1、第三節矩形、菱形和正方形考點一考點一 矩形的判定和性質矩形的判定和性質例例1 1(2018(2018山東臨沂中考山東臨沂中考) )將矩形將矩形ABCDABCD繞點繞點A A順時針旋轉順時針旋轉(0(0360360) )，得到矩形，得到矩形AEFG.AEFG.(1)(1)如圖，當點如圖，當點E E在在BDBD上時，求證：上時，求證：FDFDCDCD；(2)(2)當當為何值時，為何值時，GCGCGBGB？畫出圖形，并說明理由？畫出圖形，并說明理由【分析分析】(1)(1)先運用先運用S SA AS S判定判定AEDAEDFDEFDE，可得，可得DFDFAEAE，再根據再根據AEAEABABCDCD，

2、即可得證；，即可得證；(2)(2)當當GBGBGCGC時，點時，點G G在在BCBC的垂直平分線上，分兩種情況討的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據論，依據DAGDAG6060，即可得到旋轉角，即可得到旋轉角的度數的度數【自主解答自主解答】(1)(1)由旋轉可得由旋轉可得AEAEABAB，AEFAEFABCABCDABDAB9090，EFEFBCBCADAD，AEBAEBABE.ABE.又又ABEABEEDAEDA9090AEBAEBDEFDEF，EDAEDADEF.DEF.又又DEDEEDED，AEDAEDFDE(FDE(S SA AS S) )，DFDFEA.EA.又又AEAEABABCD

3、CD，CDCDDF.DF.(2)(2)當當GBGBGCGC時，點時，點G G在在BCBC的垂直平分線上的垂直平分線上分兩種情況討論：分兩種情況討論：如圖，當點如圖，當點G G在在ADAD的右側時，取的右側時，取BCBC的中點的中點H H，連結，連結GHGH交交ADAD于于M M，連結，連結DGDG，CGCG，BG.BG.GCGCGBGB，GHBCGHBC，四邊形四邊形ABHMABHM是矩形，是矩形，AMAMBHBH ADAD AGAG，GMGM垂直平分垂直平分ADAD，GDGDGAGADADA，ADGADG是等邊三角形，是等邊三角形，DAGDAG6060，旋轉角旋轉角6060. .1212如圖

4、，當點如圖，當點G G在在ADAD的左側時，連結的左側時，連結CGCG，BGBG，DG.DG.同理可得同理可得ADGADG是等邊三角形，是等邊三角形，DAGDAG6060，旋轉角旋轉角3603606060300300. .矩形的性質應用及判定方法矩形的性質應用及判定方法(1)(1)矩形性質的應用：從邊上看，兩組對邊分別平行且相矩形性質的應用：從邊上看，兩組對邊分別平行且相等；從角上看，矩形的四個角都是直角；從對角線上看，等；從角上看，矩形的四個角都是直角；從對角線上看，對角線互相平分且相等，同時把矩形分為四個面積相等的對角線互相平分且相等，同時把矩形分為四個面積相等的等腰三角形等腰三角形(2)

5、(2)矩形的判定方法：若四邊形可以證為平行四邊形，則還矩形的判定方法：若四邊形可以證為平行四邊形，則還需證明一個角是直角或對角線相等；若直角較多，可利用需證明一個角是直角或對角線相等；若直角較多，可利用“三個角為直角的四邊形是矩形三個角為直角的四邊形是矩形”來證來證1 1(2018(2018浙江衢州中考浙江衢州中考) )如圖，將矩形如圖，將矩形ABCDABCD沿沿GHGH折疊，點折疊，點C C落在點落在點Q Q處，點處，點D D落在落在ABAB邊上的點邊上的點E E處，若處，若AGEAGE3232，則，則GHCGHC等于等于( )( )A A112112 B B110110 C C108108

