1、 第二章第二章 靜電場中的導體和電介質靜電場中的導體和電介質目目 錄錄1、靜電場中的導體、靜電場中的導體2、電容、電容 電容器電容器3、靜電場中的電介質、靜電場中的電介質4、有電介質存在的靜電場的根本定理、有電介質存在的靜電場的根本定理5、邊值關系和獨一性定理、邊值關系和獨一性定理6、電像法、電像法 由于電場與物質之間相互影響、相互制約，故只能根據靜電由于電場與物質之間相互影響、相互制約，故只能根據靜電場遵守的普遍規律去研討電場與電荷之間關系，并聯絡物質本身場遵守的普遍規律去研討電場與電荷之間關系，并聯絡物質本身的電性質，來同時確定物質上的電荷分布與電場的空間分布的電性質，來同時確定物質上的電

2、荷分布與電場的空間分布. 靜電場中的導體靜電場中的導體一、靜電感應和靜電平衡一、靜電感應和靜電平衡v 靜電感應靜電感應 在外電場作用下在外電場作用下, 自在電子做宏觀的定向自在電子做宏觀的定向挪動挪動, 電荷在導體上重新分布電荷在導體上重新分布, 使導體帶電使導體帶電.v 靜電平衡形狀靜電平衡形狀 在平衡形狀下，導體內部和外表都在平衡形狀下，導體內部和外表都沒有電荷的宏觀挪動沒有電荷的宏觀挪動. E+-EE=0 按照電荷在物質中挪動的難易程度電阻率的大小按照電荷在物質中挪動的難易程度電阻率的大小,將物將物質分為導體、絕緣體、半導體、超導體四大類質分為導體、絕緣體、半導體、超導體四大類.v 靜電

3、平衡時的特點靜電平衡時的特點場強特點：場強特點：0 內內E表面表面表面表面 E 靜電平衡條件是由導體的電構造特征和靜電平衡的要求決靜電平衡條件是由導體的電構造特征和靜電平衡的要求決議的議的, 與導體的外形與導體的外形, 大小無關大小無關. 由于導體外表必為等勢面，所以有導體時，導體外的場強由于導體外表必為等勢面，所以有導體時，導體外的場強分布必受導體外表外形的控制和調整。靜電透鏡就是根據這分布必受導體外表外形的控制和調整。靜電透鏡就是根據這種根本原理設計的。種根本原理設計的。電勢特點電勢特點: 導體是等勢體導體是等勢體(靜電平衡條件的另一種表述靜電平衡條件的另一種表述); 導體外表是等勢面導體

4、外表是等勢面.EEE 0內內其中：其中： 是感應電荷是感應電荷q 產生的場。產生的場。E 在導體內在導體內靜電透鏡電場等勢面分布表示圖靜電透鏡電場等勢面分布表示圖二、導體上電荷的分布規律二、導體上電荷的分布規律 導體所帶電荷只能分布在導體外表導體所帶電荷只能分布在導體外表, 導體內部導體內部(包括內表包括內表 面面)凈電荷處處為零凈電荷處處為零.處于靜電平衡形狀的導體，其電荷分布有以下特點處于靜電平衡形狀的導體，其電荷分布有以下特點證明證明:對導體對導體 體內恣意閉合曲面體內恣意閉合曲面S，S導體導體PdV由高斯定理由高斯定理 vsdVSdE 01而靜電平衡條件而靜電平衡條件0 0 內內E 導

5、體外表上各處的面電荷密度與該處外表外緊相鄰的電場導體外表上各處的面電荷密度與該處外表外緊相鄰的電場強度大小成正比強度大小成正比.即即E SE內內=00d iqSEE0 0ddddd SSESESESESESE 上底上底側面側面下底下底上底上底E0 由導體靜電平衡條件由導體靜電平衡條件: 外表附近場強垂直于外表，故得外表附近場強垂直于外表，故得證明證明: 如圖，取與外表平行的導體內外附近兩個小面元如圖，取與外表平行的導體內外附近兩個小面元 為為底面，側面垂直外表的小圓柱面底面，側面垂直外表的小圓柱面.由高斯定理由高斯定理S 孤立導體的面電荷密度與其外表的曲率有關孤立導體的面電荷密度與其外表的曲率

6、有關, 曲率越大面曲率越大面 電荷密度越大電荷密度越大. 闡明：設細導線銜接兩球體闡明：設細導線銜接兩球體, 整體可看成孤立體整體可看成孤立體, 且兩球堅且兩球堅持等勢體持等勢體; 細導線很長細導線很長, 忽略兩球之間的靜電感應忽略兩球之間的靜電感應, 兩球可近似兩球可近似看成孤立導體看成孤立導體BrARqQRQUA041 A球球rqUB041 B球球BAUU RrrR v 外表突出鋒利部分曲率大外表突出鋒利部分曲率大, 電荷密度大電荷密度大;v 外表比較平坦部分曲率小外表比較平坦部分曲率小, 電荷密度小電荷密度小;v 外表凹進部分曲率為負外表凹進部分曲率為負, 電荷密度最小電荷密度最小.結論

