等級）兩地相距3300 米,甲.乙二人同時從兩地相對而行,甲每分鐘行82 米, 乙每分鐘行83 米,已經行了15 分鐘,仍要行多少分鐘兩人可以相遇？【分析與解】3300- （ 82+83）× 15 ÷（ 82+83）=3300-165 × 15 ÷165=3300-2475÷ 165=825÷ 165=5（分鐘）改變教育,從改變關系開始！- 7 -精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載許

23、老師奧數【例 4】（難度等級）甲.乙二人都要從北京去天津,甲行駛 10 千米后乙才開頭動身,甲每小時行駛15 千米,乙每小時行駛10 千米,問：乙經過多長時間能追上甲？【分析與解】動身時甲.乙二人相距10 千米,以后兩人的距離每小時都縮短15-10 5（千米）,即兩人的速度的差（簡稱速度差）,所以 10 千米里有幾個5 千米就為幾小時能追上.10÷（ 15-10 ） 10÷ 5 2（小時）【例 5】（難度等級） 南轅與北轍兩位先生對于自己的目的地s 城的方向各執一詞,于為兩人都依據自己的想法 駕車同時分別往南和往北駛去,二人的速度分別為50 千米 / 時, 60 千米 /

24、時,那么北轍先生動身 5 小時他們相距多少千米.【分析與解】兩人雖然不為相對而行,但為仍合力完成了路程,（50+60）× 5=550（千米）【例 6】（難度等級）軍事演習中, “我”海軍英雄艦追擊“敵”軍艦,追到 a 島時,“敵”艦已在 10 分鐘前逃離, “敵”艦每分鐘行駛 1000 米,“我”海軍英雄艦每分鐘行駛 1470 米,在距離“敵”艦 600 米處可開炮射擊,問“我”海軍英雄艦從 a 島動身經過多少分鐘可射擊敵艦 .【分析與解】“我”艦追到a 島時,“敵”艦已逃離10 分鐘了,因此,在a 島時,“我”艦與“敵”艦的 距離為10000 米（ =1000× 10）

25、. 又由于“我”艦在距離“敵”艦600 米處即可開炮射擊, 即“我”艦只要追上“敵”艦9400（ =10000 米-600 米）即可開炮射擊. 所以,在這個問題 中,不妨把9400 當作路程差, 依據公式求得追準時間. 即 （ 1000×10-600 ）÷（1470-1000 ）=（ 10000-600 ）÷ 470=9400÷ 470=20（分鐘）,所以,經過20 分鐘可開炮射擊“敵”艦【例 7】（難度等級）小紅和小藍練習跑步,如小紅讓小藍先跑20 米,就小紅跑5 秒鐘就可追上小藍；如小紅讓小藍先跑4 秒鐘,就小紅跑6 秒鐘就能追上小藍. 小紅.小藍二

26、人的速度各為多少？【分析與解】小紅讓小藍先跑 20 米,就 20 米就為小紅.小藍二人的路程差,小紅跑 5 秒鐘追上小藍, 5 秒就為追準時間,據此可求出他們的速度差為20÷5=4（米 / 秒）；如小紅讓小藍先跑 4 秒,就小紅 6 秒可追上小藍,在這個過程中,追準時間為6 秒,依據上一個條件,由追及差和改變教育,從改變關系開始！- 8 -精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載許老師奧數追準時間可求出在這個過程中的路程差,這個路程差即為小藍4 秒鐘所行的路程,路程差就等于 4× 6=24（米）,也即小藍在4 秒內跑了24 米,所以可求出小藍的速度,也可求出小 紅的速

