1、2012年全國高考模擬參考部分解析幾何教學中應滲透平面向量方法武山縣第三高級中學 王建華平面向量是高中數學教材改革新增加的內容之一，它是既有大 小，又有方向的一個兒何量也就是說，平面向量既能像實數一樣進 行運算，也有直觀的幾何意義，是數與形的有機結合，可靈活實現形 與數的相互轉化平面向量理論滲透在解析幾何中，通常涉及到夾角、 平行、垂直、共線、軌跡等問題，其方法是將幾何問題坐標化、符號 化、數量化，從而將推理、求解問題轉化為向量運算，完全變成了代數問題.確定直線的兩個重要向量1、直線的方向向量由 pi (xi,yi)、p2我們已經知道，兩點確定一條直線，把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都

2、稱為直線的方向向量如圖1,(x2,y2)確定直線pf2的方向向量是p$2= (x2-xi,y2-yi)當直線p1p2與x軸不垂直時有x2hx,這時直線的斜率為兒一力p|p2也是直線pf2的方向向量，它的坐標是_兀1x(x2-xhy2-yi)gp(hk)就是直線pip2的方向向量，其中k是直線pr的斜率2、直線的法向量和直線垂直的向量都稱為該直線的法向量如圖2,設直線1有法向量n=(a,b),且經過點po(x(”y(j,取直線1上任一點p(x,y),滿足n丄p°p, 因為 陥=(x-x0,y-y0)，根據向量垂直的充要條件得a (x-x。)+b(y-yo) = 0 這個二元一次方程由直

3、線1上 一點po(x0,y0)及直線的法向量n=(a,b) 確定，稱為直線的點法式方程.反過來，如果直線1有一般方程ax+by+c=o (a、b不同時為0),(1) 若azo時，該方程可化為a(x+£)+b(y 0) = 0a這是過點(£,0),且法向量為n=(a,b)的點法式直線方程； a(2) 若bho時，該方程可化為a(x o)+b(y+_|) = o這是過點(0廠£)，且法向量為n二(a,b)的點法式直線方程.b因此,n=(a,b)就是直線ax+by+c=o的法向量.設向量a二(ba)，由a與n的數量積a n = -b x a+a x b=0所以a丄n,從

4、而向量a=(-b,a)是直線ax+by+c=o的方向向量.由于直線的方向向量、法向量可以從直線的一般式直接寫出，應用這兩個重要向量解決某些問題比較便捷.平面向量與直線間的位置關系設直線h與12的方程分別是11 :aix+biy+ci=o12:a2x+b2y+c2=0那么,h|=( a，bi)和n2=( a2, b?)分別是直線h與12的法向量.如果h12，那么nii>2,而hiii2的充要條件是m二x n2(a=入 a2得 i b|= x b2 ,消去入得 ab2-a2b|=0由此可知,ab2-a2b=0是直線11 12的充要條件當a2 b2h0時可 表示為 a=a,即對應坐標成比例.碼

5、b2(2)如果1丄12,那么ni丄112,反過來也正確而m丄匝的充要條件 是 hi 112=0, 得 ai a2+b1 b2=0,所以直線h丄12的充要條件是al a2+b b2=0.例1 (1998年上海高考卷16題) 設a、b、c分別是zxabc中 za、zb、zc的對邊的邊長，則直線sinax+ay+c=0與直線 bx-sinby+sinc=0的位置關系是a平行 b重合 c垂直 d相交但不垂直解析：易知兩直線的法向量分別是ni=( sina,a)和n2=( b,-sinb)由正弦定理知一纟一=9,即bsina+a(-sinb)=osin a sin b/. m 112=0有m丄112，所

6、以兩直線是垂直的，選c.(3) 更一般地,由直線的法向量可求兩直線的夾角設直線h與12的夾角為q ,其法向量的夾角為e ,則q = e或(i =兀0 ,所以 cos a =|cos 0 |.由向量的夾角公式cos0=厲化，及小i12=aa2+bib2、 丨® | | 丨i m|= ja： +、i ihl=ja； +圧得兩直線的夾角公式為coscr =丨人場+ ij a； + b； j a； + b；例2(2000年全國高考文科8題)已知兩直線li：y=x2：ax-y=0,其中a 為實數，當這兩條直線的夾角在(0,誇)內變動時,a的取值范圍是a(0,l)b(半，侖)c(£,l

7、)u(l, v3) d(l, a/3)解析:兩直線的法向量分別為(1,1)、(a,-l)，由夾角公式得cos a =/(q + l)2*2(/ + 1)夾角a在(0,備)變動時,x厶有cos a w (,1)，于是得4解這個不等式得分a<l或故選c.三、平面向量與解析幾何中角的問題任意兩個不共線的非零向量a=(xi,yj、b =區畀2)，由夾角公式cos0= 廣嚴2 知cos 0的正負直接由分子xi x2+yi y2ml肩+ *+丈來確定，于是得到如下結論:(1) 若 e 為銳角 oxix2+yiy2>0，即 a b>0(2) 若 6 為直角 oxix2+yiy2=0 ,即

8、a b=0(3) 若 b 為鈍角 oxix2+yiy2<0 ,即 a b<0因此，兩個向量夾角的范圍由它們的數量積的正負所確定.2例3 (1994年全國高考8題)設f和f2為雙曲線=1的兩4個焦點，點p在雙曲線上且滿足zf1pf2=90°，則 fpf2的面積是a 1 b# c2da/5解析:易知f (-75,0)和f2 (厲,0),設p點坐標為(x°,y。), . f?p=( x°+ a/5 , y0), fp=( x0- v5 , y°).由zf1pf2=90°知市 琳=0于是得(x°+ v5 )( x0- v5 )+

