1、2018 屆高三第二輪復(fù)習(xí)一一數(shù)列第1講等差、等比考點(diǎn)【高考感悟】從近三年高考看，高考命題熱點(diǎn)考向可能為：考什么怎么考題型與難度1.等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算主要考查等差、等比數(shù)列的基 本量的求解題型：三種題型均可出現(xiàn) 難度：基礎(chǔ)題2.等差(比)數(shù)列的判定與證明主要考查等差、等比數(shù)列的定 義證明題型：三種題型均可出現(xiàn) 難度：基礎(chǔ)題或中檔題3.等差(比)數(shù)列的性質(zhì)主要考查等差、等比數(shù)列的性 質(zhì)題型：選擇題或填空題 難度：基礎(chǔ)題或中檔題1.必記公式(1)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an= ai+(n1)d.n (ai + an)n (n 1) d(2)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式： S=2=na+2.(3)等比數(shù)

2、列通項(xiàng)公式：anaynl(4)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：na1 (q= 1)&= a1 (1 _qn)a1 dq=(q w 1)1 -q 1 -q q(5)等差中項(xiàng)公式：2an = an-1+an+1(n>2).2(6)等比中項(xiàng)公式：an= an 1 an+1(n > 2).S1 (n = 1)數(shù)列an的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)an之間的關(guān)系：an=.Sn Sn-1 (n > 2)2 .重要性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：等差數(shù)列中，an = am+(nm)d;等比數(shù)列中，an=amqn m.(2)增減性：等差數(shù)列中，若公差大于零，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若公差小于零，則數(shù)列為遞減數(shù)列.等比數(shù)

3、列中，若 a1 >0且q>1或a<0且0vqv1,則數(shù)列為遞增數(shù)列；若 a1>0且0v qv 1或a <0且q>1,則數(shù)列為遞減數(shù)列.3 .易錯(cuò)提醒(1)忽視等比數(shù)列的條件：判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，忽視各項(xiàng)都不為零的條件.(2)漏掉等比中項(xiàng)：正數(shù) a, b的等比中項(xiàng)是土 >/ab,容易漏掉一Vab.【真題體驗(yàn)】1. (2015 新課標(biāo)I高考)已知an是公差為1的等差數(shù)列，S為an的前n項(xiàng)和.若 &=40,則ai0=()1719A.BC. 10D. 121-2. (2015 新課標(biāo)n局考)已知等比數(shù)列an滿足a1 = 4，a3a5= 4(a41

4、),則a2 =()1 _ 1A. 2 B. 1 C- D- 283. (2015 浙江高考已知曰是等差數(shù)列，公差 d不為零.若a2, a3, a7成等比數(shù)列，且2a1+a2=1,則a= d =1.14. (2016 全國(guó)卷1)已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足*1,b2=3,anb11bli曲，.(I)求an的通項(xiàng)公式；(II)求bn的前n項(xiàng)和.【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一、等差(比)的基本運(yùn)算1. (2015 湖南高考設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1=1,且3S, 2s2, &成等差數(shù)列，則an = 、, 一一 92. (2015 重慶局考已知等差數(shù)列an滿足a3=2,前3項(xiàng)和S

5、 = £(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列bn蔭足b1=a1, b4=a15,求bn的前n項(xiàng)和Tn.考點(diǎn)二、等差(比)的證明與判斷【典例1】(2017 全國(guó)1)記8為等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，已知 &=2, &=-6.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求&,并判斷Sn+i, S, S+2是否成等差數(shù)列【規(guī)律感悟】判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的三種方法an+ 1(1)定義法：對(duì)于n>l的任意自然數(shù)，驗(yàn)證 an+1 an或 為同一常數(shù). an(2)通項(xiàng)公式法：若 an= a1+ (n 1)d = am+ (n- m)d 或 an= kn+ b(ne N

6、),則an為等差數(shù)列;若 an= a1qn1= amqnm或 an= pqkn+b(n C N ),則an為等比數(shù)列.(3)中項(xiàng)公式法：*若 2an=an-1 + an+1(ne n , n>2),則an為等差數(shù)列；2*右 an= an 1 an+1(n C N , n-2),且 anW0,則an為等比數(shù)列.變式：（2014 全國(guó)大綱高考）數(shù)列an滿足 a1=1, a2=2, an+2= 2an+1an+2.設(shè)bn= an+1an,證明bn是等差數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)三、等差(比)數(shù)列的性質(zhì)命題角度一與等差(比)數(shù)列的項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)【典例2】(1)(2015 新課標(biāo)n高考已知等

