1、螞蟻爬行的最短路徑1一只螞蟻從原點 0 出發(fā)來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5，-3，+10，-8， -9，+12，-10回答下列問題：（1）螞蟻最后是否回到出發(fā)點 0；（2）在爬行過程中，如果每爬一個單位長度獎勵2 粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻解：（ 1）否， 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故沒有回到 0；（2）（ |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10| ）×2=114 粒2. 如圖，邊長為 1 的正方體中，一只螞蟻從頂點 A 出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點 B 的 最短距離是 .第6題解：如圖將正方體展開，根據(jù) “兩點之間

2、，線段最短 ”知，線段 AB 即為最短路線AB= 22 125 3（ 2006?）如圖，點 A、B 分別是棱長為 2的正方體左、右兩側(cè)面的中心，一螞蟻從點 A 沿其表面爬到點 B 的最短路程是cm解：由題意得，從點 A 沿其表面爬到點 B 的最短路程是兩個棱長的長，即2+2=4 4如圖，一只螞蟻從正方體的底面A 點處沿著表面爬行到點上面的 B 點處，它爬行的最短路線是（ ）A A? P? BBA? Q? BC A? R? BD A? S? B解：根據(jù)兩點之間線段最短可知選 A故選 A 5如圖，點 A 的正方體左側(cè)面的中心，點 B 是正方體的一個頂點，正方體的棱長為2，螞蟻從點 A 沿其表面爬到

3、點 B 的最短路程是（）解：如圖， AB= 1 2 2 1210 故選 C6正方體盒子的棱長為 2，BC的中點為 M，一只螞蟻從 A點爬行到 M點的最短距離為 （ ） 解：展開正方體的點 M 所在的面，BC 的中點為 M ，1所以 MC= BC=1，2在直角三角形中 AM= = 7如圖，點 A 和點 B 分別是棱長為 20cm 的正方體盒子上相鄰面的兩個中心，一只螞蟻在 盒子表面由 A 處向 B 處爬行，所走最短路程是cm。解：將盒子展開，如圖所示：1111AB=CD=DF+FC= EF+ GF= ×20+ ×20=20cm2222故選 C8. 正方體盒子的棱長為 2， B

4、C 的中點為 M ，一只螞蟻從 A 點爬行到 M 點的最短距離 為.解：將正方體展開，連接 M、 D1，根據(jù)兩點之間線段最短，MD =MC +CD =1+2=3 ，MD1= MD 2 DD1232 2213 9如圖所示一棱長為 3cm的正方體， 把所有的面均分成 3×3 個小正方形 其邊長都為 1cm， 假設(shè)一只螞蟻每秒爬行 2cm，則它從下底面點 A 沿表面爬行至側(cè)面的 B 點，最少要用 2.5 秒鐘解：因為爬行路徑不唯一，故分情況分別計算，進(jìn)行大、小比較，再從各個路線中確定最短 的路線（ 1）展開前面右面由勾股定理得 AB= = cm； （2）展開底面右面由勾股定理得 AB= =

5、5cm； 所以最短路徑長為 5cm，用時最少： 5÷2=2.5 秒10（ 2009?州）如圖，長方體的長為 15，寬為 10，高為 20，點 B 離點 C 的距離為 5，一只 螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A 爬到點 B，需要爬行的最短距離是。解：將長方體展開，連接 A、 B， 根據(jù)兩點之間線段最短， AB= =25 11. 如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點 A 出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1 處（三條棱長如圖所示） ，問怎樣走路線最短？最短路線長為 .解：正面和上面沿 A1B1展開如圖，連接 AC1， ABC1是直角三角形，12如圖所示：有一個長、寬都是AC1= AB2 BC

6、1242 1 2 242 32 52 米，高為 3 米的長方體紙盒，一只小螞蟻從 A 點爬到 B點，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為 米。解：由題意得，路徑一： AB= = ；路徑二： AB= =5；路徑三： AB= = ； > 5，5 米為最短路徑13如圖， 直四棱柱側(cè)棱長為 4cm，底面是長為 5cm 寬為 3cm 的長方形 一只螞蟻從頂點 A 出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點 B求：（1）螞蟻經(jīng)過的最短路程；（2）螞蟻沿著棱爬行（不能重復(fù)爬行同一條棱）的最長路程解：（ 1） AB 的長就為最短路線然后根據(jù) 若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為（ cm）；若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為（ c

