1、金融風險的度量金融風險的度量久期、凸性及久期缺口模型久期、凸性及久期缺口模型趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o1、直觀理解、直觀理解o四項投資的現金流（入）如下四項投資的現金流（入）如下一、久期的概念與推導一、久期的概念與推導t123456ABCD100100100100200100100100100100100100100100100200200503015070趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o問題：問題：o如何比較四項投資的風險？如何比較四項投資的風險？趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o t123456ABCD100100100100200

2、1001001001001001001004010018012020050301507090總量相同總量相同分量不同分量不同趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o t123456ABCD1001001001002001001001001001001001004010018012020050301507090時間跨度相同時間跨度相同各期流量不同各期流量不同趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o t123456ABCD1001001001002001001001001001001001004010018012020050301507090時間跨度不同時間跨度不同各期流量不同

3、各期流量不同趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o思路：思路：o設置一個指標，綜合衡量時間跨度和流量大小？設置一個指標，綜合衡量時間跨度和流量大小？o同時體現出對風險因子的敏感性程度？同時體現出對風險因子的敏感性程度？o久期久期趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o假定某息票債券的基本信息如下：假定某息票債券的基本信息如下：o面值面值o息票率息票率o到期日到期日o第第 期末的現金流期末的現金流o貼現率（即市場基準利率）貼現率（即市場基準利率）FiTttCy2、久期的推導、久期的推導：利息支付采取一年一次方式：利息支付采取一年一次方式趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙

4、建群趙建群o于是有于是有iFCt)1 (iFCTTtttyCP1)1 (趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群TTyCyCyCyCyCP)1 ()1 ()1 ()1 (14433221或者或者 公允價值核算的直觀表達：公允價值核算的直觀表達：趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o問題：問題：o市場利率的變化對債券價格市場利率的變化對債券價格 有怎樣的影響？有怎樣的影響？P趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o在貼現率發生較小變化的情況下，根據在貼現率發生較小變化的情況下，根據Taylor展開式，展開式，可得可得dyyPdP)(趙建群趙建群金融風險管理金融風險管

5、理趙建群趙建群TTyCyCyCyCyCP)1 ()1 ()1 ()1 (14433221TtttTTytCyCTyCyCyCyCyP11154433221)1()1 ()1 (4)1 (3)1 (2)1 ()(趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群yPdyDydyPyCytCydyPPytCydyytCdyytCdyyPdPTtttTtttTtttTtttTttt1)1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()(111111TtttyCP1)1 (趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o其中其中o稱為久期稱為久期TtttTtttyCytCD11)1 ()

6、1 (趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o考察考察o是一個以是一個以 為權為權o對時間對時間 t 的加權和的加權和TtttTtttyCytCD11)1 ()1 (TtttttyCyC1)1 ()1 (趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o或者，可以認為或者，可以認為o久期是項目或資產的平均回收期久期是項目或資產的平均回收期o（基于現金流現值的加權）（基于現金流現值的加權）趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o考察考察o表示表示o當期現金流的折現值當期現金流的折現值/總現金流折現值總現金流折現值TtttttyCyC1)1 ()1 (趙建群趙建群金融風險管理金

7、融風險管理趙建群趙建群o3、久期的經濟學解釋、久期的經濟學解釋o將將o變形得變形得o或者取其離散形式或者取其離散形式o（之所以采用之所以采用 ，是因為，是因為 的推導采取的是的推導采取的是Taylor一階近似，當一階近似，當利率的變化比較大時，取一階近似是不對的利率的變化比較大時，取一階近似是不對的）yPdyDdP1ydyPdPD1yyPPD1dP趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o考察考察 o 或者或者o發現：發現：o久期反映了債券價格對市場利率或貼現率變化的敏感程久期反映了債券價格對市場利率或貼現率變化的敏感程度度ydyPdPD1yyPPD1趙建群趙建群金融風險管理金融風險管

