1、圓周運動非勻速非勻速圓周運動圓周運動勻速勻速圓周運動圓周運動角速度、周期、頻率不變，角速度、周期、頻率不變，線速度、向心加速度、向心力的大小不變，線速度、向心加速度、向心力的大小不變，方向時刻改變；方向時刻改變；合外力不指向圓心，與速度方向不垂直；合外力不指向圓心，與速度方向不垂直；合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直，合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直，且指向圓心。且指向圓心。合外力沿著半徑方向的分量提供向心力合外力沿著半徑方向的分量提供向心力，改變速，改變速度方向；度方向；沿著速度方向的分量，改變速度大小沿著速度方向的分量，改變速度大小。特點：特點：性質：性質：變速運動；變速運動；

2、非勻變速曲線運動；非勻變速曲線運動；條件：條件：向心力就是物體作圓周運動的合外力。向心力就是物體作圓周運動的合外力。當速率增大時，合外力與速度方向的夾角當速率增大時，合外力與速度方向的夾角為銳角；反之，為鈍角。為銳角；反之，為鈍角。物體做圓周運動時，題干中常常會出現物體做圓周運動時，題干中常常會出現“最大最大”“”“最小最小”“”“剛好剛好”“”“恰好恰好”等詞語，該類問題即為圓周運動的臨界等詞語，該類問題即為圓周運動的臨界問題問題 例例1 1、在山東衛視的全運向前沖、在山東衛視的全運向前沖節目中，有一個節目中，有一個“大轉盤大轉盤”的關卡。的關卡。如圖所示，一圓盤正在繞一通過它中如圖所示，一

3、圓盤正在繞一通過它中心心O O且垂直于盤面的豎直軸逆時針勻且垂直于盤面的豎直軸逆時針勻速轉動，在圓盤上有一名質量為速轉動，在圓盤上有一名質量為m m的的闖關者（可是為質點）到轉軸的距離闖關者（可是為質點）到轉軸的距離為為d d，已知闖關者與圓盤間的摩擦因，已知闖關者與圓盤間的摩擦因素為素為，且闖關者與圓盤間的最大靜，且闖關者與圓盤間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。為了使闖關摩擦力等于滑動摩擦力。為了使闖關者與圓盤保持相對靜止，求圓盤的轉者與圓盤保持相對靜止，求圓盤的轉動角速度的取值范圍。動角速度的取值范圍。一、勻速圓周運動中的極值問題一、勻速圓周運動中的極值問題1、滑動與靜止的臨界問題如圖所示，

4、用細繩一端系著的質量為如圖所示，用細繩一端系著的質量為M M0.6 kg0.6 kg的物的物體體A A 靜止在水平轉盤上靜止在水平轉盤上, ,細繩另一端通過轉盤中心的光細繩另一端通過轉盤中心的光滑小孔滑小孔O O吊著質量為吊著質量為m m0.3 kg0.3 kg的小球的小球B B，A A的重心到的重心到O O點點的距離為的距離為0.2 m0.2 m，若，若A A與轉盤間的最大靜摩擦力為與轉盤間的最大靜摩擦力為F Fm m2 2 N N，為使小球，為使小球B B保持靜止，求轉盤繞中心保持靜止，求轉盤繞中心O O旋轉的角速度旋轉的角速度的取值范圍的取值范圍( (取取g g10 m/s10 m/s2

5、 2) )【答案】2.9 rad/s6.5 rad/s 如圖所示，勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向如圖所示，勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向兩個用細線相連的小物體兩個用細線相連的小物體A A、B B的質量均為的質量均為m m，它們到，它們到轉軸的距離分別為轉軸的距離分別為r rA A=20cm=20cm，r rB B=30cm=30cm。A A、B B與圓盤間與圓盤間的最大靜摩擦力均為重力的的最大靜摩擦力均為重力的0.40.4倍，（倍，（g=10m/sg=10m/s2 2）求：）求：（1 1）當細線上開始出現張力，圓盤的角速度；）當細線上開始出現張力，圓盤的角速度；（2 2）當）當A A開始滑