9、yj =0即尤 + £ -5=0 v2又點p (x0,y0)在雙曲線上，有予-£=1聯立可得i兒|=,safipf2=-i 許尸21| 兒 |=*2j£ = l,故選 a例4 (2000年全國高考14題)橢圓蘭+二=1的焦點為r、f2,94點p為其上一動點，當zfpf2為鈍角時，點p的橫坐標的取值范圍 是.解析：易知 a=3,b=2,故 c=v32 -22 =75 f (-v5,0) ,f2 (a/5,0),設 p(x,y),則 pfi= (-75 -x ,y) , pf2= (v+x,y) 由zfjpf2是鈍角得rti p<o/. (-v5 -兀)(餡-x

10、) + y2<0即 x2+y2-5<0v2 m2又點p(x,y)在橢圓上，得+= 1聯立得x2<-還 <x< 還55三點共線是解析幾何中常見問題之一，用向量法解決共線問題思路顯得直接了當一般方法是根據向量共線的充要條件,只要在三點中 任意兩點的向量間存在倍數關系就行了.就是說三點a、b、c共線, 僅要或詡二入蔽：(x gr)成立.用坐標表示，如果a(xi, yi) , b(x2,y2),c(x3,3)三點共線,w(x2 -xuy2 -yj =(x3 -xi,y3yj,消去入得(x2 -xi) (y3 -yi) -(x3 -xj (y2 -yi)=0或魚二1= ju

11、 ghxi , y3 hyj 心一坷 兒-x例5(2001年全國高考19題)設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為f,經過點f的直線交拋物線于a、b兩點，點c在拋物線的準線上，且bcx軸，求證：直線ac經過原點o.解析：設 a (xbyi), b(x2,y2)，f (e,0) 由bcx軸得c (-j)fa= (xi£,yi), fb = (x2-,y2)0a=（xi,yi）, oc =（p，y2）盛與嵌共線（xr|） y2-（x2茫）yi=0,而x乜，x2二盞代入上式得yi y?= -p2又5廠（詩）滬豐+殳產勞x+令嚴號+殳冋ao a與oc是共線向量，即a、0、c三點共線直線

12、ac經過原點0.例6（2003年全國高考22題）已知常數a>0,在矩形abcd中,ab二4, bc=4a, o 為 ab 的中點，點 e、f、g 分別在 bc、cd、da上移動'且h召增，p為ge與of的交點（如圖4）,圖4問是否存在兩個定點，使p到這兩點的距離和 為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值; 若不存在，請說明理由。解析：設 a （-2, 0）, b （2, 0）,c (2, 4a), d (-2, 4a), p (x,y)由點f在直線op上得f （ ,4a）, y則 cf=2a.又由竺=空=些得到be二2 a 泌， bc cd day于是 e （2,2a 沁），g

13、 （2,2a+沁）r 4a2xr 4a2xy _ 2ay-2a-x+ 2因g、p、e三點共線得二化簡為 2a2x2+y2-2ay=0即羊+ 0z竺=i1 cr2（1）當丄時，點p的軌跡是圓弧，所以不存在符合題意的2兩點；（2）當a? h丄時，點p的軌跡是橢圓的一部分，點p到該橢2圓焦點的距離的和為定長： 當丄時，即ovx返時，點p到橢圓兩個焦點2 2（,a）,（ j*-/ ,a）的距離的和為定長血; 當a? 丄時，即a 乜時，點p到橢圓兩個焦點2 2（0口十_*）,（0衛+討_*）的距離的和為定長2a五、平面向量與解析幾何中軌跡問題軌跡問題是近年來高考題的熱點問題之一，其本質是求岀點的方程，利

14、用向量法求軌跡方程要比距離公式簡潔得多.例7（2000年北京、安徽春季高考22題）設點a和b為拋物線yj4px（p0）上原點以外的兩個動點，已知oa丄ob,om丄ab,點m為垂足，求點m的軌跡方程并說明它是什么曲線?ya解析：設 m （x,y）, a （p/j2, 2ptj）, b （p/；, 2pg）（其中 t"為正 參數），則 6x= （p：2pti）= （pr；,2pt2） prf - p彳,2pt2- 2pti） ,01 = （x,y ）.voa±ob a01 即 p 彳 p2 +2pti 2pt2=0 t2= _4（t）同理（p© p彳）x+（2pt2-

15、 2ptjy=0 /. （ti +t2）x+2y=0 又ta、b、m三點共線2 2x_ _ x_ 應 y 2“ y-2pt2聯立中消去t%得x2+y2-4px=0 因為a、b是原點以外的點，所以xho.點m的軌跡是以（2p,0）為圓心以2p為半徑的圓，去掉坐標原點.99例8 （1995年全國高考26題）如圖6,橢圓詁計,直線1：yro冷,p是1上-點,射線op交橢圓于r,點q在op上, 且有|op| |oq|=|or|2,當點p在直線上移動時，求點q的軌跡方程.解析：設q（x,y）,入貢，赤=口貢（入，口為正參數），則 p （入x, ay）, r（ux,叮）v |op| - |oq|=|or|2 即麗嵐|=涼|2a |oq| 入 |oq|= u 2|oq|2x = 12莽丄又tp、r分別在直線1與橢圓上.巫+型“空+空=11282416丄一丄丄丄二蘭亠