1、- - 數值分析實習報告姓名 :g stepoa 學號： 20* 班級 :* 班- - 序言隨著計算機技術的迅速發展, 數值分析在工程技術領域中的應用越來越廣泛，并且成為數學與計算機之間的橋梁。要解決工程問題, 往往需要處理很多數學模型, 不僅要研究各種數學問題的數值解法, 同時也要分析所用的數值解法在理論上的合理性，如解法所產生的誤差能否滿足精度要求: 解法是否穩定、是否收斂及熟練的速度等。而且還能減少大量的人工計算。由于工程實際中所遇到的數學模型求解過程迭代次數很多，計算量很大，所以需要借助如 matlab，c+ ，v，java的輔助軟件來解決，得到一個滿足誤差限的解。本文所計算題目， 均

2、采用 m tlb進行編程 ,mala被稱為第四代計算機語言，利用其豐富的函數資源, 使編程人員從繁瑣的程序代碼中解放出來mat ab最突出的特點就是簡潔 , 它用更直觀的、符合人們思維習慣的代碼。它具有以下優點 : 友好的工作平臺和編程環境。ma lab界面精致 , 人機交互性強 , 操作簡單。2 簡單易用的程序語言。 aab是一個高級的矩陣陣列語言，包含控制語言、函數、數據結構, 具有輸入、輸出和面向對象編程特點。用戶可以在命令窗口中將輸入語句與執行命令同步，也可以先編好一個較大的復雜的應用程序（m文件) 后再一起運行。3 強大的科學計算機數據處理能力。包含大量計算算法的集合，擁有00多個工

3、程中要用到的數學運算函數。4 出色的圖像處理功能 , 可以方便地輸出二維圖像， 便于我們繪制函數圖像。- - 目錄1 第一題 . 1.1 實驗目的 ? 1 2 實驗原理和方法 . 4 1.3 實驗結果 . 1.3.1 最佳平方逼近法?51.3.2 拉格朗日插值法?71. 3 對比 ?82 第二題 . .1 實驗目的 9?2. 實驗原理和方法?1 實驗結果?102. .1 第一問10?2.3.2 第二問 . . 11 2. .3 第三問 1? 第三題 . 12 3.1 實驗目的 . . 12 .2 實驗原理和方法?123. 實驗結果 1? 4 matlab 程序. . 14 - - 第一題某過程

4、涉及兩變量和, 擬分別用插值多項式和多項式擬合給出其對應規律的近似多項式 , 已知 x與 yi 之間的對應數據如下：13568910 x 1 3 6 8 10 y 3.6588 .3719 14.448 .2721 -133570 24.8234 5.5 103.5743 9.87 7.2392 請用次數分別為3，4,5 ，6 的多項式擬合并給出最好近似結果f(x) 。請用插值多項式給出最好近似結果。1.實驗目的 ：學習逼近和插值的原理和編程方法，由給出的已知點構造多項式，在某個范圍內近似代替已知點所代表的函數，以便于簡化對未知函數的各種計算。1.2 試驗原理和方法 :實驗原理：拉格朗日插值法

5、中先構造插值基礎函數：?(? ) = ?-?-?=0j k(?= 0,1,2, ? ,? )，然后構造出拉格朗日多項式: ?(? ) = ( ?-?-?=0j k)?=0? ( ?)。最佳平方逼近中, 設逼近函數 ?( ? ) = ?0+ ?1? + ?2?2+ ? + ?，逼近函數和真實函數之差 r = ?(? ) - ? , ?1?2? = 11?1?2?1?2?1? ?0?1? - ?1?2? , 即 : ? = ? - ? , 根據最小二乘準則令 ?2n?=0= ?,可以得到 ?=(?)-1? 。實驗方法：逼近法采用最佳平方逼近，依據最小二乘原則: ?2n?=0= ?， 由已知條件采用