8、理趙建群趙建群o例例1：o假定某債券的久期為假定某債券的久期為5年，當市場利率為年，當市場利率為8%時，該債時，該債券的市場價格為券的市場價格為120元，如果市場利率升為元，如果市場利率升為9%，該債，該債券的市場價格將發生怎樣的變化？券的市場價格將發生怎樣的變化？趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o考察久期公式考察久期公式o當市場利率變化由當市場利率變化由8%升為升為9%時，貼現因子（時，貼現因子（1+y）的變化比率為的變化比率為(9%-8%)/(1+8%) =0.92593%o所以所以o該債券的市場價格將該債券的市場價格將 下降下降0.92593%5=4.62963%o即下降

9、為即下降為120(1-0.462963%)=114.44444元元yyPPD1趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o4、修正久期修正久期o定義修正久期：定義修正久期：o反映收益率曲線反映收益率曲線 平移一單位引起債券價格變化平移一單位引起債券價格變化的百分比的百分比dydPPD1*y趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o比較比較o顯然顯然ydyPdPD1dyDPdP*)1 (*yDDdydPPD1*趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o例例2o假定某債券的修正久期為假定某債券的修正久期為5年，當市場利率為年，當市場利率為8%時，時，該債券的市場價格為該債券的

10、市場價格為120元，如果市場利率升為元，如果市場利率升為9%，該債券的市場價格將發生怎樣的變化？該債券的市場價格將發生怎樣的變化？趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o考察考察o有：有：o市場利率絕對上升量為市場利率絕對上升量為1%，因此債券的市場價格將，因此債券的市場價格將降低降低1%5=5%o因此債券的市場價格將降為因此債券的市場價格將降為120(1-5%)=144元元dyDPdP*趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o5、久期的推導、久期的推導：付息方式為半年一次：付息方式為半年一次趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群TtttTTTTyCyCyCyCy

11、CyCyCP2122125 . 04235 . 1215 . 0)21 ()21 ()21 ()21 ()21 ()21 (21趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群TtttTTTTyCtyCTyCTyCyCyCyCyP21121225 . 05245 . 13125 . 0)21 (221)21 (212)21 (21) 12()21 (214)21 (213)21 (212)21 (211)(趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群21)21 ()21 ()21 ()21 ()21 ()21 ()21 ()21 ()(2122122122122112yPdyDydyPyC

12、ytCydyPPytCydyytCdyytCdyyPdPTtttTtttTtttTtttTtttTtttyCP212)21 (TtttytCyP2112)21 ()(趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群TtttTtttyCytCD5 . 025 . 02)21 ()21 (趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群dydPPD1*dyDPdP*21ydyPdPD)21 (*yDD趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o6、久期的推導、久期的推導：利息一年支付：利息一年支付a次次TatattTatattayCayCataD1)1 ()1 (1趙建群趙建群金融風險管理金

13、融風險管理趙建群趙建群二、久期的性質二、久期的性質o息票債券的久期一般小于債券的到期期限息票債券的久期一般小于債券的到期期限TtttTtttyCytCD11)1 ()1 (TaaaTaaaTT212121?趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o零息債券的久期是其到期期限零息債券的久期是其到期期限TTTTTtttTtttyCyCTyCytCD)1 ()1 ()1 ()1 (11趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o息票債券久期的上限是相應的永久債券的久期息票債券久期的上限是相應的永久債券的久期o令令o則有則有TttTttTtttTtttyFiytFiyCytCD1111)

14、1 ()1 ()1 ()1 (111ay趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群yyaaaaaaTTaaaaaaTaaTaaaaTaaaayyyyTyyDTTTTTTTTTTTTTT111) 1() 1(lim)1 ()1 () 1(lim32lim)1 (1)1 (1)1 (1)1 ()1 (2)1 (1limlim121122123222趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群oo分析：分析：o如果債券價值被認為是可以變化的；假定各期的息票利如果債券價值被認為是可以變化的；假定各期的息票利率同等變動，則顯然，該變化對久期無影響（相當于各率同等變動，則顯然，該變化對久期無影響

15、（相當于各期的權未變期的權未變0iD?TtTtttTtttTtttyFiytFiyCytCD1111)1 ()1 ()1 ()1 (暗含假定：暗含假定：T、y與與i均無關均無關趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o如果債券價值是不變的，在此前提下假定息票利率的變如果債券價值是不變的，在此前提下假定息票利率的變化，則意味著總的時長發生變化，于是有以下分析化，則意味著總的時長發生變化，于是有以下分析o雖然此時雖然此時Fi已經被消掉，但是，已經被消掉，但是，T卻成為卻成為i的函數的函數趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o令令iFCtTtttyCP1)1 (ya11PaaaF