7、：對于孤立帶電體，其電荷分布將只取決于導體本身的外形結論：對于孤立帶電體，其電荷分布將只取決于導體本身的外形尖端放電尖端放電(電暈景象電暈景象): 對于具有尖端的帶電導體對于具有尖端的帶電導體, 在尖端處的場強特別強在尖端處的場強特別強.空氣中空氣中殘留的離子在強電場作用下將猛烈運動殘留的離子在強電場作用下將猛烈運動, 并獲得足夠大的動能并獲得足夠大的動能與空氣分子碰撞而產生大量的離子，使其電離與空氣分子碰撞而產生大量的離子，使其電離.電離的粒子與電離的粒子與尖端上的電荷中和，即構成所謂的尖端放電，同時構成可看尖端上的電荷中和，即構成所謂的尖端放電，同時構成可看得見的光暈，稱做電暈得見的光暈，

8、稱做電暈.尖端放電的典型運用就是避雷針尖端放電的典型運用就是避雷針. 導體尖端能產生強電場這一景象，在現代科學技術中導體尖端能產生強電場這一景象，在現代科學技術中有相當廣泛的運用有相當廣泛的運用.利用該原理制造的場致發射顯微鏡其放利用該原理制造的場致發射顯微鏡其放大率可高達大率可高達200萬倍，是分析金屬微觀構造的有效設備萬倍，是分析金屬微觀構造的有效設備.v留意：導體外表電荷的面密度不僅與該處的曲率半徑有關，留意：導體外表電荷的面密度不僅與該處的曲率半徑有關，v 還與周圍的帶電體有關，關系復雜還與周圍的帶電體有關，關系復雜.場致發射顯微鏡場致發射顯微鏡范德格拉夫靜電加速器范德格拉夫靜電加速器

9、三、導體空腔和靜電屏蔽三、導體空腔和靜電屏蔽靜電平衡時導體空腔電荷分布特點靜電平衡時導體空腔電荷分布特點:1.導體空腔無帶電體的情況導體空腔無帶電體的情況 腔內無帶電體時腔內無帶電體時, 導體的電荷只分布在它的外外表上導體的電荷只分布在它的外外表上,空腔空腔內處處場強為零，空腔內的電勢處處相等內處處場強為零，空腔內的電勢處處相等. 反證：設內外表上有等量異號電荷反證：設內外表上有等量異號電荷 畫一根電畫一根電力線力線 電力線首尾處電勢不等電力線首尾處電勢不等 (和導體等勢相矛和導體等勢相矛盾盾) 內外表不能夠有電荷。內外表不能夠有電荷。假設導體腔內無其它帶電體假設導體腔內無其它帶電體證明證明:

10、 在導體腔內、外外表之間作一高斯面在導體腔內、外外表之間作一高斯面.由高斯定理得內外由高斯定理得內外表上表上010 isqSdE2. 導體空腔有帶電體的情況導體空腔有帶電體的情況 腔內有其它帶電體時腔內有其它帶電體時, 導體空腔的內外表所帶電荷與腔內導體空腔的內外表所帶電荷與腔內電荷的代數和為零電荷的代數和為零.空腔內各點的場強分布由空腔內電荷及空空腔內各點的場強分布由空腔內電荷及空腔內外表電荷的分布獨一地確定。腔內外表電荷的分布獨一地確定。證明：證明：1在導體空腔內、外外表之間作高斯在導體空腔內、外外表之間作高斯 面，由高斯定面，由高斯定 理得理得 010 isqSdE可見，可見，S面內總電

11、量為零。而空腔內有帶電體面內總電量為零。而空腔內有帶電體q，故內外表，故內外表必定帶電必定帶電q。 2由于靜電平衡時，導體內場強處處為零，電場線不由于靜電平衡時，導體內場強處處為零，電場線不能穿越，因此，導體空腔將空間能穿越，因此，導體空腔將空間“分割成了兩部分。腔內場分割成了兩部分。腔內場強分布由腔內帶電體及內外表電荷的分布獨一地確定，不受強分布由腔內帶電體及內外表電荷的分布獨一地確定，不受外部場強的影響，起著靜電屏蔽的作用。外部場強的影響，起著靜電屏蔽的作用。 假設將空腔導體接地，使外外表不再帶電，外部便無電假設將空腔導體接地，使外外表不再帶電，外部便無電場，從而可維護腔外空間不受腔內帶電