6、離散型。插值法采用拉格朗日插值法。在逼近法中，由于是離散型的，所以法方程系數陣設計成求和。分別求出3、 5、次的多項式 , 逼近結果和真實值有一定差距，最小二乘正是讓這些差距達到最小, 理論上多項式次數越高結果和真實值差距越小。- - 拉格朗日插值法中“la=la*(p-x（ j)/( (k)-x （j ）) ”語句實現的是我們通常書寫的連乘形式拉格朗日插值多項式，但是表示不方便，而如果用“scoll ct （ ) ”函數將其展開成降冪排列多項式以后，由于余項問題結果會和原本的多項式有偏差，這種偏差隨著x的增大而增大。求出多項式后和題目中給出的參考點進行比較。最后，選擇六次最佳平方逼近多項式和

7、拉格朗日插值多項式（九次 ) 進行比較， 選取 xi=+ih=1+ .2 (i0,1,? ，45),分別繪制兩者的圖像進行比較。1.試驗結果1.3.1 最佳平方逼近法三次多項式：- 1.033*x + 9.3 *x2 - 94.48 + 131.8 擬合結果：12345678910 x 2 3 5 7 8 9 10 y 55.6018 6-55610- .5235237.67206.9184.18494. 5 08 .000四次多項式 :-0.318*x + 7.368x2.14x2 + 3.53*x 0745擬合結果 :1235678910 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -

8、- 3.212802.0852-5.638-.73001 5021.1 7210.58811557272.040五次多項式：0907* -3079t4 + 3 .5* 3 - 163 5*t2 +30.7- 95擬合結果 :123457910 x 1 2 5 7 8 9 10 y 33.945.774290320-1.5003-8.90632.9087.983500.07389.416474000- - 六次多項式 :0.0193* 6 - 548*t5 + 5.14t4 - 1 .9*3 .867*t2 638*t -18.7擬合結果：12346789102 3 4 5 6 7 9 0 y

9、3450564 14943.703948-12.202 711473.5010.16949645678.00對比可知，六次多項式擬合結果最好。1.3.2 拉格朗日插值法插值多項式5.53 (-） *x9 0.003088*x8+00722 x7- 0.892* 6 + . 32 - 2241*x4 +0. *x - 6.7*x 113 5*x - 25.注:此多項式為拉格朗日多項式的近似式,當 x=1的時候偏差可以達到以上。對比數據：12347891.5000.90002.300027000.100.5003.90004.34.000y 42.1498416 .11822485211 7217

10、813-12.30-8.1566-1.- - 6901112 31451751005.5005.90006.006.7 00.100 .50007.000y-1.0262.0281.849462661084079.693.700.677插值結果 :2345680100230002.7000 .100035000390004.3004.7000y423841.494735.0742.36011279-.73-12.7-18.166-17.918101111415167x5.10050005.906.3006.0071000.50007.90-11.0212.3319.85503586107 47

11、9.7037788102.373- - 其中紅點表示參考點。1.3.比較選取 xi=a+ih= +0.2*i(i=0,1 ，? ,45）,分別繪制六次多項式擬合和拉格朗日插值結果圖:- - 其中綠線表示拉格朗日插值多項式圖像，藍線表示六次多項式擬合圖像。兩者效果近似但后者比前者低三次。2 第二題用雅格比法與高斯 -賽德爾迭代法解下列方程組ax=b1 或 ax=b2， 研究其收斂性。上機驗證理論分析是否正確, 比較它們的收斂速度, 觀察右端項對迭代收斂有無影響。（1)a行分別為 1=6,2, - 1, a2=，4，- 2, a3=3,1, ； 1=- 3,2,4 t; b=100, - 200,

12、34t。( ） a行分別為 a1=,0 ，8,0.8,a2= 0.8,1, .8, a= 0.8,0.8 ，; b13 ，2,1 ; b=5,0, - 10t。（3）a行分別為 a1=1,3,a2- ,1 ；b1=4,6t。. 試驗目的學習 j cobi 迭代法和guasssei e迭代法的原理和編程方法，研究方程組系數陣和右邊項對方程的解及其收斂性的影響,判斷迭代法的收斂條件。- - 22 實驗原理和方法實驗原理：將方程組系數陣a 分解為 a = d + l + u,其中 d 為對角陣， l 為減去 d 的下三角陣， 為減去 d 的上三角陣。jacobi 迭代法中構造如下迭代公式：?( ?+