6、 D D106106D D2 2(2018(2018山東青島中考山東青島中考) )已知：如圖，已知：如圖， ABCDABCD，對角線，對角線ACAC與與BDBD相交于點相交于點E E，點，點G G為為ADAD的中點，連結的中點，連結CGCG，CGCG的延長線交的延長線交BABA的延長線于點的延長線于點F F，連結，連結FD.FD.(1)(1)求證：求證：ABABAFAF；(2)(2)若若AGAGABAB，BCDBCD120120，判斷四邊形判斷四邊形ACDFACDF的形狀，并證明你的結論的形狀，并證明你的結論(1)(1)證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，ABC

7、DABCD，ABABCDCD，AFCAFCDCG.DCG.GAGAGDGD，AGFAGFCGDCGD，AGFAGFDGCDGC，AFAFCDCD，ABABAF.AF.(2)(2)解：結論：四邊形解：結論：四邊形ACDFACDF是矩形是矩形理由：理由：AFAFCDCD，AFCDAFCD，四邊形四邊形ACDFACDF是平行四邊形是平行四邊形四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，BADBADBCDBCD120120，FAGFAG6060. .ABABAGAGAFAF，AFGAFG是等邊三角形，是等邊三角形，AGAGGF.GF.AGFAGFDGCDGC，FGFGCGCG，AGAGGD

8、GD，ADADCFCF，四邊形四邊形ACDFACDF是矩形是矩形考點二考點二 菱形的判定和性質菱形的判定和性質例例2 2(2018(2018四川內江中考四川內江中考) )如圖，已知四邊形如圖，已知四邊形ABCDABCD是平行四是平行四邊形，點邊形，點E E，F F分別是分別是ABAB，BCBC上的點，上的點，AEAECFCF，并且，并且AEDAEDCFD.CFD.求證：求證：(1)(1)AEDAEDCFDCFD；(2)(2)四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形【分析分析】(1)(1)由全等三角形的判定定理由全等三角形的判定定理A AS SA A證得結論；證得結論；(2)(2)由由“鄰邊相等

9、的平行四邊形為菱形鄰邊相等的平行四邊形為菱形”證得結論證得結論【自主解答自主解答】(1)(1)四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，A AC.C.在在AEDAED與與CFDCFD中，中，AEDAEDCFD(ACFD(AS SA)A)(2)(2)由由(1)(1)知知AEDAEDCFDCFD，則，則ADADCD.CD.又又四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形菱形的性質應用及判定方法菱形的性質應用及判定方法(1)(1)判定一個四邊形是菱形時，一是證明四條邊相等；二是判定一個四邊形是菱形時，一是證明四條邊相等；二是先證明它是

10、平行四邊形，進而再證明它是菱形先證明它是平行四邊形，進而再證明它是菱形(2)(2)運用菱形的性質時，要注意菱形的對角線互相垂直這個運用菱形的性質時，要注意菱形的對角線互相垂直這個條件；此外，菱形的對角線所在的直線是菱形的對稱軸，運條件；此外，菱形的對角線所在的直線是菱形的對稱軸，運用這一性質可以求出線段和的最小值用這一性質可以求出線段和的最小值3 3(2018(2018江蘇鎮江中考江蘇鎮江中考) )如圖，點如圖，點E E，F F，G G分別在菱形分別在菱形ABCDABCD的邊的邊ABAB，BCBC，ADAD上，上，AEAE ABAB，CFCF CBCB，AGAG AD.AD.已知已知EFGEF

11、G的面積等于的面積等于6 6，則菱形，則菱形ABCDABCD的面積等于的面積等于_131313 27 27 4 4(2018(2018廣西柳州中考廣西柳州中考) )如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD是菱形，對角是菱形，對角線線ACAC，BDBD相交于點相交于點O O，且，且ABAB2.2.(1)(1)求菱形求菱形ABCDABCD的周長；的周長；(2)(2)若若ACAC2 2，求，求BDBD的長的長解：解：(1)(1)四邊形四邊形ABCDABCD是菱形，是菱形，ABAB2 2，菱形菱形ABCDABCD的周長的周長2 24 48.8.(2)(2)四邊形四邊形ABCDABCD是菱形，是菱形，A