16、iT11FiPaaaT)1 (1趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o TtttTtttyCytCD11)1 ()1 (iFCtTtttyCP1)1 (ya11FiPaaaT)1 (1PaPaTaFiTaPTaTaFiPaPaTaTaaaFiPTaaaaFiDTTTT22221132)1 ()1 ()1 ()1 ()1 (32趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o將將 以以 表示表示o然后對然后對 求導求導o情況比較復雜，應該根據情況比較復雜，應該根據 和和 之間的關系進之間的關系進行討論行討論o故課本上的結論有誤（見故課本上的結論有誤（見P64結論結論2）o（進一步的

17、討論留做課后思考題）（進一步的討論留做課后思考題）TiiPF趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群oo分析：分析：o直觀分析直觀分析0yD?TTyyyyTyyD)1 (1)1 (1)1 (1)1 ()1 (2)1 (122yy11Tyyyy)1 (1)1 (1)1 (11132趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o進一步的討論：進一步的討論：o令時間連續，且令時間連續，且o則則o令令o 與與 無關無關ya11TtxTtxdxadxxaD00 xxu)(aaxvxln)(0tTDy趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群oExcel演示演示o略略o綜合上述綜合上述o

18、 久期只是一個經驗性、粗略性標識指標久期只是一個經驗性、粗略性標識指標趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o練習練習o請對請對 、 做出分析做出分析TD22TD趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群三、久期應用的缺陷三、久期應用的缺陷o如果不同期限的貼現率不同，則久期的衡量精度下降如果不同期限的貼現率不同，則久期的衡量精度下降o如果貼現率（或者說市場基準利率）變化幅度比較大，如果貼現率（或者說市場基準利率）變化幅度比較大，則久期的衡量精度下降則久期的衡量精度下降o（為了克服上面的第二種缺陷，引入（為了克服上面的第二種缺陷，引入凸性凸性）趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理

19、趙建群趙建群四、久期缺口模型四、久期缺口模型o1、利率敏感性（資產、負債）價值變化與久期、利率敏感性（資產、負債）價值變化與久期o令利率敏感性資產價值為令利率敏感性資產價值為 ，o則有則有o其中其中 為資產的久期為資產的久期APyyDPPAAA1AD趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o令利率敏感性負債價值為令利率敏感性負債價值為 ，o則有則有o其中其中 為負債的久期為負債的久期LPyyDPPLLL1LD趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o2、（利率敏感性）凈資產增加量為、（利率敏感性）凈資產增加量為o其中其中 為久期缺口為久期缺口o 為（利率敏感性）資產負債率為（利

20、率敏感性）資產負債率yyPDGyyPDPPDPPPPAALALALALA11)()(LALADPPDDGALPP趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o3、基本結論、基本結論o由由o可知：可知：o當當 ，即資產平均回收期相對較長時，利率，即資產平均回收期相對較長時，利率上升將導致凈資產價值下降上升將導致凈資產價值下降o當當 ，即負債平均回收期相對較長時，利率上，即負債平均回收期相對較長時，利率上升將導致凈資產價值上升升將導致凈資產價值上升o在利率變化方向不確定的情況下，預防利率風險的比在利率變化方向不確定的情況下，預防利率風險的比較好的辦法，就是力求使較好的辦法，就是力求使yyPDG

21、PPALA1)(0DG0DG0DG趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o4、進一步探討、進一步探討o從久期缺口角度，為了防止利率風險，可行操作包括：從久期缺口角度，為了防止利率風險，可行操作包括：o調整利率敏感性資產負債比調整利率敏感性資產負債比o調整利率敏感性資產的久期調整利率敏感性資產的久期o調整利率敏感性負債的久期調整利率敏感性負債的久期o力爭使力爭使0DG趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群五、凸性五、凸性o1、概念、概念o債券價格變化關于利率變動的更為精確的表達形式債券價格變化關于利率變動的更為精確的表達形式)0()()(21)(2 dyyPdyyPdP2 )

