1、第3章 空間向量與立體幾何章末總結(jié) 蘇教版選修2-1知識(shí)點(diǎn)一空間向量的計(jì)算空間向量及其運(yùn)算的知識(shí)與方法與平面向量及其運(yùn)算類似，是平面向量的拓展，主要考查空間向量的共線與共面以及數(shù)量積運(yùn)算，是用向量法求解立體幾何問題的基礎(chǔ)例1 沿著正四面體O-ABC的三條棱、的方向有大小等于1、2和3的三個(gè)力f1，f2，f3.試求此三個(gè)力的合力f的大小以及此合力與三條棱夾角的余弦值知識(shí)點(diǎn)二證明平行、垂直關(guān)系空間圖形中的平行、垂直問題是立體幾何當(dāng)中最重要的問題之一，利用空間向量證明平行和垂直問題，主要是運(yùn)用直線的方向向量和平面的法向量，借助空間中已有的一些關(guān)于平行和垂直的定理，再通過向量運(yùn)算來解決例2- 1 -

2、/ 8如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為AB、B1C的中點(diǎn)(1)用向量法證明平面A1BD平面B1CD1；(2)用向量法證明MN面A1BD.例3如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，CPm.試確定m使得直線AP與平面BDD1B1所成的角為60°.例4正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)，求證：平面AED平面A1FD1.知識(shí)點(diǎn)三空間向量與空間角求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角，一般有兩種方法：即幾何法和向量法，幾何法求角時(shí)，需要先作出(或證出)所求空間角的平面角，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，難度很大而利用向量

3、法，只需求出直線的方向向量與平面的法向量即可求解，體現(xiàn)了向量法極大的優(yōu)越性例5如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD8，AA14，M為B1C1上一點(diǎn)且B1M2，點(diǎn)N在線段A1D上，A1DAN.（1）求cos，；(2)求直線AD與平面ANM所成角的余弦值；(3)求平面ANM與平面ABCD所成角的余弦值知識(shí)點(diǎn)四空間向量與空間距離近年來，對距離的考查主要體現(xiàn)在兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到平面的距離，兩點(diǎn)間的距離可以直接代入向量模的公式求解，點(diǎn)面距可以借助直線的方向向量與平面的法向量求解，或者利用等積求高的方法求解例6如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PAAD2，M、N分別是A

4、B、PC的中點(diǎn)(1)求二面角PCDB的大小；(2)求證：平面MND平面PCD；(3)求點(diǎn)P到平面MND的距離章末總結(jié)重點(diǎn)解讀例1解如圖所示，用a，b，c分別代表棱、上的三個(gè)單位向量，則f1a，f22b，f33c，則ff1f2f3a2b3c，|f|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|24a·b6a·c12b·c144cos 60°6cos 60°12 cos 60°1423625，|f|5，即所求合力的大小為5.且cosf，a，同理可得：cosf，b，cosf，c.例2證明(1)在正方體ABCDA1B1C1D1中，又

5、，.BDB1D1.同理可證A1BD1C，又BDA1BB，B1D1D1CD1，所以平面A1BD平面B1CD1.(2)()().設(shè)a，b，c，則(abc)又ba，·(abc)(ba)(b2a2c·bc·a)又A1AAD，A1AAB，c·b0，c·a0.又|b|a|，b2a2，b2a20.·0，MNBD.同理可證，MNA1B，又A1BBDB，MN平面A1BD.例3解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)則(1，1,0)，

6、(0,0,1)，(1,1，m)，(1,1,0)又由·0，·0知，為平面BB1D1D的一個(gè)法向量設(shè)AP與平面BB1D1D所成的角為，則sin |cos，|.依題意得sin 60°，解得m.故當(dāng)m時(shí)，直線AP與平面BDD1B1所成角為60°.例4證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體棱長為1，則E、D1(0,0,1)、F、A(1,0,0)(1,0,0)，.設(shè)m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分別是平面AED和A1FD1的一個(gè)法向量由.令y11，得m(0,1，2)又由，令z21，得n(0,2,1)m·n(0,1，2)·(

7、0,2,1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.例5解(1)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)則A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)(5,2,4)，(0,8，4)·016160，.cos，0.(2)A1DAM，A1DAN，且AMANA，平面ANM，(0,8，4)是平面ANM的一個(gè)法向量又(0,8,0)，|4，|8，·64，cos，.AD與平面ANM所成角的余弦值為.(3)平面ANM的法向量是(0,8，4)，平面ABCD的法向量是a(0,0,1)，cos，a.平面ANM與平面ABCD所成角的余弦值為.例6(1)解PA平面ABCD，由ABCD是正方

8、形知ADCD.CD面PAD，PDCD.PDA是二面角PCDB的平面角PAAD，PDA45°，即二面角PCDB的大小為45°.(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，M(1,0,0)，N是PC的中點(diǎn)，N(1,1,1)，(0,1,1)，(1,1，1)，(0,2，2)設(shè)平面MND的一個(gè)法向量為m(x1，y1，z1)，平面PCD的一個(gè)法向量為n(x2，y2，z2)m·0，m·0，即有令z11，得x12，y11.m(2，1,1)同理，由n·0，n·0，即有令z21，得x20，y21，n(0,1,1)m·n2×0(1)×11×10，mn.平面