12、體的影響場，從而可維護腔外空間不受腔內帶電體的影響外殼不接地外殼不接地外殼接地外殼接地 總之，接地的導體空腔可以有效地消除內、外電荷產生的總之，接地的導體空腔可以有效地消除內、外電荷產生的電場的相互影響電場的相互影響, 實現靜電屏蔽實現靜電屏蔽.金屬殼是極好的導體空腔。金屬殼是極好的導體空腔。討論：導體空腔雖然能使它包圍的空間不受外部電荷產生的討論：導體空腔雖然能使它包圍的空間不受外部電荷產生的 電場的影響，但無法阻止空腔內部電荷對外部電場的影響電場的影響，但無法阻止空腔內部電荷對外部電場的影響 例題例題2-1-1: 無限大帶電平面場中平行放置一無限大金無限大帶電平面場中平行放置一無限大金屬平

13、板屬平板.求求: 金屬板兩面電荷面密度？金屬板兩面電荷面密度？聯立聯立(1)和和(2)可得可得: 220201 設帶電平面面電荷密度設帶電平面面電荷密度0, 導體感應兩面電荷面密度導體感應兩面電荷面密度 1 和和 2 (均設為正均設為正) 電荷守恒電荷守恒: 021 (1) 解解: 0 1 20222020100 (2) 0210 EEE導體內場強為零導體內場強為零(三層電荷產生三層電荷產生) 例題例題2-1-2 導體球導體球A(帶電帶電q)與導體球殼與導體球殼B(帶電帶電Q)同心同心放置放置.求求: 1) 各外表電荷分布各外表電荷分布; 2) A的電勢的電勢UA, B的電勢的電勢UB; 3)

14、 將將B接地接地, 各外表電荷分布各外表電荷分布; 4) 將將B的地線拆掉的地線拆掉, 再將再將A接地接地, 此時各外表電荷分布此時各外表電荷分布.解：解：導體球導體球A的電荷的電荷q 只分布在只分布在A 的的外表，導體外表，導體B有兩個外表有兩個外表, 在兩在兩表表面上電荷均勻分布面上電荷均勻分布.在兩外表間在兩外表間做做一高斯面可知一高斯面可知qQB 內內由電荷守恒由電荷守恒qQQB 外外AqQBAq-qBQ+q30201020204444d)(4d32133221RqQRqRqrrqQrrql dEl dEl dEl dEURRRRRRRRAA 302010444RqQRqRqUA 方法

15、二：電勢疊加法方法二：電勢疊加法, 導體組可看成三層均勻帶電球面導體組可看成三層均勻帶電球面Aq-qBQ+q方法一：場強積分方法一：場強積分2) A的電勢的電勢UA方法一：場強積分方法一：場強積分B的電勢的電勢UB:302044d)(3332RqQrrqQl dEl dEl dEURRRRBB 303030304444RqQRqQRqRqUB 方法二：電勢疊加法方法二：電勢疊加法Aq-qBQ+q根據電勢疊加根據電勢疊加:0444302010應應該該 RqqRqRqUA qRRRRRRRRq31322121 得得3) 將將B接地接地, A分布分布q, B內外表分布內外表分布q, 外外外表為零外表

16、為零;AqqB4) 將將B地線拆掉后地線拆掉后, 將將A接地接地, 此時此時A上電上電荷為荷為 q, B內外表內外表q , 外外表為外外表為q+ q.ABq q qq 例題例題2-1-3 一個金屬球內有兩個球形空腔，兩空腔中心一個金屬球內有兩個球形空腔，兩空腔中心相距為相距為a，它們的聯線經過球心；在兩腔中心各有一個，它們的聯線經過球心；在兩腔中心各有一個點電荷，電量分別為點電荷，電量分別為 。球外有一電荷量為。球外有一電荷量為q的點電的點電荷，處在荷，處在 到到 的延伸線上，到的延伸線上，到 的間隔為的間隔為b。知。知金屬球上一切電荷量的代數和為零。試求金屬球上的電金屬球上一切電荷量的代數和

17、為零。試求金屬球上的電荷作用在荷作用在 的力。的力。21,qq1q2q1q2q1q2qqab解金屬球上的電荷包括金屬球外外表上的電荷和兩腔內解金屬球上的電荷包括金屬球外外表上的電荷和兩腔內外表上的電荷。根據對稱性和高斯定理，兩腔內外表上的電外表上的電荷。根據對稱性和高斯定理，兩腔內外表上的電荷量分別為荷量分別為 和和 ，它們都均勻分布在各自內腔外表上，它們都均勻分布在各自內腔外表上。故。故 作用在作用在 上的力為上的力為1q 1q 2q2q 由于金屬球上一切電荷量的代數和為零，故在它的外外表的由于金屬球上一切電荷量的代數和為零，故在它的外外表的電荷量為電荷量為 ，其中，其中 和和 都均勻分布在

18、外外表上都均勻分布在外外表上，作用在，作用在 上的力都為零。上的力都為零。qqq 211q2q2q2q 由于是均勻分布在球面上，故它作用在由于是均勻分布在球面上，故它作用在 的力為零。的力為零。即即 2q022 F 122210122120214141eaqqeaqqF 式中式中 是從是從 指向指向 的單位矢量的單位矢量1q2q12eq q 是是 所引起的感應電荷，所引起的感應電荷， 和和 在導體內產生的場強互在導體內產生的場強互相抵消，處處為零，故相抵消，處處為零，故 作用在作用在 上的力便等于上的力便等于 作用在作用在 上的力的負值，即上的力的負值，即q qq q2q2q 12220241