13、1)= -?-1(? + ? ) ?( ? )+ ?-1?而 as eidel 迭代法的迭代公式為:?(?+1)= - ( ?+ ? )-1?(?)+ ( ?+ ? )-1?初始值直接選取為。在判斷其收斂性時,分別求解其迭代矩陣的譜半徑 (? )， (? ) =?1? ?|?|,?為迭代矩陣的特征值。實驗方法 :分別編寫 acobi 迭代及其收斂判別函數和sidel 迭代及其收斂判別函數。如果在初試迭代步數之內還未收斂就進行收斂判別，收斂判別的依據是迭代矩陣的譜半徑是否小于1。比較同一方程組的jcbi 迭代法和side迭代法的結果是否相同，在達到精度要求后比較兩種方法的迭代次數,比較哪一個的效

14、率更高。比較方程組系數陣和等號右邊的變化會對方程的解和收斂速度造成什么影響。如果迭代不收斂，那么考慮為什么不收斂，如果把方程組系數陣進行強對角占優處理，是否會收斂。2. 實驗結果規定誤差界 :1 - 2.3.1第一問?= 62-11-341-24, ? = -324. 由 jacobi 迭代法求得 ?= -0.72730.80810.2525,設定迭代2次，實際迭代16 次，精度為9.402e-0。由 sei l 迭代法求得 ?= -0.72720.80810.2525，設定迭代20 次,實際迭代10 次,精度為 :9.0769e- 5?= 62-11-341-24，?= 100-200345

15、- - 由 jcobi 迭代法求得?= 36.3636-2.0707114.0404， 設定迭代40 次， 實際迭代23 次,精度為948e-0。由 seidel 迭代法求得 ?= 36.3637-2.0707114.0404， 設定迭代20 次， 實際迭代15 次， 精度為 8.384e-05通過對比可知:1、seidel 迭代的收斂速度明顯高于aobi 迭代。、 b 矩陣對收斂速度和誤差精度有影響，b 中元素較大時會放慢收斂速度并加大誤差。2.3 2 第二問 ?= 10.80.80.80.810.80.81,?= 321由 ja bi 迭代法求解 ,100 次迭代尚且不能達到精度。此時調用

16、jcoi 迭代法的收斂判別函數，求得特征值為：1= -1.6 ，2、3= 0.8， (?) = 1.6 1,迭代不收斂。由于 seide 迭代法求解 ?= 5.76910.7693 -4.2307, 迭代次數,精度為 87826e-005 ?= 10.80.80.80.810.80.81,?= 50-10jaob迭代不收斂。seldel 迭代法求得 ?= 32.69227.6922 -42.3076 ，迭代次數3，精度為8.55 -00。比較得知a 矩陣元素如果相差很小，迭代次數會大幅增加,綜合比較可知b 矩陣元素如果相差很大會增加迭代次數。2. 3 第三問試驗結果和討論?= 13-71,?=

17、 46此時 (?) = 4.5826 1， ( ?) = 21 1，j bi 迭代法和 eide迭代法都不收斂。如果交換中行的順序,得到 -7113 ，用jac b迭代計算,迭代8 次 ,解得 x =-0.63641.5454。用 seid迭代法計算，只需迭代5 次，得到 x = -0.6364 1.5455，精度為2.636 005。此時 (?) = 0.2182 (?) = 0.0476 ，從此可以看出收斂速度的快慢。- - 第三題給定函數21( )5,15f xxx，及節點50,1 ,10,iixi,求其三次樣條插值多項式 （可取 i 型或 ii 型邊界條件 ), 并畫圖及與( )f x

18、的圖形進行比較分析。注 : 涉及到線性方程組求解問題需采用適當的求解算法。3.1 實驗目的學習三彎矩法的原理和編程方法，對比原函數和三次樣條插值的結果。.2 實驗原理和方法實驗原理 :記h?= ?- ?-1，?=?+?+1，?= 1 - ?，?=6?+?+1(?+1-?+1-?-?-1?) ,給出插值兩端處的二階導數?(?0) = ?(?0) = ?0?(?) = ?(?) = ?。組成遞推式:?-1+ 2?+?+1= ?由于系數陣按行對角占優，方程組存在唯一確定解，可以使用高斯列主元消去法來解方程。最后將各個參數帶入樣條函數?(? ) = ?-1( ?- ? )36?+ ?(? - ?-1)