27、度 . 綜合列式運算如下：小藍的速度為：20÷5× 6÷ 4=6（米 / 秒）,小紅的速度為： 6+4=10（米 / 秒）【例 8】（難度等級）小明步行上學,每分鐘行70 米. 離家 12 分鐘后,爸爸發覺小明的文具盒忘在家中,爸爸帶著文具盒,立刻騎自行車以每分鐘280 米的速度去追小明. 問爸爸動身幾分鐘后追上小明？【分析與解】爸爸要追及的路程：70×12=840（米） 、 爸爸與小明的速度差：280-70=210 （米 / 分） 、 爸爸追及的時間：840÷ 210=4（分鐘）【例 9】（難度等級）上午 8 點 8 分,小明騎自行車從家里動

28、身,8 分鐘后,爸爸騎摩托車去追他,在離家4 千米的地方追上了他. 然后爸爸立刻回家,到家后又馬上回頭去追小明,再追上小明的時候,離家恰好為8 千米,這時為幾點幾分？【分析與解】畫一張簡潔的示意圖：圖上可以看出,從爸爸第一次追上到其次次追上,小明走了8-4 4（千米） . 而爸爸騎的距離為 4 8 12 （千米） .這就知道,爸爸騎摩托車的速度為小明騎自行車速度的12 ÷ 4 3（倍） . 依據這個倍數運算,小明騎8 千米,爸爸可以騎行8× 324（千米） . 但事實上,爸爸少用了8 分鐘,騎行了 4 12 16（千米） .少騎行24-16 8（千米） . 摩托車的速度為8

29、÷ 8=1（千米 / 分）,爸爸騎行16 千米需要16分鐘 .8 8 16 32. 所以這時為8 點 32 分 ；【例 10】（難度等級）甲車每小時行40 千米,乙車每小時行60 千米； 兩車分別從a,b 兩地同時動身,相向而行,相遇后 3 時,甲車到達b 地；求 a, b 兩地的距離；改變教育,從改變關系開始！- 9 -精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載許老師奧數【分析與解】相遇后甲行駛了40×3=120 千米,即相遇前乙行駛了120 千米,說明甲乙二人的相遇時間為 120÷ 60=2 小時,就兩地相距 （ 40+60）×2=200千米【例

30、 11】（難度等級）小紅和小強同時從家里動身相向而行；小紅每分鐘走52 米, 小強每分鐘走70 米,二人在途中的 a 處相遇；如小紅提前4 分鐘動身,但速度不變,小強每分鐘走90 米,就兩人仍在a 處相遇；小紅和小強的家相距多遠.【分析與解】由于小紅的速度不變,相遇地點不變,所以小紅兩次走的時間相同,推知小強其次次比第一次少走4 分；由（ 70× 4）÷（ 90-70 ）=14（分）,推知小強其次次走了14 分,第一次走了 18 分,兩人的家相距（52+70）× 18=2196（米）【例 12】（難度等級）甲乙兩車分別從a.b 兩地同時相向開出,4 小時后兩車相遇

31、,然后各自連續行駛3 小 時,此時甲車距b 地 10 千米, 乙車距 a 地 80 千米 問： 甲車到達b 地時,乙車仍要經過多少時 間才能到達a 地.【分析與解】由 4 時兩車相遇知,4 時兩車共行a, b 間的一個單程相遇后又行3 時,剩下的路程之和10 80 90（千米）應為兩車共行43 1（時）的路程所以a, b 兩地的距離為（1080）÷（ 4 3）× 4 360（千米）；由于 7 時甲車比乙車共多行 80 10 70（千米）,所以甲車每時比乙車多行 70 ÷ 7 10（千米）,又由于兩車每時共行 90 千米,所以每時甲車行 50 千米,乙車行 40 千米行一個單程,乙車比甲車多用 360÷40360÷ 50 97 2 1 8（時） 1 時 48 分【例 13】（難度等級）甲.乙二人分別從a.b 兩地同時動身,假如兩人同向而行,甲26 分鐘趕上乙；假如兩人相向而行, 6 分鐘可相遇,又已知乙每分鐘行50 米,求 a.b 兩地的距離 .【分析與解】如設甲.乙二人相遇地點為c,甲追及乙的地點為d,就由