19、ebaqqF 122210222124ebaqaqqFFF于是得出，金屬球上的電荷作用在于是得出，金屬球上的電荷作用在 上的力為上的力為2q 電容電容 電容器電容器定義電容定義電容:UQC 一、孤立導體的電容一、孤立導體的電容RQU04 孤立導體球的電勢孤立導體球的電勢:當當R確定時確定時, const.40 RUQ 例例: 用孤立導體球要得到用孤立導體球要得到1F 的電容，球半徑為大？的電容，球半徑為大？eRR39010)m(1099. 841 單位單位: 1F法拉法拉=1C/V=pFFmF1263101010 RQ二、導體組的電容二、導體組的電容21UUQC 由靜電屏蔽知道由靜電屏蔽知道,

20、 導體殼內部的場只由腔內電量導體殼內部的場只由腔內電量Q和幾何尺和幾何尺寸及介質決議寸及介質決議, 由接近的兩金屬板所組成的系統就是一種電由接近的兩金屬板所組成的系統就是一種電容器容器. 其比值那么定義為它的電容其比值那么定義為它的電容 實踐運用中實踐運用中, 要設計一種導體組合要設計一種導體組合, 使其具備以使其具備以下兩點特點下兩點特點, 這類導體系統稱為電容器這類導體系統稱為電容器.v 電容大電容大, 體積小體積小;v 導體組合的電容不受其它物體的影響導體組合的電容不受其它物體的影響.三、幾種典型的電容器及電容三、幾種典型的電容器及電容dS1) 平行板電容器平行板電容器板間場強：板間場強

21、：SQE00 SQdEdUU021 電勢差：電勢差：dSUUQC0210 電容：電容：rE02 2) 圓柱形電容器圓柱形電容器2R1R1200ln22d21RRrrURR 120210ln2RRlUUQC 204rQE 21020114d421RRQrrQURR 122102104RRRRUUQC 3) 球形電容器球形電容器1R2R結論結論:v 電容器大小只決議于電容器極板的外形電容器大小只決議于電容器極板的外形, 大小大小, 相相對位置以及板間電介質的性質對位置以及板間電介質的性質, 而與電容器所帶電量而與電容器所帶電量和兩板間電壓無關和兩板間電壓無關.v 計算電容的普通步驟計算電容的普通步

22、驟:設電容器兩個極板帶有等量異號電荷設電容器兩個極板帶有等量異號電荷;求出極板間的電場強度分布求出極板間的電場強度分布;計算兩板間的電勢差計算兩板間的電勢差;由電容器電容的定義式求電容由電容器電容的定義式求電容.例題例題2-2-1：半徑都是：半徑都是a的兩根平行長直導線相距為的兩根平行長直導線相距為dda，求單位長度的電容，求單位長度的電容?實踐上任何導體之間都存在電容，如導線之間、人體與儀器實踐上任何導體之間都存在電容，如導線之間、人體與儀器 之間等，稱為分布電荷。之間等，稱為分布電荷。解：設兩導線單位長度帶電解：設兩導線單位長度帶電 .那么二導線垂直截面那么二導線垂直截面 聯線上聯線上p點

23、場強為點場強為 oo ixdxE 1120 adaadln2ln200adUCABln20 x xxxdd+ +- -p0 0兩導線的電勢差為兩導線的電勢差為dxxdxxdEUBAadaAB1120五、電容器的銜接五、電容器的銜接2. 電容器的銜接方式電容器的銜接方式1. 電容器主要性能參數電容器主要性能參數,電容器的標稱值電容器的標稱值電容量電容量C擊穿電壓擊穿電壓V并聯并聯:21CCC 21QQQ 21UUU 串聯串聯:QQQ 2121UUU 21111CCC 例題例題2-2-2 五個電容聯接如圖，五個電容聯接如圖， 己知己知 ， 試求試求A、B間電容間電容.FCFCCCC 0 . 10

24、. 425431 ，1C4C3C2C5CBA解：把原圖變換成右圖，就可看出，因解：把原圖變換成右圖，就可看出，因故為對稱的橋路電容故為對稱的橋路電容.假設在假設在A、B兩點間加上電壓，兩點間加上電壓，那么那么E、D兩點間的電勢相等，因此兩點間的電勢相等，因此 可以去掉，可以去掉，即讓即讓 ，而不影響的，而不影響的 值，便得值，便得5431CCCC ABC02 C2C1C3C2C5C4CBAEDFCCCCCCCCCCCCAB 0 . 42211151514343 或者，把或者，把 短路，即讓短路，即讓 ，也，也 不影響的值，不影響的值，這樣便得這樣便得2C 2CABC FCCCCCCCCCCCC