12、CAC2 2，ABAB2 2，ACBDACBD，AOAO1 1，考點三考點三 正方形的判定和性質正方形的判定和性質例例3 3(2018(2018山東聊城中考山東聊城中考) )如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD中，中，E E是是BCBC上的上的一點，連結一點，連結AEAE，過，過B B點作點作BHAEBHAE，垂足為點，垂足為點H H，延長，延長BHBH交交CDCD于于點點F F，連結，連結AF.AF.(1)(1)求證：求證：AEAEBF.BF.(2)(2)若正方形邊長是若正方形邊長是5 5，BEBE2 2，求，求AFAF的長的長【分析分析】(1)(1)根據根據A AS SA A證明證明A

13、BEABEBCFBCF，可得結論；，可得結論；(2)(2)根據根據(1)(1)得得ABEABEBCFBCF，則，則CFCFBEBE2 2，最后利用勾股，最后利用勾股定理可得定理可得AFAF的長的長【自主解答自主解答】(1)(1)四邊形四邊形ABCDABCD是正方形，是正方形，ABABBCBC，ABEABEBCFBCF9090，BAEBAEAEBAEB9090. .BHAEBHAE，BHEBHE9090，AEBAEBEBHEBH9090，BAEBAEEBH.EBH.在在ABEABE和和BCFBCF中，中，ABEABEBCF(ABCF(AS SA)A)，AEAEBF.BF.(2)AB(2)ABBC

14、BC5 5，由由(1)(1)得得ABEABEBCFBCF，CFCFBEBE2 2，DFDF5 52 23.3.四邊形四邊形ABCDABCD是正方形，是正方形，ABABADAD5 5，ADFADF9090，由勾股定理得由勾股定理得AFAF判定正方形的方法及其特殊性判定正方形的方法及其特殊性(1)(1)判定一個四邊形是正方形，可以先判定四邊形為矩形，判定一個四邊形是正方形，可以先判定四邊形為矩形，再證鄰邊相等或者對角線互相垂直；或先判定四邊形為菱再證鄰邊相等或者對角線互相垂直；或先判定四邊形為菱形，再證有一個角是直角或者對角線相等形，再證有一個角是直角或者對角線相等(2)(2)正方形既是特殊的矩形

15、，又是特殊的菱形，具有它們的正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它們的所有性質所有性質5 5(2018(2018山東青島中考山東青島中考) )已知正方形已知正方形ABCDABCD的邊長為的邊長為5 5，點，點E E，F F分別在分別在ADAD，DCDC上，上，AEAEDFDF2 2，BEBE與與AFAF相交于點相交于點G G，點，點H H為為BFBF的中點，連結的中點，連結GHGH，則，則GHGH的長為的長為_3426 6(2018(2018浙江舟山中考浙江舟山中考) )如圖，等邊如圖，等邊AEFAEF的頂點的頂點E E，F F在矩在矩形形ABCDABCD的邊的邊BCBC，CDCD上，且

16、上，且CEFCEF4545. .求證：矩形求證：矩形ABCDABCD是正是正方形方形證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是矩形，是矩形，B BD DC C9090. .AEFAEF是等邊三角形，是等邊三角形，AEAEAFAF，AEFAEFAFEAFE6060. .CEFCEF4545，CFECFECEFCEF4545，AFDAFDAEBAEB180180454560607575，AEBAEBAFD(AAAFD(AAS S) )，ABABADAD，矩形矩形ABCDABCD是正方形是正方形考點四考點四 四邊形綜合題四邊形綜合題百變例題百變例題(2018(2018山東棗莊中考改編山東棗莊中考改編

17、) )如圖，如圖，將矩形將矩形ABCDABCD沿沿AFAF折疊，使點折疊，使點D D落在落在BCBC邊上的邊上的點點E E處，過點處，過點E E作作EGCDEGCD交交AFAF于點于點G G，連結，連結DG.DG.(1)(1)求證：四邊形求證：四邊形EFDGEFDG是菱形；是菱形；(2)(2)探究線段探究線段EGEG，GFGF，AFAF之間的數量關系，并說明理由；之間的數量關系，并說明理由；(3)(3)若若AGAG ，EGEG ，求，求BEBE的長的長8103103【分析分析】(1)(1)根據翻折的性質和平行線的性質證明即可；根據翻折的性質和平行線的性質證明即可；(2)(2)連結連結DEDE，