7、比數(shù)列an滿足a1=3, a1+a3+a5=21,則a3+a5 + a7=()A. 21B. 42C. 63D. 84(2)(2015 銅陵模書(shū)史知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為$,且S1-12,則as+a6=()A.12 B. 12 C. 6 D.6命題角度二與等差(比)數(shù)列的和有關(guān)的性質(zhì)【典例3(1)(2014 全國(guó)大綱高淤等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S.若8= 3, &=15,則8=() A. 31 B. 32C. 63 D. 64(2)(2015 衡水中學(xué)二郵差數(shù)列an中,3(a3+a5)+2(a7+ m + 213) = 24,則該數(shù)列前13項(xiàng)的和是() A. 13 B. 26 C.

8、52 D. 156針對(duì)訓(xùn)練1 .在等差數(shù)列an中，若 a3+a4+ as + a6+a7=25,則 a? + a8=2 .在等比數(shù)列an中，a4a8=16,貝 a4a5a7a8的值為3 .若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 a1oan + a9a12=2e5,則 In a + ln a2+ - +ln a20=【鞏固訓(xùn)練】一、選擇題1. (2015 新課標(biāo)II高考設(shè)S是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a1 + a3+a5=3,則&=()A. 5B. 7C. 9D. 112. (2014 福建高考等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若a-2, S3= 12,則a6等于()A. 8 B. 10 C. 12

9、 D. 143. (2014 重慶高考對(duì)任意等比數(shù)列an,下列說(shuō)法一定正確的是()A. a1, as, a9成等比數(shù)列B. a2, as, a6成等比數(shù)列C. a2, a4, a8成等比數(shù)列D. a3, a6, a9成等比數(shù)列4. (2014 天津高考設(shè)an是首項(xiàng)為ai,公差為-1的等差數(shù)列，S為其前n項(xiàng)和.若3,3成等比數(shù)列，則ai = ()A. 2 B. - 2 C.1 D. -1 225. (2015 遼寧大連模擬數(shù)列an滿足an an+ = an an+i(n C N ),數(shù)列bn滿足bn=：,且b1+b2 an+ - +b9=90,則 b4b6()A.最大值為99 B.為定值99 C

10、.最大值為100 D.最大值為200二、填空題6. (2015 陜西高考中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2 015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為 7. (2015 安徽高考已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1 + a4=9, a2a3= 8,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于8. (2014 江西高考在等差數(shù)列an中，a = 7,公差為d,前n項(xiàng)和為S,當(dāng)且僅當(dāng)n = 8時(shí)&取得最大值，則d的取值范圍為三、解答題9. (文)(2015 蘭州模帆等比數(shù)列an中,已知a=2, a4=16.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a3, a5分別為等差數(shù)列bn的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S.

11、10、(2014 湖北高考已知等差數(shù)列an滿足：a=2,且as a2, a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記&為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n,使彳導(dǎo)$>60n+800?若存在，求n的最小值；若不存在, 說(shuō)明理由.11. (2015 江蘇高考設(shè)ai, a2, a3, a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(dw。)的等差數(shù)列.證明：2ai, 2a2, 2a3, 2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列；234 .(2)是否存在a1, d,使得a1, a2, a3, a4依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由第2講 數(shù)列求和(通項(xiàng))及其綜合應(yīng)用【高考感悟】從近三年局考看，局考命題熱點(diǎn)考向可能為:考什

12、么怎么考題型與難度1.數(shù)列的通項(xiàng) 公式考查等差、等比數(shù)列的基本量的求解； 考查an與S的關(guān)系，遞推關(guān)系等題型：三種題型均可出現(xiàn) 難度：基礎(chǔ)題或中檔題2.數(shù)列白前n 項(xiàng)和考查等差、等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式； 考查用裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分解 組合法求和.題型：三種題型均可出現(xiàn)，更多 為解答題難度：中檔題3.數(shù)列的綜合 應(yīng)用證明數(shù)列為等差或者等比； 考查數(shù)列與不等式的綜合.題型：解答題難度：中檔題【真題體驗(yàn)】1. (2015 北京高考設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是()A.若 a + a2>0,則 a2+a3>0B.若 a1 + a3< 0,則 a+a2<0C.若 0&