25、CAB 0 . 4422111153415341 兩種方法結論一樣兩種方法結論一樣 取無窮遠處為電勢取無窮遠處為電勢0點和取大地為電勢點和取大地為電勢0點應留意什么問題點應留意什么問題?思索題：思索題： 靜電場中的電介質靜電場中的電介質1. 電介質與導體的區別電介質與導體的區別一、電介質及其極化一、電介質及其極化電介質電介質導體導體導電性導電性不導電不導電導電導電在靜電場中在靜電場中 電子和原子核在電場電子和原子核在電場力作用下在原子范圍內力作用下在原子范圍內作微觀的相對位移作微觀的相對位移 自由電子在電自由電子在電場力作用下脫離場力作用下脫離所屬原子作宏觀所屬原子作宏觀移動移動 靜電平衡時靜

26、電平衡時內部場強內部場強E 0內部場強內部場強E=02.電介質的極化電介質的極化1) 電介質微觀模型電介質微觀模型v 分子正分子正, 負電荷分布在一個線度為負電荷分布在一個線度為10-10m數量級體積內數量級體積內;v 分子內存在正分子內存在正, 負電荷中心負電荷中心;v 分子是由正分子是由正, 負點電荷相隔一定間隔組成的電偶極子負點電荷相隔一定間隔組成的電偶極子.2) 電介質類型電介質類型 分子內部電荷分布的對稱性決議于分子的正分子內部電荷分布的對稱性決議于分子的正, 負負電荷中心的重合性電荷中心的重合性.有極分子：正、負電荷中心不重合有極分子：正、負電荷中心不重合.如如 等；等；無極分子：

27、正負電荷中心重合無極分子：正負電荷中心重合.如如 等。等。2222COOHN、COOHHCI、2幾種有極分子的固有電矩幾種有極分子的固有電矩6.110-30H2O0.910-30CO4.810-30NH33.410-30HCl電矩電矩(C.m)電介質電介質3) 電介質的極化方式電介質的極化方式a) 有極分子的取向極化有極分子的取向極化無電場時無電場時 + + + + +E有電場時有電場時 + + + +束縛束縛電荷電荷外場外場ff 分子有固有電矩分子有固有電矩0 分子分子p無外電場：由于熱運動而雜亂無章無外電場：由于熱運動而雜亂無章0 分分子子p按外電場方向陳列按外電場方向陳列0 分分子子p分

28、子分子p有外電場：有外電場：b) 無極分子的位移極化無極分子的位移極化無電場時無電場時 有電場時有電場時 + + + + + +E束縛束縛電荷電荷無外電場：無外電場：0 分子分子p外場外場qq 0 分子分子p 有外電場時，正負電荷中心產生相對位移，按外電場方向有外電場時，正負電荷中心產生相對位移，按外電場方向陳列稱位移極化陳列稱位移極化.極化電荷只能在分子范圍內挪動，故稱束縛極化電荷只能在分子范圍內挪動，故稱束縛電荷。電荷。 因此，兩類電介質極化的機制不同因此，兩類電介質極化的機制不同, 但極化的宏觀效果都但極化的宏觀效果都是使電介質外表出現束縛電荷是使電介質外表出現束縛電荷.二、電極化強度矢

29、量二、電極化強度矢量pnlnqVpP 分子分子單位：單位：C. m-21. 電極化強度矢量電極化強度矢量 定義：單位體積內的電矩矢量和定義：單位體積內的電矩矢量和.是描畫電介質極化是描畫電介質極化程度的物理量程度的物理量.2. 電極化強度矢量與束縛電荷之間關系電極化強度矢量與束縛電荷之間關系nPSq dd 束縛面電荷密度束縛面電荷密度: 證明：證明：以非極性分子電介質為例，思索電介質外表小面元以非極性分子電介質為例，思索電介質外表小面元dS處的電極化處的電極化. 以以q表示每個分子的正電荷量，表示每個分子的正電荷量，n表示單位體積內分子數，那么表示單位體積內分子數，那么由于電極化而移出由于電極

30、化而移出dS面的總電荷為面的總電荷為 如圖，在電場如圖，在電場E的作用下，分子的正負電的作用下，分子的正負電荷的重心沿電場方向發生位移荷的重心沿電場方向發生位移 .在面元在面元dS取一斜高為取一斜高為 、底面積為、底面積為dS的體積元的體積元dV.那那么此體積內一切分子的正電荷重心將移出么此體積內一切分子的正電荷重心將移出dS外而成為束縛電荷外而成為束縛電荷.llds nlpcosqnldSqndVqd SdPdSPqdPnppql cos， nz n 討論：如圖，當討論：如圖，當 為銳角時，為銳角時，電介質外表將出現一層正極化電電介質外表將出現一層正極化電荷；當荷；當 為鈍角時，電介質外表為