6、動時，圓盤的角速度開始滑動時，圓盤的角速度2、繩子中的臨界問題）3045CABL L例：如圖所示，兩繩子系一個質量為例：如圖所示，兩繩子系一個質量為m=0.1kgm=0.1kg的小的小球，上面繩子長球，上面繩子長L=2mL=2m，兩繩都拉直時與軸夾角分別，兩繩都拉直時與軸夾角分別為為3030與與4545。問球的角速度滿足什么條件，兩繩。問球的角速度滿足什么條件，兩繩子始終張緊？子始終張緊？2.4rad/s 3.16rad/s3、脫離與不脫離的臨界問題）37可看成質點的質量為可看成質點的質量為m m的小球隨圓錐體一起做勻速圓的小球隨圓錐體一起做勻速圓周運動，細線長為周運動，細線長為L L，求：，

7、求：lg /（1）當）當 時時繩子的拉力；繩子的拉力；lg /2（2）當）當 時時繩子的拉力；繩子的拉力；圖3-5例：如圖例：如圖3-5所示，在電機距軸所示，在電機距軸O為為r處固定一質量為處固定一質量為m的鐵塊電機啟動后，鐵塊以角速度的鐵塊電機啟動后，鐵塊以角速度繞軸繞軸O勻速轉勻速轉動則電機對地面的最大壓力和最小壓力之差為動則電機對地面的最大壓力和最小壓力之差為_.（1）若）若m在最高點時突然與電機脫離，在最高點時突然與電機脫離，它將如何運動它將如何運動?（2）當角速度）當角速度為何值時，鐵塊在最高為何值時，鐵塊在最高點與電機恰無作用力點與電機恰無作用力?（3）本題也可認為是一電動打夯機的

8、原）本題也可認為是一電動打夯機的原理示意圖。若電機的質量為理示意圖。若電機的質量為M，則，則多大多大時，電機可以時，電機可以“跳跳”起來起來?此情況下，對此情況下，對地面的最大壓力是多少地面的最大壓力是多少?二、豎直平面內的圓周運動的臨界問題球繩模型模型1 ：繩球模型 不可伸長的細繩長為不可伸長的細繩長為L L，拴著可看成質點的拴著可看成質點的質量為質量為m m的小球在豎直平面內做圓周運動。的小球在豎直平面內做圓周運動。 oALvABv0試分析：試分析： 當小球在當小球在最高點最高點B的的速度為速度為v0 時，繩的拉力與速度時，繩的拉力與速度的關系？的關系？v1o思考：思考：小球小球過最高點的

9、最小速過最高點的最小速度是多少度是多少? ? 最高點：最高點：LvmmgT20gLvT0, 0v2當當v=vv=v0 0，對繩子的拉力剛好為，對繩子的拉力剛好為0 0 ，小球剛好能夠通過，小球剛好能夠通過（到）（到）最高點、剛好能做完整的圓周運動；最高點、剛好能做完整的圓周運動；mgT思考：當思考：當v=v0、 vv0、vv0時分別會發生什么現象？時分別會發生什么現象？當當vvvvvv0 0，對繩子的有拉力，小球能夠通過最高點。，對繩子的有拉力，小球能夠通過最高點。思考：要使小球做完整的圓周運動，思考：要使小球做完整的圓周運動，在最低點的速度有什么要求？在最低點的速度有什么要求？oALvABv

10、B由機械能守恒可的：由機械能守恒可的：22222BAvmvmrmg當當VB取得最小值時，即：取得最小值時，即：grvBVA取得最小值即：取得最小值即：grvA5結論：要使小球做完整的圓結論：要使小球做完整的圓周運動，在最低點的速度周運動，在最低點的速度grvA5Lv20gL 例：長為例：長為L L的細繩，一端系一質量為的細繩，一端系一質量為m m的小球的小球, ,另一端固另一端固定于某點，當繩豎直時小球靜止，現給小球一水平初定于某點，當繩豎直時小球靜止，現給小球一水平初速度速度v v0 0，使小球在豎直平面內做圓周運動，并且剛好，使小球在豎直平面內做圓周運動，并且剛好過最高點，則下列說法中正確