13、lt;a1<a2,則 a2>.aaD.若 a1<0,則(a2a1)(a2a3)>012. (2015 武漢模捌已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 氫a5=5, &=15,則數(shù)列 L的前100 、，、，Wnan+1'項(xiàng)和為()A.100Bq99Cc99D.1011011011001003. (2015 福建高考等差數(shù)列an中，a2=4, a，+a7=15.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn = 2an2+n,求 b+b? +b3+b1。的值.【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一、數(shù)列的通項(xiàng)公式【規(guī)律感悟】求通項(xiàng)的常用方法(1)歸納猜想法：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

14、，可采用歸納猜想法.S, n= 1,(2)已知&與an的關(guān)系，利用 an=求an.SS 1, n>2(3)累加法：數(shù)列遞推關(guān)系形如 d+1=an+f(n),其中數(shù)列f(n)前n項(xiàng)和可求，這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時(shí)， 常用累加法(疊加法).(4)累乘法：數(shù)列遞推關(guān)系如an+1=g(n)an,其中數(shù)列g(shù)(n)前n項(xiàng)積可求，此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法(疊乘法).qq(5)構(gòu)造法：遞推關(guān)系形如 an+1= pan+q(p, q為常數(shù))可化為an+葉;=p an+-一； (pw1)的形式，禾i用p 1p 1q - , , .an +廣：是以p為公比的等比數(shù)列求解. p Ipan11 1

15、 遞推關(guān)系形如 an+1 =J(p為非零常數(shù))可化為=的形式.an+ pan+1 an p1 . (2015 新課標(biāo)n高考)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a1 = 1, an+1= SnSn+ 1 ,則Sn= 2 . (2015 銅陵模擬數(shù)列an滿足qa1+7a2 + +了an = 3n + 1, nC N ,則 an= 3335an-133.若數(shù)列an滿足a=3,an+1 =-,則 a2 015 的值為3an 7考點(diǎn)二、數(shù)列的前n項(xiàng)和【規(guī)律感悟】1 .分組求和的常見(jiàn)方法(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組.(2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組.(3)根據(jù)數(shù)列的周期性分組.2 .裂項(xiàng)后相消的規(guī)律常用的拆項(xiàng)公式(其

16、中nCN*)1_ 1111 111111，n(n+1)n n +1. 2n (n + k)kn n + k . 3 (2n-1) (2n+1)2(2n 1 2n+1)3 .錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn)(1)適用題型：等差數(shù)列an乘以等比數(shù)列bn對(duì)應(yīng)項(xiàng)(an bn)型數(shù)列求和.(2)步驟：求和時(shí)先乘以數(shù)列 bn的公比.把兩個(gè)和的形式錯(cuò)位相減.整理結(jié)果形式.4 .倒序求和。命題角度一基本數(shù)列求和、分組求和【典例1】(2015 湖北八校聯(lián)考)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足 a1=3, b=1, b2+&=10, a5-2b2= a3.2，, n為奇數(shù)，(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)

17、公式；(2)令cn='設(shè)數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求T2n.bn, n為偶數(shù)，命題角度二裂項(xiàng)相消法求和【典例2】(2015 安徽高考已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且H + a4=9, a2a3= 8.(1)求數(shù)列&的通項(xiàng)公式；an+1(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn=ML,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.Sn8+ 1命題角度三錯(cuò)位相減法求和【典例3】(2015 天津高考已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且ai= bi=1, b2+b3= 2a3, a53b2=7.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；* 一 .-.一(2)設(shè)cn=anbn, nCN ,求數(shù)列cn的刖n項(xiàng)

18、和.針對(duì)訓(xùn)練n2+ n.*1. (2014 湖南圖考已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=-2, nCN.(1)求數(shù)列3的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn = 2an+(-1)nan,求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和.2. (2015 山東高考已知數(shù)列an是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列an an+1的前n項(xiàng)和為(1)求數(shù)列&的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn = (an+ 1) a 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.考點(diǎn)三、數(shù)列的綜合應(yīng)用【典例4】(2015 陜西漢中質(zhì)檢)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和S滿足：Sn-(n n ，+ n- 1)&-(n2+ n)= 0.(1)求數(shù)列&的通項(xiàng)公式an； n+1 -*_5(2)令bn