31、鈍角時，電介質外表將出現一層負極化電荷將出現一層負極化電荷. nPPdSqdcos ds nlp 在電介質內部取一恣意閉合曲面在電介質內部取一恣意閉合曲面S.那么經過整個閉合曲面那么經過整個閉合曲面S向外挪動極化電荷總量應為向外挪動極化電荷總量應為 sSdPq 根據電荷守恒定律，這等于閉合曲面根據電荷守恒定律，這等于閉合曲面S內凈余的極化內凈余的極化電荷總量的負值，故有電荷總量的負值，故有 sisqSdPiP vssvdVqdVPSdP利用數學上的高斯定理，有利用數學上的高斯定理，有實驗闡明，各向同性電介質的極化規律是實驗闡明，各向同性電介質的極化規律是EEPre00)1( 0EE 電介質內部

32、實踐的電場強度電介質內部實踐的電場強度EEE 0原來的外場原來的外場退極化場退極化場 : :電極化率電極化率, : , : 相對介電常相對介電常數數 ，r (1) E 不是原來的外場強不是原來的外場強,是總場強。是總場強。 留意留意:e e (2) 是單位為是單位為1的量的量.與電介質的性質有關與電介質的性質有關,假設是均勻電介質，假設是均勻電介質，那么各點的那么各點的 值一樣值一樣.假設是不均勻電介質，那么呈現不同的極化規假設是不均勻電介質，那么呈現不同的極化規律如各向異性電介質、鐵電體壓電效應、永電體等律如各向異性電介質、鐵電體壓電效應、永電體等.3、電介質的極化規律、電介質的極化規律例題

33、例題2-3-1 半徑半徑R 的介質球被均勻極化的介質球被均勻極化, 極化強度為極化強度為求求: 1) 介質球外表電荷的分布介質球外表電荷的分布; 2) 極化電荷在球心處極化電荷在球心處 的場強的場強?P由此可知由此可知, 右半球面上右半球面上左半球面上左半球面上0 0 02 處處1) 球面上任一點球面上任一點 cosPnP 解解:Pnx dS 0處處最大最大2) 在球面上取環帶，那么在球面上取環帶，那么dcossin22RP 在球心處的場在球心處的場 dcossin2cos4dd2020PRqE 00203dcossin2d PPEE 沿沿x 軸方向軸方向Px d dsin2d2Rq 例題例題

34、2-3-2:平行板電容器原場強為平行板電容器原場強為 .在平行板電容器在平行板電容器中充溢極化率為中充溢極化率為 的電介質的電介質. 求求: 電介質中的場強及電介質中的場強及極化電荷面密度極化電荷面密度.E 0E000 EEE又又EPe0 P EEPEEe 000rreEEE 0001 在平行板電容器中充溢極化率在平行板電容器中充溢極化率e 的介質，其場強為的介質，其場強為解解:0Ee rr 1 有電介質存在的靜電場的根本定理有電介質存在的靜電場的根本定理一、有電介質時的高斯定理一、有電介質時的高斯定理PED 0 引入電位移矢量引入電位移矢量 高斯定理高斯定理: 經過恣意閉合曲面的電位移通量等

35、于此閉合曲經過恣意閉合曲面的電位移通量等于此閉合曲面所包圍的自在電荷的代數和面所包圍的自在電荷的代數和.有電介質時的高斯定理為有電介質時的高斯定理為 sSqSD0d 高斯定理在有電介質存在時仍成立高斯定理在有電介質存在時仍成立.但高斯面內所包含的但高斯面內所包含的應是自在電荷應是自在電荷 和極化電荷和極化電荷 ,即即 qqSE001d sSqSPE00d 公式推導公式推導:定義電位移矢量定義電位移矢量PED 0 0qq 又又 ssqSdP將前式乘以將前式乘以 ，與后式相加，即得，與后式相加，即得0 那么得到有介質時的高斯定理那么得到有介質時的高斯定理 sSqSD0d闡明：闡明： 電位移矢量電位

36、移矢量D只是一個輔助物理量，真正描畫電場的物只是一個輔助物理量，真正描畫電場的物 理量仍是理量仍是E.引出引出D的益處是可以繞開極化電荷把靜電場規的益處是可以繞開極化電荷把靜電場規 律表述出來，同時也為求解電場帶來方便律表述出來，同時也為求解電場帶來方便. 對于各向同性的電介質對于各向同性的電介質 EEPre001 PED 0 EEDr 0值是值是D值的值的 倍倍E上式闡明上式闡明: 絕對介電常數0 r 故對各向同性電介質，其電場強度計算故對各向同性電介質，其電場強度計算 siSqSD0dED 先用先用1)2)再用再用計算計算D.求求E. 對有電介質靜電場的高斯定理的微分方式對有電介質靜電場的