19、36?+ (?-1-?-16?2)?-?+ (?-?6?2)?- ?-1?即可求得樣條函數。實驗方法由于在本題中(+)-x(i)=1, 所以 (i)=1 。在編程中直接將h 設置成常數，簡化了運算。首先求解、 、g，然后列出方陣求解（），在求解方程組的過程中采用列主元素高斯消去法 ,分為消元和回代兩個過程,編寫這兩個函數，解出除了兩端的m，而兩端點的m值等于兩端點的函數二階導數值。編寫函數求出樣條函數的系數，然后求出方程，對于三彎矩法三次樣條函數，如果有n個點，則有個樣條函數,除了兩端需要求解n個 m 值,即解 n-2 階方程組。在表達樣條函數的時候采用語句，對不同的區間進行劃分,然后細分 5

20、,這個區間 ,間隔 0.1 將其分為10 份，這樣可以體現出連續性，此時繪圖對比三次樣條函數和原函數。本題中原函數的二階導不是計算機解出的沒有編寫相關程序。本題中求解的樣條函數,mat ab 系統自動的將公因式提取,并且合并同類項，所以表達出的函數并不整齊規律,為了更好地體現三次樣條函數的結構和性質,我專門手寫了規整的樣條函數。- - 3. 實驗結果三彎矩法求解代入 x= 5 -3-2 -10 1 4 5y = f(? ) =11 + ?2?( -5 ) = ?(5) 0.00842y=0. 385 0.05880.1000 .20.500 0.500.0000.000 . 58 0.0385

21、m= . 141 599 0.09 3 0.743-1 8715 7 310. 993 00599 .0 1求得樣條函數系數陣為:0.0010.00 4 0 3710.05650.0020.000 00565 .09000010 06 .0900.1350. 5 0.1230 8350 7620.1238 -0311 3762 3119- 3110.1231319 0.372.1200165 0 762 0 8350.0165.0100 0.1 5 0.0 00 100.0024 00.0560.0024 0.00.05 5 0.0371樣條函數 :(97x)/5000- (*(x + 4)

22、)/500+（3*(x +5)3)/1250+ 34 0000(67 )/000 - (3(x+ 3)3)/12 0 +( + 4)3/100 + 381/200 (18*x)/ 000 - (x +2)3100 + (33*(x + 3) )/2000 + 741 20（127*x)/ 000 - (33* （x ） 3)/2000 +(19*（x 2）3)/500 69/0 0(357*x) 10000 - (3119*( 1)/ 00 - (619* 3)5000+ 13 1/1000(3199*(x - 1)/1000-（ 357*x ）/1000 + (619*x )/5000 13

23、119/1000（ *（x 1) 3)/2 00- （197*x ）/10000 -（619*(x -2)3)5000 5689/000（x )3/00 ( 87*x) 00 - (33*(x 3)3) 0 741/200（3* （x - )3） 1250 - （67*x)/ 000 - （x 4)3/100+381/00 (7*(x- 4)3）/000 -(9*） /500- (3*( ) )/150 + 134/ 00寫出標準形式的樣條函數：s1(x)0.014*( - -x) +0.002*(x+5) 3 003 1*（ 4-x)+ .056（ +5)x-5,-42(x)= 0. 02

24、(-3-x)3+0.010 *（ 4） 3+0.056 *( x)+0 0 00(x4）x 4,- (x）=0010*( 2x) +0.065(x3)3+0.900*( -2- )+018 5*（x+) - - x 3,-24(x)= 0 0165(-1x) +0.23*(x+2) 3+0.1835(-)+0.372 (x2) x2，-1s5()= 0123*( x)3-03119*(x+1 ）30.3762*( -)+.119 （ +) -1, 6(x) 0.3119*(1-x)3+0. 38* 3 1. 9*(1 - )+0 37 * x,1s ( )=0.1238*(2 -） 3+0.0