18、交，交AFAF于點于點O.O.由菱形的性質可知由菱形的性質可知GFDEGFDE，OGOGOFOF GFGF，然后證明，然后證明DOFDOFADFADF，由相似三角形的性質可證，由相似三角形的性質可證明明DFDF2 2FOAFFOAF，于是可得到，于是可得到EGEG，AFAF，GFGF的數量關系；的數量關系；12(3)(3)過點過點G G作作GHDCGHDC，垂足為，垂足為H.H.利用利用(2)(2)的結論可求得的結論可求得FGFG，然，然后在后在ADFADF中依據勾股定理可求得中依據勾股定理可求得ADAD的長，然后再證明的長，然后再證明FGHFGHFADFAD，利用相似三角形的性質可求得，利用

19、相似三角形的性質可求得GHGH的長，最后依據的長，最后依據BEBEADADGHGH求解即可求解即可【自主解答自主解答】(1)GEDF(1)GEDF，EGFEGFDFG.DFG.由翻折的性質可知由翻折的性質可知GDGDGEGE，DFDFEFEF，DGFDGFEGFEGF，DGFDGFDFGDFG，GDGDDFDF，DGDGGEGEDFDFEFEF，四邊形四邊形EFDGEFDG是菱形是菱形(2)EG(2)EG2 2 GFAF.GFAF.理由如下：如圖，連結理由如下：如圖，連結DEDE，交，交AFAF于點于點O.O.12(3)(3)如圖，過點如圖，過點G G作作GHDCGHDC，垂足為點，垂足為點H

20、.H.變式變式1 1：如圖，若點：如圖，若點G G在在BEBE上，上，ADAD1010，ABAB6 6，CECE2 2，將，將ABGABG沿沿AGAG折疊，點折疊，點B B恰好落在線段恰好落在線段AEAE上的點上的點H H處求證：處求證：(1)FAG(1)FAG4545；(2)S(2)SABGABG S SEGHEGH；(3)BG(3)BGCECEGE.GE.32證明：由題意可知，證明：由題意可知，BGBGGHGH，AEAEADAD1010，AHAHABAB6 6，1122，334.4.(1)1(1)12 23 34 4BADBAD9090，2 23 3 BADBAD 90904545，即即F

21、AGFAG4545. .(2)AE(2)AE1010，AHAH6 6，HEHEAEAEAHAH10106 64.4.設設BGBGx x，GHGHBGBGx x，GEGEADADBGBGECEC1010 x x2 28 8x.x.在在RtRtGHEGHE中，中，GEGE2 2GHGH2 2HEHE2 2，1212(8(8x)x)2 2x x2 24 42 2，x x3 3，即，即GHGHBGBG3 3，S SABGABG ABBGABBG 6 63 39 9，S SGHEGHE GHHEGHHE 3 34 46 6，S SABGABG S SEGHEGH. .(3)GE(3)GE8 8x x8

22、83 35 5，BGBGECEC3 32 25 5，BGBGCECEGE.GE.1212121232變式變式2 2：如圖，矩形：如圖，矩形ABCDABCD中，中，ADAD1010，ABAB6 6，若點，若點M M是是BCBC邊邊上一點，連結上一點，連結AMAM，把，把B B沿沿AMAM折疊，使點折疊，使點B B落在點落在點BB處，當處，當CMBCMB為直角三角形時，求為直角三角形時，求BMBM的長的長解：如圖，當點解：如圖，當點BB落在矩形內部時，連結落在矩形內部時，連結ACAC，在在RtRtABCABC中，中，ABAB6 6，BCBC1010，ACACBB沿沿AMAM折疊，使點折疊，使點B B落在點落在點BB處，處，ABMABMB B9090. .當當CMBCMB為直角三角