37、高斯定理的微分方式 vssvdVqdVDSdD00 利用數學上的高斯定理利用數學上的高斯定理由于對任何空間體積上述積分都成立，故有由于對任何空間體積上述積分都成立，故有0 D二二. 有介質電場的環路定理有介質電場的環路定理 自在電荷產生的外電場自在電荷產生的外電場 及極化電荷產生的退極化場及極化電荷產生的退極化場 都都是保守場，均滿足環路定理，即是保守場，均滿足環路定理，即0EE LLl dEl dE000 00 LLl dEl dEE 0 SdEl dEsL利用數學上的斯托克斯定理，有利用數學上的斯托克斯定理，有環路定理的微分方式環路定理的微分方式0 E例題例題2-4-1 金屬球半徑金屬球半

38、徑R , 帶電帶電q , 放入相對介電系數放入相對介電系數r 的油中求的油中求: 1) 球外電場分布球外電場分布; 2) 緊貼金屬球的油面上緊貼金屬球的油面上qqrDSDS 24d 24 rqD 204rqDEr 是真空中電場的是真空中電場的1/r 倍。倍。1) 過球外油中任一點做球面過球外油中任一點做球面解解:nEnPr )1(02)緊貼金屬球面處緊貼金屬球面處, 指向球心指向球心, 與與 相反相反nE204)1()1(RqErrRrr qRqr 1142 Rr例題例題2-4-2: 同軸電纜同軸電纜R1, R2, 其間充溢電介質其間充溢電介質 r1, r2 , 分界的半徑為分界的半徑為R .

39、 求求: 單位長度電纜的電容單位長度電纜的電容在介質中做底面半徑為在介質中做底面半徑為r 長為長為l 的圓柱面的圓柱面那那么么llrDSDS 2d)(221RrRrD )(2110101RrRrDErr )(2220202RrRrDErr 設內外電纜線密度為設內外電纜線密度為解解:R2R1RRRRRrErErEUUrrRRRRRR2201102121ln2ln2ddd2121 RRRRUUCrrrr211221021lnln2 利用電容器電容的計算公式，得利用電容器電容的計算公式，得例題例題2-4-3 平行金屬板平行金屬板, 帶電帶電0及及 , 板間板間U0=300V. 假設堅持板上電荷不變假

40、設堅持板上電荷不變, 板間一半空間充介質板間一半空間充介質r =5.求求: 1) 板間電壓板間電壓; 2) 電介質上、下外表束縛電荷面密度電介質上、下外表束縛電荷面密度; 3) 電容電容; 4) 假設改為如圖二所示的情況假設改為如圖二所示的情況, 又如何？又如何？000 E那那么么dEU00 充介質后電荷重新分布充介質后電荷重新分布, 設左半部設左半部E1, D1, 1，右半部，右半部 E2, D2, 2左半部取高斯面如圖左半部取高斯面如圖1) 設板面積設板面積S , 間距間距d , 充介質前充介質前 帶電帶電 0解解:0 S圖一圖一圖一圖一圖二圖二SDSDSDSDSDSDS 11111ddd

41、dd下下底底側側面面下下底底上上底底那么那么11 DrrDDE 010111 同理，右半部同理，右半部22 D02022 DE該高斯面包圍的自在電荷為該高斯面包圍的自在電荷為 ，故，故S 1 S圖一圖一左右兩部分電勢相等左右兩部分電勢相等dEdE21 21EE r 12 由于金屬板總電量堅持不變。由于金屬板總電量堅持不變。故故SSS02122 0212 00112 rr00212 r S000022112)1(2EEErr )V(100300512121200 UdEEdUrr 2)電介質上、下外表束縛電荷面密度電介質上、下外表束縛電荷面密度00101011)1(2)1()1( rrrrrEP

42、0011341)1(2 rrnPP S000002222212212122USUSUSUQCrrr C1, C2 并聯并聯000000002132121222CCUSUSUSCCCrrr 3)電容電容01111122USUQCr000021221USUSrrrr4) 假設堅持電荷不變，充介質如圖假設堅持電荷不變，充介質如圖那么那么0 DrDE 0011 0002 DE0000212222dddEdEUr 0000532121UUdrrrr dSSdESUQCrr 000010111222 dSdSdESUQC000020222222 C1, C2 串聯串聯00002121351212)1(2C

43、CdSdSCCCCCrrrrrr 0000011)1()1( rrrrrEP 001541 rrnPPv注：填充介質后注：填充介質后是由特例導出的。但結論普遍成立，成立的條件是：是由特例導出的。但結論普遍成立，成立的條件是：1) 電介質充溢整個空間；電介質充溢整個空間；2) 介質外表是等勢面。介質外表是等勢面。rEE 0 01 rr 在電介質外表有在電介質外表有思索：假設平板電容器兩板極接在固定電源上，上述情況將如變化？思索：假設平板電容器兩板極接在固定電源上，上述情況將如變化？ (五邊值關系和獨一性定理五邊值關系和獨一性定理 介質分界面兩側的電場場強切向分量延續介質分界面兩側的電場場強切向分