11、的是：（過最高點，則下列說法中正確的是：（ ）A.A.小球過最高點時速度為零小球過最高點時速度為零B.B.小球開始運動時繩對小球的拉力為小球開始運動時繩對小球的拉力為m mC.C.小球過最高點時繩對小的拉力小球過最高點時繩對小的拉力mgmgD.D.小球過最高點時速度大小為小球過最高點時速度大小為D變型題變型題2：在傾角為：在傾角為=30的光滑斜面上用細繩的光滑斜面上用細繩拴住一小球，另一端固定，其細線長為拴住一小球，另一端固定，其細線長為0.8m，現為了使一質量為現為了使一質量為0.2kg的小球做圓周運動，則的小球做圓周運動，則小球在最高點的速度至少為多少？小球在最高點的速度至少為多少？在在“

12、水流星水流星”表演中，杯子在豎直平面做圓周表演中，杯子在豎直平面做圓周運動，在最高點時，杯口朝下，但杯中水卻不運動，在最高點時，杯口朝下，但杯中水卻不會流下來，為什么？會流下來，為什么？對杯中水：對杯中水：GFNrvmFmg2N時，當grv FN = 0水恰好不流出水恰好不流出表演表演“水流星水流星” ，需要保證杯，需要保證杯子在圓周運動最高點的線速度不子在圓周運動最高點的線速度不得小于得小于gr即：即：grv 實例一：水流星實例一：水流星重力的效果重力的效果全部提供向心力全部提供向心力思考：過山車為什么在最高點也不會掉下來？思考：過山車為什么在最高點也不會掉下來？實例二：過山車實例二：過山車

13、拓展：物體沿豎直內軌運動拓展：物體沿豎直內軌運動 有一豎直放置、內壁有一豎直放置、內壁光滑光滑圓環，其半徑為圓環，其半徑為r，質量為質量為m的小球沿它的內表面做圓周運動時，分的小球沿它的內表面做圓周運動時，分析析小球在最高點的速度應滿足什么條件？小球在最高點的速度應滿足什么條件？rvmFgN2m思考：思考：小球小球過最高點的最小速度過最高點的最小速度是多少是多少? ?r, 00gvFN當當v=vv=v0 0，對軌道剛好無壓力，小球剛好能夠通過最高點；，對軌道剛好無壓力，小球剛好能夠通過最高點；當當vvvvvv0 0，對軌道有壓力，小球能夠通過最高點；，對軌道有壓力，小球能夠通過最高點；mgFN

14、 要保證過山車在最高點不掉下來，此時的速度必須滿足：要保證過山車在最高點不掉下來，此時的速度必須滿足：grv Av0規律總結：無支持物規律總結：無支持物物體在圓周運動過物體在圓周運動過最高點最高點時，輕繩對物體只能產生沿繩收時，輕繩對物體只能產生沿繩收縮方向向下的拉力，或軌道對物體只能產生向下的彈力；縮方向向下的拉力，或軌道對物體只能產生向下的彈力；若速度太小物體會脫離圓軌道若速度太小物體會脫離圓軌道無支持物模型無支持物模型不能過最高點的條件：不能過最高點的條件：VVVV臨界臨界( (實際上小球尚未到達實際上小球尚未到達最高點時就脫離了軌道最高點時就脫離了軌道) )使小球做完整的圓周運動，使小

15、球做完整的圓周運動，在軌道的在軌道的最低點的速度應滿足最低點的速度應滿足：5grv 模型二：球桿模型：模型二：球桿模型：小球在輕質桿或管狀軌道彈力作用下的圓周運小球在輕質桿或管狀軌道彈力作用下的圓周運動，過動，過最高點最高點時桿與繩不同，時桿與繩不同，桿對球既能產生桿對球既能產生拉力，也能對球產生支持力拉力，也能對球產生支持力；（管狀軌道的口；（管狀軌道的口徑略大于小球的直徑徑略大于小球的直徑) )長為長為L的輕桿一端固定著一質量為的輕桿一端固定著一質量為m的小球，使的小球，使小球在豎直平面內做圓周運動。小球在豎直平面內做圓周運動。 試分析：試分析：（1）當小球在最低點）當小球在最低點A的速度

