1、1矩陣的分解匯總矩陣的分解匯總2345630191063619134652.D. 1321xxxoolittle分解求解方程組試用例LUA473652143121解：71231110211934130Lybyyy（ ）解(10, 1,4)Ty 得8123(2)2561037144Uxyxxx 解(3,2,1)Tx 解得：。9()m nm rrrr nrACFCGCAFG定理：設，則存在列滿秩 ，(行滿秩)，使得A這種分解，稱為矩陣 的滿秩分解101210121221332431454862810A求矩陣A的滿秩分解A解 (1)將矩陣A E做行初等變換，(只能做行變換)目標是將 的前r行線性無關

2、，后面的行為零行。11121012 11221331243145148628101A E=121012 100112111000000111000000 002112121012100112111,0000001110000000021P設A=11A=A=PPFFFG GGG則A=0001311112114221P而，141011,2142F121012001121GAFG為所求的滿秩分解1516,m nrBC設滿足(1)B的前r行每一行至少含一個非零元， 且第一個非零元是1(2)B的后m-r行都是零行171212(3)rrBjjjj jj設 的第一行的第一個1元所在的列為 列， 第二行的第一

3、個1元所在的列為 列， 第r行的第一個1元所在的列為 列,則 12(4)rj jj , , , 構成單位陣的前r列，HermiteB稱 為標準形。1812,Hermite,m nrrACABBrGAj jjFAFG定理：設通過行初等變換將化成標準形取 的前 行為的 , , , 列構成則為滿秩分解。19121012122133A=2431454862810例 求滿秩分解20A解：對 做行初等變換，得到121012001121A000000000000120111001121000000000000214 221112,2346FC所以，2 6212011 1001121GCAFG為所求的滿秩分解

4、220012300246求A=的滿秩分解0012300000解:A232 111,2FC 1 5100123GCAFG為滿秩分解24010110201103022求A=的滿秩分解010110003300055解：A010110001100000250100000011000003 221121,32FC2 520100000011GCAFG為滿秩分解26由前面的例題可以看出，矩陣A的滿秩分解不是唯一的。-1若A=FG為滿秩分解，P為任意r階可逆矩陣，則A=(FP)(P G)=FG也是滿秩分解2728RARn nnA設，則 可分解為：A=QR其中，Q為正交陣， 為上三角陣。29QRA=(QD)(

5、DR)=QR其中，D為對角陣，對角元為 1A=(QD)(DR)=QR也是分解R如果限定 的對角元全正，則QR分解是唯一的。3031nuR是單位列向量，2HouseholderTHEuu矩陣稱為矩陣，Householder對應的變換稱為變換或者反射變換。32Householdern nHR定理：設是矩陣，1H,TH H（）是對稱矩陣。2H,HE HT（ ）是正交矩陣。21,H=HTHE（3）0(4)Householder0rEnrH是階矩陣51(1Hn（ ）的特征值為， 重），16det()1H （ ）33H()()4HEETTTTTTT證明：E-2uuE-2uu-2uu -2uuuu uu00

6、00002020rrrTTEEHEuEuuu TnnE -2uuE34()2uuuu THu= E-2uu0;uT取yspan(u)的正交補，即y()yyTHy= E-2uu1H11nn所有 是 的特征值，幾何重數為代數重數也為1det()1*11nH 從而，35,Householder,|nnxRzRHHxx z定理：任意給定非零列向量任意給定單位列向量則一定存在矩陣使得,|Hxx zT證明：尋找單位向量u,H=E-2uu 使得()|Hxxxxx zTT由于E-2uu2uu=|xuxx z T所以，2u36|xx zuxx z由 的單位性，可得，u=Householder,|HHxx z這樣

7、得到的矩陣滿足3711,2,2 ,HouseholderTxxe例題：設用變換化 與 同方向。112133321|3|6321xexe解：|x|=3,所以，u=38Householder11331211 1 13311H從而，所求變換為1221212 ,32211可以驗證，Hx=3e39031A042 ,Householder2A例題：設 =利用變換21求矩陣 的正交三角分解。11HeA11解：找，使得Ha 與 同方向，其中，a 為 的第一列。111210 ,|2|21xeuxe401211111201012211THEuu11,1411212H0421A032241,530HH 尋找使得11