7、m），或 （ cm）所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是cm（2） 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm， 最長路程是 30cm14如圖， 在一個長為 50cm，寬為 40cm，高為 30cm 的長方體盒子的頂點 A 處有一只螞蟻，它要爬到頂點 B 處去覓食，最短的路程是多少？解：圖 1 中， cm圖 2 中， cm 圖 3 中， cm 采用圖 3 的爬法路程最短，為 cm15如圖，長方體的長、寬、高分別為6cm ，8cm，4cm一只螞蟻沿著長方體的表面從點A爬到點 B則螞蟻爬行的最短路徑的長是解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面， 則這個長方形的長和寬分別是

8、12cm和 6cm， 則所走的最短線段是 =6 cm； 第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形， 則這個長方形的長和寬分別是 10cm 和 8cm， 所以走的最短線段是 = cm； 第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形， 則這個長方形的長和寬分別是 14cm 和 4cm， 所以走的最短線段是 =2 cm； 三種情況比較而言，第二種情況最短16如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20cm、3cm、 2cmA 和 B 是這個臺階上兩個相對的端點，點 A 處有一只螞蟻，想到點 B 處去吃可口的食物，則螞蟻沿著 臺階面爬行到點 B 的最短路程為cm解：三級臺階平面展

9、開圖為長方形，長為20cm，寬為（ 2+3） ×3cm，則螞蟻沿臺階面爬行到 B 點最短路程是此長方形的對角線長 可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到 B 點最短路程為 xcm， 由勾股定理得： x2=20 2+ （ 2+3）×32=252， 解得 x=25 故答案為 2517如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm， A和 B是這個臺階的兩個相對的端點， A 點上有一只螞蟻，想到 B 點去吃可口的食物 .請你想一想， 這只螞蟻從 A 點出發(fā)，沿著臺階面爬到 B 點，最短線路是cm。解：將臺階展開，如下圖，因為 AC=3×3+1×3=

10、12， BC=5， 所以 AB2=AC2+BC2=169，所以 AB=13（ cm）， 所以螞蟻爬行的最短線路為 13cm 答：螞蟻爬行的最短線路為 13cm18（ 2011?荊州）如圖，長方體的底面邊長分別為2cm 和 4cm ，高為 5cm若一只螞蟻從P 點開始經(jīng)過 4 個側(cè)面爬行一圈到達(dá) Q 點，則螞奴爬行的最短路徑長為cm 解：PA=2×（4+2）=12， QA=5PQ=13故答案為： 1319如圖，一塊長方體磚寬 AN=5cm，長 ND=10cm，CD 上的點 B 距地面的高 BD=8cm，地面上 A 處的一只螞蟻到 B 處吃食，需要爬行的最短路徑是多少？解：如圖 1，在磚

11、的側(cè)面展開圖 2 上，連接 AB，則 AB 的長即為 A 處到 B 處的最短路程因為 AD=AN+ND=5+10=15 ， BD =8，所以 AB2=AD 2+BD2=152+82=289=172所以 AB=17 cm故螞蟻爬行的最短路徑為 17cm20（2009?）如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙） 螞蟻從柜角 A 處沿著木柜表面爬到柜角 C1 處，有一只1）請你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；2）當(dāng) AB=4，BC =4，CC1=5 時，求螞蟻爬過的最短路徑的長；3）求點 B1 到最短路徑的距離解：（1）如圖，木柜的表面展開圖是兩個矩形 ABC'1D

12、1 和 ACC1A1故螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的A1C'1和 AC1（2 分）（2）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 A1B1 到 C1，爬過的路徑的長是 （3 分）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 BB1到 C1，爬過的路徑的長是 （4 分）l 1> l2，故最短路徑的長是 （5 分）（3）作 B1E AC1于 E，則 ? ? 為所求（ 8 分）21有一圓柱體如圖，高 4cm，底面半徑 5cm，A 處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到 蟻爬行的最短距離 .第2題解： AC的長就是螞蟻爬行的最短距離 C，D 分別是 BE，AF的中點AF =2?5=10 AD =5AC= AD2 CD2 16cm

13、故答案為： 16cm22有一圓形油罐底面圓的周長為24m，高為 6m，一只老鼠從距底面 1m 的角 B 處吃食物，它爬行的最短路線長為 .C 處，求螞A 處爬行到對第3題解： AB= 52 122 13m623如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點 A到達(dá) A1，若圓柱底面半徑為，高為 5，則螞蟻爬行的最短距離為6解：因為圓柱底面圓的周長為2×6 =12，高為 5，所以將側(cè)面展開為一長為 12，寬為 5 的矩形，根據(jù)勾股定理，對角線長為 =13故螞蟻爬行的最短距離為 1324如圖，一圓柱體的底面周長為 24cm，高 AB 為 9cm， BC 是上底面的直徑一只螞蟻從點 A