19、=(n+2)2a2,數(shù)列bn的刖n項(xiàng)和為T(mén)n.證明：對(duì)于任息的 nCN ,都有小政an變式： (2015 遼寧大連模擬)數(shù)列an滿足an + 1 = 2an+1 , 2=1.、r - ， 11、，、 r 111 n(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的刖n項(xiàng)和$,并證明二十三+：.ananS1 S2& n +1【鞏固訓(xùn)練】一、選擇題1. （2015 浙江高考已知an是等差數(shù)列，公差 d不為零，前n項(xiàng)和是Sn.若a3, a，a8成等比數(shù)列，則（）A. aid>0, dS4>0B. aid<0, dS4<0C. aid>0, dS4<0 D. aid

20、<0, dS，。2. （2015 保定調(diào)研在數(shù)列an中，已知ai = 1, an+i=2an+1,則其通項(xiàng)公式為 an=（）A. 2n- i B. 2n一 十 IC. 2n-i D. 2（n-i）i 2i3. （預(yù)測(cè)題）已知數(shù)列an滿足an+i = 2+ Ran an,且ai=2,則該數(shù)列的前 2 0i5項(xiàng)的和等于（）A.2 7.若數(shù)列n(n+4)(3)中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k=。23 B. 3 023 C. i 5i2 D. 3 0244. （20i5 長(zhǎng)春質(zhì)檢設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且ai = a2=i, nS +（n +2）an為等差數(shù)列，則 an=（）nn+ i 2n i _

21、 n +1A*B?"V7C。4一 一j ，八 1, e- I 2anan+i +1 一 乙心一 f .,5. （2015 玄南第一次統(tǒng)一檢測(cè)）在數(shù)列an中，an>0, ai=-5如果an+i是1與一-一l的等比中項(xiàng)，那么24 ana2 a3 a4aw0卻+2T+相+$+ 10相的值是（）10010110099A. 99-B.100 C.而D.100二、填空題16. (2014 全國(guó)新課標(biāo)n圖考)數(shù)列an滿足an+i = "；, a8=2,則ai=_i an8(2015 江蘇高考設(shè)數(shù)列an滿足ai= 1,且an+i an= n+1(n C N ),則數(shù)列 一前10項(xiàng)的和

22、為 an9. (2015 福建高考若a, b是函數(shù)f(x) = x2px + q(p>0, q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且 a, b, 一 2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p + q的值等于 三、解答題10. (2015 湖北高考設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為S,等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1= as b2 =2, q = d, S。= 100.(1)求數(shù)列an, bn的通項(xiàng)公式；an(2)當(dāng)d>1時(shí)，記c1 = ,求數(shù)列g(shù)的前n項(xiàng)和Tn.bn11. (2014 山東高考已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為S,且S, S2, S4成等比數(shù)

23、列.(1)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；人n 1 4n(2)令bn= ( 1) ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.2018 屆高三第二輪復(fù)習(xí)一一數(shù)列答案【真題體驗(yàn)】(第1講等差、等比考點(diǎn))1 .【解析】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d.由題設(shè)知d=1, 5=4S4,所以8a1 +28 =4(4a1+6),解1 119得a1= 2，所以a10=+9 =5.故選B.2 .【解析】 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q, a1 = 1, a3a5= 4(a41),由題可知qw1,則a1q2xa1q4 = 4(a1q31),16.13.6. _ 33_ 2_31，16xq=4(4Xq1),，q16q+64=0,，(q8)=0

24、,，q=8,，q=2,，a2=2.故選 C.2233.【解析】由a2,a3,a7成等比數(shù)列，得a3= a2a7,則2d= 3a1d,即d = 2a1.又2a1+a2=1,所以a=, d = 1.【答案】 133314.【解】(1)an=3n1. (2)bn - .22 3n 1考點(diǎn)一、等差(比)的基本運(yùn)算1 【解析】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列等，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想即可輕松求解等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.由 3S, 2S2, 4成等差數(shù)列，得 4&=3S1 + S3,即383S=&S2,則3a2= a3,得公 比q=3,所以a = a1qnT = 3nT.【答案】32【

25、解】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查考生的運(yùn)算求解能力.(1)將已知條件中的a3, &用首項(xiàng)a1與公差d表示，求得a1, d,即可求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合利用條件b1=a1, b4 = a15求得公比，然后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算.(1)設(shè)an的公差為d,則由已知條件得3X2 . 9a +2d = 2, 3a1+-2-d = 2, 3即 a1 + 2d= 2, a1+ d = 2,.1解得 a1= 1, d = 2,n-1n+1故通項(xiàng)公式為 an = 1 + -2 ，即 an =一7(2)由(1)得 b1 = 1, b4= a15= -2