8、151,3|5|10 xeuxe4221111213131010H431,34512221211H042HH1A03431212430425513455032120512R0044321HHAR11321HHAR321HHR341551434315555134155QRAAQR的正交三角分解為：4522111,GGivensijcsGsccsGivens（c,s）其中，稱 為矩陣，對應的變換稱為旋轉變換。46ijijGG1T可以驗證，（ （c,s）（c,s）,GivensijijGG xn定理：對任意給定的列向量xR一定存在旋轉變換 （c,s）,使得的第j個分量為0,第i個分量為正，其余分量不

9、變。47.nT1證明：設x=, , 則1ijijnijcsGsc（c,s）48220,1,ijsccs令由于2222,jiijijcs可取2200ijijijsccs從而，491,GivensG ,G ,GGG GnxeTn112131n1n1312定理：給定x=,R 則存在變換，使得=|x|22123G,0,Tnx12證明：2221234G,0,0, .Tnx1322221231G,0,0,0,0Tnxe1n|x|503,4,5 ,Tx 1設用Givens變換將x化為與e同方向。345543( , ),551c s 12解： c=3/5,s=4/5,G505x 12G51511,5 222c

10、s1122( , )11122c s13G5 200 x1312G G52341155224315511122G1312G G34514 23 205 234515 2Gxe53031A042 ,Givens2A例題：設 =利用變換21求矩陣 的正交三角分解。1e1解：將a 化為與 同方向：540,1,cs1301G11013212G A04210-313G A將的第二列中的-3化零，利用（2，2）元素455,c -34s=55231G,4-35534555623131212G G A=04214-3550-33455212051002R57T1323GGTARQR010111010Q3455

11、43430555534055580 31A0 42 ,Schmidt2A QR例題：設 =利用正交化2 1方法求 的分解。591230310 ,4 ,2 ,212aaa 解：令123,a a a顯然線性無關。111110,0 ,|1ppa qp 1112apq6022211303(,)404 ,110paa q q 3524252,|0pqp 2221121(,)5apa q qqq613331132238556455(,)(,)1022 02100paa q qa q q 4533353,|0pqp 33311322312(,)(,)22apa q qa q qqqq62123( ,)Aa

12、a a所以，123212(,) 051002q q q3455345502120051100002QR63RR(),RR,R,Rm nm nTn nAQ QEA定理：如果是列滿秩的，則存在標準列正交矩陣Q以及上三角陣使得Q若規定 對角元全正，則分解是唯一的。64111100QR010001A求矩陣的分解。Schmidt解：采用正交化方法,123(,)Aa a a，12112111111,|200ppa qpp112aq65121222211211(,),120paa q qaq11621126222262,1|600pqp222112161(,)22apa q qqq6633311322(,)

13、(,)paa q qa q q111623111362123610110260110031633163333123333632|1ppqp2331231126aqqq67123( ,)Aa a a所以，123231122261(,)26q q q31162631162632662332112226126000QR68111100QR010001A求矩陣的分解。Givens解：采用變換方法112211221,11G11221122120010001G A69162201將向量化成6361223226/(),1/()cs 32362323611G70111122223211663626222132

14、336312200010000010011G G A32 33310將向量化成33122312211,G71112266263213132233122121000001G G G A112266262 3320000000R 72123100TTTRRAG G GQQQR 63116662631166621233216663122000TTTG G G73311626311626326632,000Q112266262 332RAQR74SchurSchur定理：設數定理：設數 A A為為n n階方陣階方陣 ，則存在正交，則存在正交矩陣（酉矩陣）矩陣（酉矩陣）Q Q，使，使120HnQ AQR

15、12,An 其中，為矩陣 的特征值。75-1AJordanA=PJP ,證明：設 的分解為PQRP,QR做矩陣 的分解， =-1-1A=J()( J),HQR QRQ R RQ則-1( J)R R為上三角陣,其對角元為A的特征值。767778定理：定理：n n階方陣階方陣A A，正交（酉）相似于對角陣的充要，正交（酉）相似于對角陣的充要條件是：條件是： A A為正規陣。為正規陣。 證明證明 由由SchurSchur引理：存在正交（酉）矩陣引理：存在正交（酉）矩陣U U使得使得 12,10ijHntRUAUijn 7912,An 是 的特征值120HHHjinRU AUt80HHHHHHHHRR