44、量延續.ttEE21 122E1En21T證：證：如圖，在電介質的分界面上，如圖，在電介質的分界面上，取一極小的矩形環路取一極小的矩形環路L，令其，令其長為長為 ，寬為，寬為 。llll當當 時時 ，由環路定理知，由環路定理知 021lElEl dEttL0l2211 ttDD 各向同性介質各向同性介質 電場強度穿過兩種介質的交界面時電場強度穿過兩種介質的交界面時,會發生突變會發生突變.界面兩側電界面兩側電場滿足的關系稱為邊值關系場滿足的關系稱為邊值關系.nnDD21 介質分界面兩側電場的電位移矢量法向分量延續介質分界面兩側電場的電位移矢量法向分量延續.ttEE21 故有故有122D1Dn21

45、Sh證：在介質分界面處，跨越分證：在介質分界面處，跨越分 界面作一極小的圓柱閉合曲界面作一極小的圓柱閉合曲 面面S，其底為，其底為 ，高為，高為 。 Sh當當 時，由高斯定理知時，由高斯定理知0hSSDSDSdDnns022故有故有021nnDD2211 ttDD 各向同性介質各向同性介質nnEE2211 各向同性介質各向同性介質 介質分界面兩側的電勢延續介質分界面兩側的電勢延續.21UU nnDD21 當介質分界面上沒有自在電荷時，有當介質分界面上沒有自在電荷時，有122U1Unhh01211212121hEhEhEl dEUUnnn證：在介質分界面兩側取距界面為證：在介質分界面兩側取距界面

46、為 的的 1，2兩點，兩點的電勢分別為兩點，兩點的電勢分別為 ， 當當 時，兩點的電勢差即為時，兩點的電勢差即為0hh21,UUnnEE2211 各向同性介質各向同性介質 留意：由上面邊值關系可以看出，由于經過分界面的留意：由上面邊值關系可以看出，由于經過分界面的E通通量只和場強的法向分量有關，而和與界面平行的切向分量無關，量只和場強的法向分量有關，而和與界面平行的切向分量無關，因此電場線在介質的分界面上是不延續的。而電位移線在介質因此電場線在介質的分界面上是不延續的。而電位移線在介質的分界面上那么是延續的的分界面上那么是延續的 電位移線在介質的分界面雖是延續的，但它的方向在越電位移線在介質的

47、分界面雖是延續的，但它的方向在越過界面后卻要發生偏折，由上面兩式過界面后卻要發生偏折，由上面兩式2211ttDDnnDD21 122D1Dn21可得可得ntntDDDD222111由圖知由圖知 ，代入得，代入得ntntDDDD222111tan,tan212121tantanrr電位移線電位移線折射定律折射定律 獨一性定理：靜電平衡條件和邊值條件可以把存在于空間獨一性定理：靜電平衡條件和邊值條件可以把存在于空間的電場分布獨一地確定下來的電場分布獨一地確定下來.平行板電容器中正插入電平行板電容器中正插入電介質時的介質時的D線和線和E線線D線線E線線平行板電容器中斜插入電平行板電容器中斜插入電介質

48、時的介質時的D線和線和E線線D線線E線線運用舉例運用舉例:介質界面與電場線重合的情況介質界面與電場線重合的情況nnEP0 如下圖如下圖,根據獨一性定理和邊值關系根據獨一性定理和邊值關系,介質界面與電場線平行介質界面與電場線平行時時,電場在分界面法線方向的分量電場在分界面法線方向的分量 .而而0nE 故介質分界面上及均勻介質內都不能夠有極化電荷故介質分界面上及均勻介質內都不能夠有極化電荷.極化極化電荷只能分布在介質與帶電導體外表相鄰的介質面上電荷只能分布在介質與帶電導體外表相鄰的介質面上.平板電容器平板電容器球形電容器球形電容器 由于導體外表必需是等勢面由于導體外表必需是等勢面,因此要求導體外表

49、自在電荷分布因此要求導體外表自在電荷分布隨相鄰介質上極化電荷的分布進展調整隨相鄰介質上極化電荷的分布進展調整,使調整后外表處總面電使調整后外表處總面電荷密度荷密度 .其比例常數其比例常數 由高斯定理確定由高斯定理確定.00000qSdESdESdDisisrsii其中其中 為位于第為位于第 種介質中的種介質中的S部分部分.iSi000qSESdESdDiiiisisi 假設無電介質時電場假設無電介質時電場 具有對稱性具有對稱性,那么那么 也有對稱性也有對稱性,選對稱面選對稱面作為高斯面作為高斯面S,那么不用引出比例常數那么不用引出比例常數,可直接由高斯定理可直接由高斯定理0EE 對于球形電容器對于球形電容器,由于球對稱性由于球對稱性, 與與 的方向均為沿半徑的向的方向均為沿半徑的向外輻射線外輻射線.由高斯定理得由高斯定理得02212022qrrESdDs故故221002rqE321002rrqE或或0EE六電像法六電像法 在一接地的無窮大平面導體前有一點電荷在一接地的無窮大平面導體前有一點電荷.從上半空間看從上半空間看,平平面導體好似一面面導體好似一面“鏡子鏡子,