26、=8.15+ 1設(shè)bn的公比為q,則q3=b= 8,從而q = 2,故bn的前n項(xiàng)和1X (1 2n)1 2b1 (1 qn)Tn =1-q考點(diǎn)二、等差(比)的證明與判斷【典例1】解：(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)可得ai(1 q) 2,2、a?。 q q )解得q2,ai2 故an的通項(xiàng)公式為a0 ( 2)n(2)由(1)可得Snai(1 qn)3(1)n 2n 136.由于Sn 2Sn 13")"22n 12 ( 1)n2&,故Sn1§,Sn2成等差數(shù)列33變式.【解】(1)證明：由an+2 = 2an+1an+ 2得an + 2 an+1= an+1

27、 an+ 2,即 bn+ 1 = bn+ 2.又 b1= a2- a1= 1,所以bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.(2)由(1)得 bn= 1 + 2(n1),即 an+1 -an = 2n-1.S (q 十 qQ 2(241),于是 a強(qiáng)一，,所以 an+1 a1 = n ,即 an+1 = n + a. 2又a1=1,所以an的通項(xiàng)公式為 an=n2n+2.考點(diǎn)三、等差(比)數(shù)列的性質(zhì)命題角度一與等差(比)數(shù)列的項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)【解析】 (1)本題主要考查等比數(shù)列的基本概念、基本運(yùn)算與性質(zhì)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力.由于 a1(1 +q2+ q4) = 21, a1=3,所以 q4 +

28、q2 6=0,所以 q2= 2(q2= 3 舍去)， 2a3+ a5+ a7= q (a+ a3+ a5)= 2x 21 =42.故選 B.(2)本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì) am+ an= ap + aq.a1+ a。由 So= 12 得一2 X10= 12 ,12 ,121,、，所以 a1+ a1o=, 所以 a5+a6=-7.故選 A.55命題角度二與等差(比)數(shù)列的和有關(guān)的性質(zhì)22【解析】(1)在等比數(shù)列an中，S, S4-S2,多S4也成等比數(shù)列，故(S4S2) =S(S6S4),則(15 3)13 (ada13)13 (a4+ao)= 3($15).解得 &=63.故選 C.

29、(2)33+25) + 2(27+210+3)=24,6a4+6a10=24,，a4+a10 = 4, ，S13=13X42=26.故選 B.針對(duì)訓(xùn)練1 .【解析】由a3+a4 +a5+a6 + a7= 25 得 5a5= 25,所以a5= 5,故a2+a8=2a5= 10.2 .【解析】a4a5a7a8 = a4a8 a5a7 = (a4a8) = 256.【答案】2563 .【解析】a10an + a9a12= 2e5,a10 an =e5,Ina+lna2+ lna20= 10in(a1。an)= 10 Ine5 = 50.【鞏固訓(xùn)練】一、選擇題 ”一，、，,，一-5(ai+a5)5X2

30、a31【解析】數(shù)列an為等差數(shù)列，a1+a3+a5= 3a3 = 3,.3=1,. S5=2=-2= 5.【答案】A一 ，一一3X2 ,一一 一,一一,一，一2【解析】 由題知 3ai + 2 d = 12, ai=2,解得 d = 2,又 a6= ai +5d , . a6= 12.故選 C.23 .【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a3a9=a60,因此a3, a6, a9一定成等比數(shù)列.故選 D.一，一22 X1 24X3，一廣1，_4 .【斛析】由題思知S2=S1Sn2 + ( 4n 2) 2, (2a2-d) =a1(4ai + 2-d),把d = 1代入整理得a1= 2.故選D.1 15

31、.【解析】將an aa+1 = anan+1兩邊同時(shí)除以anan + 1可得a a= 1 ,即bn+1 bn=1,所以bn是公差為d 、，9 (b1 + b9) 公.m .=1的等差數(shù)列，其前 9項(xiàng)和為 2=90,所以b1 + b9 = 20 ,將b9= b1 + 8d = b1 + 8,代入得b1 = 6,所以 b4= 9, b6 = 11,所以 b4b6 = 99.故選 B.二、填空題6【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為 a,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，a1+2 015 = 2X1 010 ,解得a =5.【答案】57解析】a1 + a4= 9,a2a3= 8,曰 + a4 = 9,則a1, 白可以看