14、出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C ，則螞蟻爬行的最短路程是解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為 24cm，則 AD=24× 1 =12cm2又因為 CD=AB=9cm，所以 AC= =15 cm故螞蟻從點 A 出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點 C 的最短路程是 15cm故答案為： 1525（ 2006?荊州）有一圓柱體高為 10cm，底面圓的半徑為 4cm，AA1，BB1為相對的兩條母線在 AA1上有一個蜘蛛 Q，QA=3cm；在 BB1 上有一只蒼蠅 P，PB1=2cm，蜘蛛沿圓柱體 側(cè)面爬到 P 點吃蒼蠅，最短的路徑是cm（結(jié)果用帶 和根號的式子表示）解： QA=3， PB1=2 ，即

15、可把 PQ 放到一個直角邊是 4和 5 的直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：A 處爬行到對QP=26同學(xué)的茶杯是圓柱形，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從面的中點 B 處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖問題：某正方體盒子，如圖左邊下方 A 處有一只螞蟻，從 A 處爬行到側(cè)棱 GF 上的中點 M 點處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖解：如圖，將圓柱的側(cè)面展開成一個長方形，如圖示，則A、B 分別位于如圖所示的位置，連接 AB，即是這條最短路線圖如圖，將正方體中面圖所示的位置，連接 AM ，即是這條最短路線圖27如圖， 圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm，假

16、若點 B 有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線 AC 的中點 P 處的食物，那么它爬行的最短路程 是.第5題解：圓錐的底面周長是4，則 4=n4180n=180°即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180°，在圓錐側(cè)面展開圖中 AP=2，AB=4， BAP=90°，在圓錐側(cè)面展開圖中 BP= 20 2 5 ， 這只螞蟻爬行的最短距離是 2 5 cm故答案是： 2 5 cm 28如圖，圓錐的底面半徑 R=3dm，母線 l=5dm， AB為底面直徑， C 為底面圓周上一點，COB=150°，D為VB上一點， VD= 現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表面從點C爬到 D則螞蟻

17、爬行的最短路程是（ ）解： = = ，設(shè)弧 BC 所對的圓心角的度數(shù)為 n，解得 n=90 ， CVD =90°，CD= =4 ，29已知圓錐的母線長為 5cm，圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，且 AOA 1=120 °，一只螞蟻欲 從圓錐的底面上的點 A 出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點A則螞蟻爬行的最短路程長為。解：連接 AA ，作 OCAA 于 C， 圓錐的母線長為 5cm， AOA 1=120 °， AA =A2C=5 3 30 如圖，底面半徑為 1，母線長為 4 的圓錐，一只小螞蟻若從 A 點出發(fā)，繞側(cè)面一周又 回到 A 點，它爬行的最短路線長是 .第 4 題

18、解：由題意知，底面圓的直徑為 2， 故底面周長等于 2根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，解得 n=90°，4n180所以展開圖中圓心角為 90°，31（2006?）如圖，底面半徑為1，母線長為 4 的圓錐，一只小螞蟻若從A 點出發(fā)，繞側(cè)面根據(jù)勾股定理求得到點 A 的最短的路線長是： 16 16 32 4 2 周又回到 A 點，它爬行的最短路線長是解：由題意知底面圓的直徑 =2，故底面周長等于 2設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°，4n根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2= 4n180解得 n=90°，所以展開圖中的圓心角為 90°，根據(jù)勾股

19、定理求得它爬行的最短路線長為 4 2 32（2009?）如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線 PB 的長為 6， D 為 PB 的中點一只螞蟻從點 A 出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點D，則螞蟻爬行的最短路程為解：由題意知，底面圓的直徑 AB =4， 故底面周長等于 4設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得4= 2n 6 ，360解得 n=120°，所以展開圖中 APD =120°÷2=60°，根據(jù)勾股定理求得 AD= 3 3 ， 所以螞蟻爬行的最短距離為 3 3 33如圖，圓錐底面半徑為 r，母線長為 3r，底面圓周上有一螞蟻位于 A 點，它從 A 點出發(fā) 沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點， 請你