22、()(21)(dyyPdyyPdPdyPdydyPdPdydPPdP)211(22趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o對對o將將 即即 代入上式代入上式o有有dyPdydyPdPdydPPdP)211(22ydyPdPD1yDdydPP11dyPdydypdPyDdP)211(22趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o令令 o則有則有221dyPdPC dyPdyCyDdP)211(2)(211dyCydyDPdPTtttyCttyP12)1 ()1 ()1 (11趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o考察考察o稱其稱其凸性凸性o是債券價格對貼現率或利率敏

23、感性的二階估計是債券價格對貼現率或利率敏感性的二階估計TtttyCttyPdyPdPC1222)1 ()1 ()1 (111趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o從從 發現發現o凸性度量了債券面臨的利率風險非線性部分，是對久期凸性度量了債券面臨的利率風險非線性部分，是對久期估計的校正估計的校正o當貼現率波動比較大時，這種校正作用更為明顯當貼現率波動比較大時，這種校正作用更為明顯2)(211dyCydyDPdP趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o2、凸性的性質：、凸性的性質：o息票債券的凸性總是正的息票債券的凸性總是正的TtttyCttyPdyPdPC1222)1 ()

24、1 ()1 (111TtttyCP1)1 (iFCt趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群oo簡略分析：簡略分析：TtttyCttyPdyPdPC1222)1 ()1 ()1 (1110iCiFCt?TttyttyPFiC12)1 () 1()1 (0iC趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o進一步討論：進一步討論：o在前面的推導中，是假定現金流一定的情況下，在前面的推導中，是假定現金流一定的情況下， 與與 呈現反向關系（因此才有了呈現反向關系（因此才有了 對對 的求導）的求導）o現在的問題變為求現在的問題變為求 對對 的導數，意味著可以假定的導數，意味著可以假定現金流是

25、變化的（對應地，現金流是變化的（對應地， 也是變化的，同時也是變化的，同時 是是 的函數）的函數）PyyPiCPPi趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群TtttyCttyPdyPdPC1222)1 ()1 ()1 (111iFCtTtttyCP1)1 (TttTttTttTttyyttyyFiyFittyC112112)1 (1)1 ()1 ()1 (1)1 ()1 ()1 ()1 (1C 與與i無關！無關！趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o如果根據課本如果根據課本P66的假定：久期一定，收益率一定的假定：久期一定，收益率一定o則由則由o同樣可以得到同樣可以得到“C

26、與與i無關無關”的結論的結論TttTttTtttTtttyFiytFiyCytCD1111)1 ()1 ()1 ()1 (T一定一定趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o0yCTtttyCttyPdyPdPC1222)1 ()1 ()1 (111TtttyCP1)1 (iFCtTttTttTttTttTttTttaattayyttyyFiyFittyC1121121121) 1(1)1 (1)1 ()1 ()1 (1)1 ()1 ()1 ()1 (1ya1趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群o假定時間連續可微假定時間連續可微o則則TtxTtxxTtxTtxaadxaxa

27、xadxadxaxxaC0000ln1)(11) 1(1222分部積分法分部積分法TtxTtxTtxTtxaaaaaxaxaaxadxadxaxxaC0000ln1ln2ln2lnlnln11) 1(1322222趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群 o不妨令不妨令o得得00taaaaaaTaTTaaCTTT22222lnln22ln)21 (ln)(ln1ya1思路：采取思路：采取Excel試算法試算法),(TyCC ?0yC趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群ooo（課后思考題）（課后思考題）0TC022TC趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群3、對凸性

28、的進一步推導、對凸性的進一步推導o如果付息方式由一年改為半年，凸性如何推導？如果付息方式由一年改為半年，凸性如何推導？o如果付息方式由一年一次改為一年如果付息方式由一年一次改為一年a次，凸性如何推導？次，凸性如何推導？趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群利息支付：半年一次利息支付：半年一次221dyPdPC TtttTTTTyCyCyCyCyCyCyCP2122125 . 04235 . 1215 . 0)21 ()21 ()21 ()21 ()21 ()21 (21趙建群趙建群金融風險管理金融風險管理趙建群趙建群利息支付：半年一次利息支付：半年一次TtttTTTTyCtyCTyCTyC