32、作一元二次方程&白= 8,2a1 = 1x -9x+8= 0的兩根，故a4=8'可得公比q = 2,前n項(xiàng)和Sn=2n1. a4=8.a1= 8,或.數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a4= 1.n(n 1) d 2 d d 2 dd _2一7為丁8.【解析】等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和為Sn,則S=na1 +2d =gn + (a1 3= ,+ (72)n,對(duì)稱軸d _解得1 vdv 1.【答案】82一7,對(duì)稱軸介于 7.5與8.5之間，即7.5<<8.5,d三、解答題9.1. 解】(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q, 一an為等比數(shù)列，. A=q10、【解】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,

33、依題意，2, 2+d,2+4d成等比數(shù)列，故有(2+d)=2(2+4d),化一 2一.間得d -4d = 0,解得d = 0或d = 4. 當(dāng)d = 0時(shí)，an=2；當(dāng)d = 4時(shí)，an=2+(n1) 44n-2,從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an = 2或an= 4n 2.(2)當(dāng)an=2時(shí)，3=2門(mén).顯然2門(mén)60門(mén)+ 800,此時(shí)不存在正整數(shù) n,使得Sn>60n+800成立.=8,q = 2, /. sr= 2X21= 2n.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差為d , = b3 = a3 = 23= 8, bs= as= 25 = 32,且bn為等差數(shù)列，., . .一 .一 一 一 一 n (

34、n1) 一 一 2 一.b當(dāng) an=4n2 時(shí)，$=2=2n .令2n2>60n + 800,即n230n400 >0,解得n>40或n< 10(舍去)，此時(shí)存在正整數(shù) n,使得S >60n + 800成立，n的最小值為 41.綜上，當(dāng)an=2時(shí)，不存在滿足題意的n；當(dāng)an = 4n 2時(shí)，存在滿足題意的 n,其最小值為41.b3=24 = 2d,-d=12,.b1 = b32d = -16,.&=16n+ 今X12 = 6n22 n.一、,2an+1d一 一“、,， 11.【解】(1)證明：因?yàn)?2an+i - an = 2 (n = 1, 2, 3)是

35、同一個(gè)常數(shù),所以 2ai, 2a2, 2a3, 2a4依次構(gòu)2an成等比數(shù)列.(2)不存在，理由如下：令a+d=a,則 a,a2,a3,a4分別為a-d,a,a+d,a+2d(a>d, a>2d,dw0). 234 .假設(shè)存在a, d,使得a1, a2, a3, a4依次構(gòu)成等比數(shù)列，則 a4= (a d)(a+d)3,且(a+dj= a2(a+2d)4.d3641令 t=,貝U 1=(1t)(1 + t),且(1 + t) =(1+2t) -<t< 1, tO , a2化簡(jiǎn)得 t3+2t22=0(*),且 t2=t+1.將t2=t+ 1代入(*)式，,2,1t(t+1

36、)+2(t+1)-2=t +3t=t+1 + 3t=4t+1 = 0,則 t= 4.1 , ,1234,、，顯然t = 4不是上面方程的解，矛盾，所以假設(shè)不成立.因此不存在a, d,使得au a2, a3, a，依次構(gòu)成等比數(shù)列.第2講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用【真題體驗(yàn)】1. （2015 北京高考）設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A.若 a1 + a2>0）則 a2 + a3>0B.若 a + a3 v 0 > 則 a + a2V 0C.若 0va1a2,則 22>，0點(diǎn)D.若 aK 0,則（a2a1）（a2a3）>0【解析】若an是遞減的等差數(shù)列，則選項(xiàng) A

37、、B都不一定正確.若an為公差為0的等差數(shù)列，則選ai+ a3 項(xiàng)D不正確.對(duì)于 C選項(xiàng)，由條件可知an為公差不為0的正項(xiàng)數(shù)列，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得a2=2,由a1+a3基本不等式得 2 >小電,所以C正確.【答案】C1， 一一2. （2015 武漢模擬已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S, a5=5, &=15,則數(shù)列 1的前100項(xiàng)和為（）10099A.101B.10199101C.100 D.100【解析】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d.a5= 5, 8= 15,ad 4d = 5,5add= 15,5X （51）an= ai+ (n 1)d= n.anan+1n (n +