16、U AA URRR RR RU A AU充分性充分性: :已知已知A A為正規陣，即為正規陣，即A AHHA=AAA=AAHH，81112200ijHnjintR Rt112200ijHnjintRRt822111|HR R的( ， )元:|2211211|nHjjRRt的( ， )元:|22211121|0,2,.,njjjttjn由|83222 2|HR R的( ，)元:|222232 2|nHjjRRt的( ，)元:|22222122|0,3,.,njjjttjn由|840,1,., ,1,.,Rijtin jin 依次類推，可得到這就說明， 是對角矩陣。85必要性：已知存在正交（酉）矩

17、陣必要性：已知存在正交（酉）矩陣U U使使 1200HnU AU 86HH HHHHHHUAUUA UUA UUAUHHHHU AA UU A AUAHHA AAA所以， 為正規矩陣87說明：（說明：（1 1）不能酉對角化的矩陣仍有可能采用其）不能酉對角化的矩陣仍有可能采用其它可逆變換將其對角化，例如它可逆變換將其對角化，例如1203A1023TATTAAA AA A不是正規矩陣不是正規矩陣 A A具有兩個不同的特征值具有兩個不同的特征值1 1，3 3 ，所以可以相似變換對角，所以可以相似變換對角化。但不能正交相似對角化。化。但不能正交相似對角化。88（2 2）實正規矩陣一般不能通過正交相似變

18、換對角化。）實正規矩陣一般不能通過正交相似變換對角化。（若特征值全為實數，則可正交相似對角化）（若特征值全為實數，則可正交相似對角化）1221A特征值為特征值為 1 12i,1-2i2i,1-2i5005TTAAA AA A是實正規矩陣，但不可能正交對角化，但是實正規矩陣，但不可能正交對角化，但可以酉相似對角化可以酉相似對角化 89（3 3）實對稱矩陣可以通過正交相似變換對角化。）實對稱矩陣可以通過正交相似變換對角化。（4 4）實對稱矩陣，復）實對稱矩陣，復HermiteHermite矩陣的特征值都是實的。矩陣的特征值都是實的。,AAH證明：若A則 可以酉相似對角化，即90120HnU AU1

19、20HHnU A U,Hermiteii所以，從而矩陣的特征值都是實數91設A為正規矩陣，1nU=u ,.,u 則存在酉矩陣，使得111n=u ,.,u HHHnnuuA=U U1 1 1nuHHnnu uu稱為正規矩陣的譜分解。921111 ,.,.,AUA HermiteHHnHnnnuA U Uuuu均為實數，當 實對稱時， 為正交矩陣，當 為矩陣時，U為酉矩陣9394AC,m n定理：設則(1)( )()(), ( )AHHr Ar AAr A A r A表示 的秩。(2)HHAAA A和有相同的非零特征值，(3)HHAAA A和都是半正定矩陣，(4)AAHHAAA A正定行滿秩，正定

20、列滿秩。9500()( )HHA AxAxr A Ar A證明：(1)若與同解，則00HxAxA Ax若 滿足，則一定有000HHHxA Axx A AxAx反之，若 滿足()( )Hr A Ar A所以，()()( )HHr AAr Ar A同理96(2)的證明是后面一個引理的直接推論。的證明是后面一個引理的直接推論。,HermiteHHA A AA(3)顯然都是矩陣，()0,HHHxx A AxAxAx對，()0HHHHHxx AA xA xA x對，,HHA A AA所以都是半正定。97,m nn mACBCABBA引理：則與具有相同的非零特征值。0000mmnnEAEAABEEBBBA

21、證明：由10000mmnnEAEAABEEBBBA即980000ABBBBA所以，相似于nm|()| |()|mnEABEAB從而，特征多項式相同0|()| |()|mnEABEAB若，則 ABBA所以，與具有相同的非零特征值。99HHAAA A由這個引理可知，與有相同的非零特征值。HHAAA A與的非零特征值一定是正數。10012120,m nHrrrrnACA A定義:設，的特征值為iiA稱為矩陣 的奇異值，1.0r稱為正奇異值。101120000A求的奇異值。1210012002002400TA A解：0特征值為5,0,所以奇異值為 5，102011200A求的奇異值。020112010

