1、漫談中考數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想之五中考數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想史承灼轉(zhuǎn)化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是創(chuàng)造性思維的一個(gè)重要組成部分，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，也是中考中要重點(diǎn)考查的一種數(shù)學(xué)思想。所謂轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí), 采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的一種方法。1、復(fù)雜向簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化例1 （貴陽(yáng)實(shí)驗(yàn)區(qū)）如圖，菱形abcd的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)分別是2和5, p是對(duì)角線(xiàn)ac上任一點(diǎn)（點(diǎn)p不與點(diǎn)a、c重合），且pe / bc 交ab于e, pf / cd交ad于f，則陰影部分的面積是。b 解析：陰影部分是一個(gè)不規(guī)則圖形，直接求解顯然比較復(fù)雜，考慮到四邊形aepf也是菱形，所以 fop

2、與厶aoe的面積相等，因此陰影部分的面積等于 abc的面積，等于菱形abcd面積的半為2、未知向已知的轉(zhuǎn)化a b 1 1 例2（寧波市）已知a、b為實(shí)數(shù)，且a b = 1, 設(shè)m ,n ，貝v m、na+1 b+1 a+1 b+1 的大小關(guān)系是（) a. m nb. m = nc. m v nd.不確定解析：可考慮將m 或n向已知條件ab = 1 進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如ababab11m -= n故應(yīng)選b。a 1 b - 1ab bab ab 1a 13、部分與整體的轉(zhuǎn)化例3 （貴陽(yáng)實(shí)驗(yàn)區(qū)）棱長(zhǎng)為1 cm的小長(zhǎng)方體組成如圖所示的幾何體，那么這個(gè)幾何體的表面積是（）2 2 2 2 a. 36 cm b.

3、33 cm c. 30 cm d. 27 cm 解析：本題可以用化零為整的思想從整體上進(jìn)行把握一一從上、下、左、右、前、后六個(gè)方向去觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)每個(gè)面都是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1 cm的小正方形組成的圖形，因此這個(gè)幾何體的表面積為：6x 6= 36 （cm2）。故應(yīng)選a。4、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化例4 （無(wú)錫市實(shí)驗(yàn)區(qū)）將正方形abcd折疊，使頂點(diǎn)a與cd邊上的點(diǎn)m重合，折痕交ad于e,交bc于f，邊ab折疊后與bc邊交于點(diǎn)g。如果m為cd邊的中點(diǎn)，求證：de : dm : em = 3 : 4 : 5。如果m為cd邊上任意一點(diǎn)，設(shè)ab = 2a，問(wèn) cmg的周長(zhǎng)是否與點(diǎn)m的位置有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)把 cmg的周長(zhǎng)用含d

4、m的長(zhǎng)x的代數(shù)式表示；若無(wú)關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：本題中的兩個(gè)問(wèn)題都是探索三角形的三邊關(guān)系，需通過(guò)建立方程，將形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化數(shù)的問(wèn)題。證明：設(shè)ab= 2a, de = x, 貝u em = ae = 2a x。：m 是cd 的中點(diǎn)，二dm = a。在rtq 只dem 中，de + dm = em , 即: x + a = (2a x) , . x= a, em = 2ax = a。二de : dm :4 4 3 5 em = a : a : a = 3 : 4 : 5。4 4 厶cmg的周長(zhǎng)與點(diǎn)m的位置無(wú)關(guān)。例5 （安徽省）如圖，ad 丄cd , ab = 10, bc = 20,/ a =z c

5、 =30。求ad、cd 的長(zhǎng)。解析：由于 / a =/ c = 30。這一條件，應(yīng)考慮到將原圖形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)含30角的直角三角形。 故可以過(guò)b點(diǎn)分別作be丄ad于e, bf丄cd于f。 易知四邊形bedf為矩形，則ed = bf , fd = be。1 廠(chǎng)廠(chǎng)在rt aeb 中，有be = ab = 5, ae = . 3 be= 5 3。2 1 廠(chǎng)廠(chǎng)廠(chǎng)在rt cfb 中，bf = bc = 10, cf =、3 bf = 10.3。所以ad = ae + ed = 5.3 + 10,2 cd = cf + fd = 10.3 + 5。理由如下：設(shè)dm = x, de = y, 貝u cm = 2

6、a x, em = ae =2a y。在rt dem中，由勾股定理得 : x2y2=(2a_y)2,? y2a x)(2a-x)。易證 :4a cm cg mg rt gcm s rt mde ,.dm em de cm x dm x(2ax) 4ax cg 二- de 2a x “ cmem (2a_x)(2a_y) 4a2+x2mg =- de 。 cmg 的周長(zhǎng)為cm + cg + mg =2a x 2a -x 4a 4 x 4a，與x的值無(wú)關(guān) ,2a x 2a x 所以 cmg 的周長(zhǎng)與點(diǎn)m的位置無(wú)關(guān)。5、般與特殊的轉(zhuǎn)化cfd6、動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化例6（青島市實(shí)驗(yàn)區(qū)）把兩個(gè)全等的等腰直角三角

7、板abc和efg （其直角邊長(zhǎng)均為4）疊放在一起（如圖），且使三角板e(cuò)fg的直角頂點(diǎn)g與三角板abc的斜邊中點(diǎn)o重合。現(xiàn)將三角板e(cuò)fg 繞o點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角a滿(mǎn)足條件：0 v a v 90 ） , 四邊形chgk是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩三角板的重疊部分（如圖）。在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，bh與ck有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形chgk的面積有何變化？證明你發(fā)說(shuō)明理由。解析：動(dòng)與靜反映了事物矛盾雙方的辨證關(guān)系，它們既對(duì)立又統(tǒng)一，并在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。利用動(dòng)與靜在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的這一辨證關(guān)系，我們就可以把運(yùn)動(dòng)中的圖形在某種情況下的位置關(guān)系，看做靜止?fàn)顟B(tài)進(jìn)行研究。在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，bh = ck，

8、四邊形chgk的面積不變。證明： ? abc為等腰直角三角形，0(g)為其斜邊的中點(diǎn)， ? cg = bg , cg丄ab。： /acg/ b= 45。又v/ bgh 與/ cgk 均為旋轉(zhuǎn)角， ?/ bgh =/ cgk。： bgh 也 cgk。：bh即：四邊形chgk的面積為4, 是一個(gè)定值，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中沒(méi)有變化。 v ac = bc = 4 , bh = x , ? ch = 4x , ck = x o ? sgkh= s 四邊形chgks chk。即：1 1 2 y = 4 x(4 x) o ? y x -2x 4。又v o v a v90, ：0vxv4。2 2 存在。根據(jù)題意得：1 5x2- 2x ? 4 8。解得：= 1, x2 = 3。即：當(dāng)x = 1 或x = 3時(shí), 2 165 ghk的面積均等于 abc面積的。16 其實(shí)，解數(shù)學(xué)題的本質(zhì)就在于轉(zhuǎn)化，只要我們能運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將復(fù)雜的、較難的、未知的等問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、容易的、已知的等問(wèn)題，問(wèn)題也就得到了解決。現(xiàn)的結(jié)論 ; 圍; 在某一位置，使 gkh16 =ck , bgh=scgk。s四邊形