38、 1)an an+ 1的前100項(xiàng)和為1-2+5-§+府-而=1-而100而.【答案】A3. (2015 福建高考等差數(shù)列an中，a2=4, a4+ a7= 15.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn= 2an2 + n,求 b + b2 + b3+ b1。的值.【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.a1 + d = 4,由已知得,”(a1+3d) + ( a + 6d) =15,a1 = 3,解得d = 1.所以 an= a+(n1)d= n+2.(2)由(1)可得 bn=2n+n,10,所以 6 + b2+ b3+ b(2 + 1) + (242)+ (23+ 3) + +

39、 (210 + 10) = (2+2 +2 + 2 ) + (1 + 2+3+ - +10)(1+ 10) X 10,10、2X (1 2 )=1 2+=211 + 53=2 101.熱點(diǎn)考向數(shù)列的通項(xiàng)公式(自主探究型)111.當(dāng) n=1 時(shí)，S1=a1=-1,所以§=1.因?yàn)橄?$+$=$+1,所以sn下=1, 即。1.1, ，一1一所以三是以一1為首項(xiàng)，一1為公差的等差數(shù)列，所以 -=(-1)+(n-1) - (H = n,所以Si =1Sn1. n一 一 12.當(dāng) n=1 時(shí)，-a1= 3X1+1,所以 a=12,3當(dāng) n>2 時(shí)，：ai + a2+ anT + an=

40、3n+1,：gai + ya2+ +3(n 1)+1.一得:1nan= (3n + 1) 3(n 1) + 1, 3J 一即an= 3,3所以an=3n+1,綜上可得：an12, n= 1,尸，n*.咯案】12, n= 1,3n+1, n>23.本題主要考查利用遞推數(shù)列求數(shù)列的某一項(xiàng)，通過(guò)研究數(shù)列的函數(shù)特性來(lái)解決.熱點(diǎn)考向二由于a1=3,求a2=1, a3=2, a4= 3,所以數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，所以 a2 015 = 2671x3+2=22=1.數(shù)列白前n項(xiàng)和(多維探究型)命題角度一基本數(shù)列求和、分組求和b2+S=10,q+6+d = 10,【典例1】(1)設(shè)數(shù)列an的公差

41、為d,數(shù)列bn的公比為q,則由得解a52b2=a3,3+4d-2q = 3+2d,d = 2,得 C q =2,所以 an=3+2(n-1) = 2n+1, bn=2n 1n (a + an)(2)由 a1 = 3, an= 2n+ 1 得 S =2=n(n + 2),則 6= nI22，n為奇數(shù)，-1一,n為偶數(shù)，11一)，n為奇數(shù)，即 Cn = n n + 22nT, n為偶數(shù)，T2n= (C1+ C3+ + C2n-1)+ (C2+ C4 + + C2n)11- 十311 1一一一3 5+ , , + 2n1 2n+1-2n1+ (2+2 + 2)2 (14n)2n 2 n=1 -二(4

42、 - 1).2n+11 -42n+1 3)命題角度二裂項(xiàng)相消法求和【典例2】(1)由題設(shè)知aa4=a2a3=8,a1= 1,a1 = 8又a1+a4=9,可解得或(舍去).a4= 8a4= 1設(shè)等比數(shù)列d的公比為q,由a4=ay3得q=2,故an= aq小、c a1 (1 qn) M /,(2)Sn=1 q = 2 - 1 , 又 bn =an + 1Sn+1-Sn1n -1=21n- 1所以 Tn= bl + b2+ bn =$+1 SS+111而一S2 + STS += sn-sn7，工 1Sn-Sn7 =12n+1 1.命題角度三錯(cuò)位相減法求和典例3】(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q,數(shù)列bn

43、的公差為d,由題意q>0.(1+d) + ( 1 + 2q) = 2q, 由已知有 q4-3(1 + d)=7, 又因?yàn)閝 >0,解得q = 2,所以d= 2. 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 2nj, nCN_22q - 3d = 2,4q 3d = 10,消去d,整理得q4-2q2-8=0.數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn = 2n-1, nCN*.> nn - 1 、一 _，>、，一、一(2)由(1)有o=(2n1) 2 ,設(shè)cn的前n項(xiàng)和為 S,則n-2n- 15X2+ (2n 3) X2 +(2n1)X2 ,一 .1_2_3n-1n2Sn=1X2 +3X2 + 5X