22、2000410TAA解：2,2,0A所以， 的奇異值為10311,0,00(,.,),.0( )m nrHrrA CmUnVU AVdiagArrank A定理:設，則存在 階酉陣 和 階酉陣使得其中為矩陣 的正奇異值，.1041212Hermite0,HrrrnA A證明：設半正定矩陣的特征值為120(1)00HHHnA AVA AV并設的譜分解為：105121( ,),VV VVVr設為 的前 列，2000HA AVV2112,0HHA AVVA AV106221111HHHA AVVVA AV 1111HHrVA AVE 1111()HrAVAVE11AVm r這說明，是的標準列正交矩陣

23、。111212,(,)UAVUUU U設可找使得為酉矩陣。1072200HA AVAV111122210( ,)0HHHHHUUAVU AVA V VUUAV這時,111111() ()HHUAVAVAV 21210,HHUAVUU 000HU AV所以，108A計算矩陣 的奇異值分解的方法：()HA A一計算的譜分解，形如(1);11211()( ,)VV VUAV二設，令，12()0HUxU三求的標準正交基，其列構成，120()(,)00HUU UAUVA四，為 的奇異值分解109101011000A求的奇異值分解。100101101010011011110000112TA A解：1103

24、,1,0,310TA AA的特征值為的奇異值為， ，TA A求的譜分解：1232010302101110TxA Axxxx 161121623611 ,2xxvx 取111123001000101110TxA Axxxx 1211222311 ,00 xxvx 取1121231010001101120TxA Axxx 131123313311 ,1xxvx 取11311162311162321633,100TTVV A AV所以,116211162263,10V 1142222122112220,0001UAVU 顯然2222222200 ,001U所以，115000TAAUV的奇異值分解為1

25、16117主要內容：主要內容：一、單純形矩陣的譜分解一、單純形矩陣的譜分解二、二、正規矩陣與酉對角化正規矩陣與酉對角化三、正規矩陣的譜分解三、正規矩陣的譜分解118,YYAT稱稱YT是是A的屬于的屬于 的的左特征向量左特征向量，也稱也稱A的屬于的屬于 的特征向量為右特征向量的特征向量為右特征向量.TTYAY兩端取轉置得：兩端取轉置得：一、單純形矩陣的譜分解一、單純形矩陣的譜分解119設設A是是 n階單純矩陣，階單純矩陣， 1, 2, , n 是是A 的的n個不個不同特征值，同特征值，x1,x2, ,xn是是A的的n個線性無關的個線性無關的特征特征向量，向量，P=(x1,x2, ,xn),則則:

26、TTTPPAPPA11)(,這表明這表明AT也與對角矩陣相似，故也與對角矩陣相似，故AT也是單純矩陣也是單純矩陣ndiag,21其中其中性質性質:單純矩陣不同特征值的左右特征向量是正交的單純矩陣不同特征值的左右特征向量是正交的以矩陣特征值的代數重復度都為以矩陣特征值的代數重復度都為1為例加以證明為例加以證明:120,211TnTTyyyP( y1,y2, ,yn ) = (PT )-1 = (P-1 ) TIxxxyyyPPnTnTT21211從而從而TTTPPA1)(121,2122212121111IxyxyxyxyxyxyxyxyxyPPnTnTnTnnTTTnTTTjijixyjTi,

27、 0, 1即：即：1221PPATnnnTTyxyxyx222111對于單純矩陣對于單純矩陣A A（矩陣特征值的代數重復度都為矩陣特征值的代數重復度都為1），TnTTnnyyyxxx212121niiiniTiiiAyx11TiiiyxA 其中-矩陣矩陣A A的譜分解的譜分解即單純矩陣即單純矩陣A分解成分解成n個矩陣個矩陣Ai之和的形式，其系數組合是之和的形式，其系數組合是A的的譜譜（所有相異的特征值）。（所有相異的特征值）。由由123TiiiyxA ) 1 (jiojiyxTiiTjjTiiTjjTiijiyxyxyxyxAA)()(則則對于對于 有下面的性質：有下面的性質：iAjiojiA