25、1 5 (x ) 3+0 3 6*(2 x)+0 18 5*( -1) x1,2s8(x)=0.01 *（ x)3+0. 1 *( -）3+0.835*(3 -x)+0.0900*( -)2,3s9(x）=0.01 ( -） 3 0.004*(-3)3+ 090*(4 )0.06*( -3) x3,410（ )=0.0 24*(5 -x)3+0.0 14 (x ) +0.0 5* （ -x) 0 0371(x-4) x,5輸入 :a=-5:0.1:5;fri :legth(a）(i)=f( (i);end求得原函數和樣條函數的對比圖：4 ma a程序第一題:離散型最佳平方逼近函數funct n

26、 =quarapp ox_ls(,y ， n)- - yms ;nle th(x);p= r (n+1 ）;q=eos(n+,1)；a= ；o i=0:f r =:nor k 1:na= +x(k） ( +j);nd p(i1,j1)=a; ;nendb= ；fo =0: fo k=1: b=b+y(k)*(k)ied q(i+,1 ）=b;=；s i v(p)*;f ；f i= :n+1 ff+ ( )*t(i1);simplif(f);en =ollect(f)；f pa （f,4);拉格朗日插值函數un tion s=larange(x,y,x)y s p;=length(x); 0；

27、(k= ： )a=y(） ;or （ j 1： 1) la=la*(p-x(） )/(x(k)-x(j)）;e ;for(j=k+： )a=la(p (j）)/(x(k）-x(j); d; + ;- - sim li ( ) ；edi ( ar in=2)s col ec (s)； vpa(s,);ese m=ength(x0);fo =1: te p(i）=su s(s ，p ，x (i);ends=te ;end第二題jabi 迭代法函數function acobi（a, ， p,de ta,n)n= gth( ) ；fo 1: o j=1：nx( ）=(b()-a(j,1:-1,j1:

28、) p（1:j1,j+1：n)/a(j,j);ed err=as( orm(x-p); p= ；if(erdelt）bre ;endpen x=x ;k,eracb迭代收斂判別函數：un tin s=l nsanxng(a)n,n=siz(a) ；d=ze os(n)；u=ero （ n);for i :n d(，） =a(i,） ;ndl=a-d;p=-inv（d)*lu;v,s eg（ p）;edl 迭代法函數functionx=s idel(a，b，p， elta,)n=engt ( ) ；- - ork=1:nfor j :nifj = x（） (b(1）-a(1,:n)*p(2:）

29、)/a （1，1);l fj=n ( )= （b（n) a(n,1:n-1)*(1:n-） )/a(n,n）;l x( ）=（b（ ) a（j,1:-1) (1:j 1）- （j,j1:n)*p（+: )/a（ ,j);endend er=abs(nor(x-p)； p=x;f (errdelta)bre k ;nden px=x；k,err sidel 迭代收斂判別函數：func on s=liansan ng2(a)n,n=sie（a）;d=ze s( ) ；l=zeros(n);u=ze s(n);or i=2:nor j=1:- l(i，j)=a(i,j）;endedfor i=1：n

30、d(i,i）=a(i,i);en ua-d-l；p=-i (d+l)*u；v,s=eg(p ）；第三題求解 mi 函數fun t on s san anju(x,， y ,y )n=length(x);h eros(n-1,1);u= eos( , );- - =z r s （n- ,1 ）；= os(n , ） ;or=1:n-1(k)=x(+1)-x(k);edfor k=1： -2 u(k）=h(k)(h(k）+（ k+ ） ) ； v() 1-u （k);(k)=(/(h(k)h(k+1）) (y（ k2)-y（k )/h(k1)-(y(+1)-y(k)）/ (k)）);na=zero

31、s（ -2);f r i=1:n-2a( ,i)2;endfor i=1:n3 a(, +1)=v（i); d i= : 2 a（i,i-1） ( );en b=ze s( -2, );b( )=g(1)-u（ )*yd;b(n-2)=(n-2） ( -2)yd;fori :n-(i） g(i);eds= gass( ， );高斯消去法函數fun tio =rowgauss(a,b) ,n s e( ) ；x= eos(1,n+1）;ga,b；f r p 1:n 1 y,j=ma（ as( g( :n, ) ）); c=ag(p,：);a(p,:) g( +-1,:）;ag(j+p-1,：)=c;if ag(p，p） =0 disp( 奇異 ）;bre k