44、2 + (2n3) x +(2n 1) xn,上述兩式相減，得&= 1 +22+ 23+2n (2n1) X2=2n+1-3-(2n-1) X2=- (2n-3) X2-3, 所以，$=(2n3) n? 3, n £ N*.針對(duì)訓(xùn)練1 .【解】(1)當(dāng) n=1 時(shí)，a1=S=1；n+n (n1) +(n 1)當(dāng) n > 2 時(shí)，an= Sn Sn-1 =2?= n.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = n.(2)由(1)知，bn=2n+(1)nn.記數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和為 T2n,則 馬=(21+22+ 22n)+( 1+23+4 + 2n).記 A= 21+22+ 22

45、n,B= 1 + 2 3+4+ 2n,2n、A 2 ( 1 - 2 ) 2n+1A=1T2= 22，B= (1 +2)+( 3+4) + (2n1)+2n=n.故數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和 Tan= A+B=22n+1+n-2.2 .11【解】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d.令n=1,得 =-a1a2 3,人，112 ,所以 aa2=3.令 n = 2,得+=，所以 a2a3= 15.a1a2 a2a3 5解得 a=1, d = 2,所以 an=2n1.(2)由知 bn=2n -2F1 = n-4, 所以Tn= 1 1好2 官十門(mén)% 所以4Tn= 1 .2殲2 加+ n-1,兩式相減，得一 3Tn=

46、 4 + 4+ 4 n。4 =n4 (1 4 )14n+11 3nn+143.所以Tn =3n 1X4n+ 14+9=, ,一.x n+14+ ( 3n 一 1) 49數(shù)列的綜合應(yīng)用（師生共研型）【典例 4】【解】(1)由 S2 (n2+n 1)S(n2+n) = 0,得S(n2+n)(S+1)= 0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以 Sn>0, s=n2+n.于是 a1=S1=2, n>2 時(shí)，an= SnSn 1 = n +n (n 1) (n1) = 2n.綜上，數(shù)列a的通項(xiàng)公式為an=2n. ，一 一. 門(mén)+1(2)證明：由于 an=2n, bn= c' 2 2，(n +

47、2) an n+11 11則 bn=4n2 (n + 2) 2;而孑-FT .所以 Tn = x 1 n+r 7 + 7一二2 + + - + 二一- = X16 l 32435(n1)(n + 1) n (n+2)161111151 + 2" (n+1) 2 (n + 2) 2(而“+了 =6?、a an12an+1 - 11變式：【解】(1)證明：= an+1=° ，=,化間得 =2 + ,2an+ 1an+1anan+1an即二一一工=2,故數(shù)列2是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.an+1 chan(2)由(1)知 1 = 2n1, . $ = n(1 + 2&quo

48、t; 1)=門(mén)2. an2111111111111111/區(qū) +. +$ =產(chǎn) 22+十 才>而 +荷 + n (n+1) =(1-2)+(2-3)+- +(n-nJ7)=1才=n【鞏固訓(xùn)練】一、選擇題25 .1.【解析】由a3,a4,a8成等比數(shù)列可得：+3d) = (ad 2d)a什7d),即3a1 + 5d = 0,所以ci = - -d,3一,. 一 一 (曰 十 &) X4. .2 ,2，所以 ad v 0.又 dS4=d = 2(2a1 + 3d)d = - -d < 0.故選 B.232 .【解析】由題意知 an+i+1 =2(an +1),，an+1 = (

49、a+1)21 = 2n，&=2n1.【答案】A1-1213 .【解析】 因?yàn)閍=2,又an + 1 = 2 + ?Janan,所以印=1,從而a3=2,賢=1,即得an =1 . 一*、2 21'，故數(shù)列的前2 015項(xiàng)的和等于 6 015= 1 007 X (1 1)+1=3%+1 =3023.【答案】1, n=2k (kC N ),A24.【解析】設(shè)bn= nS+(n +2)an,有 b1 = 4,b2=8,則bn=4n,即 bn=nSn+(n+2)an= 4n,S + (1+/)an =4.2、.2、 一當(dāng) n>2 時(shí)，Sn Sn-1 + (1 + )an (1 +1)2n-1=0,2 (n+1) n +1anan 1所以nan=Ean“ 即 2彳,-,an I , 1 ,.所以n是以2為公比,1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以-=1 n2, an=2n.故選A.【答案】22anan+1+11 -5 .【斛析】由延思可信,an+