28、i124niiniTiiAyx11TnTTnyyyxxxPPI21211（2 2）1251411A)3)(1(1411)(Af21,2121xx解解, 1, 321由由得得設設A的的左左特征向量為特征向量為TTyy21,1260, 12111xyxyTT4121,412121TTyy2141212222141211111,1TTyxEyxE213EEA則則因為因為 滿足滿足TTyy21,1, 02212xyxyTT可解得可解得從而從而127設單純矩陣設單純矩陣 的譜為的譜為 ，nnCAs,21smmm,21siCEnni, 2 , 1,則存在唯一的則存在唯一的其代數重數分為其代數重數分為 ;)

29、 1 (1siiiEA使使jiojiEEEiji,)2(siiIE1) 3(2設設n階單純矩陣特征值的代數重復度不全為階單純矩陣特征值的代數重復度不全為1128imiiiimiiiiiyyyYxxxX,2121設設TijmiijTiiiyxYXEi)(1對于特征值對于特征值 i i ， x x1 1i i, ,x x2 2i i, , ,x xmimii i是是A A的相應的的相應的m mi i個線性無關的右個線性無關的右特征向量，特征向量， 是是A A的相應的的相應的m mi i個線性無關的左個線性無關的左特征向量特征向量 TimTiTiiiyyy,2129TsTTsYYYPXXXP2112

30、1,TsTTmsmmsYYYIIIXXXPPAs212121121,siTiiiYX1記記從而從而siiiE1130sTsTTnXXXYYYPPI,21211sTsTsTssTTTsTTTXYXYXYXYXYXYXYXYXY212221212111再由再由jijiIXYimjTi0可得可得131TjjTiiTjjTiijiYXYXYXYXEE)()(則則jijiEi0sisiiTiiTsTTsnEYXYYYXXXPPI1121211,同時同時132例例2：求單純矩陣：求單純矩陣122212221A的譜分解的譜分解由矩陣由矩陣A A的特征多項式的特征多項式得得A A的特征值的特征值5, 121及

31、相應的線性無關的特征向量及相應的線性無關的特征向量為為TTTxxx1 , 1 , 1,1, 0 , 1,0 , 1, 1321設設 對應的左特征向量為對應的左特征向量為iTTTyyy321,則由則由3131313231313132311P得得31,32,311Ty)5() 1(2AE133同理得：同理得：32,31,312Ty31,31,313Ty則則TTyyxxE21211,323131313231100111323131313231313132313131111332TyxE313131313131313131從而從而215EEA134HHAAAA設設,nnCA滿足滿足二、二、正規矩陣與酉

32、對角化正規矩陣與酉對角化135是酉相似的。與則稱，復矩陣），即是酉矩陣若BAPPPH1(是相似的。與則稱使若存在可逆矩陣設BABAPPPCBAnn,1是正交相似的。與則稱，實矩陣），即是正交矩陣若BAPPPT1(136,1HnnnnUUCUCA（1 1）任意復方陣酉相似于一個上三角矩陣。即）任意復方陣酉相似于一個上三角矩陣。即nHAUU*21.21的特征值為，其中An137,1TnnnnPPRPRA（2 2）任意實方陣正交相似于一個上三角矩陣。即）任意實方陣正交相似于一個上三角矩陣。即nAPP*211.21的特征值為，其中An138,22211211nnnnaaaaaaAnnnnHaaaaaa

33、A21221211,HHAAAA得依次取niaaaaaaijjiijjijinijijijnijij, 2 , 1,21121392222122222122222221121212211,nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaniijaij, 2 , 1, 0140IUUdiagAUUAAAAHnHHH),(21AAUUUUUUUUUUUUUUUUAAHHHHHHHHHHHHHHH)()(定理定理 ，則，則A A酉相似于一個對角矩陣的充酉相似于一個對角矩陣的充分必要條件是分必要條件是A A為正規矩陣，即為正規矩陣，即nnCA設證明證明 必要性必要性HUUA則則由,HHHIUU),(,21nHdiagAUU設141nHTAUU*21),(21nHdiagTAUU因此,TTTTAAAAHHHH所以由于.對角矩陣再利用引理知T142正規矩陣的性質：正規矩陣