16、的速度為為v2時，桿的受力與速度的關時，桿的受力與速度的關系怎樣？系怎樣？（2）當小球在最高點）當小球在最高點B的速度的速度為為v1時，桿的受力與速度的關時，桿的受力與速度的關系怎樣？系怎樣？ABF3mgF2v2v1o思考思考: :在最高點時，在最高點時，何時桿表現為何時桿表現為拉力？何時表現為支持力？試求拉力？何時表現為支持力？試求其臨界速度。其臨界速度。ABLvmF222mg 最高點：最高點：拉力拉力支持力支持力臨界速度：臨界速度：L, 00gvF當當vv0，桿對球有向下的拉力。，桿對球有向下的拉力。mgF1此時最低點的速度為：此時最低點的速度為：grvA5LvmFmg233問：當問：當v

17、2的速度等于的速度等于0時，桿對球的時，桿對球的支持力為多少？支持力為多少？F支支=mg此時最低點的速度為：此時最低點的速度為：grvA2結論：使小球能做完整的結論：使小球能做完整的圓周運動在最低點的速度圓周運動在最低點的速度grvA2拓展：物體在管型軌道內的運動拓展：物體在管型軌道內的運動如圖，有一內壁光滑、如圖，有一內壁光滑、豎直豎直放置的管放置的管型軌道，其半徑為型軌道，其半徑為R，管內有一質量，管內有一質量為為m的小球有做的小球有做圓周運動圓周運動，小球的直，小球的直徑剛好略小于管的內徑。徑剛好略小于管的內徑。思考：在最高點時，什么時候外管壁對小球有壓思考：在最高點時，什么時候外管壁對

18、小球有壓力，什么時候內管壁對小球有支持力力，什么時候內管壁對小球有支持力? ?什么時候內什么時候內外管壁都沒有壓力？外管壁都沒有壓力？小球在最低點的速度小球在最低點的速度v至少多大時，至少多大時，才能使小球在管內做完整的圓周運動？才能使小球在管內做完整的圓周運動？臨界速度：臨界速度：gRvF0, 0當當vv0，外壁對球有向下的壓力。，外壁對球有向下的壓力。使小球能做完整的圓周運動在最低點的速度：使小球能做完整的圓周運動在最低點的速度：grvA2例題例題: :輕桿長為輕桿長為2L2L，水平轉軸裝在中點，水平轉軸裝在中點O O，兩端分別固定，兩端分別固定著小球著小球A A和和B B。A A球質量為

19、球質量為m m，B B球質量為球質量為2m2m，在豎直平面內，在豎直平面內做圓周運動。做圓周運動。當桿繞當桿繞O O轉動到某一速度時，轉動到某一速度時，A A球在最高點，如圖所示球在最高點，如圖所示，此時桿，此時桿A A點恰不受力，求此時點恰不受力，求此時O O軸的受力大小和方向；軸的受力大小和方向；保持保持問中的速度，當問中的速度，當B B球運動到最高點時，求球運動到最高點時，求O O軸的軸的受力大小和方向；受力大小和方向；在桿的轉速逐漸變化的過程中，在桿的轉速逐漸變化的過程中，能否出現能否出現O O軸不受力的情況？請計算說明。軸不受力的情況？請計算說明。22,vmgmvgLL解析：解析：A

20、 A端恰好不受力，則端恰好不受力，則222,4vTmgmTmgLB B球：球：2,vT mgmTmgL桿對桿對B B球無作用力，對球無作用力，對A A球球: :4Tmg 由牛頓第三定律，由牛頓第三定律，B B球對球對O O軸的拉力軸的拉力，豎直向下。，豎直向下。2Tmg由牛頓第三定律，由牛頓第三定律，A A球對球對O O軸的拉力軸的拉力，豎直向下。，豎直向下。3ABvvgL222vTmgmgL若若B B球在上端球在上端A A球在下端，對球在下端，對B B球：球：2vT mgmL對對A A球：球：3vgL 聯系得聯系得: :2vTmgmL若若A A球在上端，球在上端，B B球在下端，對球在下端，對A A球：球：222vTmgmL對對B B球：球： 23vmgmL 聯系得聯系得顯然不成立，所以能出現顯然不成立，所以能出現O O軸不受力的情況，此時軸不受力的情況，此時在桿的轉速逐漸變化的過程中，能否出現在桿的轉速逐漸變化的過程中，能否出現O軸不軸不受力的情況？請計算